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2019吉林长春中考数学解析

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2019年吉林中考数学试题(解析版)

2019年吉林中考数学试题(解析版)

{来源}2019年吉林中考数学试卷{适用范围:3．九年级}2019年吉林初中毕业生学业水平考试数学试卷考试时间：120分钟满分：120分{题目}1．（2019年吉林）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第1题）A．3 B．2 C．1 D．－1{答案}D{解析}本题考查了数轴上有理数的表示，因为负数在原点的左侧，因此本题选D．{分值}2{章节: [1-1-2-2]数轴}{考点:数轴表示数}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2．（2019年吉林）2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）（第2题）A．B．C．D．{答案}D{解析}本题考查了俯视图，因为该组合图形俯视图由四个正方体连成一排，因此本题选D．{分值}2{章节:[1-29-2]三视图}{考点:简单组合体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}3．（2019年吉林）3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．1a⨯D．1a÷a-C．1a+B．1{答案}B{解析}本题考查了数值大小比较，a-1比a小，因此本题选B．{分值}2{章节:[1-2-2]整式的加减}{考点:实数的大小比较}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年吉林）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°（第4题）{答案}C{解析}本题考查了图形的旋转运动，因为图形可以分解成三份完全相同的图形，360°÷3=120°，因此本题选C ． {分值}2{章节:[1-23-1]图形的旋转} {考点:与旋转有关的角度计算} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}5．（2019年吉林）5．如图，在⊙O 中，AB 所对的圆周角∠ACB =50°，若P 为AB 上一点，∠AOP =55°，则∠POB 的度数为（ ） A ．30° B ．45° C ．55° D ．60°OPC BA （第5题）{答案}B{解析}本题考查了圆内角度计算，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此本题选B ． {分值}2{章节:[1-24-1-3]弧、弦、圆心角} {考点:直径所对的圆周角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}6（2019年吉林）6． 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。

2019年吉林省中考数学试题(Word版,含解析)(统编)

2019年吉林省中考数学试题(Word版,含解析)(统编)

吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共6题，包括六道大题，共26道小题。

全卷满分120分，考试时间为120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时，请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第1题）A．3 B．2 C．1 D．－1答案：D考点：数轴。

解析：蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有－1有可能，选D。

2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）正面A．B．C．D．答案：D考点：三视图。

解析：从上面往下看，能看到一排四个正方形，D符合。

3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．1a÷a+B．1a⨯D．1a-C．1答案：B考点：实数的运算。

解析：1a-表示比a小1的数，所以，B符合。

4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°（第4题）答案：C考点：旋转。

解析：一个圆周360°，图中三个箭头，均分圆，每份为120°，所以，旋转120°后与自身重合。

选C 。

5．如图，在⊙O 中，AB 所对的圆周角∠ACB =50°，若P 为AB 上一点，∠AOP =55°，则∠POB 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°OPCBA （第5题）答案：B考点：同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。

解析：圆周角∠ACB 、圆心角∠AOB 所对的弧都是弧AB ，所以，∠AOB ＝2∠ACB ＝100°，∠POB ＝∠AOB －∠AOP ＝100°－55°＝45°，选B 。

2019年吉林省长春市中考数学试卷以及逐题解析版

2019年吉林省长春市中考数学试卷以及逐题解析版

2019年吉林省长春市中考数学试卷以及逐题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）如图，数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A ．2-B ．2C ．12-D ．122．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为( )A ．727.510⨯B ．90.27510⨯C ．82.7510⨯D ．92.7510⨯3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）不等式20x -+…的解集为( )A ．2x -…B ．2x -…C ．2x …D ．2x …5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为( )A ．911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．911616x y x y -=⎧⎨+=⎩6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C 为( )A ．3sin α米B ．3cos α米C ．3sin α米D ．3cos α米 7．（3分）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是( )A ．B ．C ．D ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3、0)．90ACB ∠=︒，2AC BC =，则函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过点B ，则k 的值为( )A ．92B ．9C ．278D ．274二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）计算 ．10．（3分）分解因式：2ab b += ．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 ．12．（3分）如图，直线//MN PQ ，点A 、B 分别在MN 、PQ 上，33MAB ∠=︒．过线段AB上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ，则CDB ∠的大小为 度．13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD ，8AB =，6AD =．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则GCF ∆的周长为 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线282(0)3y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 ．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：2(21)4(1)a a a +--，其中18a =． 16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．（7分）如图，四边形ABCD 是正方形，以边AB 为直径作O ，点E 在BC 边上，连结AE交O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：ABE BCG∆≅∆；π（2）若55OA=，求BF的长．（结果保留)∠=︒，3AEB19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）:3 2.50.6 1.5122 3.3 2.5 1.82.5 2.23.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为，众数的值为．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．20．（7分）图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个ABM∆，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD 为边画一个CDN ∆，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ，使其面积为9，且90EFG ∠=︒．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车的行驶时间x （时)之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为 千米/时，a = ，b = ．（2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，AD ，CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD == 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF 的长为 ．（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．23．（10分）如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，20AC=，15BC=．点P从点A出发，沿AC 向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN AB⊥于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN．设PQMN与ABC∆重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当PQMN为矩形时，求t的值；（3）当PQMN与ABC∆重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时，直接写出t的值．24．（12分）已知函数22,(),(1,()222x nx n x ny nn nx x x n⎧-++⎪=⎨-++<⎪⎩…为常数）（1）当5n=，①点(4,)P b在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为(2,2)B，当此函数的图象与线段AB只A、(4,2)有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．2019年吉林省长春市中考数学试卷答案与解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）如图，数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A ．2-B ．2C ．12-D ．12【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：数轴上表示2-的点A 到原点的距离是2，故选：B ．【点评】本题考查了数轴，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为( )A ．727.510⨯B ．90.27510⨯C ．82.7510⨯D ．92.7510⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：82.7510⨯．故选：C ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是( )A ．B ．C ．D ．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．故选：A ．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．（3分）不等式20x -+…的解集为( )A ．2x -…B ．2x -…C ．2x …D ．2x …【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x 的取值．【解答】解：移项得：2x --…系数化为1得：2x …．故选：D ．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为( )A ．911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．911616x y x y -=⎧⎨+=⎩【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．【解答】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x y x y -=⎧⎨+=⎩． 故选：D ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C 为( )A ．3sin α米B ．3cos α米C ．3sin α米D ．3cos α米 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin 3BC BC AB α==，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：sin 3BC BC AB α==， 故3sin ()BC m α=．故选：A ． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．7．（3分）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使2ADC B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是( )A ．B ．C ．D ．【分析】由2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【解答】解：2ADC B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，B BCD ∴∠=∠，DB DC ∴=，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选：B ．【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握三角形外角的性质、中垂线的性质及其尺规作图．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3、0)．90ACB ∠=︒，2AC BC =，则函数(0,0)ky k x x=>>的图象经过点B ，则k 的值为()A ．92B ．9C ．278D ．274【分析】根据A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3、0)可知3OA OC ==，进而可求出AC ，由2AC BC =，又可求BC ，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B 的坐标，再求出k 的值．【解答】解：过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3、0)，3OA OC ∴==，在Rt AOC ∆中，AC 又2AC BC =，BC ∴， 又90ACB ∠=︒，45OAC OCA BCD CBD ∴∠=∠=︒=∠=∠，32CD BD ∴===， 39322OD ∴=+=9(2B ∴，3)2代入k y x =得：274k =， 故选：D ．【点评】直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）计算 【分析】直接合并同类二次根式即可求解．【解答】解：原式=故答案为：【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握同类二次根式的合并． 10．（3分）分解因式：2ab b += (2)b a + ． 【分析】直接提取公因式b ，进而分解因式即可． 【解答】解：2(2)ab b b a +=+． 故答案为：(2)b a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 5 ． 【分析】根据根的判别式等于24b ac -，代入求值即可． 【解答】解：1a =，3b =-，1c =，∴△224(3)4115b ac =-=--⨯⨯=，故答案为：5．【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△24b ac =-．12．（3分）如图，直线//MN PQ ，点A 、B 分别在MN 、PQ 上，33MAB ∠=︒．过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ，则CDB ∠的大小为 57 度．【分析】直接利用平行线的性质得出ABD ∠的度数，再结合三角形内角和定理得出答案． 【解答】解：直线//MN PQ ， 33MAB ABD ∴∠=∠=︒， CD AB ⊥， 90BCD ∴∠=︒，903357CDB ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：57．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD ，8AB =，6AD =．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC相交于点G ，则GCF ∆的周长为 4+【分析】根据折叠的性质得到45DAF BAF ∠=∠=︒，根据矩形的性质得到2FC ED ==，根据勾股定理求出GF ，根据周长公式计算即可．【解答】解：由折叠的性质可知，45DAF BAF ∠=∠=︒， 6AE AD ∴==，2EB AB AE ∴=-=，由题意得，四边形EFCB 为矩形， 2FC ED ∴==， //AB FC ， 45GFC A ∴∠=∠=︒， 2GC FC ∴==，由勾股定理得，GF ==则GCF ∆的周长4GC FC GF =++=+故答案为：4+．【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线282(0)3y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 2 ．【分析】先根据抛物线解析式求出点A 坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M 坐标，利用点M 为线段AB 中点，得出点B 坐标；用含a 的式子表示出点P 坐标，写出直线OP 的解析式，再将点B 坐标代入即可求解出a 的值．【解答】解：抛物线282(0)3y ax ax a =-+>与y 轴交于点A ，8(0,)3A ∴，抛物线的对称轴为1x =∴顶点P 坐标为8(1,)3a -，点M 坐标为8(2,)3点M 为线段AB 的中点，∴点B 坐标为8(4,)3设直线OP 解析式为(y kx k =为常数，且0)k ≠ 将点8(1,)3P a -代入得83a k -=8()3y a x ∴=-将点8(4,)3B 代入得88()433a =-⨯解得2a = 故答案为：2．【点评】本题综合考查了如何求抛物线与y 轴的交点坐标，如何求抛物线的对称轴，以及利用对称性求抛物线上点的坐标，同时还考查了正比例函数解析式的求法，难度中等．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：2(21)4(1)a a a +--，其中18a =．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案． 【解答】解：原式2244144a a a a =++-+ 81a =+，当18a =时，原式812a =+=．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果． 【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，由题意列出方程：9000900051.2x x-=，解方程即可．【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x 套，由题意得：9000900051.2x x-=，解得：300x=，经检验，300x=是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．【点评】本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键．18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作O，点E在BC边上，连结AE交O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：ABE BCG∆≅∆；（2）若55AEB∠=︒，3OA=，求BF的长．（结果保留)π【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为O的直径，得到90ABE BCG AFB∠=∠=∠=︒，根据余角的性质得到EBF BAF∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接OF，根据三角形的内角和得到905535BAE∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理得到270BOF BAE∠=∠=︒，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB为O的直径，90ABE BCG AFB∴∠=∠=∠=︒，90BAF ABF∴∠+∠=︒，90ABF EBF∠+∠=︒，EBF BAF∴∠=∠，在ABE∆与BCG∆中，EBF BAF AB BCABE BCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE BCG ASA∴∆≅∆；（2）解：连接OF，90ABE AFB∠=∠=︒，55AEB∠=︒，905535BAE∴∠=︒-︒=︒，270BOF BAE∴∠=∠=︒，3OA=，∴BF的长70371806ππ⨯==．【点评】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）:3 2.50.6 1.5122 3.3 2.5 1.82.5 2.23.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为 2.5，众数的值为．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；（2）由平均数乘以18即可；（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m的值为2.5 2.52.52+=，众数为2.5；故答案为：2.5，2.5；（2）2.41843.2⨯=（小时），答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）1320013020⨯=（人)，答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．【点评】此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数（平均数、中位数、众数）和理解样本和总体的关系是关键．20．（7分）图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个ABM∆，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个CDN∆，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且90EFG∠=︒．【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，ABM∆即为所求；（2）如图②所示，CDN∆即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；【点评】此题主要考查了作图-应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y （千米）与甲车的行驶时间x （时)之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为 75 千米/时，a = ，b = ． （2）求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值； （2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可． 【解答】解：（1）乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时， 27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=．故答案为：75；3.6；4.5；（2）60 3.6216⨯=（千米），当2 3.6x <…时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x ∴=-<…；当3.6 4.6x <…时，设60y x =， ∴135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -<⎧=⎨<⎩……；（3）甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：20(27070)606-÷=（小时）， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=（千米）． 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．【点评】此题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要明确：分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．此题还考查了行程问题，要熟练掌握速度、时间和路程的关系：速度⨯时间=路程． 22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，AD ，CE 相交于点G ，求证：13GE GD CE AD == 证明：连结ED ．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、BD 交于点F ．（1）如图②，若ABCD 为正方形，且6AB =，则OF（2）如图③，连结DE 交AC 于点G ，若四边形OFEG 的面积为12，则ABCD 的面积为 ．【分析】教材呈现：如图①，连结ED ．根据三角形中位线定理可得//DE AC ，12DE AC =，那么DEG ACG ∆∆∽，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==；结论应用：（1）如图②．先证明BEF DAF ∆∆∽，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出BD =即可求出OF （2）如图③，连接OE ．由（1）易证2BFOF=．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF ∆与OEF ∆的面积比2BFOF==，同理，CEG ∆与OEG ∆的面积比2=，那么CEG ∆的面积BEF +∆的面积2(OEG =∆的面积OEF +∆的面积）1212=⨯=，所以BOC ∆的面积32=，进而求出ABCD 的面积3462=⨯=．【解答】教材呈现： 证明：如图①，连结ED ．在ABC ∆中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， //DE AC ∴，12DE AC =， DEG ACG ∴∆∆∽，∴2CG AG ACGE GD DE===， ∴3CG GE AG GDGE GD ++==， ∴13GE GD CE AD ==；结论应用： （1）解：如图②．四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ，//AD BC ∴，1122BE BC AD ==，12BO BD =， BEF DAF ∴∆∆∽，∴12BF BE DF AD ==， 12BF DF ∴=， 13BF BD ∴=，12BO BD =， 111236OF OB BF BD BD BD ∴=-=-=，正方形ABCD 中，6AB =，BD ∴=，OF ∴=（2）解：如图③，连接OE ．由（1）知，13BF BD =，16OF BD =，∴2BFOF=． BEF ∆与OEF ∆的高相同， BEF ∴∆与OEF ∆的面积比2BFOF==， 同理，CEG ∆与OEG ∆的面积比2=，CEG ∴∆的面积BEF +∆的面积2(OEG =∆的面积OEF +∆的面积）1212=⨯=， BOC ∴∆的面积32=， ABCD ∴的面积3462=⨯=． 故答案为6．【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的重心，平行四边形、正方形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．熟练掌握各定理是解题的关键．23．（10分）如图，在Rt ABC∠=︒，20BC=．点P从点A出发，沿ACAC=，15C∆中，90向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN AB⊥于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN．设PQMN与ABC∆重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为25；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当PQMN为矩形时，求t的值；（3）当PQMN与ABC∆重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时，直接写出t的值．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．（2）当P Q M N为矩形时，由PN ABPQ AB，根据平行线分线段成比例定理可得⊥可知//CP CQ=，即可计算出t的值．CA BC（3）当PQMN与ABC∆重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．PQMN在三角形内部时，Ⅱ．PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P且平行于BC的直线经过PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =．25AB ∴==．∴3sin 5CAB ∠=， 由题可知5AP t =， 3sin 535PN AP CAB tt ∴=∠==． 故答案为：①25；②3t ．（2）当PQMN 为矩形时，90NPQ ∠=︒， PN AB ⊥，//PQ AB ∴，∴CP CQCA BC=， 由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-，∴20552015t t-=， 解得127t =， 即当PQMN 为矩形时127t =．（3）当PQMN ABC ∆重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．PQMN 在三角形内部时．延长QM 交AB 于G 点， 由（1）题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =，5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==． cos 4AN AP A t ∴==，cos 93BG BQ B t ==-，sin 124QG BQ B t ==-，．PQMN 在三角形内部时．有0QM QG <…，03124t t ∴<-…，1207t ∴<…． 254(93)16NG t t t ∴=---=-．∴当1207t <…时，PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为PQMN ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t ==-=-+．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0QG QM <<，PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为梯形PQMG 时， 即：01243t t <-<，解得：1237t <…， PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为梯形PQMG 的面积2111()(16)(3124)1496222S N G P N Q G t t t t t =+=-+-=-+． 综上所述：当1207t <…时，2348S t t =-+．当1237t <…，2114962S t t =-+．（4）当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，//PR BC ，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH AB ⊥， PKN HKR B ∴∠=∠=∠， 39cot 344tNK PN PKN t=∠==， NR MR =，////HR PN QM ，1(16)2NH GH t ∴==-，12HR GM =，3(124GM QM QG t t ∴=-=--)712t =-．11(712)22HR GM t ==-．133cot (712)(712)248KH HR HKR t t ∴=∠=-⨯=-，NK KH NH +=，∴931(712)(16)482t t t +-=-， 解得：10043t =， Ⅱ．如解题图（4）2，//PR BC ，PR 与AB 交于K 点，R 为MQ 中点，过Q 点作QH PR ⊥， HPN A QRH ∴∠=∠=∠，四边形PCQH 为矩形， 339sin 2510t tHQ QR QRH ∴=∠== 205PC t =-， 920510tt ∴-=，解得20059t =．综上所述：当10043t =或20059时，点P 且平行于BC 的直线经过PQMN 一边中点时，【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．24．（12分）已知函数22,(),(1,()222x nx n x ny nn nx x x n⎧-++⎪=⎨-++<⎪⎩…为常数）（1）当5n =，①点(4,)P b 在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B ，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．【分析】（1）①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++；②当5x …时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458； （2）将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n <…时，图象与线段AB 只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++和21222n n y x x =-++中，得到2n =，83n =，所以823n <…时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当x n =时，42n >，得到8n >；当2n x =时，1482n+…，得到312n …，当x n =时，22y n n n n =-++=，4n <． 【解答】解：（1）当5n =时， 2255(5)155(5)222x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-++<⎪⎩…， ①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++，92b ∴=； ②当5x …时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458； （2）将点(4,2)代入2y x nx n =-++中， 185n ∴=， ∴1845n <…时，图象与线段AB 只有一个交点；。

