公式法分解因式(一)
初二【数学(人教版)】因式分解——公式法(第一课时)
拓展提升
如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影， 最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方 形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个 图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝(100+99)(100-99)＋(98+97)(98-97)＋…＋(2+1)(2-1) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)． 答：阴影部分的面积和为5050cm2
初中数学
课后作业
1.下列各式能否用平方差公式分解因式？为什么？
(1) x2 y2
(2) x2 y2
(3) x2 y2
(4) x2 y2
4 y
(2) 9a2 4b2 (4) a4 16
3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
(2) a3b ab
初中数学
例 分解因式：
(1) x4 y4
此时，因式分 解彻底了吗？
解：原式 (x2 )2 ( y2 )2 (x2 y2 )( x2 y2 ) 还可以继续分解！
(x2 y2 )( x y)( x y)
初中数学
例 分解因式：
初中数学
练习 分解因式：
(3) (a b)3 4(a b)
(4)am1 am1
解：原式 (a b)[(a b)2 4]
解：原式 am1(a2 1)
可以继续分解 (a b)(a b 2)(a b 2)
am1(a 1)(a 1)
因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典
因式分解（一）——提取公因式与运用公式法【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解；（2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。
【知识要点】1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。
☆提公因式分解因式要特别注意：（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。
（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。
（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。
（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。
（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。
2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2222a ab b a b ±+=±。
平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。
完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；(3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。
☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。
具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。
（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。
（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。
（4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。
【经典例题】例1、找出下列中的公因式：(1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。
(2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。
231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)
公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。
《公式法》因式分解PPT(第1课时)
B．-m ²-n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m ²+n ² 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m ²-tn ²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
合作探究
探究点三 问题1：把下列各式分解因式: （1）9（m+n）²－（m－n）²; （2）2x³－8x. （3）x 4-1 解：（1）9（m+n）²－（m－n）²
4.3 公式法
第1课时
八年级下册
-.
学习目标 1 掌握用平方差公式分解因式的方法. 2 能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
前置学习
1.填空
①25x²＝ (__5_x__)²
③0.49b²＝ (_0_._7_b_)²
⑤1
4
b²＝
(__12_b__)²
②36a4 ＝ (__6_a_²_)² ④64x²y²＝ (__8_x_y_)²
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形 式 2 .公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
课后作业
1．对于任意整数n，多项式(n＋7) ²－(n－3) ²的值都能( A )
随堂检测
1．判断正误 （1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （2）x²－y²= （x+y）（x－y）; （3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）.
（✘） （ ✔） （ ✘） （ ✘）
随堂检测
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x ²+4）（x+2）（x－▲）中的
公式法分解因式(一)教案
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－ b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（ b）2
=（3a+ b）（3a－ b）.
［师］那么这两道题中a2、b2分别对应着谁？
确定多项式中的a、b是利用平方差公式分解因式的关键。
课题：运用公式法（1）
*******
班级：三年四班
教学目标
（一）教学知识点
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.从右向左可以看作是整式乘法中的平方差公式，从左向右可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，两项的符号相反，整体来看是两个整式的平方差.
