概率统计的matlab求解

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3.4 参数估计
例3.8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分 布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的 参数估计。
程序：clear;
w=normrnd(15,2.5,50,1); 或w=15+2.5*randn(50,1); alpha=0.03; [mh,sh,mc,sc]=normfit(w,alpha) 运行一次：mh=15.1076
功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为 行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的 平均值，应用嵌套：mean(mean(X))或m=mean(X(:))
与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等 2.离散型随机变量的期望----EX=sum(X.*P) 功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和 3.连续型随机变量的期望----EX=int(x*fx,x,a,b) 功能：用积分计算期望
程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)- normcdf(1,2,0.5)
p = 0.8186
(2) x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);
fx= normcdf(x,2,0.5); plot(x,px,'+b');hold on;
plot(x,fx,'*r');legend('正态分布函数','正态分布密度');
程序：》clear;
px=binopdf(45,100,0.5) % 计算x=45的概率
px = 0.0485
fx=binocdf(45,100,0.5) % 计算x≤45的概率
fx =0.1841
》x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,'+');
title('分布函数图')
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3.1 随机变量及其分布
Χ2分布
密度函数：f
2
(x)
2
k 2
1 (
k
)
x
k 1 x
2 e2
2
0
x0 x0
命令:chi2cdf(x, k), chi2inv(p, k),chi2pdf(x, k) chi2rnd(k,m,n)
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3.1 随机变量及其分布
T分布
第三部分 概率统计的MATLAB求解
随机变量及其分布 随机变量函数的分布 随机变量的数字特征 参数估计 假设检验 方差分析
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3.1 随机变量及其分布
超几何分布H(n,M,N)
P{X
命令1：Fx=hygecdf(x,M,N,K)
i}
CiN
C
Ki MN
C
K M
功能：计算超几何分布的累积概率，总共M件产品， 其中次品N 件，抽取K件检查，计算发现次品不 多于x件的概率Fx=P{次品数X≤x}=F(x)
密度函数：fT (x)
( k 1) 2
(1
x2
k 1
)2
k ( k ) k
2
命令:tcdf(x, k), tinv(p, k),tpdf(x, k) trnd(k,m,n)
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3.1 随机变量及其分布
F分布
密度函数：f F
(x)
((2pp)2(qq2))
p
p 2
q
q
2x
0
p 1
2(
p
qx)
pq 2
x0 x0
命令:fcdf(x, p,q), finv(F,p,q),fpdf(x, p,q) frnd(p,q,m,n)
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3.1 随机变量及其分布
例3.1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概 率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X： (1)试计算x=45的概率和x≤45的概率； (2)绘制分布函数图象和分布列图象。
命令4：Px=hygepdf(x,M, N, K)
功能：总共M件产品，其中次品N 件，抽取K件检查， 计算发现恰好x件次品的概率Px=P{X=x}
命令5：stairs(x,Px)
功能：绘制以 x为横坐标，Px为纵坐标的阶梯平面图； 当Px是分布列(或密度)时，绘制概率密度分布图； 当Px是累积分布时，绘制概率分布函数图
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3.1 随机变量及其分布
Γ分布
密度函数：f ( x)
a
x
a
1
(a)
e x
0
x0 x0
其中(a) x a1e x dx 0
满足：(a) a(a 1),(1) 1, ( 1 )
2
命令:gamcdf(x, a, lambda), gaminv(p, a, lambda) gampdf(x, a,lambda), gamrnd(a, lambda,m,n)
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3.3 随机变量的数字特征
例3.7设随机变量X的分布密度为：
f
(x)
2
c
os2
x
0
| x |
2 其他
求随机变量X的期望和方差。
程序：clear;syms x;fx=2/pi*(cos(x))^2; EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2) E2X=int(x^2*fx,x,-pi/2,pi/2) DX=E2X-EX^2
[a,b]=solve(f1,f2)
a=3/5,b=6/5
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3.3 随机变量的数字特征
例3.6设随机变量X的分布密度为：
0.5e x f (x) 0.5ex
x0 其他
求随机变量Y=|X|的期望。
EY g(x) f (x)dx
程序：clear;syms x;
fx1=0.5*exp(x); fx2=0.5*exp(-x);
命令1：Fx=binocdf(x,n,p)
功能：计算二项分布的累积概率Fx=P{X≤x}=F(x)
命令2：x=binoinv(y, n,p)
功能：计算随机量x，使得y=P{X≤x}
命令3：X=binornd(n,p,M,N)
功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵X
命令4：Px=binopdf(x,n, p)
差值，应用嵌套：var(var(X))
缺省1，计算：
S 2
1 n 1
n i 1
(xi
x)2
否则计算：
S2
1 n
n
(xi
i 1
x)2
2.统计数据的标准差---S=std(X,1)
功能：用法和1的解释同上
3. 一般随机变量的方差----DX=E(X2)-(EX)2
功能：用积分或级数编程计算
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3.1 随机变量及其分布
p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,'*r')；title('概率分布图'）
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3.1 随机变量及其分布
