上海市高二上学期期中数学试卷(理科)

上海市高二上学期期中数学试卷（理科）

姓名:________ 班级:________ 成绩:________

一、选择题 (共12题；共24分)

1. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知椭圆的左焦点为，则（）

A . 16

B . 9

C . 4

D . 3

2. （2分）为三角形的内角，则是的（）

A . 充分不必要条件

B . 必要不充分条件

C . 充要条件

D . 既不充分也不必要条件

3. （2分） (2016高三上·重庆期中) 设椭圆 =1的左右交点分别为F1 ， F2 ，点P在椭圆上，且满足 =9，则| |•| |的值为（）

A . 8

B . 10

C . 12

D . 15

4. （2分） (2017高二下·成都期中) 函数f（x）= +cosx，x∈[0， ]的最大值是（）

A . 1

B .

C . +

D . +

5. （2分） (2015高二下·九江期中) 已知直线y=﹣x+m是曲线y=x2﹣3lnx的一条切线，则m的值为（）

A . 0

B . 2

C . 1

D . 3

6. （2分）已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为（）

A .

B .

C .

D .

7. （2分）下列命题中，假命题是（）

A .

B .

C .

D .

8. （2分）若函数f（x）=ex+mx的单调递增区间是（1，+∞），则 f（x）dx等于（）

A . e﹣1

B . e﹣2

C . e

D . e﹣1

9. （2分） (2016高一下·龙岩期末) 已知圆O：x2+y2=1及以下3个函数：①f（x）=xcosx；②f（x）=tanx；

③f（x）=xsinx．其中图象能等分圆O面积的函数有（）

A . 3个

B . 2个

C . 1个

D . 0个

10. （2分） (2017高二上·临沂期末) 双曲线C1： =1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P 的中点，则双曲线C1的离心率为（）

A .

B .

C .

D .

11. （2分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（3，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线

相交于点C，|BF|=，则△BCF与△ACF的面积之比=（）

A .

B .

C .

D .

12. （2分）设直线与函数的图象分别交于点M,N，则当达到最小时t的值为（）

A . 1

B .

C .

D .

二、填空题 (共4题；共4分)

13. （1分）已知f（x）= x3+ （b﹣1）x2+b2x（b为常数）在x=1处取得极值，则b的值是________．

14. （1分） (2015高二下·上饶期中) 过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A（x1 ， y1）、B（x2 ，y2）两点，若x1+x2=4，则|AB|=________．

15. （1分） (2015高三上·贵阳期末) 图中阴影部分的面积等于________．

16. （1分）如图，已知椭圆C：=1（0＜m＜4）的左顶点为A，点N的坐标为（1，0）．若椭圆C上存在点M（点M异于点A），使得点A关于点M对称的点P满足PO=PN，则实数m的最大值为________

三、解答题 (共6题；共60分)

17. （10分） (2018高三上·广东月考) 已知函数．

（1）当时，试求在处的切线方程；

（2）若在内有极值，试求的取值范围．

18. （10分） (2016高三上·虎林期中) 已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．

（1）求t，p的值；

（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

19. （15分） (2015高三上·包头期末) 已知函数 (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．

（1）求k的值；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．

20. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．

21. （10分）(2017·深圳模拟) 已成椭圆C： =1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2 ，上下顶点分别为B2/B1 ，左右焦点分别为F1、F2 ，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2= 为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；

（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN 的面积不小于 n2，求n的取值范围．

22. （5分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+a﹣2，a∈R．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a＜0时，试判断g（x）=xf（x）+2的零点个数．