确定多项式中的a、b是利用平方差公式分解因式的关键。
【设计意图】：帮助学生意识到平方差公式中的a、b既可以表示单项式也可以表示多项式。通过分解到每个因式不能再ห้องสมุดไป่ตู้解为止来培养学生数学思维的严谨性。
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）
人教版数学八年级上册《因式分解公式法》(一)课件
（3）0.16x2-0.09y2z2 （4）16(x-1)2-9(x+2)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
(a+b)(a-b)=a2-b2 （整式乘法）
a2-b2 =(a+b)(a-b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因式分解）
想一想
（1）下列多项式中，他们有什么共同特征？
①x2-25 ②9x2-y2
□2 －△2
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
①x2-25=(x+5)(x-5)
②9x2-y2=(3x+y)(3x-y)
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
议一议
平方差公式有哪些特点？
a2−b2= (a+b)(a−b)
左边：有两项；每一项都是平方项；两项符号相反 右边：两数的和与差的积
关键：确定公式中的a和b
火眼金睛
下列多项式可不可以用平方差公式因式分解？
①x2+y2
②-x2+y2
③-x2-y2
④x2-(-y)2
例题讲解
公式法因式分解（1）
回顾与思考
1、把下列各式分解因式：
（1）3a3b2-12ab3 关键：确定公因式 =3ab2(a2-4b)
（2）a(m-2)+b(2-m) =(m-2)(a-b)
一 看系数 二 看字母 三 看指数
最大公约数 相同字母最低次幂
回顾与思考
2、填空： ①25x2＝(__5_x__)2
名言警句
严谨性之于数学 犹如道德之于人
自我检测
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) （2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) （3）x2–y2=（x+y）(x–y) （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)
(完整版)因式分解——公式法教案
因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。
所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。
三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。
（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。
3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。
用公式法进行因式分解第一课时课件
因式分解
我们把多项式a² ＋2ab＋b²和
a² －2ab＋b²叫做完全平方式。
完全平方式有什么特征？
(1)二次三项式。 (2)两数的平方和，两数积的2倍。
a2+2Βιβλιοθήκη b+b2 =(a+b)2. a2−2ab+b2 =(a−b)2.
两数的平方和，加上（或者减去）这两 数的积的2倍，等于这两数和或差的平方. 像 a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平式
当堂达标：
1.选择题：下列各式能用平方差公式分解因式的 是（ D ） A. 4X² +y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X² -y D. - X² + y² 2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b²
2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b)
2)原式=(x² +1)(x+1)(x-1)
考考你
除了平方差公式外，还有哪些公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a-b)2=a2-2ab+b2 ;
怎样用语言表述
两数和或差的平方，等于这两数的平方和 加上（或者减去）这两数的积的2倍.
完全平方公式：
完全平方公式 (a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是： (a－b)2 = a²－2ab＋ b² 两个数的平方 和，加上(或减 整式乘法 去)这两数的积 2 a²＋2ab＋ b² = (a＋b) 的2倍，等于这 a²－2ab＋ b² = (a－b)2 两数和(或差)的 平方。
用公式法进行因式分解
教学目标 1.理解运用平方差公式和完全平方公式分 解因式与整式乘法是相反的变形. 2.学会运用平方差公式和完全平方公式分 解因式，并且分解到底. 3.培养观察分析问题的能力. 4.体会“整体”“换元”的数学思想和方 法.
公式法因式分解(1)
例4 如图，求圆环形绿地的面积.
解： π352 - π152 = π(35 -15 ) = (35 +15)(35-15)π 20 π = 50 · = 1000 π (m2)
2 2
答：圆环形绿地的面积是 1000 π m2
——说说本节课你的收获
问题：
记住平方差公式了吗？它有什么特 点？ 运用平方差公式要分几个步骤？ 在使用过程中我们该注意什么？
x2-25
第⑴、⑵两式从左到右是什么变形？ 第⑶、⑷两式从左到右是什么变形？
(a b)(a b) a b
2
2
两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差。
a b (a b)(a b)
2 2
两个数的平方差，等于这两个数的和与
这两个数的差的积。
下列各式中，能用平方差公式分解因式的有:
——运用公ห้องสมุดไป่ตู้法
授 课 人：程辛贤
课前提问
1、什么叫因式分解？我们已学 过什么因式分解的方法？
2、因式分解与整式乘法有什么关 系？
在横线上填上适当的式子，使等号成立：
1、(x+5) (x-5) = _____ 2-b2 a 2、(a+b) (a-b) = _____ 3、x2-25 = （ _____ x+5） (x-5) (a-b) 4、a2-b2 = (a+b)_____
练习：用平方差公式分解因式：
(1) -0.01+9a2 (2) -36y2+25x2
例 3 分解因式
x4 - y4
解：原式= (x2)2 - (y2)2 = ( x2+ y2) ( x2-y2) = ( x2+ y2) (x+y)(x-y) 练习 :（1）81x4
用乘法公式分解因式课件1
(1) x2-1 =(x+1)(x-1) (3)x2-4y2 =(x+2y)(x-2y)
公告
男女选手轮 流答题，最 后统计，胜
(2)m2-9 =(m+3)(出m的-3团) 体为
“智能冠军
(4) 25x2-4 =(5x+2)(5x”-2)
(5) 0.01s2-t2 =(0.1s+t)(0.1s-t)(6) 121-4a2b2=(11+2ab)(11-2ab)
义务教育课程标准实验教科书 浙江版《数学》七年级下册
6.3 用乘法公式分解因式（1）
计算:
（1）101×99 （2）992-1
=(100+1)(100-1) =(99+1)(99-1)
=1002 –1
=100 × 98
=9999
=9800
整式 乘法
(a b)(a b) a2 b2
(2) 8a3 2a =2a(4a2-1)
=2a(2a+1)(2a-1)
(3) 27a3bc 3ab3c
=3abc(9a2-b2)
=3abc(3a+b)(3a-b)
1、分解因式
4x2–y2=(4x+y)(4x-y )
诊断分析：
公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项， 4x2–y2中4x2 相当于a2 ,则2x相当于“a”.