长春市2019年中考数学试卷及答案(Word解析版)

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吉林省长春市2019年中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（2019•长春）﹣的相反数是（）B的相反数是，B24．（3分）（2019•长春）不等式组的解集为（），5．（3分）（2019•长春）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）6．（3分）（2019•长春）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（）=4是7．（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在第一象限，若点A 关于x轴的对称点B在直线y=﹣x+1上，则m的值为（）8．（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B 的半径的2倍，则点A的坐标为（），，得：二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）（2019•长春）计算：×=．进行运算即可．．故答案为：题考查了二次根式的乘除法运算，属于基础题，注意掌握10．（3分）（2019•长春）为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为（80m+60n）元．11．（3分）（2019•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．的面积为×12．（3分）（2019•长春）如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC 的大小为24度．13．（3分）（2019•长春）如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为．==，故答案为：．14．（3分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为a+4（用含a的式子表示）．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（2019•长春）先化简，再求值：•﹣，其中x=10．•﹣﹣，16．（6分）（2019•长春）在一个不透明的袋子里装有3个乒乓球，分别标有数字1，2，3，这些乒乓球除所标数字不同外其余均相同．先从袋子里随机摸出1个乒乓球，记下标号后放回，再从袋子里随机摸出1个乒乓球记下标号，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率．∴两次摸出的乒乓球标号乘积是偶数的概率为：17．（6分）（2019•长春）某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量．﹣=418．（7分）（2019•长春）如图，为测量某建筑物的高度AB，在离该建筑物底部24米的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为39°，且高CD为1.5米，求建筑物的高度AB．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）ADE=19．（7分）（2019•长春）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．OE=BC OEBCBC20．（7分）（2019•长春）某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：（A）对各班班长进行调查；（B）对某班的全体学生进行调查；（C）从全校每班随机抽取5名学生进行调查．在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图．（1）为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案C（填A、B或C）；（2）被调查的学生每天做作业所用时间的众数为 1.5小时；（3）根据以上统计结果，估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数．×21．（8分）（2019•长春）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y（吨）与清雪时间x（时）之间的函数图象如图所示．（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨；（2）求此次任务的清雪总量m；（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．=9022．（9分）（2019•长春）探究：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，AE，求证：△ACE≌△CBD．应用：如图②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数．，23．（10分）（2019•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣1），且对称轴为在线x=2，点P、Q均在抛物线上，点P位于对称轴右侧，点Q位于对称轴左侧，PA垂直对称轴于点A，QB垂直对称轴于点B，且QB=PA+1，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）求点Q的坐标（用含m的式子表示）；（3）请探究PA+QB=AB是否成立，并说明理由；（4）抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）经过Q、B、P三点，若其对称轴把四边形PAQB分成面积为1：5的两部分，直接写出此时m的值．．×××（24．（12分）（2019•长春）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．，从而有t=t=时，点．t=AD+DO=3+．t=＜＜ADB===tt=，GN=（﹣t﹣（（t时，如图==．，PQ=．QM=PQ=QM=ABD=BM=[+]（t t+时，＜t时，S=t+ BE=CE=．DH=CE= t=．DO=PN=（PQ=（（（t=．，SO==SP=3++t=，SO=，PN=﹣，EC=PR=，PQ=PR+QR=t=．的值为、、。

2019长春市中考数学试卷-2019带答案解析教学提纲

2019长春市中考数学试卷-2019带答案解析教学提纲

2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A．-2 B．2 C．-D．2．2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×1093．右图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）4．不等式-x+2≥0的解集为（）A．x≥-2 B．x≤-2 C．x≥2D．x≤25．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．6．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米7．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别为（0，3）、（3，0）．∠ACB=90°，AC=2BC，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9 C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：3-=10．分解因式：ab+2b=11．一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为．12．如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度．13．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD 落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线O P交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：（2a+1）2-4a（a-1），其中a=．16．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”、“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯．为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．如图，四边形ABCD是正方形．以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG．（2）若∠AEB=55°，OA=3，求的长（结果保留π）19．网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习时间的调查，数据如下（单位：时）：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为，众数n的值为（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间（3）已知该校七年级有200名学生，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．20．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°．21．已知A、B两地之间有一条长270千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a=，b=（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内空．例2如图23.4.4，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD，CE相交于点G．求证：证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完事的证明过程．结论应用：在中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若为正方形，且AB=6，则OF的长为（2）如图③，连结DE交AC于点G．若四边形OFEG的面积为，则的面积为23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15．点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P 到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN．设PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S．点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为②PN的长用含t的代数式表示为（2）当PQMN为矩形时，求t的值．（3）当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）当过点P且平行于BC的直线经PQMN一边中点时，直接写出t的值．24．已知函数y=（1）当n=5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值．②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围．2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A．-2 B．2 C．-D．解：数轴上点A表示数为-2，-2到原点距离为2故选B2．2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×109解：科学记数法为：把一个数表示成a与10的n次幂的相乘的形式（1≤a＜10，n为整数），故275000000用科学记数法表示为2.75×108故选C3．右图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）解：如图所示，主视观看第二列有两个正方形，第一列右上有一个正方形，故观察为．故选A．4．不等式-x+2≥0的解集为（）A．x≥-2 B．x≤-2 C．x≥2D．x≤2解：解不等式-x+2≥0，移项可得-x≥-2，再系数化1，两边同时除以-1（注意改变不等号方向），得x≤2，故选D．5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．解：根据题意，人数为x，鸡的钱数为y，当每人出9钱时，多出11钱，则可列方程9x-11=y，当每人出6钱时，差16钱，则可列方程6x+16=y，则解x，y可列方程组为．故选D6．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米解：如图所示：α对应角为∠BAC，则sinα=，已知AB=3米，则BC=sinα，AB=3sinα米故选A7．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）解：由题意作图∠ADC=2∠BA、作图痕迹，为点D在线段AC垂直平分线上，能使∠A=∠ACD，不能使∠ADC=2∠B，故舍掉；B、作图痕迹为点D在线段BC垂直平分线上，能使∠B=∠DCB，如图∠B+∠DCB=∠ACD，∴∠ADC=2∠BC、作图痕迹为点D为AB中点，故不能使∠ADC=2∠B（舍）D选项（舍）故选B如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别为（0，3）、（3，0）．∠ACB=90°，AC=2BC，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9 C．D．解：如图所示，AC坐标分别为（0，3），（3，0）故∠AOC为等腰直角三角形∠ACO=45°，∴∠ACB=45°，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D，∴∠BDC=90°，∠CBD=45°，∴∠BDC为等腰直角三角形，∴∠AOC=∠BDC，∠ACO=∠BCD∴△AOC∽△BDC∴=又∵AC=2BC，∴AO=2BD∴BD=∴CO=∴D坐标为（，0），B坐标为（，）∵点B在函数y=（k＞0，x＞0）图象上将点B坐标（，）代入y=中，得k=，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：3-=解：根据二次根式加减法则故答案为：2．10．分解因式：ab+2b=解：利用乘法结合律，提取出b，得b（a+2）故答案为：b（a+2）11．一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为．解：∵a=1，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5，故答案为：5．12．如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度．解：∵MN∥PQ∴∠ABD=∠MAB=33°∵CD⊥AB∴∠DCB=90°∴∠ABD+∠CDB=180°-90°=90°∴∠CDB=90°-33°=57°故答案为：57°13．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD 落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为解：由图可知，FC=EB=AB-AD=8-6=2，∠CFG=45°∴GC=FC=2，∴FG=FC=2∴△GCF周长为2+2+2=4+2；故答案为：4+214．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A 作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线O P交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为解：将x=0代入原式得y=，∴A（0，）将y=代入得ax2-2ax+=，ax2-2ax=0，x=2．∴M（2，）∵M为线段AB中点，∴B（4，）代入y=kx中求得OB解析式为y=x，将x=1代入得P（1，）将P代入抛物线解析式中得a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：（2a+1）2-4a（a-1），其中a=．解：原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1将a=代入原式=×8+1=216．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”、“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．解：树状图如下：两次摸出相同小球的情况共有5种，故答案为17．为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯．为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．解：设原计划每天加工这种彩灯x套，则实际每天加工这种彩灯1.2x套+5=51800=6xx=300经检验x=300是方程的根．答：原计划每天加工这种彩灯300套．18．如图，四边形ABCD是正方形．以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG．（2）若∠AEB=55°，OA=3，求的长（结果保留π）（1）证明：∵F在圆上，∴AF⊥BF，∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90°∴∠BAF+=∠CBF，∵∠FBE+∠FEB=90°，∠FBE+∠BGC=90°∴∠FEB=∠BGC，在△ABE和△BGC中∴△ABE≌△BCE（ASA）（2）解：连接OF，则OF=OB，由（1）可得∠ABF=∠AEB=∠BGC=55°∴∠BFO=55°，∠BOF=70°∴=×2π×3=π19．网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习时间的调查，数据如下（单位：时）：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为，众数n的值为（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间（3）已知该校七年级有200名学生，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．解：将调查数据由小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3,3.3，3.5，4．（1）则中位数m为第10与,11两个数的平均数为=2.5，众数n为出现最多的数为2.5．（2）由题中表格可知平均数为2.4，即该校七年级学生平均每人一周网上学习时间为2.4小时，则平均每人一学期学生时间为2.4×18=43.2时．（3）由调查可知，每周上网学习超过2小时的学生占=，则200名学生中每周上网超过2小时的学生人数估计为200×=130人．故答案为：（1）2.5；2.5．20．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°．解：（1）因小正方形边长为1，已知AB=3，则要使△ABM面积为6，只要以AB为底，高为4即可，如图，M在直线NP上任意一点均可．（2）CD竖向距离为3，可看为以水平方向为底，竖直方向为高的三角形一边，高为3，当底为4时，面积就为6，如图（答案不唯一）（3）以线段EF为边画一个四边形，使其面积为9，我们已知最规则面积为9的四边形是边长为3的正方形，但E、F不是网格上的边，我们可用割补法来求出我们想要图形，如图所示，S△FGI=S△EJF，则S四边形EFGH=S四边形JFIH=921．已知A、B两地之间有一条长270千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a=，b=（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．解：（1）共270千米，2小时两车相遇，即两车共走270千米，V总=270÷2=135（km/h）∵V甲=60km/h，∴V2=V总-V甲=135-60=75km/ha点为乙车到A地时的时间，即t乙==270÷75=3.6b点为甲车到B地的时间，即t甲==270÷60=4.5（2）设函数关系式为y=kx+b，当2＜x≤3.6时，斜率k为两车速度和135∴y=135x+b，又有x=2时，y=0，∴b=-270，∴y=135x-270当3.6＜x≤4.5时，斜率k为甲车速度为60，∴y=60x+b，又有x=4.5时，y=270，∴b=0，∴y=60x，综上所述，（3）甲距B地70千米处时，t==，当x=时，y=135×-270=180km∴甲乙两车之间路程为180千米．故答案为：（1）75；3.6；4.522．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内空．例2如图23.4.4，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD，CE相交于点G．求证：证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完事的证明过程．结论应用：在中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若为正方形，且AB=6，则OF的长为（2）如图③，连结DE交AC于点G．若四边形OFEG的面积为，则的面积为解：教材呈现：连接ED∵E、D分别为AB、BC中点∴E、D为三角形AB的中位线∴ED∥AC，且ED=AC，而由于ED∥AC∴∠DEC=∠ECA又∠EGD=∠AGC∴△EGD∽△CGA∴又EC=EG+GC，AD=AG+AD∴结论应用：（1）在△ABC中，O为AC中点，E为BC中点，故在△ABC中，F点为中线的交点，即，而AB=AC=6，故AC=6，BO=3，OF=（2）连接OE，OE为△OBC中线，故S△OBE=S△OEC，在△ABC中，可得OF=OB，而在△OEB中，由于△OEB与△OEF等高，故S△OFE：S△OEB=OF：OB=1：3同理S△OGE：S△OEC=1：3，故S△FEG：S△OBC=1：3，故S△FEG：S ABCD=1：12故S ABCD=×12=6故答案为：（1）；（2）623．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15．点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P 到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN．设PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S．点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为②PN的长用含t的代数式表示为（2）当PQMN为矩形时，求t的值．（3）当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）当过点P且平行于BC的直线经PQMN一边中点时，直接写出t的值．解：（1）①由于△ABC为直角三角形，由勾股定理得AB==25②由于PN⊥AB，故∠PNA=90°=∠C，即∠A=∠A，故△ANP∽△ACB故∴PN=3t（2）由于PNMQ为矩形，PN⊥NM，故M点落在AB上，而PN=4t，△QBM∽△ABC，故QM=（15-5t）QM=PN得t=（3）在运动过程中，起始为PNQM的平行四边形是阴影部分（图一）后，M总落在AB上，形成矩形，后M总落在三角形处，阴影部分为梯形（图二），后Q达到B点继续移动，阴影部分为三角形（图三），而题意及（2）得分总为t=和t=3，求前两种①当0＜t＜时，以PN为底，延长QM与O，NO为高，由PN=3t，PA=5t，∴AN=4t，而△QOB∽△ACB，故QB=（15-5t），OB=（15-5t）S=PN·NO=PN×（AB-AN-OB）=3t×[25-4t-（15-5t）]=48t-3t2当＜t＜3时，设QM与AB交于O，QO=（15-5t）S=（PN+QO）×NO=[×5t+（15-5t）]×[25-4t-（15-5t）]=（16-t）（12-t）=-14t+96（4）作PH∥CB，则H可能在NM上或QM上当H在NM上，则NH=HM，过N作NR∥CB，MS∥BC设PS=a，设SM与PQ交点为O，易得O为RQ中点，由平行线等分线段定理得，RP=RS=SC=a而NR∥CB，∴NR⊥AC，易得△RPN∽△NPN；△ARN∽△ANP，∴AR=a，而解得t=＜4成立当H在QM上，则QH=HM，设RS=a，由上一种情况，我们得到RS=SP=PC=a，在△PRM 中，RN=a，故AP= a∴∴t=＜4成立故答案为：（1）①25；②3t．24．已知函数y=（1）当n=5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值．②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围．解：（1）当n=5时，y=①由于4＜5，故b=（-42+5×4+5）=②y=当x≥5时，x=5最大y=5当x＜5时，x=最大y=＞5，故最大值为（2）①首先以A点为边界，设当x≥n时的图形如α当x＜n时为β如图一：此时函数图象与线段AB恰好有一个交点，交点在α上，随着n的不断增大，图象逐渐右移直至β与B相交．如图二，将（2，2）分别代入α，β得n=2，n=．图一情况下，恰有一个交点，所以n可以取到2，而图二情况下，恰有两个交点，故n不能取到综上2≤n＜②n从图二的情况开始继续不断增大的一段时间内函数图象与线段一直有两个交点，直到如图三，此时β与线段有一个交点，而α刚要离开线段．在此之后直至运动至图四情况．β刚要离开线段AB在此期间之内，函数图象与线段AB一直只有一个交点，图三中将（4，2）代入α得n=，图四中将（4，2）代入β得n=4，注意图三时恰有两个交点，因此n＞，而在图四情况下，恰有一个交点，故n≤4综上＜n≤4．综上所述n的取值范围是2≤n＜或＜n≤4．（3）当有4个点到x轴的距离等于4，即函数图象与直线y=4和直线y=-4恰有四个交点．①设x＜n时图象为β，x≥n时图象为α．当n很小时函数图象与y=±4一直有4个交点，不断增大n，直到如图五情况，此时β刚要经过y=-4，之后的一段时间内，函数与y=±4有5个交点，此时n2+·n+=-4，n=-8故n≤-8时恒成立．②在图五之后的一段时间内，函数与y=±4共有5个交点．直到运动到图六情况α的顶点落在y=4上，即+n=4，∴n=-2-2（舍n＞0解）。

