冀教版新九年级数学上册知识点
冀教版九年级上册数学《弧长和扇形面积的计算》培优说课教学复习课件
O
r
B
请推导出圆锥的侧面积公式.
l
1
S侧 C底 R
2
1
S侧 2r l.
2
s全 s侧 s底 rl r
S
侧
r
2
=πrl (r表示圆锥底面的半径, l表示圆锥的母线长 )
圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积).
当堂练习
的多少倍？
n倍
n R 2
（4）圆心角为n°的扇形的面积是多少?
360
扇形面积公式:
若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，
n R 2
则S扇形=
.
360
注意:
n R 2
（1）在应用扇形的面积公式S扇形=
进行计算时，要注意
360
公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
π
100×π×10 100×3.14×10
=
=
≈
≈17.4(cm),
180
180
180
π 2
100×π×102 100×3.14×100
S扇形AOB=
=
≈
≈87.2(cm2).
360
360
360
所以的长约为17.4
cm,扇形AOB的面积约为87.2 cm2.
(2)r=10 cm,
1.什么是圆锥的母线、圆锥的高?
2.圆锥的母线有几条?圆锥的母线、高、半径围成什么图形?
3.将圆锥的侧面展开,得到的平面图形是什么?
4.圆锥的侧面展开图的弧长、半径与圆锥的底面、母线长有什么关系?
冀教版九年级数学知识点
冀教版九年级数学知识点学习这件事不在乎有没有人教你，最重要的是在于你自己有没有觉悟和恒心。
任何科目学习方法其实都是一样的，不断的记忆与练习，使知识刻在脑海里。
下面是小编给大家整理的一些九年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。
九年级数学知识点空间与图形图形的认识：1、点，线，面点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。
②面与面相交得线，线与线相交得点。
③点动成线，线动成面，面动成体。
展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。
②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。
截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。
视图：主视图，左视图，俯视图。
多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。
弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。
②圆可以分割成若干个扇形。
角线：①线段有两个端点。
②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。
射线只有一个端点。
③将线段的两端无限延长就形成了直线。
直线没有端点。
④经过两点有且只有一条直线。
比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。
②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。
角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。
②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。
角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。
②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。
始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。
③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。
冀教版九年级上册数学《平行线分线段成比例》说课教学复习课件
360º的圆心角所对的弧长就是圆___周__长__C___2_π_R.
B
（1）1º的圆心角所对的弧长 l 是：l 1 2πR= πR
360
180
O
A
（2）nº的圆心角所对的弧长 l 是：l= n 2πR nπR
360
180
扇形是圆周的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分.在半径为R的 圆中， 360º的圆心角所对的扇形的面积就是_圆__面__积___S__π_R_2.
1 如图，在△ABC中，DE∥BC，若 AB 2，则 AE
DB 3 EC 等于( C )
A. 1 3
C. 2 3
2 B. 5
D. 3 5
2 如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例
式中不成立的是( B )
A．OC∶OD＝OA ∶ OB B．OC ∶ OD＝OB ∶ OA C．OC ∶ AC＝OD ∶ DB D．BD ∶ AC＝OD ∶ OC
得解．
∵ AB∥CD∥EF，
∴ BH AH ，AD BC ，AF BE ，故选项A，B， HC HD DF CE DF CE
D正确．
∵CD∥EF，∴
HC HE
＝
HD HF
，
故选项C错误.
总结
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面获取 信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内 角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例．
h
l
O● r
圆锥的形成 顶点
把准备好的圆锥模型沿着母线剪开， 观察圆锥的侧面展开图．
母线
高
侧面
底面半径
问题1:这个扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系？ 问题2:这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?