运用a2-b2=(a+ b)(a- b)
例把下列各式分解因式：
(1)-m2n2+4p2 (2) 9 x2 - 1 y2 (3)(x+z)2-(y+z)2
25 16
解:（1）原式=（2p)2-(mn)2 = (2p+mn)(2p-mn)
公式法因式分解一复习过程
观察下列各式：1–9 = - 8, 4-16= -12,
9-25=-16, 16-36= -20 ······ （1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数） 的等式表示出来。
（2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
a2-b2 =(a+b)(a-b)
把(x+p)和(x+q)看成一个整体， 分别相当于公式中的a和b。
解：（2）(x+p)2 – (x+q)2
把(x+p)和 (x+q) 各看成一个整体,
设x+p=m， x+p=n，则原式
化为m2-n2.
= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p-q).
这里可用到了 整体思想！
例4 . 分解因式:
(1)x4-y4;
(2) a3b – ab.
分析: (1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式,这样就可 以利用平方差公式进行因式分解了。
解: (1) x4-y4
(2) a3b-ab
= (x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y)
A、等腰三角形
B、等边三角形
C、直角三角形
D、不能确定
思维延伸
1. 观察下列各式: 32-12=8=8×1; 52-32=16=8×2; 72-52=24=8×3;
…… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n,(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗?
因式分解的七种常见方法
因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。
在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。
1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。
公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。
它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。
例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。
它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。
例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。
它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。
例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。
这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。
3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。
该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。
例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。
因式分解 公式法(一)
因式分解——公式法（一）一、教学目标：（一）知识与技能：1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.会用平方差公式进行因式分解；3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．（二）过程与方法：1.发展学生的观察能力和逆向思维能力；2.培养学生对平方差公式的运用能力。
（三）情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。
二、教学重点和难点：1.教学重点：利用平方差公式分解因式．2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．四、教学用具：多媒体五、教学过程：一知识回顾：1什么叫多项式的分解因式？2分解因式和整式乘法有何关系?3我们学了什么方法进行因式分解？练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？1．(2x-1)2=4x2-4x+12. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1)3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)练习2把下列各式进行因式分解（1）.a3b3-a2b-ab（2）.-9x2y+3xy2-6xy二观察探讨，体验新知在横线内填上适当的式子，使等式成立：（1）（x+5)(x-5)= -(2)(a+b)(a-b)=（）（3）x2-25 =（4）a2-b2=知识探索平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。
(1)m2－1(2)4m2－9(3)4m2+9(4)x2－25y2(5)－x2－25y2(6)－x2+25y2抢答题（1）a2－82（2）16x2－y2(3)2+4x2(4)4k2－25m2n2三范例学习，应用所学例1：把下列各式分解因式：(1)4x2-9(2) 9(a+b)2-4(a-b)2在使用平方差公式分解因式时，要注意：先把要计算的式子与平方差公式对照,明确哪个相当于a,哪个相当于b.牛刀小试：把下列各式分解因式：（1）a22（2）(2a+b)2- (a+2b)2方法：先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。
1.因式分解(公式法)PPT课件(华师大版)
(2) ( a2 y2 ) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
例4.分解因式
(1) x2＋14x＋49
(3)9a 2 6ab b2
（2）25x2＋10x＋1
(4) -x2-4y2＋4xy
解：原式 x2 2 x 7 72 原式=（5x)2+2×5x×1+12
【点拨】a2－4ab＋4b2－1 ＝(a－2b)2－1 ＝(a－2b＋1)(a－2b－1)。
例5.分解因式
(1)3ax2 6axy 3ay 2 (2)x4 18 x2 81
(3（) 2x y)2 （6 2x y) 9
解：(1)原式 3a(x2 2xy y 2 )
3a(x y)2
中的一个公式。
运用公式法
乘法公式 反过来 因式分解
(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 逆用乘法公式把某些多项式进行因式分解。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(3)112 392 6613
例7.若n是整数,试说明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。
解：原式=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n.2 =8n
∴ (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。
《因式分解》 (1)
例5： 分解因式： (1)16a4－ 8a2b2＋ b4； (2)(x2＋ 3x)2－(x－ 1)2；(3)(x2＋y2)2－4x2y2；(4)(x2＋4)2－8x(x2＋4)＋16x2.