2019年吉林省中考数学试题(含解析)

2019年吉林省中考数学试题(含解析)

2019吉林省数学中考解析一、单项选择题1.（2019吉林省，1，2分）如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) -1【答案】D【解析】从图中可以看出蝴蝶在原点的左侧，所以可能是-1，故选择D【知识点】数轴2. （2019吉林省，2，2分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立方体，它的俯视图为【答案】D【解析】从上面看是一行四个小正方形，故选D【知识点】三视图3. （2019吉林省，3，2分）若a 为实数，则下列格式的运算结果比a 小的是(A) a+1 (B) a-1 (C) 1a ⨯ (D) 1a ÷【答案】B【解析】选项A 比a 大1；选项C ，选项D 和a 相等，只有选项B 比a 小，故选B【知识点】实数的大小4. （2019吉林省，4，2分）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为(A) 30° (B) 90° (C) 120° (D) 180°【答案】C【解析】这个交通标志图案是由3个基本图案组成的，所以旋转角至少为120°，故选C【知识点】图形的旋转5. （2019吉林省，5，2分）如图，在⊙O 中，弧AB 所对的圆周角∠ACB=50°，若P 为弧AB 上一点，∠AOP=55°，则∠POB 的度数为(A) 30° (B) 45° (C) 55° (D) 60°【答案】B【解析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，∠AOB=2∠ACB=110°，因为∠AOP=55°，所以∠POB 的度数为45°，故选B【知识点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系6. （2019吉林省，6，2分）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好的观赏风光，如图，A 、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是(A) 两点之间，线段最短 (B) 平行于同一条直线的两条直线平行(C) 垂线段最短 (D) 两点确定一条直线【答案】A【解析】这里主要体现了长度问题，所以蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，选择A【知识点】生活中的数学应用二、填空题7. （2019吉林省，7，3分）分解因式：a 2-1=【答案】(a+1)(a-1)【解析】平方差公式：两数和与这两数的差的积【知识点】公式法因式分解8. （2019吉林省，8，3分）不等式3x-2＞1的解集是【答案】x ＞1【解析】移项，得3x ＞2+1，即3x ＞3，∴x ＞1【知识点】解不等式9. （2019吉林省，9，3分）计算yx x 22y = 【答案】x21 【解析】单项式乘以单项式，分子分母分别相乘，能约分的要约分【知识点】整式的乘法，约分10. （2019吉林省，10，3分）若关于x 的一元二次方程（x+3)2=c 有实数根，则c 的值可以为 （写出一个即可）【答案】答案不唯一，例如5，（c ≥0时方程都有实数根）【解析】c ≥0时方程都有实数根【知识点】一元二次方程根的情况11. （2019吉林省，11，3分）如图，E 为△ABC 边CA 延长线上一点，过点E 作ED ∥BC ，若 ∠BAC=70°，∠CED=50°，则∠B=【答案】60°【解析】因为ED ∥BC ，所以∠CED=∠C=50°，因为∠BAC=70°，三角形内角和为80°，所以∠B=60°【知识点】平行线的性质，三角形内角和定理12. （2019吉林省，12，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB=10，BD ⊥AD ，若将△BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为【答案】20【解析】∵BD ⊥AD ，E 为AB 的中点，∴BE=DE=AB 21=5，∵折叠，∴BC=BE=5,CD=DE=5,∴四边形BCDE 的周长为5+5+5+5=20【知识点】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，折叠的性质13. （2019吉林省，13，3分）在某一时刻，侧的一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为 m【答案】54 【解析】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系可得2121影影物物=，∴9038.12=物 ∴可求得这栋楼的高度为54米.【知识点】由同一时刻阳光下的影子与物高之间的关系，图形的相似的实际应用14. （2019吉林省，14，3分）如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，D 、E 分别是半径OA,OB 上的点，以OD,OE 为邻边的 ODCE 的顶点C 在弧AB 上，若OD=8，OE=6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π)【答案】25π-48【解析】如图，连接DE,OC∵ ODCE ，∠AOB=90°，∴ ODCE 是矩形，∴DE=OC ，Tt △DOE 中，OD=8，OE=6，∴DE=10=OC ，∴S 阴=S 扇-S 矩=86-10412⨯⨯π=25π-48 【知识点】矩形的性质，扇形的面积三、解答题15.（2019吉林省，15，5分）先化简，再求值：（a-1)2+a(a+2),其中a=2【思路分析】将原代数式化简求值即可【解题过程】解：原式=a 2-2a+1+a 2+2a=2a 2+1,当a=2时， 原式=51221222=+⨯=+⨯）（ 【知识点】整式的运算16.（2019吉林省，16，5分）甲口袋中装有红色、绿色两把扇子，这两把扇子出颜色外无其他差别；乙口袋中装有红色、绿色两条手绢，这两条手绢除颜色外无其他差别，从甲口袋中随机取出一把扇子，从乙口袋中随机取出一条手绢，用树状图或列表的方法，求取出的扇子和手绢都是红色的概率.【思路分析】根据题意画出树状图或者列出表格，即可求出概率【解题过程】解：如图，共有4种等可能结果，其中取出的擅自和手绢都是红色的有1种可能，∴P （取出的擅自和手绢都是红色）=41【知识点】概率17. （2019吉林省，17，5分）已知y 是x 的反比例函数，并且当x=2时，y=6,（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当x=4时，求y 的值【思路分析】（1）将x=2时，y=6代入解析式即可求出待定系数，即可求出解析式；（2）当x=4时，代入（1）中的解析式，可求出y 的值【解题过程】解：（1）∵y 是x 的反比例函数，∴设y=xk (k ≠0）， ∵当x=2时，y=6,∴k=xy=12,∴y=x12 (2)当x=4时，代入y=x12得， y=3412= 【知识点】反比例函数18. （2019吉林省，18，5分）如图，在 ABCD 中，点E 在边AD 上，以C 为圆心，AE 长为半径画弧，交边BC 于点F ，连接BE ，DF求证：△ABE ≌△CDF【思路分析】由作图可知，AE=CF ，有平行四边形的性质可知对边相等，对角相等，由SAS 可以证明两个三角形全等.【解题过程】解：由题意得AE=FC∵ ABCD ，∴AB=DC ，∠A=∠C在△ABE 和△CDF 中，AE=CF,∠A=∠C,AB=DC ，∴△ABE ≌△CDF【知识点】平行四边形的性质，三角形的全等四、解答题19.（2019吉林省，19，7分）图①，图②均为44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，在图①中已画出线段AB ，在图②中已画出线段CD ，其中A,B,C,D 均为格点，按下列要求画图：（1）在图①中，以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E,F 为格点；（2）在图②中，以CD 为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH ，且G,H 为格点，∠CGD=∠CHD=90°【思路分析】(1)AB 为对角线长为4，则另一条对角线在AB 的中垂线上，如图所示；（2）根据勾股定理，画出格点三角形，如图所示【解题过程】【知识点】菱形，勾股定理20.（2019吉林省，20，7分）问题解决糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖而成，现将一些山楂分别串在若干跟竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签，这些竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳现有a根竹签，b个山楂，若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是（填写序号）（1）bc+d=a; (2)ac+d=b; (3)ac-d=b【思路分析】（1）根据题意表示出山楂的个数，列出二元一次方程组即可解决（2）表示出山楂的总个数，即竹签串的山楂与剩余的山楂的和就是总山楂的个数【解题过程】问题解决解：设竹签x根，山楂y个，根据题意得答：竹签有20根，山楂104个反思归纳（2）【知识点】二元一次方程组的应用，代数式21.（2019吉林省，21，7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示，已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°，求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）.（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【思路分析】如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，解Rt ▲ACM ，可以求出AM 的长，从而可以求出BM 的长，由于CE=BM 问题可以解决.【解题过程】解：如图，过点C 作CM ⊥BD 于点M ，Rt ▲ACM 中AC=30m,∠CAD=43°，cos ∠CAD=30AM AC AM = ∴AM=30cos ∠CAD=73.030⨯=21.9，所以CE=AM+AB=21.9+170=191.9≈192cm答：花洒顶端C 到地面的距离为192cm【知识点】解直角三角形22. （2019吉林省，22，7分）某地区有城市居民和农村居民共80万人，某机构准备采用抽取样本的方法调查该地区居民“获取信息的最主要途径”.（1）该机构设计了以下三种调查方案：方案一：随机抽取部分城区居民进行调查；方案二：随机抽取部分农村居民进行调查；方案三：随机抽取部分城区居民和农村居民进行调查，其中最具有代表性的一个方案是 ;（2）该机构采用了最具代表性的调查方案进行调查，供选择的选项有：电脑、手机、电视、广播、其他，共五个选项，每位被调查居民只选择一个选项，现根据调查结果绘制如下统计图，请根据统计图回答下列问题：①这次接受调查的居民的人数为 ；②统计图中人数最多的选项为 ；③请你估计该地区城区居民和农村居民将“电脑和手机”作为“获取信息的最主要途径”的总人数【思路分析】（1）具有代表性的人群要包括城区居民和农村居民；（2）①五种选项的总人数之和就是所求的总人数；②从统计图中可以看出选择手机的人数最多；③从抽取的人数中可以算出“电脑和手机”的人数占总抽取人数的比例，从而计算出该地区的总人数.【解题过程】（1）方案三；（2）①260+400+150+100+90=1000（人）②手机③528000800001000260400=⨯+（人） 答：该地区城区居民和农民居民将电脑和手机作为获取信息的最主要途径的总人数为52800人.【知识点】条形统计图，样本估计总体五、解答题23. （2019吉林省，23，8分） 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B 地。