冀教版九年级数学上册全套ppt课件
千米)如下表：
杀伤半 20≤x 40≤x 60≤x
径 数量
＜40 8
＜60 12
＜80 25
这批炮弹的平均杀伤半径是多少千米？ 由上表可得出各组数据的组中值分别是30，50，70，90， 30× 8＋50× 12＋70× 25＋90× 5 根据加权平均数公式得 x＝ 8＋12＋25＋5 ＝60.8(千米)， 因此，这批炮弹的平均杀伤半径大约是60.8千米
中数学考试成绩为80分．
(1)请问他一学期的数学平均成绩是多少？ (2)如果期末总评成绩按：平时成绩占20%，期中成绩占 30%，期末成绩占50%计算，那么该同学期末总评数学成 绩是多少？ 1 (1)x＝ (76＋90＋80)＝82(分) 3 (2)x＝76×50%＋90×20%＋80×30%＝80(分)
分组 体重 人数 结论
A 30－35
B 35－40 32
C 40－45
偏瘦
正常
偏胖
11．(12分)体育委员在统计了全班同学 60秒跳绳的次
数后，绘制了下面两幅统计图，根据图中信息，求全班 同学60秒平均跳绳大约多少次？
全班同学60秒跳绳的平均次数是(70×4%＋90×8% ＋110×40%＋130×24%＋150×14%＋170×8%＋ 190×2%)÷(4%＋8%＋40%＋24%＋14%＋8%＋ 2%)＝123.6(次)
23.1平均数与加权平均数（1）
知识梳理
1．一般地，我们把n个数x1，x2，„，xn的和与n的比，
算术平均数 平均数 记作 叫做这n个数的______________ ，简称__________ x，读作“x拔”． 2．一组数据里的各个数据的重要程度不一定相同，在 计算它们的平均数时，往往给每个数据一个“权”，由
2020冀教版九年级数学上册：圆的知识点总结及典型例题
【文库独家】圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
冀教版九年级上册数学《锐角三角函数》研讨说课复习课件巩固
13
2
2 13
3 13
2
sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____.
13
13
3
随堂训练
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
扩大100倍,sin A的值（
C
B
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
2.已知∠A,∠B为锐角.
(1)若∠A=∠B,则sin A
AB A'B'
A
C
A'
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三
角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值.
C'
知识讲解
归纳：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对
边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
∠A的对边 a
sin A =
斜边
3
3
1+2
2 3-1 .
3
2
随堂训练
15
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，求 sinA、tanA 的值．
17
AC 15
B
，
解：cos A
AB 17
设 AC = 15k，则 AB = 17k.
2
2
2
2
∴ BC AB AC (17k ) (15k ) 8k，
tanA=
12
= ，cosA=
13
12
5
= .
5
过三点的圆冀教版九年级数学(上册)-【完整版】
过三点的 圆-冀教 版九年 级数学 上册- 精品课 件ppt( 实用版)
③等边三角形外接圆的半径等于 边长的 3
3
A
在等边△ABC中，设边长为a,
O
N
两边的中垂线交于点O,则OB 为外接圆半径
B
M
∟
C
由BM 1 BC 1 a, 22
2.如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，
过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是（3个）.
●
●
● ●
想一想
三角形的三个顶点一定在同一个圆上吗？
三角形的三个顶点不在同一直线上，因此它 们在同一个圆上.
知识点二：
①经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.
C
②外接圆的圆心叫做三角形的外心.
正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述是否
正确. A E
×②O是△ADB的外心×，O不
D 是△ADC的外心；
O B
分析：
C
过三点的 圆-冀教 版九年 级数学 上册- 精品课 件ppt( 实用版)
过三点的 圆-冀教 版九年 级数学 上册- 精品课 件ppt( 实用版)
例2.如图，小明家的房前有一块矩形的空地.空地上 有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵 树都在花坛的边上.
②作线段BC的垂直平分线MN；
③以EF和MN的交点O为圆心，以 A
OA为半径作圆.
⊙O即为△ABC的外接圆.