解答：(1)16a4－8a2b2＋b4＝(4a2－b2)2＝[(2a＋b)(2a－b)]2 ＝(2a＋b)2· (2a－b)2； (2)(x2 ＋ 3x)2 － (x － 1)2 ＝ (x2 ＋ 3x ＋ x － 1)(x2 ＋ 3x － x ＋ 1) ＝ (x2＋4x－1)· (x2＋2x＋1)＝(x2＋4x－1)(x＋1)2； (3)(x2 ＋ y2)2 － 4x2y2 ＝ (x2 ＋ y2 ＋ 2xy)(x2 ＋ y2 － 2xy) ＝ (x ＋ y)2(x－y)2； (4)(x2＋4)2－8x(x2＋4)＋16x2＝(x2＋4－4x)2＝[(x－2)2]2＝ (x－2)4.
式分解的方法称之为公式法．
一个多项式→几个整式的积→因式分解 要注意的问题： （1）因式分解是对多项式而言的一种变形； （2）因式分解的结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解与整式乘法正好相反。
公因式 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式， 称之为公因式(common factor)。 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式 乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式 法。如 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公式法 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式 分解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法。
1)(34 ＋ 1)…(332 ＋ 1) ＋ 1 ＝ (34 － 1)(34 ＋ 1)…(332 ＋ 1) ＋ 1 ＝ (38 －
《公式法》因式分解PPT课件(第1课时)
(1)( + ) −( − )
解： (1)( + ) −( − )
= ( + )
− ( − )
多项式
= + + ( − ) + − ( − )
=( + + − )( + − + )
=( + )( + )
＝4×100×7=2800.
连接中考
( −)( −)
（2020•河北）若
则 =
= × × ，
.
解析：方程两边都乘以，
得 − − = × × ，
∴ + − + − = × × ，
）
平方差公
式因式分
解的步骤
一找 二套 三彻底
解： 4x2+8x+11
=4(x2+2x)+11
=4(x2+2x+1-1)+11
=4(x+1)2-4+11
=4(x+1)2+7
∵4(x+1)2≥0，
∴4(x+1)2+7>0
即4x2+8x+11>0，所以小刚说得对.
课堂小结
公式
− = ( + )( − )
公式法
分解因式
（平方差公式
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
能力提升题
已知 = + ， = + ， ≠ ，则
+ + 的值为
16
.
