高等代数循环群与交换群

⟨a⟩ = {· · · , am, a−(m−1), · · · , a−1, a0 = e, a, · · · , am−1, am, · · · } 有无限个元. 当 a 有两个幂相等时，必有 n 为正整数，使 ⟨a⟩= {a, a2, · · · , an = e}，其中任意两个幂互不相同. 这时 ⟨a⟩ 的阶为 n， 称为 a 的阶，记作 o(a)，故当 G 为有限群时，o(a) | |G|.
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元素的阶
循环群与交换群是最简单的群. 我们来研究它们的结构与性质. 定理 设 G 是群，a ∈ G. 当 a 的任意两个方幂皆不相等时，
⟨a⟩ = {· · · , am, a−(m−1), · · · , a−1, a0 = e, a, · · · , am−1, am, · · · }
上面讨论循环子群 ⟨a⟩, a ∈ G，G 是乘法群形式. 而 ⟨a⟩ = {ak | k ∈ Z}. 当 G 是加法群形式时，乘法群时 a 的方幂要变成 a 的倍数：
k 为正整数时, ka = a + a + · · · + a; 0a = 0;
k个
k 为负整数时, ka = (−a) + (−a) + · · · + (−a) .
Gi = ⟨ai⟩ = {ai, a2i , · · · , ani −1, ani = eGi }, i = 1, 2,
其中 ai 的各个幂 aki (1 ≤ k ≤ n, i = 1, 2) 是不同的. 作映射 G1 −φ→ G2 ak1 −→ ak2,k = 1, 2, · · · , n.
φ 是一一对应. 又设 ∀k ∈ Z，令 k = ln + r, 0 ≤ r ≤ n − 1，则 aki = ari (i = 1, 2). 于是 φ(ak1) = φ(ar1) = ar2 = ak2. 故 ∀m, l ∈ Z，
是无限个元，是无限群.
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循环群的全部子群
当 ⟨a⟩ 是无限群时，a 的任何两个幂皆不同，因此
⟨as⟩ = {· · · , a−ks, a−(k−1)s, · · · , a−s, a0, as, · · · , a(k−1)s, aks, · · · }
−k 个
这时 ⟨a⟩ = {ka | k ∈ Z}. 当 ⟨a⟩ 为无限群时，其中任何两个倍数互 不相同. 当 |⟨a⟩| = n 时，⟨a⟩ = {a, 2a, · · · , (n − 1)a, na = 0}，其中 任何两个倍数互不相同，n 是最小正整数使 na = 0. 例如， Z = {k · 1 | kZ}=⟨1⟩，2Z = {k · 2 | kZ} = ⟨2⟩，它们都是无限循环加 法群.F2 = {0, 1} = {1, 2 · 1 = 0} = ⟨1⟩，它是二阶循环加法群.
k 为正整数时, ka = a + a + · · · + a; 0a = 0;
k个
k 为负整数时, ka = (−a) + (−a) + · · · + (−a) .
−k 个
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加法形式的循环群
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元素的阶
当 a 有两个幂相等时，设 ak = al, l > k，则 al−k = e, l − k > 0. 取 最小的正整数 n，使 an = e. 对 a 的任一幂 ak，令 k = tn + s, 0 ≤ s < n. 则
ak = atn+s = (an)t · as = as ∈ {a, a2, · · · , an−1, e = an}. 故 ⟨a⟩ = {a, a2, · · · , an−1, e = an}. 对其中任意两个幂 ak 及 al，设 l > k > 0，则 n > l − k > 0. 故 al−k ̸= e，即 al ̸= ak.
是无限个元，是无限群.
当
|⟨a⟩|
=
n
时，对
q
|
n，令
s
=
n q
，作
H = ⟨as⟩ = {as, a2s, · · · , a(q−1)s, aqs = e},
因 |⟨a⟩| = n = sq，由定理 1，{as, a2s, · · · , a(q−1)s, aqs} 中任何两个 幂不相等. 故 H 是一个 q 阶子群.
由于 a 的任何两个幂不相等，故 φ 有定义，且是一一对应. 又
φ(am · an) = φ(am+n = m + n = φ(am) + φ(an),
故 φ 保持运算，因而是同构.
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循环群的结构
定理
循环群 G = ⟨a⟩ 的子群都是循环群. 若 ⟨a⟩ 是无限群，则除 {e} 外，
其它的子群皆为无限群，其形式为 ⟨as⟩，s 为大于零的整数. 若 ⟨a⟩
是 n 阶群，则它的子群的阶为 n 的因子，且对 n 的每个因子 q，有
且仅有一个
q
阶子群，其形式为
⟨a
n q
⟩.
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ak = atn+s = (an)t · as = as ∈ {a, a2, · · · , an−1, e = an}.
故 ⟨a⟩ = {a, a2, · · · , an−1, e = an}. 对其中任意两个幂 ak 及 al，设 l > k > 0，则 n > l − k > 0. 故 al−k ̸= e，即 al ̸= ak. 有 Lagrange 定理（见 §6 定理 1）知 |⟨a⟩| | |G|，即 o(a) | |G|.