B
.O C
试一试
分别画下面三角形的外接圆，并说明外心的位置与三角形的 形状之间具有怎样的关系.（用尺规在课本151页练习第2题中画出）
九年级数学上册(冀教版)教学课件-第二十四章小结与复习
高效利用课堂时间
认真听讲
在课堂上认真听讲，理解老师的 讲解内容，抓住重点。
积极思考
跟随老师的思路，积极思考问题， 加深对知识点的理解。
及时提问
对于不理解的问题，及时向老师 提问，争取在课堂上解决疑惑。
针对性地进行专项训练
找出薄弱环节
通过做题和回顾知识点，找出自己的薄弱环节。
进行专项训练
针对薄弱环节进行专项训练，加强练习，提高掌握程度。
的掌握情况。
要求学生在规定时间内完成试题， 模拟真实考试环境，提高学生的
应试能力。
答题情况自我评估
学生完成模拟试题后， 要对照答案进行自我 评估，找出自己的不 足之处。
学生要诚实地反映自 己的答题情况，不要 掩盖或忽略自己的问 题。
评估内容包括：答题 速度、正确率、解题 思路是否清晰等方面。
针对性地进行查漏补缺
跨学科思维训练
通过解决复杂的跨学科问题，培养学生的综合思维能力和创新能力。
03 复习方法与策略建议
制定合理复习计划
确定复习目标
明确第二十四章的重点和难点， 以及个人掌握情况，制定符合实
际的复习目标。
制定时间表
根据剩余时间和每天可用于复习的 时间，制定详细的复习时间表，并 严格执行。
合理安排内容
将需要复习的内容合理分配到各个 时间段，确保每个部分都得到充分 复习。
概率与统计在实际生活中的应用
了解概率与统计在实际生活中的应用，如天气预报、产品质量检测等，能运用概率与统计 知识解决这些实际问题。
各知识点之间的整合与拓展
理解各知识点之间的联系和区别，能将这些知识点进行整合和拓展，形成完整的知识体系 。
02 典型例题分析与解答
冀教版九年级上册数学考点
冀教版九年级上册数学考点在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替换的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
不同的数学家和哲学家对数学的确切范畴和定义有一系列的看法。
今天作者在这给大家整理了一些冀教版九年级上册数学考点，我们一起来看看吧!冀教版九年级上册数学考点☆内容提要☆一、平面直角坐标系1.各象限内点的坐标的特点2.坐标轴上点的坐标的特点3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系二、函数1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。
2.肯定自变量取值范畴的原则：⑴使代数式成心义;⑵使实际问题有意义。
3.画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。
三、几种特别函数(定义→图象→性质)1. 正比例函数⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。
⑵图象：直线(过原点)⑶性质：①k 0，…②k 0，…2. 一次函数⑴定义：y=kx+b(k≠0)⑵图象：直线过点(0,b)—与y轴的交点和(-b/k,0)—与x轴的交点。
⑶性质：①k 0,…②k 0,…⑷图象的四种情形：3. 二次函数⑴定义：特别地，都是二次函数。
⑵图象：抛物线(用描点法画出：先肯定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点)。
用配方法变为，则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a 0时，开口向上;a 0时，开口向下。
⑶性质：a 0时，在对称轴左侧…，右侧…;a 0时，在对称轴左侧…，右侧…。
4.反比例函数⑴定义：或xy=k(k≠0)。
⑵图象：双曲线(两支)—用描点法画出。
⑶性质：①k 0时，图象位于…，y随x…;②k 0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无穷接近于坐标轴但永久不能到达坐标轴。
四、重要解题方法1. 用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。
对求二次函数的解析式，要公道选用一样式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻觅新的点的坐标。
以下图：2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。
九年级数学上册(冀教版)教学课件-第二十五章小结与复习
contents
目录
• 第二十五章知识点回顾 • 解题方法与技巧总结 • 章节测试与评估分析 • 复习策略与建议 • 师生互动与答疑环节
01 第二十五章知识点回顾
主要概念及定义
01
02
03
概率
表示某一事件发生的可能 性大小的数值。
统计量
描述数据集特征的数值， 如平均数、中位数、众数、 方差等。
根据自身学习情况和 进度，制定符合自己 的复习计划。
合理安排每日复习时 间，确保计划的可行 性和有效性。
针对薄弱环节，加强 复习力度，制定专项 复习计划。
合理安排时间，提高效率
充分利用课余时间进行复习， 如课间、午休等。
遵循记忆规律，合理安排复习 时间间隔，提高记忆效率。
避免长时间连续复习同一内容， 适当进行交替复习。
重复计算。
对于方差等需要计算偏差平方的 统计量，要注意偏差的计算方法
和符号问题。
02 解题方法与技巧总结
选择题答题策略
仔细审题
验证答案
明确题目要求，注意关键词和限定条 件。
确定答案后，代入原题进行验证，确 保答案正确。
分析选项
逐个分析选项，运用数学知识进行排 除。
填空题答题技巧
