第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)解读

b
X
|yA-yB|
a
O

a b
b
AB
a
|yA-yB|
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求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
B
a
b

b a
A a
|xA-xB|
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直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
b
直线对投影面的倾角： 对水平投影面的倾角—— 对正立投影面的倾角—— 对侧立投影面的倾角——
YH
c(d)
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
投影面平行线 特殊位置直线
水平线 正平线 侧平线 铅垂线 正垂线 侧垂线
垂直于某一投影面
投影面垂直线 一般位置直线
铅 垂 b 线 X a b YW
b
a
b
O YH
c 侧 垂 线 X c
d 水 平 线 Z c X d O YH c d YW
O d
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
b’
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
V

b X O YW X a O

b YW
a


b
b
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YH
YH
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各种位置直线的投影特性
投影面垂直线
铅垂线（垂直于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面）
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铅垂线—
a A b
垂直于水平投影面的直线
a Z a
a
b
X O
b
YW
铅垂线的投影特性：
与三个投影面都倾斜的直线。 b Z
b
a X
a
O
YW

投影特性： 三个投影都是缩短了的倾 斜线段, 都不反映空间线段的 实长及与三个投影面的倾角。
a
b YH
思考：从属于投影面及投影轴的 直线的投影特性是什么？其投影 如何作图？
例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。
a
侧 平 X 线
Z a O
例6：判断点C是否在线段AB上。
① a’ X
a c c
b O
②
a’
c
●
b’ b X a O c
●
b
点C在直 线AB上
点C不在直 线AB上
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例7：判断点K是否在线段AB上。
与三个投影面都倾斜
各种位置直线的投影特性
投影面平行线——
水平线（平行于Ｈ面且…）
正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
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正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z b a B
实长

b
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
正平线的投影特性： 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与 OX轴、OZ轴 a b b a 的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（ a b=AB， YH 反映、角的真实大小）； 2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且 小于实长。 （ab OX ; a b OZ）
直线上的点
直线上点的投影特性——
从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
V a c
C A
b
B
a
c
b H
Байду номын сангаас
定比性：若点在直线上，则点的投影分割线 段的同面投影之比与空间点分割线段之比相 等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= ac / cb = ac : c b，利用这一特性，在不作侧面投 影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已 知点是否在侧平线上。
a’ X a
O
b
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例3:
过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与 H面的倾角=30°。
Z b’ a’
30°
X
O
解题思路：熟悉正平 b” 线的投影特性，并从 反映实长和的投影 入手。 a” YW 作图要点:１．做正 平线的正面投影；
２．过点a做正平线 的水平投影和侧面投 影。
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投影面平行线的投影特性：
V
投影面平行线 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
a' a" 该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的 b' a' A a" 倾角； A b" 2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴， a B a b 侧 且小于实长。 b 水 平 a z 平 Z a b a b 线 线 B b" b'
B a(b)
b a(b) YH
1、水平投影积聚为一点（ab积聚成一点） ； 2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于 OX轴、OY轴。（ab = ab = AB；a bOX ；a b
OYW ）
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垂直线的投影特性： 投影面垂直线
1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点； V V
例 5： 已知直线的一个投影a’b’及实长，求直线的投影ab。
AB
实长
B0
解题思路及步骤——
b’
1.根据直角三角形的组成，利 用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
X
a’ a b
3. 利用Y坐标差求ab投影。 思考：若将已知条件实长换 成=30°，则如何解题？
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2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂 b" B b" a" A B a" A 直于相应的投影轴。
正 垂 线
X b
a b YH
9
a'b'
a'
b'
b a
a'b' O Z b" a" YW
侧 垂 线
X
a
Z
b
a'
b'
b" a" YW
O
a
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YH
各种位置直线的投影特性

一般位置直线（投影面倾斜线）
第二章 点、直线、平面的投影
直线的投影 直角三角形法求线段实长及倾角 直线上的点
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两直线的相对位置关系
1
直线的投影
a’ 两点决定一条直线。 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
分别将两点的同名（同面）投影 b’ 用直线连接，就得到直线的投影。 X
Z
a”
b”
a
O YW
a
b
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a
b YH
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直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角
AB
|zA-zB| |zA-zB|
ab


|zA-zB |
AB
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AB
|zA-zB|
求直线AB的实长及其对 水平投影面的倾角 角。
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ab
求直线的实长及对正面投影面的倾角 角
AB
|yA-yB|