韩信点兵--剩余定理

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那么，为了解这个方程组， 那么，为了解这个方程组，除了刚才的筛法 外，还有没有更加巧妙的解法？ 还有没有更加巧妙的解法？ 我们考察上边两个方程的特点，发现， 我们考察上边两个方程的特点，发现，两个 “带余除法”的式子，都是“余数比除数少1”。 带余除法”的式子，都是“余数比除数少1
于是想到，如果把被除数再加1 于是想到，如果把被除数再加1，不是余数就为 把被除数再加 0了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 了吗？换句话说，不是就出现整除的情况了吗？ 整除的情况了吗
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对整个问题寻找规律
问题： 今有物不知其数，二二数之剩1， 问题： 今有物不知其数，二二数之剩 ，三三
数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩 ，六六 数之剩 ，四四数之剩 ，五五数之剩4， 数之剩5，七七数之剩 ，八八数之剩7， 数之剩 ，七七数之剩6，八八数之剩 ，九九 数之剩8，问物几何？ 数之剩 ，问物几何？
a 整除 ”，这是通常除
” 的另一种表达形式。所以， 的另一种表达形式。所以，
带余 除法是通常除法的推广。 除法是通常除法的推广。
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回到求“ 除余1的数 回到求“用2除余 的数”的问题。设 除余 的数”的问题。 这 样的数为
x
，则
x = 2n1 + 1
n1
。这里
x
是
被除数， 2是除数 被除数，2是除数， 0 ≤ 1 < 是除数， 且 。
① 化繁为简
我们还是先看只有前两个条件的简化题目。 我们还是先看只有前两个条件的简化题目。
除余1） 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… （ 用2除余 ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 除余 5， ， 11， ， 17， ， 23， … ， （ 用3除余 ） 除余2） 除余
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这里面又有什么秘密呢？ 这里面又有什么秘密呢？
题目给出的条件， 题目给出的条件， 也仅仅是作除法时的余数 也仅仅是作除法时的余数
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《孙子算经》 孙子算经》
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二．问题的解答
1．从另一个问题入手 ．
问题：今有物不知其数，二二数之剩 ，三三 问题：今有物不知其数，二二数之剩1，
数之剩2，四四数之剩 ，五五数之剩4， 数之剩 ，四四数之剩3，五五数之剩 ，六六数 之剩5，七七数之剩 ，八八数之剩7， 之剩 ，七七数之剩6，八八数之剩 ，九九数之 剩8，问物几何？ ，问物几何？
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[思]： 思： 除余1， 除余 除余2， ① 求“用2除余 ，3除余 ，… 用m除余 除余 除余 m－ 1”的数。 － 的数 的数。 除余a 除余b－ ， ② 求“用a除余 －1，用b除余 －1，用c 除余 ， 除余 除余c－1”的数。 的数。 除余 － 的数 是任意大于1的自然数 （a,b,c是任意大于 的自然数） 是任意大于 的自然数） ③ 求“用2，3，4，5，6，7，8，9除 都 ， ， ， ， ， ， ， 除 的数。 余1”的数。 的数 的数。 ④ 求“用5，7，9，11 除都余 的数。 ， ， ， 除都余2”的数
这要通过反复的试算去完成。 这要通过反复的试算去完成。 反复的试算去完成
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一种试算的方法
x = 3n1 + 2 x = 5n2 + 3 x = 7n + 2 3
(*)
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从第三个等式入手，两边加 （或减2） 从第三个等式入手，两边加5（或减 ）则 得
x + 5 = 7( n3 + 1) (或x − 2 = 7n3 )
8，23，… ， ，
除余3） （用5除余 ） 除余
23，… ， 由此得到， 是最小的一个解 是最小的一个解。 由此得到，23是最小的一个解。
除余2） （用7除余 ） 除余
至于下一个解是什么，要把“ 写出来才知道； 至于下一个解是什么，要把“…”写出来才知道； 写出来才知道 实践以后发现，是要费一点儿功夫的。 实践以后发现，是要费一点儿功夫的。
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再从中挑“ 除余4”的数 再从中挑“用5除余 的数，… 除余 的数，
一直筛选下去，舍得下功夫， 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可 得结果。 得结果。 并且看起来， 并且看起来，解，还不是唯一的；可能 还不是唯一的； 有无穷多个解。 有无穷多个解。
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化繁为简的思想 化繁为简的思想
当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件， 当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这 就是化繁为简 化繁为简。 就是化繁为简。 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本 那么简化就“不失一般性” 质，那么简化就“不失一般性”。 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样， 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学 能力。 能力。
