5-4 一维简谐运动的合成 拍现象
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第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos 1t A1 cos 2 π 1t
x 2 A2 cos 2 t A2 cos 2 π 2 t
x x1 x 2
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
x ( A2 A1 ) cos( t π)
x
x
A A1 A2
A1
2
O
2
A 2
O
T
t
A
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
A2
3
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
x N A0 cos[ t ( N 1) ]
x1 A0 cos t x 2 A0 cos( t ) x 3 A0 cos( t 2 )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
物理学教程 （第二版）
(2)相位差 2 1 ( 2 k 1) π ( k 0 ， 1, )
x1 A1 cos t x 2 A2 cos( t π )
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos( t 1 )
x 2 A2 cos( t 2 )
x n An cos( t n )
A
A3
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
O
1 A1
2
拍频（振幅变化的频率）
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 方法二 旋转矢量合成法
物理学教程 （第二版）
( 2 1 ) t ( 2 1 )
2t 2
A2 2
A
1t 1
A
2
1 A1
2 1
x
O
2
x2
x1
x
1 2 0
( k 0 ， 1， )
相互加强
(1)相位差
2k π
A A1 A2
(2)相位差
( 2 k 1) π ( k 0 ， 1， )
A A1 A2
(3)一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 * 二 多个同方向同频率简谐运动的合成
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 ( 1 2 ) 2 振幅
A 2 A1 cos 2 π
合振动频率
2 1
2
Amax 2 A1
t
Amin 0
2π
2 1
2
T π
T
1
2 1
2 1
第五章 机械振动
1
x1
A1
x
x
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
tan
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
1t 2 t
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
1 2
2
第五章 机械振动
2 π ( 2 1 ) t
A1 A2 2 A1 A2 cos
( 2 1 ) t ( 2 1 )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A
A1 A2 2 A1 A2 cos
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) (1)相位差 2 1 2 k π ( k 0 ， 1 ， 2 , )
讨论
2 1
2 2
x
O A 1
x
O
T
t
A2
A
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( t ) 2 1 2k π
(1) 2 k π
O A A x A1 A2 3 A4 5
A Ai NA 0
A
讨 论
(2)N 2 k 'π
( k 0 , 1, 2 , ) A 5
A4
i
A3
( k ' kN , k ' 1, 2 , )
2 2
( 2 1 ) t
振幅 A A1 2 (1 cos )
2 A1 cos(
2
A2
( 2 1 ) t
2 1
2
t)
O
x2
1 A1
A
x
x1 x
2 1
拍频
2 1
cos t x1 x 2 A
O A6
N 个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
第五章 机械振动
A1
A2
x
A0
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 * 三 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 一 两个同方向同频率简谐运动的合成
பைடு நூலகம்
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos( t 1 )
x 2 A2 cos( t 2 )
A2
2
O
A
x x1 x 2
x A cos( t )
A
2 1 2 2
x2
方法一
x x1 x 2 A1 cos 2 π 1t A2 cos 2 π 2 t
x ( 2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
第五章 机械振动
合振动频率
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
x ( 2 A1 cos 2 π
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos 1t A1 cos 2 π 1t
x 2 A2 cos 2 t A2 cos 2 π 2 t
x x1 x 2
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
x ( A2 A1 ) cos( t π)
x
x
A A1 A2
A1
2
O
2
A 2
O
T
t
A
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
相位差
2 1
A2
3
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
x N A0 cos[ t ( N 1) ]
x1 A0 cos t x 2 A0 cos( t ) x 3 A0 cos( t 2 )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
物理学教程 （第二版）
(2)相位差 2 1 ( 2 k 1) π ( k 0 ， 1, )
x1 A1 cos t x 2 A2 cos( t π )
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos( t 1 )
x 2 A2 cos( t 2 )
x n An cos( t n )
A
A3
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
O
1 A1
2
拍频（振幅变化的频率）
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 方法二 旋转矢量合成法
物理学教程 （第二版）
( 2 1 ) t ( 2 1 )
2t 2
A2 2
A
1t 1
A
2
1 A1
2 1
x
O
2
x2
x1
x
1 2 0
( k 0 ， 1， )
相互加强
(1)相位差
2k π
A A1 A2
(2)相位差
( 2 k 1) π ( k 0 ， 1， )
A A1 A2
(3)一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 * 二 多个同方向同频率简谐运动的合成
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 ( 1 2 ) 2 振幅
A 2 A1 cos 2 π
合振动频率
2 1
2
Amax 2 A1
t
Amin 0
2π
2 1
2
T π
T
1
2 1
2 1
第五章 机械振动
1
x1
A1
x
x
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频 率简谐运动合成 后仍为简谐运动
tan
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
1t 2 t
（拍在声学和无线电技术中的应用） 振动圆频率
1 2
2
第五章 机械振动
2 π ( 2 1 ) t
A1 A2 2 A1 A2 cos
( 2 1 ) t ( 2 1 )
第五章 机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
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A
A1 A2 2 A1 A2 cos
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) (1)相位差 2 1 2 k π ( k 0 ， 1 ， 2 , )
讨论
2 1
2 2
x
O A 1
x
O
T
t
A2
A
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( t ) 2 1 2k π
(1) 2 k π
O A A x A1 A2 3 A4 5
A Ai NA 0
A
讨 论
(2)N 2 k 'π
( k 0 , 1, 2 , ) A 5
A4
i
A3
( k ' kN , k ' 1, 2 , )
2 2
( 2 1 ) t
振幅 A A1 2 (1 cos )
2 A1 cos(
2
A2
( 2 1 ) t
2 1
2
t)
O
x2
1 A1
A
x
x1 x
2 1
拍频
2 1
cos t x1 x 2 A
O A6
N 个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
第五章 机械振动
A1
A2
x
A0
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 * 三 两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象 一 两个同方向同频率简谐运动的合成
பைடு நூலகம்
物理学教程 （第二版）
x1 A1 cos( t 1 )
x 2 A2 cos( t 2 )
A2
2
O
A
x x1 x 2
x A cos( t )
A
2 1 2 2
x2
方法一
x x1 x 2 A1 cos 2 π 1t A2 cos 2 π 2 t
x ( 2 A1 cos 2 π
2 1
2
t ) cos 2 π
2 1
2
t
振幅部分
第五章 机械振动
合振动频率
5 – 4 一维简谐运动的合成 拍现象
物理学教程 （第二版）
x ( 2 A1 cos 2 π