平均数问题

平均数问题
　甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？
把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好.
篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？
把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.
要衡量“若干个数”的大小，常用的办法就是求它们的平均值.
求平均值有两种方法，我们通过一个例子来说明.
例1 一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是
95，87，94，100，98.
那么他的平均成绩是多少？
解：方法1 把所有分数加起来，除以次数，即
（95＋87＋94＋100＋98）÷5＝94.8.
方法2 先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设87为基数，求其他数与87的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即
[（95-87）+（87-87）+（94-87）+（100-87）+（98-87）]÷5+87
=（8+0+7+13+11）÷5+87
=7.8+87
=94.8.
对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.
方法1：各个数的总和÷数的个数
方法2：基数+每一数与基数的差求和÷数的个数.
这两种方法将形成两种解题思路.
方法2的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特别便于心算.当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设中间的那个数作为基数.方法2启示我们，求平均数就是把数之间的“差”扯平.
一、一些简单的问题
求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均”这一概念的理解.
例2 小明4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了97分，5次测验的平均成绩是多少？
解：按照例1中的两种思路，有两种计算方法：先算出5次成绩的总和，再求平均成绩，就有
（89×4+97）÷5=90.6（分）.
从算每一次“差”的平均入手，就有
89+（97-89）÷5=90.6（分）.
很明显，第二种方法计算简易.
例3 小强4次语文测验的平均成绩是87分，5次语文测验的平均成绩是88.4分，问第5次测验他得了多少分？
解：两种思路，两种计算方法：
从总分数（总成绩）来考虑.
第5次成绩=5次总成绩-4次总成绩
=88.4×5-87×4
=94（分）.
从“差的平均”来考虑，平均成绩要提高
88.4-87.
因此，第5次得分应是
87+（88.4-87）×5=94（分）.
请大家想一想，例2与例3这两个问题之间的关系.
　

　例4 小明前几次数学测验的平均成绩是84分，这一次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这一次是第几次测验？
解：平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？
（100-84）÷（86-84）=8（次）.
因此这一次测验是第8次.
例5 寒假中，小明兴致勃勃地读《西游记》，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多3.2页，问小明在第五天读了多少页？
解：前四天，每天平均读的页数是
（83+74+71+64）÷4=73（页）.
很明显，第五天读的页数比73页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：

图上“73”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用3.2去补足这些增加的平均数值，3.2共要补足四份，每份是
3.5÷4=0.8.
由此就知道，第五天读的页数是
73+0.8+3.2=77（页）.
例6 甲、乙、丙三人，平均体重63千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重2千克.求乙的体重.
解：甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多3×2=6（千克）.已知甲比丙重2千克，就得出乙比丙多
3×2-2=4（千克）.
从方法2知道
丙的体重+差的平均=三人的平均体重.
因此，丙的体重=63-（3×2）÷3
=61（千克）.
乙的体重＝61+4=65（千克）.
例7 下面是一串有规律的数
5，9，13，17，21，25，29.
从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是4，求这串数的平均数.
解：上面共有7个数，第2个数比第1个数多4，而第6个数比第7个数少4.因此，第1个和第7个的平均数（5+29）÷2=17，与第2个和第6个的平均数（9+25）÷2=17是相等的.同样道理，第3个和第5个的平均数也是17.由此，可以得出这串数的平均数，就是头、尾两数的平均值17.
当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列数，就称为等差数列.例7中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短，不论它有多少数，总有一个基本性质：它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很明显，当等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.
利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数的个数.例7中7个数之和是
（5+29）÷2×7=119.
例8 小强在前五天平均每天做了3.6道数学题，第四

