绝对值三角不等式课件

.课本13页探究
不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件:
1.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|, 右侧“=”成立的条件是ab≥0, 左侧“=”成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|; 2.不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|, 右侧“=”成立的条件是ab≤0, 左侧“=”成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|.
②点B不在A，C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
类型一
含绝对值不等式的证明
【典型例题】
1.已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε.
求证：|2x+3y-2a-3b|<5ε.
练习：
课本19页第4题
类型 二
利用绝对值不等式求范围或最值
【典型例题】 1.函数y=|x－4|+|x－6|的最小值是______. 2.求函数f(x)=|x－4|－|x－3|的最大值,并求出取最大值时x 的范围.
能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
迁移类比 当向量 a， b 不共线时，
|a b||a| |b|
b 共线时， 当向量 a，
y
ab
b
a
同向： |a b||a| |b|
|a b||a| |b| 反向：
O
x
向量形式的不等式
|a b||a| |b|
当且仅当 a 与b 同向时 ，等号成立. 由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其 中的不等式为绝对值三角不等式.
每天往返的路程之和为S(x)km,则
x 10 x 20 x 10 20 x 10
x 10 20 x 0 当且仅当 时取等号。
解得
因为
S x 2 x 10 x 20
10 x 20
所以，生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，
例
两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，
这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km
处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，
每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。
要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应 该建于何处？
解：设生活区应该建于公路路牌的第xkm处，两个施工队
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. 当且仅当 几何解释：
(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，
当点B在点A，C之间时，|a－c| 当点B不在点A，C之间时： ①点B在A或C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|； |a－b|＋|b－c|.
都能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
70
60
s x = 2 x-10 + x-20
50
40
30
20
10
-60
-40
-20
10
20
40
60
80
100
-10
-20
-30
a b a b a b a b
当ab>0时，
当ab<0时，
当ab=0时，
你能将上述情况综合起来吗？
定理1 如果a ，是实数，则 b | a b | | a | | b |， 当且仅当 ab 0 时，等号成立.
如果把定理 1 中的实数 a ， b 分别换为向量 a ， b
二 绝对值不等式 1.绝对值三角不等式
创设情境
在数轴上，你能指出实数 a 的绝对值 |a| 的几何意义吗？
|a|
| a b | 的几何意义是什么？
那么， | a b | 的几何意义呢？
|ab|
B
|ab|
O
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A a
B b
x
探究
设a, b为实数，比较
a b 与 a b 之间的大小关系？ a b a b
【练习】若不等式|x-1|+|x+3|≥a恒成立，则a的取值范围是
______.
【解析】因为a≤|x-1|+|x+3|恒成立，故a小于等于
|x-1|+|x+3|中的最小值，
又|x-1|+|x+3|=|1-x|+|x+3|≥|1-x+x+3|=4, 故a≤4,即a的取值范围是(-∞,4］. 答案：(-∞,4］