解析：将 = + ， = + 相减，
12.4用公式法进行因式分解1
12.4用公式法进行因式分解(1) 学习目标： 1．会用公式法进行因式分解。
2．了解因式分解的步骤。
重点：会用公式法进行因式分解。
难点：熟练应用公式法进行因式分解。
在具体问题中，会正确运用完全平方公式。
教学过程： 【温故知新】 1.什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么? 2.因式分解与整式乘法有什么区别和联系？ 3.你能对44,422++-m m m 进行因式分解吗？ 【探索新知】 活动一： （一）根据乘法公式计算： ①=-+)2)(2(m m ②=-+))((b a b a ③=+2)2(m ④=+2)(b a （二）根据等式的对称性填空 ①=-42m ②=-22b a ③=++442m m ④=++222b ab a （三）思考： １、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？ ２、对比（一）和（二）你有什么发现？ 活动二： （一）、说出下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？ ①22y x -; ②22y x +- ; ③ 22y x +; ④22y x --; ⑤ 216b -。
平方差公式的结构特征： （1）左边是 项式，每项都是 的形式，两项的符号 ； （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 。
（二）、说出下列多项式哪些可用完全平方公式进行因式分解？ ①222y xy x ++；②222y xy x ++-；③22y xy x ++；④22y xy x +-完全平方公式的结构特征：（1）左边是 项式，有两项都为正且能够写成 的形式，另一项是刚才写成平方项两底数 。
（2）右边是两平方项底数 。
【应用新知】例1：把下列各式进行因式分解:（1）4 x 2-25 (2) 16a 2 -91 b 2 解：(1) 4 x 2-25=(2x)2-52=(2x+5)(2x-5)(2) 16a 2 -91b 2= =要求：完成填空，你能用乘法检验做的对错吗？试试看。
因式分解-公式法第一课时
13
解决问题
把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2 (2) 9(a+b)2-4(a-b)2 (3) 9xy2-36x3y²
14
牛刀小试
利用因式分解计算：
（1）2.882-1.882；
（2）782-222。
15
首页
上页
下页
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.利用平方差公式分解因式: a² - b²= (a+b)(a-b) 2.因式分解的步骤是: ①如果多项式各项含有公因式，则第一步提取公因式 ②如果多项式各项不含有公因式则考虑用平方差因式分解公式法. ③因式分解应进行到每一个因式不能分解为止. 3.计算中应用因式分解,可使计算简便. 4进一步了解了整体换元的思想方法在数学中的应用
§14.3.2 公式法
1
1.根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的
变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 否 2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1=(2x+1)(2x-1)
4. x2-4+2x=(x+2)(方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.
5
公式法(1)
(a+b)(a－b) = a2－b2 a2－b2 =(a+b)(a－b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积. 【规律总结】凡是符合平方差公式左边特 点的二项式 a²-b² ，都可以运用平 方差公式分解因式．
2
2、我们学习了什么方法进行因式分解？
提公因式 法因式分 解
把下列各式进行因式分解 1. a3b3-ab ab(a2b2-1) -3xy(3x-y+2)
北师大版八年级数学(下)第四章 因式分解 第4节 公式法(一)
C．﹣4x2﹣y2
D．4x3﹣y2
解：A：两个平方项的符号相同，故本选项错误； B：﹣4x2 与 y2 的符号相反，能用平方差公式分解因式，故本选项正确； C：两个平方项的符号相同，故本选项错误； D：4x3 不是平方项，故本选项错误． 故选：B．
例 2：把多项式 4a2﹣1 分解因式，结果正确的是（ ）
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2
B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2
D．﹣x2+25
解：A、a2+（﹣b）2 不能利用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、5m2﹣20mn 不能利用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、﹣x2﹣y2 不能利用平方差公式进行分解，故此选项错误； D、﹣x2+25 能利用平方差公式进行分解，故此选项正确； 故选：D．
例 4：分解因式：x4﹣16＝
．
【解答】解：x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4） ＝（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 故答案为：（x2+4）（x+2）（x﹣2）．
练习：因式分解：16x4﹣y4＝
．
【解答】解：16x4﹣y4 ＝（4x2+y2）（4x2﹣y2） ＝（4x2+y2）（2x+y）（2x﹣y）． 故答案为：（4x2+y2）（2x+y）（2x﹣y）．
4. 因式分解： （1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2 （2）81a4﹣b4．