2019年吉林省长春市中考数学试卷有答案

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数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前吉林省长春市2019年中考数学试卷数 学一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分) 1.如图,数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A .2-B .2C .12-D .122.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次,275 000 000这个数用科学记数法表示为( )A .727.510⨯B .90.27510⨯C .82.7510⨯D .92.7510⨯3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是 ( )AB C D4.不等式20x -+≥的解集为( )A .2x -≥B .2x -≤C .2x ≥D .2x ≤5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出11钱；每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ,买鸡的钱数为y ,可列方程组为( )A .911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B .911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C .911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D .911616x y x y -=⎧⎨+=⎩6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB 的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离C 为 ( )A .3sin α米B .3cos α米C .3sin α米D .3cos α米 7.如图,在ABC △中,ACB ∠为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使2ADC B ∠=∠,则符合要求的作图痕迹是 ( )ABCD8.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC △的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0).90ACB ∠=︒,2AC BC =,则函数k(0,0)xy k x =＞＞的图象经过点B ,则k 的值为( )A .92B .2C .278D .274-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分) 9.计算：= . 10.分解因式：2ab b += .11.一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 .12.如图,直线MN PQ ∥,点A 、B 分别在MN 、PQ 上,33MAB ∠=︒.过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ,则CDB ∠的大小为 .13.如图,有一张矩形纸片ABCD ,8AB =,6AD =.先将矩形纸片ABCD 折叠,使边AD 落在边AB 上,点D 落在点E 处,折痕为AF ；再将AEF △沿EF 翻折,AF 与BC 相交于点G ,则GCF △的周长为 .14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M .P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ,且M 为线段AB 的中点,则a 的值为 .三、解答题(共10小题,满分78分) 15.(本小题满分6分)先化简,再求值：2(21)4(1)a a a +--,其中18a =.16.(本小题满分6分)一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.17.(本小题满分6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.18.(本小题满分7分)如图,四边形ABCD 是正方形,以边AB 为直径作O ⊙,点E 在BC 边上,连结AE 交O ⊙于点F ,连结BF 并延长交CD 于点G . (1)求证：ABE BCG △≌△；(2)若55AEB ∠=︒,3OA =,求»BF的长.(结果保留π)数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）19.(本小题满分7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,据如下(单位：时)：根据以上信息,解答下列问题：(1)上表中的中位数m 的值为 ,众数n 的值为 .(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间.(3)已知该校七年级学生有200名,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.20.(本小题满分7分)图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法. (1)在图①中以线段AB 为边画一个ABM △,使其面积为6. (2)在图②中以线段CD 为边画一个CDN △,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ,使其面积为9,且90EFG ∠=︒.图①图②图③-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________21.(本小题满分8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.(1)乙车的速度为千米/时,a=,b=.(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.22.(本小题满分9分)教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图,在ABC△中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G,求证：13GE GDCE AD==.证明：连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.结论应用：在ABCDY中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若ABCDY为正方形,且6AB=,则OF的长为.(2)如图③,连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为12,则ABCDY的面积为.图①图②图③数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）23.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,20AC =,15BC =.点P 从点A 出发,沿AC 向终点C 运动,同时点Q 从点C 出发,沿射线CB 运动,它们的速度均为每秒5个单位长度, 点P 到达终点时,P 、Q 同时停止运动.当点P 不与点A 、C 重合时,过点P 作PN AB ⊥于点N ,连结PQ ,以PN 、PQ 为邻边作PQMN Y .设PQMN Y 与ABC △重叠部分图形的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒. (1)①AB 的长为 ；②PN 的长用含t 的代数式表示为 . (2)当PQMN Y 为矩形时,求t 的值；(3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时,求S 与t 之间的函数关系式； (4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时,直接写出t 的值.24.(本小题满分12分)已知函数22,()1,()222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜(n 为常数) (1)当n ＝5,①点(4,)P b 在此函数图象上,求b 的值； ②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B ,当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）吉林省长春市2019年中考数学试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】解：数轴上表示2-的点A 到原点的距离是2. 故选：B .【考点】绝对值的定义. 2.【答案】C【解析】解：将275 000 000用科学记数法表示为：82.7510⨯. 故选：C .【考点】科学记数法. 3.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有1个正方形. 故选：A . 【考点】三视图. 4.【答案】D【解析】解：移项得：2x --≥， 系数化为1得：2x ≤. 故选：D .【考点】合并同类项. 5.【答案】D【解析】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x yx y -=⎧⎨+=⎩.故选：D .【考点】列方程解决问题. 6.【答案】A【解析】解：由题意可得：sin 3BC BCAB α==， 故3sin ()BC m α=. 故选：A .【考点】锐角三角函数关系. 7.【答案】B【解析】解：2ADC B ∠=∠∵且ADC B BCD ∠=∠+∠，B BCD ∠=∠∴， DB DC =∴，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点， 故选：B .【考点】线段的中垂线的性质. 8.【答案】D【解析】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， ∵A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0)， ∴3OA OC ==，在Rt AOC △中，AC =， 又2AC BC =∵，2BC =∴ 又90ACB ∠=︒∵，45OAC OCA BCD CBD ∠=∠=︒=∠=∠∴，3222CD BD ===∴，39322OD =+=∴93,22B ⎛⎫⎪⎝⎭∴代入k y x =得：274k =，故选：D .数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）【考点】直角坐标系. 二.填空题 9.【答案】【解析】解：原式= 故答案为：【考点】合并同类二次根式. 10.【答案】(2)b a +【解析】解：2(2)ab b b a +=+. 故答案为：(2)b a +. 【考点】分解因式. 11.【答案】5【解析】解：1,3a b ==-∵，1c =，224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=∴.故答案为：5. 【考点】判别式. 12.【答案】57【解析】解：∵直线MN PQ ∥， ∴33MAB ABD ∠=∠=︒∴，CD AB ⊥∵， 90BCD ∠=︒∴，903357CDB ∠=︒-︒=︒∴.故答案为：57.【考点】平行线的性质，三角形内角和定理. 13.【答案】4+【解析】解：由折叠的性质可知，45DAF BAF ∠=∠=︒，6AE AD ==∴，2EB AB AE =-=∴，由题意得，四边形EFCB 为矩形，2FC ED ==∴， AB FC ∵∥，45GFC A ∠=∠=︒∴， 2GC FC ==∴，由勾股定理得，GF =， 则GCF △的周长4GC FC GF =++=+ 故答案为：4+【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，周长公式. 14.【答案】2【解析】解：∵抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ，80,3A ⎛⎫⎪⎝⎭∴，抛物线的对称轴为1x =.∴顶点P 坐标为8(1,)3a -，点M 坐标为8(2,)3.∵点M 为线段AB 的中点， ∴点B 坐标为8(4,)3设直线OP 解析式为y kx =(k 为常数，且0k ≠)，将点8(1,)3P a -代入得83a k -=，83y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴.将点8(4,)3B 代入得88()433a =-⨯，解得2a =.数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）故答案为：2.【考点】抛物线解析式，对称性. 三、解答题 15.【答案】2【解析】解：原式224414481a a a a a =++-+=+81a =+，当18a =时，原式812a =+=.【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式.16.【答案】59【解析】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59.【考点】概率. 17.【答案】300【解析】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x 套，由题意得：9000900051.2x x -=，解得：300x =，经检验，300x =是原方程的解，且符合题意.答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套. 【考点】列方程，解方程.18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒∴，90BAF ABF ∠+∠=︒∴，90ABF EBF ∠+∠=︒，EBF BAF ∠=∠∴，在ABE △与BCG △中，EBF BAF AB BC ABE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE BCG ASA ∴△≌△；(2)解：如图，连接OF ，90ABE AFB ∠=∠=︒∵，55AEB ∠=︒ ， 905535BAE ∠=︒-︒=︒∴，270BOF BAE ∠=∠=︒∴， 3OA =∵，∴»BF的长70π37π1806⨯==g .【解析】(1)根据四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，得到90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒，根据余角的性质得到EBF BAF ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)连接OF ，根据三角形的内角和得到905535BAE ∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理得到270BOF BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式即可得到结论.【考点】正方形的性质，圆的性质，余角的性质，余角的性质，三角形的内角和，圆周角定理，弧长公式.数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）19【答案】(1) 2.5 2.5(2)43.2(小时) (3)130(人)【解析】解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m 的值为2.5 2.52.52+=，众数n 为2.5； 故答案为：2.5，2.5. (2)2.41843.2⨯=(小时)，答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.(3)1320013020⨯=(人)， 答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人. 【考点】中位数，众数，平均数.20.【答案】解：(1)如图①所示，ABM △即为所求； (2)如图②所示，CDN △即为所求； (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求；图①图②图③【解析】(1)利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； (2)利用三角形面积求法得出答案；(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.21.【答案】解：(1)乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=.故答案为：75；3.6；4.5. (2)60 3.6216⨯=(千米)，当2 3.6x ＜≤时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x =-∴＜≤；当6 4.6x ＜≤时，设60y x =，135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -⎧=⎨⎩＜≤＜≤∴；(3)甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：20(27070)606-÷=(小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=(千米). 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.【解析】(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值； (2)运用待定系数法解得即可；(3)求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可. 22.【答案】证明：如图①，连结ED .∵在ABC △中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE AC ∥，12DE AC =， ∴DEG ACG △∽△，2CG AG AC GE GD DE===∴， 3CG GE AG GD GE GD ++==∴，13GE GD CE AD ==∴； 结论应用： (1)解：如图②.∵四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ，数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）AD BC ∴∥，1122BE BC AD ==，12BO BD =，∴BEF DAF △∽△，12BF BE DF AD ==∴， 12BF DF =∴，13BF BD =∴，12BO BD =∵，111236OF OB BF BD BD BD =-=-=∴，∵正方形ABCD 中，6AB =，BD =∴，OF =∴；(2)解：如图③，连接OE . 由(1)知，13BF BD =，16OF BD =， 2BF OF=∴. BEF ∵△与OEF △的高相同， BEF ∴△与OEF △的面积比2BFOF==， 同理，CEG △与OEG △的面积比2=，∴CEG △的面积BEF +△的面积2=(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=， BOC ∴△的面积32=， ∴ABCD Y 的面积3462=⨯=.故答案为6.图①图②图③【解析】教材呈现：如图①，连结ED .根据三角形中位线定理可得DE AC ∥，12DE AC =，那么DEG ACG △∽△，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==； 结论应用：(1)如图②.先证明BEF DAF △∽△，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出BD =即可求出OF = (2)如图③，连接OE .由(1)易证2BFOF=.根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF △与OEF △的面积比2BFOF==，同理，CEG △与OEG △的面积比= 2，那么C E G △的面积BEF +△的面积= 2(OEG △的面积OE F +△的面积)1212=⨯=，所以BOC △的面积32=，进而求出□ABCD 的面积3462=⨯=.23.【答案】(1)解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =.25AB ==∴.3sin 5CAB ∠=∴，由题可知5AP t =，3sin 535PN AP CAB t t =∠==g g ∴.故答案为：①25；②3t .(2)当PQMN Y 为矩形时，90NPQ ∠=︒， ∵PN AB ⊥， ∴PQ AB ∥，数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）CP CQCA BC=∴， 由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-，20552015t t-=∴， 解得127t =，即当PQMN Y 为矩形时127t =. (3)当PQMN Y ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ.如解图(3)1所示.▱PQMN 在三角形内部时.延长QM 交AB 于G 点， 由(1)题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =，5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==. ∴cos 4AN AP A t ==g ∴，cos 93BG BQ B t ==-g ，sin 124QG BQ B t ==-g ， ∵PQMN Y 在三角形内部时.有0QM QG ＜≤，03124t t -∴＜≤，1207t ∴＜≤.254(93)16NG t t t =---=-∴.∴当1207t ∴＜≤时，PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为PQMN Y ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t ==-=-+g g .Ⅱ.如解图(3)2所示.当0QG QM ＜＜，□PQMN 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0243t t -＜＜，解得：1237t ≤＜， PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG 的面积2111()(16)(3124)1496222S NG PN QG t t t t t =+=-+-=-+.综上所述：当1207t ∴＜≤时，2348S t t =-+.当1237t ≤＜，2114962S t t =-+.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.如解题图(4)1，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH AB ⊥，PKN HKR B ∠=∠=∠∴，39cot 344tNK PN PKN t =∠==g g ，NR MR =∵，HR PN QM ∥∥，1(16)2NH GH t ==-∴，12HR GM =，3(124)712GM QM QG t t t =-=--=-∴，11(712)22HR GM t ==-.133cot (712)(712)248KH HR HKR t t =∠=-⨯=-g ∴，NK KH NH +=∵，931(712)(16)482t t t +-=-∴， 解得：10043t =，Ⅱ.如解题图(4)2，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MQ 中点，过Q 点作QH PR ⊥，HPN A QRH ∠=∠=∠∴，四边形PCQH 为矩形，339sin 2510t tHQ QR QRH =∠==g g ∴205PC t =-∵，920510tt -=∴，解得20059t =.综上所述：当10043t =或20059时，点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点.数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）【解析】(1)根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN . (2)当PQMN Y 为矩形时，由PN AB ⊥可知PQ AB ∥，根据平行线分线段成比例定理可得CP CQCA BC=，即可计算出t 的值. (3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ.PQMN Y 在三角形内部时，Ⅱ.PQMN Y 有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.过MN 的中点，Ⅱ.过QM 的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值.【考点】勾股定理，三角函数，平行线分线段成比例定理，解三角形. 24.【答案】解：(1)当n ＝5时， 2255(5)155(5)222x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜， ①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++， 92b =∴； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，185n =∴， 1845n ∴＜≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点(2,2)代入2y x nx n =-++中， ∴2n =，将点(2,2)代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， 823n ∴≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n ＜≤，823n ≤＜时，图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，22112222n n y n n =-++=，n42＞，8n ∴＞；当2nx =时，182n y =+，1n 482+≤，312n ∴≥，当x n =时，22y n n n n =-++=，4n ＜；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n ＞或3142n ≤＜. 【解析】(1)①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n ＜≤时，图象与线段AB只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到2n =，83n =，所以823n ≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，n 42＞，得到8n ＞；当2n x =时，1n 482+≤，得到312n ≥，当x n =时，22n＜.=-++=，4y n n n n数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。

2019年吉林省长春市中考数学试卷(含答案与解析)