找准关键词
注意题目中的关键词，明 确填空内容。
业的解答和建议。
课后作业布置及要求
教师根据课堂内容和学生掌握情况，合理布置课后作业。 作业要求明确，包括题目类型、难度、完成时间等，以便学生有针对性地完成。
教师会及时批改作业，给出评分和反馈，帮助学生了解自己的学习情况和不足之处。
THANKS FOR WATCHING
冀教版九年级数学上册知识点
23章 数据分析23.1平均数和加权平均数1、一般地，我们把n 个数n x x x ,...,,21的和与n 的比，叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记作-x ，读作“x 拔”，即)....(11n x x nx ++=-2、已知n 个数n x x x ,...,,21，若n w w w ,...,,21为一组正数，则把nnn w w w w x w x w x ......212211+++++叫做n 个数n x x x ,...,,21的加权平均数，n w w w ,...,,21分别叫做这n 个数的权重，简称权。
23.2中位数和众数1、一般地，将n 个数据按大小顺序排列，如果n 为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n 为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。
一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。
23.3方差 设n个数据n x x x ,...,,21的平均数为-x ，各个数据与平均数偏差的平方分别是22221)(,...,)(,)(------x x x x x x n 。
偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用2s 表示，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-+-=---222212)(...)()(1x x x x x x n s n当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。
因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。
23.4用样本估计总体由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。
但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。
因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。
24章 一元二次方程 24.1一元二次方程1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。
冀教版九年级数学上册课件ppt《一元二次方程》
当m ≠±2 时，它是一元二次方程，当m ＝－2
时，它是
一元一次方程．
河北教育出版社 年级 | 上册
知识点二：建立一元二次方程模型 8．兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形 草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列 方程为 x(x＋10)＝200 ． 9．设一个奇数为x，与相邻奇数的积为328，所列方程 正确的是( D ) A．x(x＋2)＝328 B．x(x－2)＝328 C．x(x＋1)＝328 D．x(x－2)＝328或x(x＋2)＝328
3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。我 市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面 积不断增加（如图所示）。
2003
①根据图中所提供的信息回答下列问题：2003年底的绿地面积为 公顷，
比2002年底增加了60 公顷；在2001年，2002年，2003年这三个中，绿
为
5y2－y－4＝0 .
15．美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，
2013年初投资2亿元，2015年初投资3亿元，设每年投资的增长率 为x，则可列出方程 2(1＋x)2＝3 .
河北教育出版社 年级 | 上册
16．根据下列提示列方程，并将其化为一元二次 方程的一般形式．
(1)已知两个数的和为7，积为6，求这两个数； (2)如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个 相同的边长为2 cm的小正方形，然后把四边折起来， 做成一个没有盖子的长方体盒子，使它的容积为32 cm2，所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？ 解：(1)设其中一个数为x，则另一个数为(7－x)，则x(7－x)＝6， 即x2－7x＋6＝0 (2)设正方形纸板的边长应是x cm，则没有 盖的长方体盒子的长，宽为(x－2×2)cm，高为2 cm.根据题意 列方程，得(x－2×2)·(x－2×2)×2＝32，即x2－8x＝0
新冀教版九年级上册数学全册期末复习必背知识点归纳
新冀教版九年级上册数学全册期末复习必背知识点归纳1. 有理数的四则运算- 加法：有理数相加时保留同号后合并绝对值，异号先转化为同号再合并绝对值。
- 减法：有理数相减转化为加法，注意减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法：有理数相乘符号同正负规律，绝对值相乘。