解：（1）原式＝[2（a﹣b）+4（a+b）][2（a﹣b）﹣4（a+b）]＝﹣4（3a+b） （a+3b）； （2）原式＝（9a2+b2）（9a2﹣b2）＝（9a2+b2）（3a+b）（3a﹣b）．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3 公式法（一）
复习回顾
填空： （1）（x+5）（x-5） = （2）（3x+y）（3x-y）=
x –25
9x –y
2 2 2
； ；
2 2
（3）（3m+2n）（3m–2n）=
9m –4n ．
它们的结果有什么共同特征？ 2
(a b)(a b) a b
2
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积： （x+5）（ x-5） x 2 25 __________ __________ __; （3x+y）（ 3x-y） 9 x 2 y 2 __________ __________ _;
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用 平方差公式分解因式。
结论： 分解因式的一般步骤：“一提二公式” 多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
巩固练习 1.把下列各式分解因式：
(1)(m a) (n b)
2 2
2 2
(2)49(a b) 16(a b) (3)(x y ) 4 x y
把括号看作一个整体
解：原式 3(m n)2 (m n) 2
(2)9(m n)2 (m n)2
3(m n) (m n)3(m n) (m n) (4m 2n)(2m 4n) 4(2m n)(m 2n)
a b
3m+2n）（ 3m–2n） . 9m 2 4n 2 （ __________ __________
探究新知 谈谈你的感受。 将多项式 a b 进行因式分解
2 2
(a b)(a b) a b
2
2
整式乘法
a b (a b)(a b)
2 2
因式分解
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法。
说一说 找特征
b a ▲
2
2
(a ▲ b )( a b) ▲
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2) 公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。
试一试 写一写
当R=8.45，r=3.45时, 原式=(8.45+3.45) ×(8.45-3.45) ×3.14 =186.83cm2
自主小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系； （3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
(1) x y ( x y)(x y); 2 2 (2) x y ( x y)(x y); 2 2 (3) x y ( x y)( x y); 2 2 (4) x y ( x y)(x y).
2 2
（ × ）
（ √
）
（ × ）
范例学习
例1.分解因式：
1 2 解：原式 5 (4 x) 解：原式 (3a ) ( b ) 2 (5 4 x)(5 4 x) 1 1 (3a b)(3a b) 2 2
2 2
2
(1)25 16x
2
1 2 (2)9a b 4
2
先确定a和b
落实基础
1.判断正误：
2
(4) p 1 ( p 1)( p 1)
4
2 2
2
( p 1)( p 1)( p 1)
分解因式需“彻底”！
能力提升
例2.分解因式：
4 (1) (2m n) 2 25 2 2 解：原式 ( ) (2m n) 2 5 2 2 ( 2m n) ( 2m n) 5 5 2 2 ( 2m n)( 2m n) 5 5
2 2 2 2 2
(4)3ax 3ay
4
4
2.简便计算：
(1)565 435
2
2
1 2 1 2 ( 2)( 65 ) (34 ) 2 2利用因式分解计算 Nhomakorabea 联系拓广
例3.如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长 为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6， b=0.8时的面积． 解:a2-4b2
作业
• 完成课本习题 • 拓展作业： 你能尝试运用今天所学的知识解决下面 的问题吗 你知道992-1能否被100整除吗？
再攀高峰
如图，在边长为6.8cm 正方形钢板上，挖去4个边 长为1.6cm的小正方形，求 剩余部分的面积。
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果 能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。 (1) m2 －81 = m2 －92 (2) 1 －16b2 = 12－(4b)2 (3) 4m2+9 不能转化为平方差形式
(4) a2x2 －25y 2 ＝ (ax)2 －(5y)2
(5) －x2 －25y2 不能转化为平方差形式
=(a+2b)(a-2b)cm2 当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
=5.2×2 =10.4cm2
问题解决
• 如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别 是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果 R=8.45cm,r=3.45cm呢？ ( 3.14) 解: R2- r2 = (R+r)(R-r)cm2
2
2
( a b )( a b )
3(m n)
( m n)
结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。
(3)4 x 9 xy
3
2
解：原式
x( 4 x 2 9 y 2 ) x(2 x 3 y)(2 x 3 y)
（ × ）
a2和b2的符号相反
2.分解因式：
(1) 9 4 x (2 x 3)(2 x 3) 1 2 1 1 2 2 ( 2) x y z ( xy z )( xy z ) 4 2 2 2 2 (3)0.25q 121p (0.5q 11p)(0.5q 11p)