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数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前吉林省长春市2019年中考数学试卷数 学一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分) 1.如图,数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A .2-B .2C .12-D .122.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次,275 000 000这个数用科学记数法表示为( )A .727.510⨯B .90.27510⨯C .82.7510⨯D .92.7510⨯3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是 ( )AB C D4.不等式20x -+≥的解集为( )A .2x -≥B .2x -≤C .2x ≥D .2x ≤5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出11钱；每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ,买鸡的钱数为y ,可列方程组为( )A .911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B .911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C .911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D .911616x y x y -=⎧⎨+=⎩6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB 的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离C 为 ( )A .3sin α米B .3cos α米C .3sin α米D .3cos α米 7.如图,在ABC △中,ACB ∠为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使2ADC B ∠=∠,则符合要求的作图痕迹是 ( )ABCD8.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC △的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0).90ACB ∠=︒,2AC BC =,则函数k(0,0)xy k x =＞＞的图象经过点B ,则k 的值为( )A .92B .2C .278D .274-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分) 9.计算：= . 10.分解因式：2ab b += .11.一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 .12.如图,直线MN PQ ∥,点A 、B 分别在MN 、PQ 上,33MAB ∠=︒.过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ,则CDB ∠的大小为 .13.如图,有一张矩形纸片ABCD ,8AB =,6AD =.先将矩形纸片ABCD 折叠,使边AD 落在边AB 上,点D 落在点E 处,折痕为AF ；再将AEF △沿EF 翻折,AF 与BC 相交于点G ,则GCF △的周长为 .14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M .P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ,且M 为线段AB 的中点,则a 的值为 .三、解答题(共10小题,满分78分) 15.(本小题满分6分)先化简,再求值：2(21)4(1)a a a +--,其中18a =.16.(本小题满分6分)一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.17.(本小题满分6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.18.(本小题满分7分)如图,四边形ABCD 是正方形,以边AB 为直径作O ⊙,点E 在BC 边上,连结AE 交O ⊙于点F ,连结BF 并延长交CD 于点G . (1)求证：ABE BCG △≌△；(2)若55AEB ∠=︒,3OA =,求»BF的长.(结果保留π)数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）19.(本小题满分7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,据如下(单位：时)：根据以上信息,解答下列问题：(1)上表中的中位数m 的值为 ,众数n 的值为 .(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间.(3)已知该校七年级学生有200名,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.20.(本小题满分7分)图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法. (1)在图①中以线段AB 为边画一个ABM △,使其面积为6. (2)在图②中以线段CD 为边画一个CDN △,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ,使其面积为9,且90EFG ∠=︒.图①图②图③-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________21.(本小题满分8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.(1)乙车的速度为千米/时,a=,b=.(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.22.(本小题满分9分)教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图,在ABC△中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G,求证：13GE GDCE AD==.证明：连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.结论应用：在ABCDY中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若ABCDY为正方形,且6AB=,则OF的长为.(2)如图③,连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为12,则ABCDY的面积为.图①图②图③数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）23.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,20AC =,15BC =.点P 从点A 出发,沿AC 向终点C 运动,同时点Q 从点C 出发,沿射线CB 运动,它们的速度均为每秒5个单位长度, 点P 到达终点时,P 、Q 同时停止运动.当点P 不与点A 、C 重合时,过点P 作PN AB ⊥于点N ,连结PQ ,以PN 、PQ 为邻边作PQMN Y .设PQMN Y 与ABC △重叠部分图形的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒. (1)①AB 的长为 ；②PN 的长用含t 的代数式表示为 . (2)当PQMN Y 为矩形时,求t 的值；(3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时,求S 与t 之间的函数关系式； (4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时,直接写出t 的值.24.(本小题满分12分)已知函数22,()1,()222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜(n 为常数) (1)当n ＝5,①点(4,)P b 在此函数图象上,求b 的值； ②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B ,当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）吉林省长春市2019年中考数学试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】解：数轴上表示2-的点A 到原点的距离是2. 故选：B .【考点】绝对值的定义. 2.【答案】C【解析】解：将275 000 000用科学记数法表示为：82.7510⨯. 故选：C .【考点】科学记数法. 3.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有1个正方形. 故选：A . 【考点】三视图. 4.【答案】D【解析】解：移项得：2x --≥， 系数化为1得：2x ≤. 故选：D .【考点】合并同类项. 5.【答案】D【解析】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x yx y -=⎧⎨+=⎩.故选：D .【考点】列方程解决问题. 6.【答案】A【解析】解：由题意可得：sin 3BC BCAB α==， 故3sin ()BC m α=. 故选：A .【考点】锐角三角函数关系. 7.【答案】B【解析】解：2ADC B ∠=∠∵且ADC B BCD ∠=∠+∠，B BCD ∠=∠∴， DB DC =∴，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点， 故选：B .【考点】线段的中垂线的性质. 8.【答案】D【解析】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， ∵A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0)， ∴3OA OC ==，在Rt AOC △中，AC =， 又2AC BC =∵，2BC =∴ 又90ACB ∠=︒∵，45OAC OCA BCD CBD ∠=∠=︒=∠=∠∴，32CD BD ===∴，39322OD =+=∴93,22B ⎛⎫⎪⎝⎭∴代入k y x =得：274k =，故选：D .数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）【考点】直角坐标系. 二.填空题 9.【答案】【解析】解：原式= 故答案为：【考点】合并同类二次根式. 10.【答案】(2)b a +【解析】解：2(2)ab b b a +=+. 故答案为：(2)b a +. 【考点】分解因式. 11.【答案】5【解析】解：1,3a b ==-∵，1c =，224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=∴.故答案为：5. 【考点】判别式. 12.【答案】57【解析】解：∵直线MN PQ ∥， ∴33MAB ABD ∠=∠=︒∴，CD AB ⊥∵， 90BCD ∠=︒∴，903357CDB ∠=︒-︒=︒∴.故答案为：57.【考点】平行线的性质，三角形内角和定理. 13.【答案】4+【解析】解：由折叠的性质可知，45DAF BAF ∠=∠=︒，6AE AD ==∴，2EB AB AE =-=∴，由题意得，四边形EFCB 为矩形，2FC ED ==∴， AB FC ∵∥，45GFC A ∠=∠=︒∴， 2GC FC ==∴，由勾股定理得，GF = 则GCF △的周长4GC FC GF =++=+ 故答案为：4+【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，周长公式. 14.【答案】2【解析】解：∵抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ，80,3A ⎛⎫⎪⎝⎭∴，抛物线的对称轴为1x =.∴顶点P 坐标为8(1,)3a -，点M 坐标为8(2,)3.∵点M 为线段AB 的中点， ∴点B 坐标为8(4,)3设直线OP 解析式为y kx =(k 为常数，且0k ≠)，将点8(1,)3P a -代入得83a k -=，83y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴.将点8(4,)3B 代入得88()433a =-⨯，解得2a =.数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）故答案为：2.【考点】抛物线解析式，对称性. 三、解答题 15.【答案】2【解析】解：原式224414481a a a a a =++-+=+81a =+，当18a =时，原式812a =+=.【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式.16.【答案】59【解析】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59.【考点】概率. 17.【答案】300【解析】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x 套，由题意得：9000900051.2x x -=，解得：300x =，经检验，300x =是原方程的解，且符合题意.答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套. 【考点】列方程，解方程.18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒∴，90BAF ABF ∠+∠=︒∴，90ABF EBF ∠+∠=︒，EBF BAF ∠=∠∴，在ABE △与BCG △中，EBF BAF AB BC ABE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE BCG ASA ∴△≌△；(2)解：如图，连接OF ，90ABE AFB ∠=∠=︒∵，55AEB ∠=︒ ， 905535BAE ∠=︒-︒=︒∴， 270BOF BAE ∠=∠=︒∴， 3OA =∵，∴»BF的长70π37π1806⨯==g .【解析】(1)根据四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，得到90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒，根据余角的性质得到EBF BAF ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)连接OF ，根据三角形的内角和得到905535BAE ∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理得到270BOF BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式即可得到结论.【考点】正方形的性质，圆的性质，余角的性质，余角的性质，三角形的内角和，圆周角定理，弧长公式.数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）19【答案】(1) 2.5 2.5(2)43.2(小时) (3)130(人)【解析】解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m 的值为2.5 2.52.52+=，众数n 为2.5； 故答案为：2.5，2.5. (2)2.41843.2⨯=(小时)，答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.(3)1320013020⨯=(人)， 答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人. 【考点】中位数，众数，平均数.20.【答案】解：(1)如图①所示，ABM △即为所求； (2)如图②所示，CDN △即为所求； (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求；图①图②图③【解析】(1)利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； (2)利用三角形面积求法得出答案；(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.21.【答案】解：(1)乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=.故答案为：75；3.6；4.5. (2)60 3.6216⨯=(千米)，当2 3.6x ＜≤时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x =-∴＜≤；当6 4.6x ＜≤时，设60y x =，135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -⎧=⎨⎩＜≤＜≤∴；(3)甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：20(27070)606-÷=(小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=(千米). 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.【解析】(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值； (2)运用待定系数法解得即可；(3)求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可. 22.【答案】证明：如图①，连结ED .∵在ABC △中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE AC ∥，12DE AC =， ∴DEG ACG △∽△，2CG AG AC GE GD DE===∴， 3CG GE AG GD GE GD ++==∴，13GE GD CE AD ==∴； 结论应用： (1)解：如图②.∵四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ，数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）AD BC ∴∥，1122BE BC AD ==，12BO BD =，∴BEF DAF △∽△，12BF BE DF AD ==∴， 12BF DF =∴，13BF BD =∴，12BO BD =∵，111236OF OB BF BD BD BD =-=-=∴，∵正方形ABCD 中，6AB =，BD =∴OF =∴；(2)解：如图③，连接OE . 由(1)知，13BF BD =，16OF BD =， 2BF OF=∴. BEF ∵△与OEF △的高相同，BEF ∴△与OEF △的面积比2BFOF==， 同理，CEG △与OEG △的面积比2=，∴CEG △的面积BEF +△的面积2=(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=， BOC ∴△的面积32=， ∴ABCD Y 的面积3462=⨯=.故答案为6.图①图②图③【解析】教材呈现：如图①，连结ED .根据三角形中位线定理可得DE AC ∥，12DE AC =，那么DEG ACG △∽△，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==； 结论应用：(1)如图②.先证明BEF DAF △∽△，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出BD =，即可求出OF = (2)如图③，连接OE .由(1)易证2BFOF=.根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF △与OEF △的面积比2BFOF==，同理，CEG △与OEG △的面积比= 2，那么CEG △的面积BEF +△的面积= 2(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=，所以BOC △的面积32=，进而求出□ABCD 的面积3462=⨯=.23.【答案】(1)解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =.25AB ==∴.3sin 5CAB ∠=∴，由题可知5AP t =，3sin 535PN AP CAB t t =∠==g g ∴.故答案为：①25；②3t .(2)当PQMN Y 为矩形时，90NPQ ∠=︒， ∵PN AB ⊥，数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）∴PQ AB ∥，CP CQCA BC=∴， 由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-，20552015t t-=∴， 解得127t =，即当PQMN Y 为矩形时127t =. (3)当PQMN Y ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ.如解图(3)1所示.▱PQMN 在三角形内部时.延长QM 交AB 于G 点， 由(1)题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =，5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==. ∴cos 4AN AP A t ==g ∴，cos 93BG BQ B t ==-g ，sin 124QG BQ B t ==-g ， ∵PQMN Y 在三角形内部时.有0QM QG ＜≤，03124t t -∴＜≤，1207t ∴＜≤.254(93)16NG t t t =---=-∴.∴当1207t ∴＜≤时，PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为PQMN Y ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t ==-=-+g g .Ⅱ.如解图(3)2所示.当0QG QM ＜＜，□PQMN 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0243t t -＜＜，解得：1237t ≤＜， PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG 的面积2111()(16)(3124)1496222S NG PN QG t t t t t =+=-+-=-+.综上所述：当1207t ∴＜≤时，2348S t t =-+.当1237t ≤＜，2114962S t t =-+.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.如解题图(4)1，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH AB ⊥，PKN HKR B ∠=∠=∠∴，39cot 344tNK PN PKN t =∠==g g ，NR MR =∵，HR PN QM ∥∥，1(16)2NH GH t ==-∴，12HR GM =，3(124)712GM QM QG t t t =-=--=-∴，11(712)22HR GM t ==-.133cot (712)(712)248KH HR HKR t t =∠=-⨯=-g ∴，NK KH NH +=∵，931(712)(16)482t t t +-=-∴， 解得：10043t =，Ⅱ.如解题图(4)2，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MQ 中点，过Q 点作QH PR ⊥，HPN A QRH ∠=∠=∠∴，四边形PCQH 为矩形，339sin 2510t tHQ QR QRH =∠==g g ∴205PC t =-∵，920510tt -=∴，解得20059t =. 综上所述：当10043t =或20059时，点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点.数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）【解析】(1)根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN . (2)当PQMN Y 为矩形时，由PN AB ⊥可知PQ AB ∥，根据平行线分线段成比例定理可得CP CQCA BC=，即可计算出t 的值. (3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ.PQMN Y 在三角形内部时，Ⅱ.PQMN Y 有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.过MN 的中点，Ⅱ.过QM 的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值.【考点】勾股定理，三角函数，平行线分线段成比例定理，解三角形. 24.【答案】解：(1)当n ＝5时， 2255(5)155(5)222x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜， ①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++， 92b =∴； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，185n =∴， 1845n ∴＜≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点(2,2)代入2y x nx n =-++中， ∴2n =，将点(2,2)代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， 823n ∴≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n ＜≤，823n ≤＜时，图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，22112222n n y n n =-++=，n42＞，8n ∴＞；当2nx =时，182n y =+，1n 482+≤，312n ∴≥，当x n =时，22y n n n n =-++=，4n ＜；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n ＞或3142n ≤＜. 【解析】(1)①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n ＜≤时，图象与线段AB只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到2n =，83n =，所以823n ≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，n 42＞，得到8n ＞；当2n x =时，1n 482+≤，得到312n ≥，当x n =时，22n＜.=-++=，4y n n n n数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。