、五两天共做了5题.第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？
解：（前三天题数÷3+后三天题数÷3）÷2=六天题数÷6.
因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做的题数，比前三天做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.
前三天做的题数是
3.6×5-5=13（题）.
第四、五天已做了5题，13-5=8，小强第六天至
少要做9题.
答：小强第六天至少要做9题.
二、部分平均与全体平均
例9 某次考试，21位男同学的平均成绩是82分，19位女同学的平均成绩是87分，全体同学的平均成绩是多少？
解：有两种求法：
方法1
男同学的总分数 82×21=1722，
女同学的总分数 87×19=1653，
全体同学的总分数 1722+1653=3375，
全体同学的人数 21+19=40，
全体同学的平均成绩3375÷40=84.375.
方法2
以男同学的平均成绩82分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分），19人多了5×19=95（分），现在平均分摊给全体40人.
因此，全体同学的平均成绩是
82+（87-82）×19÷40
=82+95÷40
=84.375（分）.
注意 从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求平均，如例9，（82+87）÷2=83.5，它不是全体的平均成绩.这一基本概念，大家必须弄清楚.
例10 甲班52人，乙班48人.语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是78分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分.两个班的平均成绩各是多少？
解：两个班的全体人数是
52+48=100（人）.
他们的分数总和是
78×100=7800（分）.
以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了5分，如果乙班的分数总和少了5×48=240（分），乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是
（7800-240）÷100=75.6（分）.
乙班的平均成绩是
75.6+5=80.6（分）.
例11 女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少千克？
解：题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？
设全体女同学是1组人，那么男同学就是2组人.
女同学的体重总和： 35×1组人数.
男同学的体重总和： 41×2组人数.
全体总人数：（1+2）组人数.
全体同学平均体重是
（35×1+41×2）÷（1+2）=39（千克）.
上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1个女同学与2个男同学”的情形一样.
还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2

组人每人都多（41-35）千克，平摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是
35+（41-35）×2÷（2+1）=39（千克）.
例12 某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次.结果，前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分.一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均成绩，加上后20名的平均成绩，再除以2，错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少.
解：全班平均成绩降低了.
按照这位同学的计算，相当于把前30名同学比后20名同学平均多出的12分作了平分.因此相当于前30名同学每人少了6分，后20名同学每人多了6分，合起来全班的总分就少了
30×6-20×6=60（分）.
全班的平均成绩也就降低了
60÷（30+20）=1.2（分）.
例13 某学校入学考试，确定了录取分数线.报考的学生中，只录取了
均分比录取分数线低26分.所有考生的平均成绩是70分.那么录取分数线是多少？

我们把录取学生的人数算作1，没有被录取的人数算作3.
以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了26×3分，录取的学生总共多了10×1分，合起来，总共少了
26×3-10×1（分）.
对所有考生来说，每人平均少了
（26×3-10×1）÷（3+1）=17（分）.
也就是每一考生的平均分70（分）比录取分数线少了17（分），因此录取的分数线是
70+17=87（分）.
注意 这道题可检验如下：
没有被录取的考生的平均成绩是87-26=61（分），被录取考生的平均成绩是87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是
61+（97-61）÷（3+1）=70（分），
或
（61×3+97×1）÷（3+1）=70（分）.
由此就知道，上面解答是正确的.
例14 某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人.现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？
　解：根据题意
前六人平均分=前十人平均分+3.
这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出3×6=18（分），来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少
18÷4=4.5（分）.
当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有20+4=24（人），平均每人提高了1分，这由调整进来的四人来供给，每人平均供给
24÷4=6（分）.
后四人平均分=（原二等奖平均分）+6.
与前面算出的前六人平均分比较，就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多
4.5+6=10.5（分）.
我们可以画出示

意图来说明上面的计算.

