洪水频率计算(规范方法)

附录A 洪水频率计算

A1 洪水频率曲线统计参数的估计和确定

A1.1 参数估计法

A1.1.1 矩法。对于n 年连序系列，可采用下列公式计算各统计参数: 均值

∑==

n

i i X n X 1

1 （A1）

均方差 ∑=--=n

i i X X n S 1

2)(11

或 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=∑∑==n i n i i i X n X n S 1212)(111 （A2） 变差系数

X

S

C v =

（A3）

偏态系数

3

3

13

)2)(1()(v

n

i i s C

X n n X X n C ---=

∑=

或

33

1

3

1

1

21

32)2)(1()(23v

n

i n

i i n i i n

i i i s C

X n n n X X X n X n C --+⋅-=

∑∑∑∑==== （A4）

式中 X i ——系列变量（i=1，…，n ）； n ——系列项数。

对于不连序系列，其统计参数的计算与连序系列的计算公式有所不同。如果在迄今的N 年中已查明有a 个特大洪水（其中有l 个发生在n 年实测或插补系列中），假定（n-l ）年系列的均值和均方差与除去特大洪水后的（N-a ）年系列的相等，即l n a n l n a N S S X X ----==,，可推导出统计参数的计算公式如下：

)(11

1∑

∑+==--+=n

l i i a j j X l n a N X N X （A5）

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---+--=

∑∑++==n l i i a j j

v X X l n a N X X N X

C 1

2

12)()(111 （A6）

3

31313)2)(1()()(v

n l i i

a j j s C X N N X X l n a N X X N C --⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=∑∑+== （A7） 式中 X j ——特大洪水变量（j=1，…，a ）；

X i ——实测洪水变量（i=l +1，…，n ）。

A1.1.2 概率权重矩法。概率权重矩定义为

⎰=1

0)(dF x xF M j j j=0,1,2,… （A8）

皮尔逊Ⅲ型频率曲线的三个统计参数不能用概率权重矩的显式表达。但经推导有：

o M X = （A9）

)2

1

(

01-=M M H C v （A10） 2

/3/0102M M M M R --=

（A11） 式中，H 和R 都和C s 有关，并已有近似的经验关系如下：

⎪⎩

⎪⎨

⎧≤≤--=++-=)431()3/4(154.9472.1051.1341.1612

.0432R R R u u u u u C s

（A12）

⎪⎩

⎪⎨⎧<≤--=++-+=)3

41()3/4()1(60938.36315.2985.29545.314

.02

432

R R R V V V V V H （A13）

为保证C v 和C s 有二位小数准确，要求在用式（A11）计算R 时，M 0、M 1和M 2的计算值至少达到5位有效数字。

1 根据连序系列计算概率权重矩。将洪水系列按从大到小顺序排列，样本概率权重矩按下式计算：

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧-----=--==∑∑∑===n i i n i i

n

i i

o n n i n i n X n M n i

n X n M X n M 12111

)2)(1()1)((1111 （A14）

2 根据含历史洪水特大值的不连序样本计算概率权重矩。

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----------+-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=∑∑∑∑∑∑=-==-==-=a j l n i i j a j l n i i

j a j l n i i j o X l n l n i l n i l n l n a N C X N N j n j N N M X l n i l n l n a N C X N j N N M X l n a N X N M 1122111111)2)(1()

1)(()2)(1()1)((11111 (A15)

式中，C 1，C 2都是对不连序系列中实测洪水概率权重的修正系数。

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=2

2

11111N a N C N a N C (A16)

A1.1.3 双权函数法。均值仍用矩法，如式（A1）计算。而C v 和C s 的计算公式为

1

1

11121

21

H E D A H k E X h C v +--=

（A17） )1

(2112h

D A C X C C v v s +-

= （A18）

式中，k 、h 是待优选的系数，可采用未加权的、数值积分计算的C v ，按下式选定：h=C v ，K=1/C v 。

⎰∞

Φ-=δ

dx x f x X X E )()()(11

（A19） ⎰∞

Φ-=

δ

dx x f x X X H )()()(121

（A20）

⎰∞

=δψdx x f x A )()(1

1

（A21）

⎰∞

-=

δ

ψdx x f x X X D )()()(11

（A22）

第一权函数

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡--=Φ2222)(exp 2)(X X X k X k x π （A23） 第二权函数 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡--=X

X X h x )(exp )(1ψ （A24） 积分式（A19）~式（A22）可用数值积分公式计算。例如，当n 为奇数时，采用权积分系数：8，-4，8，1，4，2，4，2，…，2，4，1，8，-4，8，总权数=3（n+1）；当n=偶数时，采用64，-32，64，8，32，16，32，16，…，32，17，27，27，17，32，16，32，…，16，32，8，64，-32，64，总权数=24（n+1）。