2019年长春市中考数学试卷-2019带答案解析

2019年长春市中考数学试卷-2019带答案解析

2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.如图,数轴上表示2得点A到原点得距离就是()A.2B.2C.D.2.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次,275000000这个数用科学记数法表示为()A.27、5×107B.0、275×109C.2、75×108D.2、75×1093.右图就是由4个相同得小正方体组成得立体图形,这个立体图形得主视图就是()4.不等式x+2≥0得解集为()A.x≥2B.x≤2C.x≥2D.x≤25.《九章算术》就是中国古代重要得数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数鸡价各几何？译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱,问人数、买鸡得钱数各就是多少？设人数为x,买鸡得钱数为y,可列方程组为()A. B. C. D.6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面得墙上,梯子AB得长就是3米.若梯子与地面得夹角为α,则梯子顶端到地面得距离BC为()A.3si nα米B.3cosα米C.米D.米7.如图,在△ABC中,∠ACB为钝角.用直尺与圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B,则符合要求得作图痕迹就是()8.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC得顶点、C得坐标分别为(0,3)、(3,0).∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=(k＞0,x＞0)得图象经过点B,则k得值为()A. B.9 C. D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.计算:3=10.分解因式:ab+2b=11.一元二次方程x23x+1=0根得判别式得值为.12.如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°.过线段AB上得点C作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB得大小为度.13.如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB 上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF得周长为14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax22ax+(a＞0)与y轴交于点A,过点A作x轴得平行线交抛物线于点M.P为抛物线得顶点.若直线O P交直线AM于点B,且M为线段AB得中点,则a得值为三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.先化简,再求值:(2a+1)24a(a1),其中a=.16.一个不透明得口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别就是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀;再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状图(或列表)得方法,求小新同学两次摸出小球上得汉字相同得概率.17.为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天加工彩灯得数量就是原计划得1、2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯得数量.18.如图,四边形ABCD就是正方形.以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连结AE交⊙O于点F,连结BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.(2)若∠AEB=55°,OA=3,求得长(结果保留π)19.网上学习越来越受到学生得喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习得情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习时间得调查,数据如下(单位:时):3 2、5 0、6 1、5 1 2 2 3、3 2、5 1、8 2、5 2、2 3、54 1、5 2、5 3、1 2、8 3、3 2、4整理上面得数据,得到表格如下:样本数据得平均数、中位数、众数如下表所示:根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中得中位数m得值为,众数n得值为(2)用样本中得平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习得时间(3)已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时得学生人数.20.图①、图②、图③均就是6×6得正方形网格,每个小正方形得顶点称为格点,小正方形得边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度得直尺,在给定得网格中按要求画图,所画图形得顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.21.已知A、B两地之间有一条长270千米得公路.甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时得速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目得地后停止.甲、乙两车相距得路程y(千米)与甲车得行驶时间x(时)之间得函数关系如图所示.(1)乙车得速度为千米/时,a=,b=(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间得函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间得路程.22.教材呈现:下图就是华师版九年级上册数学教材第78页得部分内空.例2如图23、4、4,在△ABC中,D、E分别就是边BC、AB得中点,AD,CE相交于点G.求证: 证明:连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完事得证明过程.结论应用:在中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC得中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若为正方形,且AB=6,则OF得长为(2)如图③,连结DE交AC于点G.若四边形OFEG得面积为,则得面积为23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们得速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q同时停止运动.当点P不与点A、C重合时,过点P作PN⊥AB于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与△ABC重叠部分图形得面积为S.点P得运动时间为t秒.(1)①AB得长为②PN得长用含t得代数式表示为(2)当PQMN为矩形时,求t得值.(3)当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间得函数关系式.(4)当过点P且平行于BC得直线经PQMN一边中点时,直接写出t得值.24.已知函数y=(1)当n=5,①点P(4,b)在此函数图象上,求b得值.②求此函数得最大值.(2)已知线段AB得两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数得图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n得取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x轴得距离等于4时,求n得取值范围.2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.如图,数轴上表示2得点A到原点得距离就是()A.2B.2C.D.解:数轴上点A表示数为2,2到原点距离为2故选B2.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次,275000000这个数用科学记数法表示为()A.27、5×107B.0、275×109C.2、75×108D.2、75×109解:科学记数法为:把一个数表示成a与10得n次幂得相乘得形式(1≤a＜10,n为整数),故275000000用科学记数法表示为2、75×108故选C3.右图就是由4个相同得小正方体组成得立体图形,这个立体图形得主视图就是()解:如图所示,主视观瞧第二列有两个正方形,第一列右上有一个正方形,故观察为.故选A.4.不等式x+2≥0得解集为()A.x≥2B.x≤2C.x≥2D.x≤2解:解不等式x+2≥0,移项可得x≥2,再系数化1,两边同时除以1(注意改变不等号方向),得x≤2,故选D.5.《九章算术》就是中国古代重要得数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数鸡价各几何？译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱,问人数、买鸡得钱数各就是多少？设人数为x,买鸡得钱数为y,可列方程组为()A. B. C. D.解:根据题意,人数为x,鸡得钱数为y,当每人出9钱时,多出11钱,则可列方程9x11=y,当每人出6钱时,差16钱,则可列方程6x+16=y,则解x,y可列方程组为.故选D6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面得墙上,梯子AB得长就是3米.若梯子与地面得夹角为α,则梯子顶端到地面得距离BC为()A.3sinα米B.3cosα米C.米D.米解:如图所示:α对应角为∠BAC,则sinα=,已知AB=3米,则BC=sinα,AB=3sinα米故选A7.如图,在△ABC中,∠ACB为钝角.用直尺与圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B,则符合要求得作图痕迹就是()解:由题意作图∠ADC=2∠BA、作图痕迹,为点D在线段AC垂直平分线上,能使∠A=∠ACD,不能使∠ADC=2∠B,故舍掉;B、作图痕迹为点D在线段BC垂直平分线上,能使∠B=∠DCB,如图∠B+∠DCB=∠ACD,∴∠ADC=2∠BC、作图痕迹为点D为AB中点,故不能使∠ADC=2∠B(舍)D选项(舍)故选B8.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC得顶点、C得坐标分别为(0,3)、(3,0).∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=(k＞0,x＞0)得图象经过点B,则k得值为()A. B.9 C. D.解:如图所示,AC坐标分别为(0,3),(3,0)故∠AOC为等腰直角三角形∠ACO=45°,∴∠ACB=45°,过点B作BD⊥x轴,交x轴于点D,∴∠BDC=90°,∠CBD=45°,∴∠BDC为等腰直角三角形,∴∠AOC=∠BDC,∠ACO=∠BCD∴△AOC∽△BDC∴=又∵AC=2BC,∴AO=2BD∴BD=∴CO=∴D坐标为(,0),B坐标为(,)∵点B在函数y=(k＞0,x＞0)图象上将点B坐标(,)代入y=中,得k=,故选D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.计算:3=解:根据二次根式加减法则故答案为:2.10.分解因式:ab+2b=解:利用乘法结合律,提取出b,得b(a+2)故答案为:b(a+2)解:∵a=1,b=﹣3,c=1,∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×1=5,故答案为:5.12.如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°.过线段AB上得点C作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB得大小为度.解:∵MN∥PQ∴∠ABD=∠MAB=33°∵CD⊥AB∴∠DCB=90°∴∠ABD+∠CDB=180°90°=90°∴∠CDB=90°33°=57°故答案为:57°13.如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB 上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF得周长为解:由图可知,FC=EB=ABAD=86=2,∠CFG=45°∴GC=FC=2,∴FG=FC=2∴△GCF周长为2+2+2=4+2;故答案为:4+214.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax22ax+(a＞0)与y轴交于点A,过点A作x轴得平行线交抛物线于点M.P为抛物线得顶点.若直线O P交直线AM于点B,且M为线段AB得中点,则a得值为解:将x=0代入原式得y=,∴A(0,)将y=代入得ax22ax+=,ax22ax=0,x=2.∴M(2,)∵M为线段AB中点,∴B(4,)代入y=kx中求得OB解析式为y=x,将x=1代入得P(1,)将P代入抛物线解析式中得a=2.故答案为:2.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.先化简,再求值:(2a+1)24a(a1),其中a=.解:原式=4a2+4a+14a2+4a=8a+1将a=代入原式=×8+1=216.一个不透明得口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别就是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀;再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状图(或列表)得方法,求小新同学两次摸出小球上得汉字相同得概率.解:树状图如下:两次摸出相同小球得情况共有5种,故答案为17.为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天加工彩灯得数量就是原计划得1、2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯得数量.解:设原计划每天加工这种彩灯x套,则实际每天加工这种彩灯1、2x套+5=51800=6xx=300经检验x=300就是方程得根.答:原计划每天加工这种彩灯300套.18.如图,四边形ABCD就是正方形.以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连结AE交⊙O于点F,连结BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.(2)若∠AEB=55°,OA=3,求得长(结果保留π)(1)证明:∵F在圆上,∴AF⊥BF,∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠CBF=90°∴∠BAF+=∠CBF,∵∠FBE+∠FEB=90°,∠FBE+∠BGC=90°∴∠FEB=∠BGC,在△ABE与△BGC中∴△ABE≌△BCE(ASA)(2)解:连接OF,则OF=OB,由(1)可得∠ABF=∠AEB=∠BGC=55°∴∠BFO=55°,∠BOF=70°∴=×2π×3=π19.网上学习越来越受到学生得喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习得情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习时间得调查,数据如下(单位:时):3 2、5 0、6 1、5 1 2 2 3、3 2、5 1、8 2、5 2、2 3、54 1、5 2、5 3、1 2、8 3、3 2、4整理上面得数据,得到表格如下:样本数据得平均数、中位数、众数如下表所示:根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中得中位数m得值为,众数n得值为(2)用样本中得平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习得时间(3)已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时得学生人数.解:将调查数据由小到大排列为:0、6,1,1、5,1、5,1、8,2,2,2、2,2、4,2、5,2、5,2、5,2、5,2、8,3,3、1,3、3,3、3,3、5,4.(1)则中位数m为第10与,11两个数得平均数为=2、5,众数n为出现最多得数为2、5.(2)由题中表格可知平均数为2、4,即该校七年级学生平均每人一周网上学习时间为2、4小时,则平均每人一学期学生时间为2、4×18=43、2时.(3)由调查可知,每周上网学习超过2小时得学生占=,则200名学生中每周上网超过2小时得学生人数估计为200×=130人.故答案为:(1)2、5;2、5.20.图①、图②、图③均就是6×6得正方形网格,每个小正方形得顶点称为格点,小正方形得边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度得直尺,在给定得网格中按要求画图,所画图形得顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.解:(1)因小正方形边长为1,已知AB=3,则要使△ABM面积为6,只要以AB为底,高为4即可,如图,M在直线NP上任意一点均可.(2)CD竖向距离为3,可瞧为以水平方向为底,竖直方向为高得三角形一边,高为3,当底为4时,面积就为6,如图(答案不唯一)(3)以线段EF为边画一个四边形,使其面积为9,我们已知最规则面积为9得四边形就是边长为3得正方形,但E、F不就是网格上得边,我们可用割补法来求出我们想要图形,如图所示,S△FGI=S△EJF,则S四边形EFGH=S四边形JFIH=921.已知A、B两地之间有一条长270千米得公路.甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时得速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目得地后停止.甲、乙两车相距得路程y(千米)与甲车得行驶时间x(时)之间得函数关系如图所示.(1)乙车得速度为千米/时,a=,b=(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间得函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间得路程.解:(1)共270千米,2小时两车相遇,即两车共走270千米,V总=270÷2=135(km/h)∵V甲=60km/h,∴V2=V总V甲=13560=75km/ha点为乙车到A地时得时间,即t乙==270÷75=3、6b点为甲车到B地得时间,即t甲==270÷60=4、5(2)设函数关系式为y=kx+b,当2＜x≤3、6时,斜率k为两车速度与135∴y=135x+b,又有x=2时,y=0,∴b=270,∴y=135x270当3、6＜x≤4、5时,斜率k为甲车速度为60,∴y=60x+b,又有x=4、5时,y=270,∴b=0,∴y=60x,综上所述,(3)甲距B地70千米处时,t==,当x=时,y=135×270=180km∴甲乙两车之间路程为180千米.故答案为:(1)75;3、6;4、522.教材呈现:下图就是华师版九年级上册数学教材第78页得部分内空.例2如图23、4、4,在△ABC中,D、E分别就是边BC、AB得中点,AD,CE相交于点G.求证: 证明:连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完事得证明过程.结论应用:在中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC得中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若为正方形,且AB=6,则OF得长为(2)如图③,连结DE交AC于点G.若四边形OFEG得面积为,则得面积为解:教材呈现:连接ED∵E、D分别为AB、BC中点∴E、D为三角形AB得中位线∴ED∥AC,且ED=AC,而由于ED∥AC∴∠DEC=∠ECA又∠EGD=∠AGC∴△EGD∽△CGA∴又EC=EG+GC,AD=AG+AD∴结论应用:(1)在△ABC中,O为AC中点,E为BC中点,故在△ABC中,F点为中线得交点,即,而AB=AC=6,故AC=6,BO=3,OF=(2)连接OE,OE为△OBC中线,故S△OBE=S△OEC,在△ABC中,可得OF=OB,而在△OEB中,由于△OEB与△OEF等高,故S△OFE:S△OEB=OF:OB=1:3同理S△OGE:S△OEC=1:3,故S△FEG:S△OBC=1:3,故S△FEG:S ABCD=1:12故S ABCD=×12=6故答案为:(1);(2)623.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们得速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q 同时停止运动.当点P不与点A、C重合时,过点P作PN⊥AB于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与△ABC重叠部分图形得面积为S.点P得运动时间为t秒.(1)①AB得长为②PN得长用含t得代数式表示为(2)当PQMN为矩形时,求t得值.(3)当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间得函数关系式.(4)当过点P且平行于BC得直线经PQMN一边中点时,直接写出t得值.解:(1)①由于△ABC为直角三角形,由勾股定理得AB==25②由于PN⊥AB,故∠PNA=90°=∠C,即∠A=∠A,故△ANP∽△ACB故∴PN=3t(2)由于PNMQ为矩形,PN⊥NM,故M点落在AB上,而PN=4t,△QBM∽△ABC,故QM=(155t)QM=PN得t=(3)在运动过程中,起始为PNQM得平行四边形就是阴影部分(图一)后,M总落在AB上,形成矩形,后M总落在三角形处,阴影部分为梯形(图二),后Q达到B点继续移动,阴影部分为三角形(图三),而题意及(2)得分总为t=与t=3,求前两种①当0＜t＜时,以PN为底,延长QM与O,NO为高,由PN=3t,PA=5t,∴AN=4t,而△QOB∽△ACB,故QB=(155t),OB=(155t)S=PN·NO=PN×(ABANOB)=3t×[254t(155t)]=48t3t2当＜t＜3时,设QM与AB交于O,QO=(155t)S=(PN+QO)×NO=[×5t+(155t)]×[254t(155t)]=(16t)(12t)=14t+96(4)作PH∥CB,则H可能在NM上或QM上当H在NM上,则NH=HM,过N作NR∥CB,MS∥BC设PS=a,设SM与PQ交点为O,易得O为RQ中点,由平行线等分线段定理得,RP=RS=SC=a而NR∥CB,∴NR⊥AC,易得△RPN∽△NPN;△ARN∽△ANP,∴AR=a,而解得t=＜4成立当H在QM上,则QH=HM,设RS=a,由上一种情况,我们得到RS=SP=PC=a,在△PRM中,RN=a,故AP=a∴∴t=＜4成立故答案为:(1)①25;②3t.24.已知函数y=(1)当n=5,①点P(4,b)在此函数图象上,求b得值.②求此函数得最大值.(2)已知线段AB得两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数得图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n得取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x轴得距离等于4时,求n得取值范围.解:(1)当n=5时,y=①由于4＜5,故b=(42+5×4+5)=②y=当x≥5时,x=5最大y=5当x＜5时,x=最大y=＞5,故最大值为(2)①首先以A点为边界,设当x≥n时得图形如α当x＜n时为β如图一:此时函数图象与线段AB恰好有一个交点,交点在α上,随着n得不断增大,图象逐渐右移直至β与B相交.如图二,将(2,2)分别代入α,β得n=2,n=.图一情况下,恰有一个交点,所以n可以取到2,而图二情况下,恰有两个交点,故n不能取到综上2≤n＜②n从图二得情况开始继续不断增大得一段时间内函数图象与线段一直有两个交点,直到如图三,此时β与线段有一个交点,而α刚要离开线段.在此之后直至运动至图四情况.β刚要离开线段AB在此期间之内,函数图象与线段AB一直只有一个交点,图三中将(4,2)代入α得n=,图四中将(4,2)代入β得n=4,注意图三时恰有两个交点,因此n＞,而在图四情况下,恰有一个交点,故n≤4综上＜n≤4.综上所述n得取值范围就是2≤n＜或＜n≤4.(3)当有4个点到x轴得距离等于4,即函数图象与直线y=4与直线y=4恰有四个交点.①设x＜n时图象为β,x≥n时图象为α.当n很小时函数图象与y=±4一直有4个交点,不断增大n,直到如图五情况,此时β刚要经过y=4,之后得一段时间内,函数与y=±4有5个交点,此时n2+·n+=4,n=8故n≤8时恒成立.②在图五之后得一段时间内,函数与y=±4共有5个交点.直到运动到图六情况α得顶点落在y=4上,即+n=4,∴n=22(舍n＞0解)。

长春市2019年中考数学试卷及答案解析(word版)

长春市2019年中考数学试卷及答案解析(word版)