从前十名来说，前六名用二条虚线所夹部分，来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不足.
对二等奖来说，可以画出如下示意图：

三、从平均数求个别数
例15 A，B，C，D四个数的平均数是38，A与B的平均数是42；B，C，D三个数的平均数是36，那么B是多少？
解：A，B，C，D四个数的平均数是
（A+B+C+D）÷4
=（A+B）÷4+（C+D）÷4
=[（A+B）÷2+（C+D）+2]÷2.
这说明A与B的平均数，C与D的平均数，两者的再平均，就是四个数的平均数.
因此，C与D的平均数是
38×2-42=34.
题目已给出B，C，D三个数的平均数36，B是
34+（36-34）×3=40.
还有一个解法：
四个数的平均数是38，B，C，D三个数的平均数是36，还是按照例3中的计算，A是
36+（38-36）×4=44.
己知A与B的平均数是42，因此B是
42×2-44=40.
注意 知道若干个数的平均数，也就是知道了它们的和，已知A，B，C，D四个数的和，又已知其中三个数B，C，D的和，自然能求出（做一次减法）第四个数A.又已知A与B的和，就很容易求出B，这就是例15的实质.
例16 某次考试，A，B，C，D，E五人的成绩统计如下：
A，B，C，D的平均分 75分.
A，C，D，E的平均分 70分.
A，D，E的平均分 60分.
B，D的平均分 65分.
求A得了多少分.
解：由A，C，D，E四人平均分和A，D，E三人平均分，按照例3的方法，就可求出C的得分：
60+（70-60）×4=100（分）.
由A，B，C，D四人平均分和B，D两人平均分，按照例15，可以求出A与C平均分：
75×2-65=85（分）.
上面已算出C得100分，因此A得
85×2-100=70（分）.
例17 某次考试，小英等7人的平均分是78分，其中最高得分是97分，最低得分是64分，小英得了88分，余下的4个人中有3个人得了相同的分数.分数各不相同的5个人的平均分是80分，其中还有一位同学与别人的得分都不同，他的得分是多少分？
解：7个人的分数总和是
78×7=546（分）.
分数各不相同的5个人平均分是80分，那么另2位分数相同的同学每人得分是
（546-80×5）÷2=73（分）.
这位与别人的得分都不相同的同学，他的得分是
546-97-64-88-73×3=78（分）.
例18 A，B，C，D四个数，两两配对可以配成六对，先请你想一想，是怎样配对的.这六对数的平均数分别是
12，13，15，17，19，20.
原四个数的平均数是多少？
解：每一个数与其他三个数可以配成三对，因此在上面六个平均数中，每个数都要被计算3次，每次计算中都用一个数的一半.因此，这六个平均

数之和是A+B+C+D的3倍的一半.
那么A，B，C，D的平均数是
（12+13+5+17+19+20）×2÷3÷4
＝96×2÷3÷4
＝16.
还有另一种解法：
原四个数中，最小的两个数之和应是12×2，最大的两个数之和应是20×2.因此四数的平均数是
（12×2+20×2）÷4=16.
请大家思考，是否可以求出A，B，C，D四个数.
例19 A，B，C，D四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样计算了四次，得到下面四个数
23，26，30，33.
A，B，C，D四个数的平均数是多少？

30，33这四个数相加，恰好是A，B，C，D这四个数之和，它们的平均数是（23+26+30+33）÷4=28.
例20 有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数，再加上另外的一个数，用这样的方法计算了四次，分别得到以下四个数
26，32，40，46.
那么原来四个数中，最大的一个数是多少？
解：很明显，这道题与前一例题紧密相关.我们来看一看，26，32，40，46这四个数相加是什么.
每一个数有两部分，一部分是三个数的平均数，一部分是三个数之外的第四个数，把四个数的前一部分相加，根据前一例题，恰好得到四个数的和.把后一部分相加，也得到四个数的和.
因此 26+32+40+46=四个数之和×2.
这四个数的和是
（26+32+40+46）÷2=72.
另外，每一个数乘以3，将是三个数之和加上第四个数的3倍，这也可以看成是四个数之和加上一个数的2倍.它减去四个数之和72后，就是其中一个数的 2倍.
于是这四个数就可以按下面的计算求出：
（26×3-72）÷2=3，
（32×3-72）÷2=12，
（40×3-72）÷2=24，
（46×3-72）÷2=33.
四个数中最大的数是33.