高考复习真题2015年上海市高考数学试卷(理科)

高考复习必备科目真题及解析

2015年上海市高考数学试卷（理科）

一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=．2．（4分）若复数z满足3z+

，则c1﹣c2=．

4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16

x，则C2的渐近线方程为．

10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+

13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m ≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m ≥2，m∈N*），则m的最小值为．

14．在锐角三角形A BC中，tanA=

•

，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转

B．

17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）

A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根

C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根

18．（5分）设P n（x n，y n）是直线2x﹣y=

号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE 所成的角的大小．

20．（14分）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．

（1）求t1与f（t1）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B 和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．

（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；

（2）设l1与l2的斜率之积为﹣

≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；

（3）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最

小值m，且

是以6π为周期的余弦周期函数；

（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；

（3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充要条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f（x+T）=f（x）+f（T）．

2015年上海市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．（4分）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ= {1，4} ．

【分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．

【解答】解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，

∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，

∴A∩（∁U B）={1，4}，

故答案为：{1，4}．

【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．

2．（4分）若复数z满足3z+．

【分析】设z=a+bi，则

=a﹣bi（a，b∈R），

又3z+

，b=

．

故答案为：

【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．

3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为

，是方程组的解，解方程组即可．

【解答】解：由题意知

•a•a•sin60°）•a=16

•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，

∴（，∴a=4，

故答案为：4．

【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．

5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2．

【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．

【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，

所以

．．

【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，

则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，

∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，

∴l=2h，

设母线与轴的夹角为θ，

则cosθ=，

故θ=

．

【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．

7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．

【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．

【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，

∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），

化为（3x）2﹣12•3x+27=0，

因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，