2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分1．﹣5的相反数是（）A．B．C．﹣5 D．52．吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为（）A．45×103B．4.5×104C．4.5×105D．0.45×1033．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A 在边B′C上，则∠B′的大小为（）A．42° B．48° C．52° D．58°7．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则的长为（）A．π B．π C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD 交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分9．计算（ab）3=．10．关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是．11．如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），顶点B在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为．13．如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为度．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．三、解答题：本大题共10小题，共78分15．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中a=．16．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．17．A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．18．某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了n名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）求n的值；（2）根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数．19．如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米）【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】20．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，BE与CD交于点G （1）求证：BD∥EF；（2）若=，BE=4，求EC的长．21．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程．22．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=（用含a 的代数式表示）23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E 运动的时间为t秒（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；（2）求点H与点D重合时t的值；（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为；当OO′⊥AD 时，t的值为．24．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=a（x﹣h）2．抛物线y=a（x﹣3）2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B，P是抛物线y=a（x﹣3）2+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂线交抛物线y=（x﹣h）2于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y=（x﹣h）2于点Q′（不与点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．（1）求a的值；（2）当抛物线y=a（x﹣h）2经过原点时，设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l．①求的值；②求l与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值．2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分1．﹣5的相反数是（）A．B．C．﹣5 D．5【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：﹣5的相反数是5．故选：D．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．吉林省在践行社会主义核心价值观活动中，共评选出各级各类“吉林好人”45000多名，45000这个数用科学记数法表示为（）A．45×103B．4.5×104C．4.5×105D．0.45×103【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：45000这个数用科学记数法表示为4.5×104，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】从上面看到的平面图形即为该组合体的俯视图，据此求解．【解答】解：从上面看共有2行，上面一行有3个正方形，第二行中间有一个正方形，故选C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，解题的关键是了解俯视图的定义，属于基础题，难度不大．4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＞﹣2，由②得，x≤3，故不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．在数轴上表示为：．故选C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5．把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（）A．（x﹣3）2B．（x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3）D．（x+9）（x﹣9）【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题；因式分解．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选A【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A 在边B′C上，则∠B′的大小为（）A．42° B．48° C．52° D．58°【考点】旋转的性质．【分析】先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故选A．【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两锐角互余的性质．7．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则的长为（）A．π B．π C．D．【考点】弧长的计算；切线的性质．【专题】计算题；与圆有关的计算．【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出的长即可．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OBP=∠OAP=90°，在四边形APBO中，∠P=60°，∴∠AOB=120°，∵OA=2，∴的长l==π，故选C【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD 交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】首先利用m和n表示出AC和AQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．【解答】解：AC=m﹣1，CQ=n，=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．则S四边形ACQE∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，∴mn=k=4（常数）．∴S=AC•CQ=4﹣n，四边形ACQE∵当m＞1时，n随m的增大而减小，∴S=4﹣n随m的增大而增大．四边形ACQE故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出四边形ACQE的面积是关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分9．计算（ab）3=a3b3．【考点】幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题；整式．【分析】原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=a3b3，故答案为：a3b3【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是1．【考点】根的判别式．【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴22﹣4m=0，∴m=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．11．如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=6，AC=4，则△ACD 的周长为10．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意可知直线MN是线段BC的垂直平分线，推出DC=DB，可以证明△ADC的周长=AC+AB，由此即可解决问题．【解答】解：由题意直线MN是线段BC的垂直平分线，∵点D在直线MN上，∴DC=DB，∴△ADC的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，∵AB=6，AC=4，∴△ACD的周长为10．故答案为10．【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把△ADC 的周长转化为求AC+AB来解决，属于基础题，中考常考题型．12．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），顶点B在第一象限，若点B在直线y=kx+3上，则k的值为﹣2．【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．【分析】先求出B点坐标，再代入直线y=kx+3，求出k的值即可．【解答】解：∵正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∴B（1，1）．∵点B在直线y=kx+3上，∴1=k+3，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13．如图，在⊙O中，AB是弦，C是上一点．若∠OAB=25°，∠OCA=40°，则∠BOC的大小为30度．【考点】圆周角定理．【分析】由∠BAO=25°，利用等腰三角形的性质，可求得∠AOB的度数，又由∠OCA=40°，可求得∠CAO 的度数，继而求得∠AOC的度数，则可求得答案．【解答】解：∵∠BAO=25°，OA=OB，∴∠B=∠BAO=25°，∴∠AOB=180°﹣∠BAO﹣∠B=130°，∵∠ACO=40°，OA=OC，∴∠C=∠CAO=40°，∴∠AOC=180°﹣∠CAO﹣∠C=100°，∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=30°．故答案为30°．【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．注意利用等腰三角形的性质求解是关键．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．【考点】二次函数的性质；菱形的性质．【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+，根据二次函数的性质即可求得最大值．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为，故答案为．【点评】本题库存了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．三、解答题：本大题共10小题，共78分15．先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a），其中a=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】计算题；探究型．【分析】根据平方差公式和单项式乘以多项式可以对原式化简，然后将a=代入化简后的式子，即可解答本题．【解答】解：（a+2）（a﹣2）+a（4﹣a）=a2﹣4+4a﹣a2=4a﹣4，当a=时，原式=．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字0，1，2，每个小球除数字不同外其余均相同，小华先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字、用画树状图（或列表）的方法，求小华两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是3的概率．【解答】解：列表得：1 2 3和1 2 3 42 3 4 53 4 5 6∴P（和为3）=．【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是要区分放回实验还是不放回实验．17．A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．【考点】分式方程的应用．【分析】关键描述语为：“A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同”；等量关系为：400÷A型机器每小时加工零件的个数=300÷B型机器每小时加工零件的个数．【解答】解：设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件（x﹣20）个．根据题意列方程得：=，解得：x=80．经检验，x=80是原方程的解．答：A型机器每小时加工零件80个．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．18．某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了n名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）求n的值；（2）根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）可直接由条形统计图，求得n的值；（2）首先求得统计图中课外阅读量超过10本的百分比，继而求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：n=6+33+26+20+15=100，答：n的值为100；（2）根据题意得：×1100=385（人），答：估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数为：385人．【点评】此题考查了条形统计图的知识以及由样本估计总体的知识．注意能准确分析条形统计图是解此题的关键．19．如图，为了解测量长春解放纪念碑的高度AB，在与纪念碑底部B相距27米的C处，用高1.5米的测角仪DC测得纪念碑顶端A的仰角为47°，求纪念碑的高度（结果精确到0.1米）【参考数据：sin47°=0.731，cos47°=0.682，tan47°=1.072】【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作DE⊥AB于E，根据正切的概念求出AE的长，再结合图形根据线段的和差计算即可求解．【解答】解：作DE⊥AB于E，由题意得DE=BC=27米，∠ADE=47°，在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=27×1.072=28.944米，AB=AE+BE≈30.4米，答：纪念碑的高度约为30.4米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，BE与CD交于点G （1）求证：BD∥EF；（2）若=，BE=4，求EC的长．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵DF=BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF；（2）∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．∵DF∥EC，∴△DFG∽CEG，∴=，∴CE==4×=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．21．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示（1）求甲车从A地到达B地的行驶时间；（2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论；（2）根据题意列方程组即可得到结论；（3）根据题意列算式即可得到结论．【解答】解：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时），答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时；（2）设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y=kx+b，∴，解得：，∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y=﹣100x+550；（3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小时，当x=3.75时，y=175千米，答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米．【点评】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．22．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．应用：如图3，四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，则AB﹣AC=a（用含a的代数式表示）【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】探究：欲证明DB=DC，只要证明△DFC≌△DEB即可．应用：先证明△DFC≌△DEB，再证明△ADF≌△ADE，结合BD=EB即可解决问题．【解答】探究：证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC=DB．应用：解；如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴∠B=∠FCD，在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DF=DE，CF=BE，在RT△ADF和RT△ADE中，，∴△ADF≌△ADE，∴AF=AE，∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE，在RT△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=45°，BD=a，∴BE=a，∴AB﹣AC=a．故答案为a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．23．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E 运动的时间为t秒（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；（2）求点H与点D重合时t的值；（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为4；当OO′⊥AD时，t的值为3．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由题意知：AE=2t，由锐角三角函数即可得出EF=t；（2）当H与D重合时，FH=GH=8﹣t，由菱形的性质和EG∥AD可知，AE=EG，解得t=；（3）矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形需要分以下两种情况讨论：①当H在线段AD上，此时重合的部分为矩形EFHG；②当H在线段AD的延长线上时，重合的部分为五边形；（4）当OO′∥AD时，此时点E与B重合；当OO′⊥AD时，过点O作OM⊥AD于点M，EF与OA相交于点N，然后分别求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得t的值．【解答】解：（1）由题意知：AE=2t，0≤t≤4，∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，∴sin∠BAD=，∴EF=t；（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，∴AF=t，当H与D重合时，此时FH=8﹣t，∴GE=8﹣t，∵EG∥AD，∴∠EGA=30°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC=30°，∴∠BAC=∠EGA=30°，∴AE=EG，∴2t=8﹣t，∴t=；（3）当0≤t≤时，此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为矩形EFHG，∴由（2）可知：AE=EG=2t，∴S=EF•EG=t•2t=2t2，当＜t≤4时，如图1，设CD与HG交于点I，此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为五边形FEGID，∵AE=2t，∴AF=t，EF=t，∴DF=8﹣t，∵AE=EG=FH=2t，∴DH=2t﹣（8﹣t）=3t﹣8，∵∠HDI=∠BAD=60°，∴tan∠HDI=，∴HI=DH，∴S=EF•EG﹣DH•HI=2t2﹣（3t﹣8）2=﹣t2+24t﹣32；（4）当OO′∥AD时，如图2此时点E与B重合，∴t=4；当OO′⊥AD时，如图3，过点O作OM⊥AD于点M，EF与OA相交于点N，由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，∴FN=t，FM=t，∵O′O⊥AD，O′是FG的中点，∴O′O是△FNG的中位线，∴O′O=FN=t，∵AB=8，∴由勾股定理可求得：OA=4∴OM=2，∴O′M=2﹣t，∵FE=t，EG=2t，∴由勾股定理可求得：FG2=7t2，∴由矩形的性质可知：O′F2=FG2，∵由勾股定理可知：O′F2=O′M2+FM2，∴t2=（2﹣t）2+t2，∴t=3或t=﹣6（舍去）．故答案为：t=4；t=3．【点评】本题考查四边形的综合问题，涉及矩形和菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．24．如图，在平面直角坐标系中，有抛物线y=a（x﹣h）2．抛物线y=a（x﹣3）2+4经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B，P是抛物线y=a（x﹣3）2+4上一点，且在x轴上方，过点P作x轴的垂线交抛物线y=（x﹣h）2于点Q，过点Q作PQ的垂线交抛物线y=（x﹣h）2于点Q′（不与点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．（1）求a的值；（2）当抛物线y=a（x﹣h）2经过原点时，设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l．①求的值；②求l与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出h的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把（0，0）代入y=a（x﹣3）2+4即可解决问题．（2）①用m的代数式表示PQ、QQ′，即可解决问题．②分0＜m≤3或3＜m＜6两种情形，画出图形，利用相似三角形或锐角三角函数求出相应线段即可解决．（3），①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，四边形OAQQ′是等腰梯形．②当四边形OQ′1Q1A是菱形时，求出抛物线对称轴即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x﹣3）2+4经过原点，∴x=0时，y=0，∴9a+4=0，∴a=﹣．（2）∵抛物线y=a（x﹣h）2经过原点时，∴h=0，∵a=﹣，∴y=﹣x2．①∵P（m，﹣+m），Q（m，﹣），∴PQ=﹣+m﹣（﹣）=m，QQ′=2m，∴==．②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，∵=，∠PQQ′=∠BMO=90°，∴△PQQ′∽△BMO，∴∠QPQ′=∠OBM，∵EF∥BM，∴∠OEF=∠OBM，∴∠OEF=∠QPQ′，∴OE∥PQ′，∵=，∴EF=，OE=，∴l=OF+EF+OE=m++m=4m，当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA 于M．∵AF=6﹣m，tan∠EAF==，∴EF=m，AE=，∵tan∠PGF==，PF=﹣+，∴GF=﹣m2+2m，∴AG=﹣m2+m+6，∴GM=AM=﹣m2+m+3，∵HG=HA=，=﹣m2+m+5，∴l=GH+EH+EF+FG=﹣m2++10．综上所述l=．（3）如图3中，①当h=3时，两个抛物线对称轴x=3，∴点O、A关于对称轴对称，点Q，Q′关于对称轴对称，∴OA∥QQ′，OQ′=AQ，∴四边形OAQQ′是等腰梯形，属于轴对称图形．②当四边形OQ′1Q1A是菱形时，OQ′1=OA=6，∵Q′1Q1=OA=6，∴点Q1的纵坐标为4，在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，∴HQ′1=2，∴h=3﹣2或3+2，综上所述h=3或3﹣2或3+2时点O，A，Q，Q′为顶点的四边形是轴对称图形．【点评】本题考查二次函数的综合题、相似三角形的性质和判定、菱形的性质、等腰梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要正确画出图象解决问题，属于中考压轴题．。

2019年吉林省长春市中考数学试题(原卷+解析)

2019年吉林省长春市中考数学试题(原卷+解析)

2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是2，故选：B．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75×108．故选：C．3．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．故选：A．4．【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2系数化为1得：x≤2．故选：D．5．【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：．故选：D．6．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．7．【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC，∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，故选：B．8．【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k 的值．【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），∴OA＝OC＝3，在Rt△AOC中，AC＝，又∵AC＝2BC，∴BC＝，又∵∠ACB＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，∴CD＝BD＝＝，∴OD＝3+＝∴B（，）代入y＝得：k＝，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．【分析】直接合并同类二次根式即可求解．【解答】解：原式＝2．故答案为：2．10．【分析】直接提取公因式b，进而分解因式即可．【解答】解：ab+2b＝b（a+2）．故答案为：b（a+2）．11．【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，故答案为：5．12．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵直线MN∥PQ，∴∠MAB＝∠ABD＝33°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．故答案为：57．13．【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，∴AE＝AD＝6，∴EB＝AB﹣AE＝2，由题意得，四边形EFCB为矩形，∴FC＝ED＝2，∵AB∥FC，∴∠GFC＝∠A＝45°，∴GC＝FC＝2，由勾股定理得，GF＝＝2，则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2，故答案为：4+2．14．【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP 的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）∵点M为线段AB的中点，∴点B坐标为（4，）设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）将点P（1，）代入得＝k∴y＝（）x将点B（4，）代入得＝（）×4解得a＝2故答案为：2．三、解答题（共10小题，满分78分）15．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1，当a＝时，原式＝8a+1＝2．16．【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．17．【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：﹣＝5，解方程即可．【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：﹣＝5，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．18．【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，得到∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，根据余角的性质得到∠EBF＝∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE＝90°﹣55°＝35°，根据圆周角定理得到∠BOF＝2∠BAE＝70°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠EBF＝∠BAF，在△ABE与△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：连接OF，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．19．【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；（2）由平均数乘以18即可；（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m的值为＝2.5，众数n为2.5；故答案为：2.5，2.5；（2）2.4×18＝43.2（小时），答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）200×＝130（人），答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．20．【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；（2）如图②所示，△CDN即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；21．【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；（2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．故答案为：75；3.6；4.5；（2）60×3.6＝216（千米），当2＜x≤3.6时，设y＝k1x+b1，根据题意得：，解得，∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，∴；（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝（小时），此时甲、乙两车之间的路程为：135×﹣270＝180（千米）．答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．22．【分析】教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△DEG∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF ＝；（2）如图③，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出▱ABCD的面积＝4×＝6．【解答】教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝3，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴△BOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．23．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．（2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN 的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．∴AB＝＝＝25．∴，由题可知AP＝5t，∴PN＝AP•sin∠CAB＝＝3t．故答案为：①25；②3t．（2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，∵PN⊥AB，∴PQ∥AB，∴，由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，∴，解得t＝，即当▱PQMN为矩形时t＝．（3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，由（1）题可知：cos A＝sin B＝，cos B＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．∴AN＝AP•cos A＝4t，BG＝BQ•cos B＝9﹣3t，QG＝BQ•sin B＝12﹣4t，∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，∴0＜3t≤12﹣4t，∴0＜t．∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．∴当0＜t时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN•NG＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG 时，即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝＝．综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当，S＝．（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，NK＝PN•cot∠PKN＝3t＝，∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，∴NH＝GH＝，HR＝，∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t）＝7t﹣12．HR＝．∴KH＝HR•cot∠HKR＝＝，∵NK+KH＝NH，∴，解得：t＝，Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，∴HQ＝QR•sin∠QRH＝∵PC＝20﹣5t，∴20﹣5t＝，解得t＝．综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，24．【分析】（1）①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；故函数的最大值为；（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，得到n＝，所以＜n≤4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n和y＝﹣x2+x+中，得到n ＝2，n＝，所以2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；（3）当x＝n时，＞4，得到n＞8；当x＝时，+≤4，得到n≥，当x＝n时，y＝﹣n2+n2+n＝n，n＜4．【解答】解：（1）当n＝5时，y＝，①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，∴b＝；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；∴函数的最大值为；（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝，∴＜n≤4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝2，将点（2，2）代入y＝﹣x2+x+中，∴n＝，∴2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；综上所述：＜n≤4，2≤n＜时，图象与线段AB只有一个交点；（3）当x＝n时，y＝﹣n2+n2+＝，＞4，∴n＞8；当x＝时，y＝+，+≤4，∴n≥，当x＝n时，y＝﹣n2+n2+n＝n，n＜4；∴函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n＞8或n≤＜4．。

2019长春中考数学压轴题详细解析

2019长春中考数学压轴题详细解析

2019长春中考压轴题分析已知函数y= （1）当n=5，①点P （4，b ）在此函数图象上，求b 的值． ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，求n 的取值范围． 解：（1） ①当n=5时，y=∵4＜5，∴b=-12（-42+5×4+5）=92②将函数解析式化为顶点式得y=当x ≥5时，x=5取最大值y=5. 当x ＜5时，x=52时y 取最大值458 ∴此时函数最大值为458（2） 由y=得两抛物线对称轴为x=n2，开口均向下，抛物线图像分成左右两部分，当n 增大时，图像从左到右移动，x=n 的右侧图像先与线段AB 有交点，临界点是A 点落在抛物线y=-x ²+nx+n(x≥n)上把A （2，2）代入解析式中得n=2，n 增大，直到x=n 左侧抛物线y=-12x ²+n 2x+n 2 (x ＜n)与A(2,2)相交,此时n=83所以2≤n ＜83n 增大n 继续增大，x=n 右侧图像过B （4，2）时n=158，n 继续增大抛物线y=-x ²+nx+n(x≥n)与线段AB 无交点，x=n 左侧图像有线段AB 有1交点，直到左侧图像y=-12x ²+n2x+n2 (x ＜n)过B （4.2）点，此时n=4，所以158＜n ≤4 综上所述n 的取值范围是2≤n ＜83或158＜n ≤4。