定理 无限阶循环群 G 与整数加法群 Z 同构；两个有限循环群 G1, G2 同 构当且仅当 |G1| = |G2|.
证 设 G = ⟨a⟩ = {ak | kZ} 是无限阶群，作映射 G −φ→ Z ak −→ k.
由于 a 的任何两个幂不相等，故 φ 有定义，且是一一对应. 又
φ(am · an) = φ(am+n = m + n = φ(am) + φ(an),
有无限个元. 当 a 有两个幂相等时，必有 n 为正整数，使 ⟨a⟩= {a, a2, · · · , an = e}，其中任意两个幂互不相同. 这时 ⟨a⟩ 的阶为 n， 称为 a 的阶，记作 o(a)，故当 G 为有限群时，o(a) | |G|.
证 前半部的结论是显然的.
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元素的阶
当 a 有两个幂相等时，设 ak = al, l > k，则 al−k = e, l − k > 0. 取 最小的正整数 n，使 an = e. 对 a 的任一幂 ak，令 k = tn + s, 0 ≤ s < n. 则
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元素的阶的性质
推论 设 G 为有限群，则最小的使 an = e 的正整数 n 是 a 的阶，且 ak = e 当且仅当 n | k. 特别地，a|G| = e.
证 由定理 1 得第一个结论，进而当 n | k 时，ak = e. 特别地， a|G| = e. 现设 ak = e，令 k = tn + s, 0 ≤ s < n. 若 s ̸= 0，则
as = ak−tn = ak · (an)−t = e.
而 s < n，这与 n 是使 an = e 成立的最小正整数矛盾. 故 s = 0, n | k.
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加法形式的循环群
上面讨论循环子群 ⟨a⟩, a ∈ G，G 是乘法群形式. 而 ⟨a⟩ = {ak | k ∈ Z}. 当 G 是加法群形式时，乘法群时 a 的方幂要变成 a 的倍数：
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循环群的结构
定理 无限阶循环群 G 与整数加法群 Z 同构；两个有限循环群 G1, G2 同 构当且仅当 |G1| = |G2|.
证 设 G = ⟨a⟩ = {ak | kZ} 是无限阶群，作映射 G −φ→ Z ak −→ k.
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循环群的全部子群
当 ⟨a⟩ 是无限群时，a 的任何两个幂皆不同，因此 ⟨as⟩ = {· · · , a−ks, a−(k−1)s, · · · , a−s, a0, as, · · · , a(k−1)s, aks, · · · }
⟨a
n q
⟩.
证 设 {e} ̸= H 是 ⟨a⟩ 的子群，则有 m ̸= 0,am ∈ H. 又 (am)−1 = a−m ∈ H，故可设 m 为正整数，使 am ∈ H. 取最小的有这种性质的 正整数，记为 s. 我们证任意 am ∈ H，必有 s | m. 写 m = sl + t, 0 ≤ t < s. 若 t > 0，则 am = asl+t = (as)l · at，即有 at = am · (as)−t ∈ H. 但 0 < t < s，与 s 的最小性矛盾. 因此 t = 0, s | m. 于是 am = (as)l，这就证明了 H = ⟨as⟩.
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循环群的全部子群
定理
循环群 G = ⟨a⟩ 的子群都是循环群. 若 ⟨a⟩ 是无限群，则除 {e} 外，
其它的子群皆为无限群，其形式为 ⟨as⟩，s 为大于零的整数. 若 ⟨a⟩
是 n 阶群，则它的子群的阶为 n 的因子，且对 n 的每个因子 q，有
且仅有一个
q
阶子群，其形式为
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元素的阶的性质
推论 设 G 为有限群，则最小的使 an = e 的正整数 n 是 a 的阶，且 ak = e 当且仅当 n | k. 特别地，a|G| = e.
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φ(am1 · al1) = φ(am1 +l) = am2 +l = am2 · al2 = φ(am1 ) · φ(al1).
φ 保持运算，这证明了 G1 与 G2 同构.
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循环群的全部子群
元素的阶
循环群与交换群是最简单的群. 我们来研究它们的结构与性质.
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元素的阶
循环群与交换群是最简单的群. 我们来研究它们的结构与性质. 定理 设 G 是群，a ∈ G. 当 a 的任意两个方幂皆不相等时，
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加法形式的循环群
上面讨论循环子群 ⟨a⟩, a ∈ G，G 是乘法群形式. 而 ⟨a⟩ = {ak | k ∈ Z}. 当 G 是加法群形式时，乘法群时 a 的方幂要变成 a 的倍数：
故 φ 保持运算，因而是同构. 对有限群 G1, G2，若它们同构，显然 |G1| = |G2|.
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循环群的结构
令 Gi = ⟨ai⟩. 现设 |G1| = |G2| = n，则由定理 1 可知