例3.2设X~N(2,0.25) (1) 求概率P{1<X<2.5}； (2)绘制分布函数图象和分布密度图象; (3)画出区间[1.5,1.9]上的分布密度曲线下方区域。
例3.5设随机变量X的分布密度为：
a bx2 f (x)
0
0 x 1 其他
且EX=3/5，求常数a,b的值。
程序：clear;syms a b x;fx=a+b*x^2;
EX=int(x*fx,x,0,1)
EX=1/4*b+1/2*a
F=int(fx,x,0,1)
F=a+1/3*b
f1=EX-3/5;f2=f-1;
注：以后碰到命令末尾为：
rnd----产生随机数X； cdf----产生分布函数F(x)
pdf----产生密度函数p(x)或分布列Px=P{X=x}
inv----计算x=F-1(p)→ p=F (x)
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3.1 随机变量及其分布
二项分布B(n,p)
Baidu Nhomakorabea
P{X
k}
C
k n
p
k
(1
p)nk
(3) specs=[1.5,1.9];
pp=normspec(specs,2,0.5)
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3.1 随机变量及其分布
0.8
Probability Between Limits is 0.26209
0.7
0.6
0.5
Density
0.4
0.3
0.2
0.1
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0
0
0.5
1
1.5
程序：clear; x=solve('y=exp(x)') dy=diff(x,'y') fy= 1*abs(dy)
x=log(y) dy=1/y fy=1/|y|
注：取值区域需要自己确定，用积分求法作为练习！
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3.3 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望
1.数组的平均值---Y=mean(X)
补充：randn()---标准正态分布随机数
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3.1 随机变量及其分布
指数分布X~exp(λ)
1 ex
P{X x}
0
命令1：Fx=expcdf(x, lambda)
功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x)
命令2：x=expinv(p, lambda)
功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x}
2
mu,sigma)
功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x)
命令2：x=norminv(p, mu,sigma)
功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x}
命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N)
功能：产生M*N维随机数矩阵X
命令4：Px=normpdf(x, mu,sigma)
功能：计算分布密度p(x)在x的值
命令2：x=hygeinv(p,M, N,K)
功能：在已知参数M、N 、 K和p的情况下计算随 机量x，使得p=P{0≤次品数X≤x}
命令3：X=hygernd(M,N,K,m,n)
功能：在已知参数M,N ,K的情况下产生m*n维符合
超几何分布的随机数矩阵X
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3.1 随机变量及其分布
FY ( y) P{Y y} P{g ( X ) y}
f X ( x)dx fY ( y) dFY ( y) / dy
g ( X ) y
据此意思，计算随机变量函数的分布相当于编程
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3.2 随机变量函数的分布
例3.3设随机变量X服从均匀分布U[0,1]，求Y=eX 的分布。
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3.3 随机变量的数字特征
例3.4设随机变量X的分布列，求期望。
X
-1
0
2
3
P
1/8
1/4
3/8
1/4
程序：clear; x=[-1,0,2,3]; p=[1/8,1/4,3/8,1/4]; EX=sum(x.*p)
1.3750
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3.3 随机变量的数字特征
功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率Px=P{X=x}
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3.1 随机变量及其分布
泊松分布X~P(λ)
P{X k} e k
命令1：Fx=poisscdf(x,lambda)
k!
功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x)
命令2：x=poissinv(p, lambda)
功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x}
EY=int(-x*fx1,x,-inf,0) + int(x*fx2,x,0, inf)
EY= 1
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3.3 随机变量的数字特征
随机变量的方差
1.统计数据的方差---D=var(X,1)
功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行
向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方
命令3：X=poissrnd(lambda,M,N)
功能：产生M*N维随机数矩阵X
命令4：Px=poisspdf(x,lambda)
功能：计算概率Px=P{X=x}
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3.1 随机变量及其分布
正态分布X~N(μ,σ2)
x
P{X x}
1
1 (x)2
e 2 2 dx
命令1：Fx=normcdf(x,
2
2.5
3
3.5
4
Critical Value
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3.2 随机变量函数的分布
根据概率统计教材中的定理：如果已知随机变量 X的密度fX(x),随机变量函数Y=g(X)单调，则Y的密 度函数为： fY(x)= fX(h(y))|h'(y)|,其中x=h(y)是 y=g(x)的反函数。
如果y=g(x)不单调，则将定义域分成若干单调区 间进行讨论。也可利用：
命令3：X=exprnd(lambda,M,N)
功能：产生M*N维随机数矩阵X
命令4：Px=exppdf(x, lambda)
功能：计算分布密度p(x)在x的值
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x0 x0
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3.1 随机变量及其分布
均匀分布X~U(a,b) 命令1：Fx=unifcdf(x, a,b) 功能：计算累积概率Fx=P{X≤x}=F(x) 命令2：x=unifinv(p, a,b) 功能：计算随机量x，使得p=P{X≤x} 命令3：X=unifrnd(a,b,M,N) 功能：产生M*N维随机数矩阵X 命令4：Px=unifpdf(x, a,b) 功能：计算分布密度p(x)在x的值 补充：rand()---(0,1)均匀分布随机数