（3）作直线y=4和y=-4，找两直线与抛物线有4交点的情况，n 从小到大考虑 n ＜0时① 两抛物线对称轴在x=n 右侧（n ＜n2）y=-x ²+nx+n(x≥n)抛物线最高点是x=n 2时，y=n ²4+n 。

x=n 时y=ny=-12x ²+n2x+n2(x ＜n)抛物线最高点是x=n 时，y=n2＞y=n （x=n 时蓝线在上） n 足够小时抛物线与y=4和y=-4有4个交点当n 增大y=n2=-4时n=-8，所以n ≤-8满足题意。

吉林省2019年中考数学真题试题(含解析)

吉林省2019年中考数学真题试题(含解析)

吉林省2019年初中毕业生学业水平考试数学试题数学试题共6题，包括六道大题，共26道小题。

全卷满分120分，考试时间为120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，请您将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时，请您按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）（第1题）A．3 B．2 C．1 D．－1答案：D考点：数轴。

解析：蝴蝶在原点的左边，应为负数，所以，选项中，只有－1有可能，选D。

2．如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（）（第2题）A．B．C．D．答案：D考点：三视图。

解析：从上面往下看，能看到一排四个正方形，D符合。

3．若a为实数，则下列各式的运算结果比a小的是（）A．1a÷a⨯D．1a+B．1a-C．1答案：B考点：实数的运算。

解析：1a 表示比a 小1的数，所以，B 符合。

4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ） A ．30°B ．90°C ．120°D ．180°（第4题）答案：C 考点：旋转。

解析：一个圆周360°，图中三个箭头，均分圆，每份为120°， 所以，旋转120°后与自身重合。

选C 。

5．如图，在⊙O 中，AB 所对的圆周角∠ACB =50°，若P 为AB 上一点，∠AOP =55°，则∠POB 的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°OPC BA （第5题）答案：B考点：同弧所对圆周角与圆心角之间的关系。

解析：圆周角∠ACB 、圆心角∠AOB 所对的弧都是弧AB ， 所以，∠AOB ＝2∠ACB ＝100°，∠POB ＝∠AOB －∠AOP ＝100°－55°＝45°， 选B 。

(完整版)2019年吉林省长春市中考数学试题(,含解析)

(完整版)2019年吉林省长春市中考数学试题(,含解析)

8
C． 2.75×10
9Hale Waihona Puke D． 2.75× 103．（3 分）如图是由 4 个相同的小正方体组成的立体图形， 这个立体图形的主视图是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．（ 3 分）不等式﹣ x+2≥ 0 的解集为（
）
A ．x≥﹣ 2
B ．x≤﹣ 2
C． x≥ 2
D．x≤2
5．（ 3 分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，
人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每
人出九钱，会多出 11 钱；每人出 6 钱，又差 16 钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设
人数为 x，买鸡的钱数为 y，可列方程组为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（ 3 分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子 的夹角为 α，则梯子顶端到地面的距离 C 为（ ）
AC 向终点 C 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿射线 CB 运动，它们的速度均为每秒 5 个 单位长度，点 P 到达终点时， P、 Q 同时停止运动．当点 P 不与点 A、 C 重合时，过点 P
作 PN ⊥AB 于点 N，连结 PQ，以 PN、 PQ 为邻边作 ? PQMN ．设 ? PQMN 与△ ABC 重叠
相交于点 G，则△ GCF 的周长为
．
14．（ 3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y＝ ax2﹣ 2ax+ （ a＞ 0）与 y 轴交于点 A，
过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M ． P 为抛物线的顶点．若直线 OP 交直线 AM 于
点 B，且 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值为

2019年吉林长春中考数学试题(解析版)

2019年吉林长春中考数学试题(解析版)

{来源}2019年吉林省长春市中考数学试卷{适用范围:3．九年级}{标题}2019年吉林省长春市中考数学试卷考试时间：100分钟满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）{题目}1.（2019吉林长春，T1）如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A.-2B.2C.12D.12A{答案} B{解析}本题考查了数轴，解题的关键是利用数形结合求出数轴上两点的距离．因为022，故选择B.{分值}3{章节:[1-1-2-4]绝对值}{考点:绝对值的意义}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}2. （2019吉林长春,T2）2019年春运期间，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A. 2．75×107B. 2．75×109C. 2．75×108D. 2．75×109 {答案}C{解析}本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题的关键是能根据科学记数法的记数规则确定表示的结果．根据科学记数法的定义，需要将140 000改写成a×10n的形式(其中1≤a ＜10，n为整数)，因此，先确定a的值，再确定n的值即可．275000000＝2．75×108，故选择C．{分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}3. （2019吉林长春,T3）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）{答案}A{解析}本题考查了三视图，解题的关键是会从不同侧面观察立体图形，并且抽象出平面图形．主视图是从前面看得到的图形，按照这个方法得出本题答案． 解：主视图有二列，第一列有一层，第二列有两层，故选择 A .{分值}3{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形} {考点:简单组合体的三视图} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}4. （2019吉林长春，T4）不等式-x+2≥0的解集为（ ） A.x ≥-2 B. x ≤-2 C. x ≥2 D. x ≤2 {答案}D{解析}本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键．按照解不等式的步骤，先移项，然后后系数化为1即得到不等式的解集． 解：移项得-x ≥-2，系数化为1得， x ≤2，故选择D ． {分值}3{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}5.（2019吉林长春，T5）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（ ） A. ⎩⎨⎧=+=+y x y x 166119 B.⎩⎨⎧=-=-y x yx 166119 C.⎩⎨⎧=-=+y x yx 166119 D. ⎩⎨⎧=+=-y x yx 166119{答案} D{解析}本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是能从给定的问题中找出相等关系．不难发现题中有两个相等关系：x 人每人出9钱的总数-11钱＝买鸡的钱数为y ；x 人每人出6钱的总数+16钱＝买鸡的钱数为y ，据此列出方程组即可．解：∵每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，∴可列方程组为⎩⎨⎧=+=-yx yx 166119，故答案为D ． {分值}3{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}{考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}6. （2019吉林长春,T6）如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米，若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC 为（ ）米. A. 3sin B. 3cosC.3sinD. 3cos{答案} A{解析}本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟练并准确掌握锐角三角函数的计算公式．根据锐角三角函数定义得出sin =BCAB ，代入求出即可.∵sin =BCAB，AB =3，∴BC =3sin ，故选A. {分值}3{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形的应用} {类别:常考题}{类别:易错题}{难度:4-较高难度}{题目}7. （2019吉林长春,T7）如图，在ABC 中，ACB 为钝角，用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ，使∠ADC=2∠B ，则符合要求的作图痕迹是（ ）.{答案}B{解析}本题考查了尺规作图及线段垂直平分线的应用，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和判定．按作图的痕迹一一分析哪种作图的结束满足CD ＝BD ．假设点D 在AB 上存在，由CD ＝BD ，可得∠BCD=∠B ，所以有∠ADC=2∠B ，于是点D 在BC 垂直平分线上，故选B. {分值}3{章节:[1-11-2]与三角形有关的角} {考点:垂直平分线常见辅助线的作法} {类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题目}8. （2019吉林长春,T8）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（0，3）和（3，0），∠ACB=90°，AC=2BC ，函数0,0ky k x x的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A.92B. 9C. 278D. 274{答案}D{解析}过点B 作BD ⊥x 轴，∴∠AOC ＝∠BDC =90°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACO=∠C BD ，∴△AOC ∽△CDB ，∴2AO OC AC CD BD BC，∵AO=3，CO=3，∴32BD CD，∴39322OD，∴B 点的坐标为（92，32），∵函数0,0ky k x x的图象经过点B ，∴9327224k.{分值}3{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似基本图形}{考点:一线三等角} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，合计18分．{题目}9．（2019吉林长春,T9）计算：355 = .{答案}25{解析}本题考查了二次根式的化简与加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简与合并法则．解：原式＝355=2525{分值}3{章节:[1-16-3]二次根式的加减} {考点:二次根式的加减法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}10．（2019吉林长春,T10）分解因式：2ab b = . {答案}2b a{解析}本题考查了运用提公因式法把多项式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握提因式法分解因式的方法与步骤．先找到多项式各项的公因式，再提取公因式． 解：因为2ab b ＝2b a ． {分值}3{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－提公因式法}{类别:常考题}{难度:1-最简单}x x根的判别式的值为. {题目}11．（2019吉林长春,T11）一元二次方程2310{答案}5{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式（b2－4ac)与一元二次方程根字母系数之间的关系．△=（﹣3）2﹣4×1×1=5.{分值}3{章节:[1-21-2-2]公式法}{考点:根的判别式}{类别:常考题}{难度:1-简单}{题目}12．（2019吉林长春,T12）如图，直线MN∥PQ，点A，B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°，过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度.{答案}57°{解析}本题考查了几何初步知识，涉及到的知识点有：平行线的性质、三角形的内角和定理，解题的关键是能熟练运用上述有关知识求得∠CDB的度数．解：如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAB＝∠ABD=33°，∵∠BCD＝90°，∴∠CDB＝90°－33°＝57°．{分值}3{章节:[1-5-3]平行线的性质}{考点:两直线平行同位角相等}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:2-简单}{题目}13．（2019吉林长春,T13）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为.{答案}422{解析}考查折叠的性质，相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质等知识，由矩形纸片ABCD ，AB=8，AD=6，AB=DC-DF ，DF=AD ，AB ∥FC ，∴△ABG ∽△FCG ，根据相似三角形的对为边成比例，即可求得GC ，FG 的长度，继而求得周长为422.{分值}3{章节:[1-18-2-1]矩形}{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:4-较高难度}{题目}14．（2019吉林长春,T14）如图，在平面直角坐标系中，抛物线28203y ax axa 与y 轴交于点A ，过A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点，若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 .{答案}2{解析}考查二次函数图象与性质，由A 纵坐标为83，因顶点坐标公式，点P 的横坐标为1，根据对称关系求得M （2，83），M 为线段AB 中点，所以B （4, 83），代入直线AM 的解析式y kx 中，求得其解析式为23y x ，再由顶点坐标公式求得P （1, 83a）代入计算可得a =2.{分值}3{章节:[1-22-1-1]二次函数}{考点:含参系数的二次函数问题} {类别:常考题}{类别:易错题} {难度:5-高难度}{题型:4-解答题}三、解答题（本大题共10小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）{题目}15．（2019吉林长春,T15）先化简，再求值：22141a a a ，其中18a.{解析}本题考查了整式的混合计算-化简求值，解题的关键是利用整式的乘法法则和加减法法则进行计算。

2019年吉林省长春市中考数学试卷附分析答案

2019年吉林省长春市中考数学试卷附分析答案

过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M．P 为抛物线的顶点．若直线 OP 交直线 AM 于
点 B，且 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值为
．
三、解答题（共 10 小题，满分 78 分） 15．（6 分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中 a耀 ． 16．（6 分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最右边有一个正方形．
故选：A．
4．（3 分）不等式﹣x+2≥0 的解集为（ ）
A．x≥﹣2
B．x≤﹣2
C．x≥2
D．x≤2
【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2
系数化为 1 得：x≤2．
故选：D．
5．（3 分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，
晦 䁚 h晦 䁚 h， 晦 h ， 晦 䁚 h 晦 䁚 h ， 晦＜h （n 为常数）
（1）当 n＝5，
①点 P（4，b）在此函数图象上，求 b 的值； ②求此函数的最大值． （2）已知线段 AB 的两个端点坐标分别为 A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段
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AB 只有一个交点时，直接写出 n 的取值范围． （3）当此函数图象上有 4 个点到 x 轴的距离等于 4，求 n 的取值范围．
0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数 y耀 晦（k＞0，x＞0）的图象经过点 B，则 k 的值 为（ ）
t
A．
B．9
C．
【解答】解：过点 B 作 BD⊥x 轴，垂足为 D， ∵A、C 的坐标分别是（0，3）、（3、0）， ∴OA＝OC＝3，
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2
（第1题）
【答案】A.
【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形，
【答案】B
【思路分析】本题主要考查作图-复杂作图，根据∠ADC=2∠B可得∠B=∠BCD，进而得出点D在线段BC的垂
【答案】D.
【思路分析】本题主要考查反比例函数系数
的性质，过点B作BD⊥x轴，首先根
和∠BCD的度数，然后根据等腰直角三角形的性质得出点【解答过程】解：过B作BD
2
【答案】4+2
【思路分析】本题主要考查翻折变换以及等腰直角三角形的性质，根据折叠的性质可得进而得出FG的长，进而得出答案.
【答案】2.
【思路分析】本题主要考查二次函数的综合运用，首先根据二次函数的解析式可得出点将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)
【思路分析】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，（1）根据四边形ABCD是正方形，
∠EBF=∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接OF，根据三角形的内角和得到
长公式即可得到结论．
【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD
∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠EBF=90°
【思路分析】本题主要考查了作图-应用与设计作图，
（1）根据AB的位置可作直角△ABM；
（2）根据CD的位置可作出△CDN；
（3）根据EF的位置可作出四边形EFGH.
【解题过程】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
【知识点】作图—应用与设计作图.
21.（2019吉林长春，21，8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以每小时60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的
【思路分析】本题主要考查函数图象以及待定系数法求一次函数的解析式（1）根据图象可得出甲乙两车在甲车行驶
乙车的速度，根据甲乙两车的速度即可求出
（2）根据（1）可得出A、B、C的坐标，根据待定系数法即可求出当（3）根据甲车的速度可得甲车到达距B地
【解题过程】解：（1）答案：75；3.6；4.5.
设乙车的速度为v，根据图象可得甲乙两车在甲车行驶
（2）如图，根据（1）可得A（2，0），B（3.6，
设当2＜x≤3.6时的解析式为y=k x+b，则
22.（2019吉林长春，22，9分）教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.
结论应用：在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为边BC 的中点，AE 、（1）如图②，若平行四边形ABCD 为正方形，且AB=6，则OF 的长为
【思路分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据D 、E 分别是BC 、AB 的中点可得进而得出，进而证明出结论；（1）首先根据四边形ABCD 是正方形可得△BEF ∽△DAF ，进而得出
，进而得出然后根据OF=BD-BD 即可得出答案；12CG AG AC GE GD DE
===12BE AD =BF BD 1213
【思路分析】本题主要考查勾股定理以及相似三角形的判定与性质，（1）根据勾股定理即可求出AB的长，根据
案；
Y
（2）当PQMN为矩形时，PQ⊥PN可得
∵∠C=90°，
∴△QDB ∽△ACB ，
∴
，∴DB=，7DB QB CB AB
=155159325QB t CB t AB -=⨯=-g
根据题意可得△QDB ∽△ACB ，
∴
，∴∴BD=9-3t ，
∴ND=25-(9-3t )-4t =16-t ，
∵PD ∥BC ，MN ∥PQ ，
∴∠PDN=∠DPQ ，∠DPQ=∠CQP ，
∴∠PDN=∠CQP.
∵∠C=90°，
∴△DEN ∽QCP ，
∴.QD BD QB AC BC AB
==1552012425QB t QD AC AB -==⨯=-g DN EN QP CP
=
∵MQ ∥PN ，
∴∠NPF=∠QDE ，
∴△NPF ∽△EDQ ，
∴.∵PD ∥BC ，
∴
，∴PF=，NF=.∵D 为QM 的中点，
PF NF DQ EQ
=PF AF AP BC AB AC
==154t 94t。

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