- 除法：有理数相除符号同正负规律，绝对值相除。
2. 代数式与多项式- 代数式：由数字、字母及运算符号组成的式子。
- 多项式：由多个代数项经过加法或减法运算得到的代数式。
3. 分式与整式- 分式：由分子和分母分别用代数式表示的符号。
- 整式：没有分式的代数式。
4. 图形的坐标表示- 直角坐标系：一个平面上以两条互相垂直的直线为基准线，确定平面上的点位置。
- 坐标：平面上的点在直角坐标系中的位置。
5. 一次函数- 函数：根据一些输入值通过某种规则得到输出值的关系。
- 一次函数：函数的自变量的最高次数为1的函数。
6. 二次根式- 平方根：数的平方根是指一个数的平方等于这个数。
- 二次根式：含有平方根的式子。
7. 平面图形与空间图形- 平面图形：在平面上画出的图形。
- 空间图形：在空间中用线段、射线、直线画的图形。
8. 数据的收集整理与概述- 数据收集：通过观察或实验，获得或记录相关事物数量或特征的过程。
- 数据整理：对收集到的数据进行筛选、处理和归纳，并用合适的图表形式展示。
- 数据概述：根据数据的统计特征和分布规律描述、分析和总结数据。
9. 事件与概率- 事件：对随机试验可能结果的划分。
- 概率：事件发生的可能性。
10. 统计抽样与统计推断- 统计抽样：从总体中抽取样本进行统计。
- 统计推断：通过对样本的统计数据作出关于总体的推断。
以上是《新冀教版九年级上册数学全册》期末复习必背知识点的详细归纳，希望能对你的复习有所帮助。
冀教版九年级数学上册知识点
冀教版九年级数学上册知识点23章数据分析23.1 平均数和加权平均数平均数是指n个数的和与n的比值，也称为算术平均数，记作x。
我们一般用x = (x1 + x2 +。
+ xn)/n来计算平均数。
若已知n个数x1.x2.xn和一组正数w1.w2.wn，则这n个数的加权平均数为(x1w1 + x2w2 +。
+ xnwn)/(w1 + w2 +。
+ wn)，其中w1.w2.wn分别为这n个数的权重。
23.2 中位数和众数中位数是指将n个数据按大小顺序排列后，如果n为奇数，则处于中间位置的数据为中位数；如果n为偶数，则处于中间位置的两个数据的平均数为中位数。
众数是指一组数据中出现次数最多的数据。
一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。
23.3 方差方差是指n个数据与平均数之差的平方的平均数，用s^2表示。
具体地，设n个数据的平均数为x，各个数据与平均数之差的平方分别为(x1-x)^2.(x2-x)^2.(xn-x)^2，则这组数据的方差为s^2 = [(x1-x)^2 + (x2-x)^2 +。
+ (xn-x)^2]/n。
方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小，当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。
23.4 用样本估计总体由于抽样的任意性，相同样本容量的不同样本的平均数一般也不同。
当样本容量较小时，差异可能还较大。
但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。
因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。
同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。
24章一元二次方程24.1 一元二次方程一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a≠0.其中，ax^2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
一元二次方程的解也称为这个方程的根。
08-28.5 弧长和扇形面积的计算九年级上册数学冀教版
第4题图
4.新考法[2023自贡中考]如图，小珍同学用半径为，圆心角为 的扇形纸片，制作一个底面半径为 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是_____ .
【析】 如图，由题意，得 的长为.设 所对的圆心角为 ，则 ，解得， 粘贴部分所对应的圆心
角度数为 ， 圆锥上粘贴部分的面积是.
【解析】 如图，连接 ， ，， ， 四边形是矩形.又， 四边形 是正方形， , ， .
第3题图
3.[2023衡水桃城区三模]如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一段圆弧经过格点 ，，，的延长线经过格点，则 的长为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 如图，连接，，,，取 的中点，连接 ， 为直径. ，， ，
知识点2 扇形的面积公式
6.一个扇形的弧长是，面积是 ，则此扇形的圆心角的度数为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 设此扇形的圆心角为 ,半径为.由 可知，又由可知 .
7.[2024承德期末]数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以点为圆心， 长为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形 的面积是( )
知识点1 弧长公式
1.[2023大连中考]圆心角为 ，半径为3的扇形弧长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】 , 该扇形的弧长为 .
第2题图
2.[2023唐山路南区期中]如图，已知的半径为6， ，是的弦，若 ，则 的长为( )
B
A. B. C. D.
【解析】 连接， ， ，的长为 .
7.教材P169B组变式如图，把的斜边放在直线 上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到的位置.若， ，则顶点运动到点 的位置时.求：
冀教版九年级上册数学《相似多边形和图形的位似》PPT(第1课时)
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
一起探究
例3 如图，△ABC，画△A' B' C' ，使△A' B' C' ∽△ABC，且使相似比为1：5，要求:（1）位似中心在△ABC的一条边AB上； （2）以点C为位似中心．
（1）位似中心在△ABC的一条边AB上
（2）以点C为位似中心
对应边成比例，但对应角不一定相等
任意的两个菱形不一定相似
对应角相等，但对应边不一定成比例
任意的两个矩形不一定相似
观察图中的两个多边形，先直观判断它们是不是相似多边形，再验证你的结论.
相似
如：网格中易求线段长，则可用三边对应成比例，证明△ABC∽△A'B'C'及△ADC∽△A'B'C'，相似比为1：2.且两对全等三角形的对应角相等.
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小．
1) 在四边形外任选一点O（如图），
对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点O，分别在OA、OB、OC、OD的反向延长线上取A'，B' 、C'、D'，使得 呢？如果点O取在四边形ABCD内部呢？分别画出这时得到的图形．
假设位似中心点O在AB上，相似比1:5，点O位置如图所示
o
●
●
A'
B'
C'
●
●
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（5）推论2
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。
在△ABC中，DE∥BC，
25.3相似三角形
（1）
（2）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。
(7)
(8)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
25.5相似三角形的性质
相似三角形的性质定理
（1）
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。
（3）
（4）相似三角形周长的比等于相似比。
（5）
（6）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
25.6相似三角形的应用
25.7相似多边形和图形的位似
（5）
（6）位似图形的画法
确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）；
选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线；
根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点；
顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。
27章
28章解直角三角形
26.1锐角三角函数
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。
23.4用样本估计总体
由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。
2、对于一元二次方程 ：
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根。
我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式。
3、
4、当 时，一元二次方程 的两实数根可以用 求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。
（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。
25.4相似三角形的判定
相似三角形的判定定理
(1)
(2)两角对应相等的两个三角形相似。
(3)
(4)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
(5)
(6)三条边对应成比例的两个三角形相似。
5、
6、比例的基本性质
如果 ，那么 。
如果 ，那么 （ ）
特别地，如果 ，即 ，就把b叫做a,c的比例中项。
如果 ，那么
4、黄金分割
在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足 ，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点， 称为黄金比。黄金比
每条线段上的黄金分割点都有两个。
（1）
（2）形状相同的图形称为相似图形。一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
（ห้องสมุดไป่ตู้）
（4）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。
2、一般地，将n个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。
3、
4、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。
23.3方差
设n个数据 的平均数为 ，各个数据与平均数偏差的平方分别是 。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用 表示，即
24.3一元二次方程根与系数关系
如果一元二次方程 的两根分别为 ，那么 。
24.4一元二次方程的应用
25章
26章图形的相似
25.1比例线段
1、
2、如果选用同一度量单位，量得线段 和 的长度分别为 和 ，我们就把 和 的比叫做线段 和 的比，记作 ，或 。
3、
4、在四条线段 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。
25.2平行线分线段成比例
（1)
（2)基本事实
两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。
对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB与DE、BC与EF、AC与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。
（2）
（3）推论1
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
冀教版新九年级数学上册知识点
23章 数据分析
23.1平均数和加权平均数
1、
2、一般地，我们把n个数 的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作 ，读作“x拔”，即
3、
4、已知n个数 ，若 为一组正数，则把
叫做n个数 的加权平均数， 分别叫做这n个数的权重，简称权。
23.2中位数和众数
1、
∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
2、一些特殊角的三角函数值
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
3、
4、在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的比值也会发生相应的变化。
24章一元二次方程
24.1一元二次方程
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式为 其中， 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项。一元二次方程的解也叫做这个方程的根。
24.2解一元二次方程
1、
2、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。