上述筛选过程的第一步，得到: 上述筛选过程的第一步，得到: 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，… 11，13，15，17，19，21，23，25， 其实是列出了“ 其实是列出了“用2除余1”的数组成的数列。这个数列 除余1”的数组成的数列。 1”的数组成的数列 实际上是用带余除法的式子得到的。 带余除法的式子得到的 实际上是用带余除法的式子得到的。
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2）公倍数法
现在仿照上边用过的“公倍数法” 现在仿照上边用过的“公倍数法”， 设要求的数为 方程组
x
，则依题意，得联立 则依题意，
x = 3n1 + 2 x = 5n2 + 3 x = 7n + 2 3
(*)
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按上一问题中“公倍数法” 按上一问题中“公倍数法”解决问题的 思路： 方程两边同时加上或减去一个什么 思路：把方程两边同时加上或减去一个什么 样的数，就能使三个等式的右边分别是3 样的数，就能使三个等式的右边分别是3，5， 7的倍数，从而等式左边就是3，5，7的公倍 的倍数，从而等式左边就是3 数了。 数了。
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则右边是7的倍数了，但两边加 （或减2） 则右边是 的倍数了，但两边加5（或减 ）并不 的倍数了 能使前两式的右边分别是3的倍数和 的倍数 能使前两式的右边分别是 的倍数和5的倍数，所以 的倍数和 的倍数， 两边加5（或减 ）并不能使右边成为3， ， 的公 两边加 （或减2）并不能使右边成为 ，5，7的公 倍数。再继续从第三个等式入手， 倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式 右边仍然保持是7的倍数， 右边仍然保持是7的倍数，可再加 7l（或再减 的倍数 则 ），
是商， 是余 是余， 是商，1是余，
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这就是“ x = 2n1 + 1(0 ≤ 1 < 2), 这就是“带余除 法”的式子。当取n1 = 0,1, 2,3, 4,L 时， 的式子。 用上式求得的 x 正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15， ， ， ， ， ， ， ， ， 17，19，21，23，25，… ， ， ， ， ，
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这里面有什么秘密呢？ 这里面有什么秘密呢？
韩信好像非常重视作除法时的余数 韩信好像非常重视作除法时的余数
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2.《孙子算经》中的题目 《孙子算经》
我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数” 的 题目： 题目： 今有物不知其数， 今有物不知其数， 三三数之剩2， 三三数之剩 ， 五五数之剩3， 五五数之剩 ， 七七数之剩2， 七七数之剩 ， 问物几何？ 问物几何？
寻找规律的思想 寻找规律的思想
筛法， 把我们的解题方法总结为筛法 是重要的进步，是质的飞跃： 把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。 找到规律了。 找到规律了 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。
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2）公倍数法
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接着从中筛选出“用3除余2”的 就是挑出符合下面“带余除法” 数，就是挑出符合下面“带余除法”表达 式 ≤ 2 < 3) x = 3n2 + 2, (0
n2
的数， 的数，这里
可取0， ， ， ， ， 可取 ，1，2，3，4，…
再继续做下去。。。。。。 再继续做下去。。。。。。
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如果我们不分上面两步， 如果我们不分上面两步，而是一上 来就综合考虑两者 综合考虑两者， 来就综合考虑两者，则就是要解联立方 程组 x = 2n1 + 1 中的x. x = 3n2 + 2
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1）筛法 ）
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 21，23，25，… ， ， ， 除余1） （ 用2除余 ） 除余
5， 5，
11， 11，

17， 17，
23， 23， … （ 用3除余2） 3除余 除余2）
11， ，
23，… ，
除余3） （ 用4除余 ） 除余
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所谓“带余除法” 是指整数的如 所谓“带余除法”，是指整数的如 整数 下 “除法”： 除法” a b≠0 ∀ , 必唯一 被除数 r ，除数 q 存在商 和余 ，使
a = bq + r ,
0≤r<b
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当余 r = 0 时，则 a = bq ，称为 “被b a 整除”，或 “ 整除” b
a = 法“q b
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∴ x +1= k ⋅[2,3,4,5,6,7,8,9] = k ⋅ 2520,k =1,2,3,L
即
x = 2520k − 1, k = 1, 2,3,L
这就是原问题的全部解， 有无穷多个解， 这就是原问题的全部解 ， 有无穷多个解 ， 其中第 一个解是2519；我们只取正数解 ， 因为 “ 物体的 一个解是 ； 我们只取正数解，因为“ 个数”总是正整数。 个数”总是正整数。
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②寻找规律 设问题中， 设问题中，需要求的数是 x ，则 x 被2， ， 3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都 去除， ， ， ， ， ， ， 去除 是比除数少1， 再加1， 是比除数少 ，于是我们把被除数 x 再加 ，
x
则 x + 1 就可被 ，3，4，5，6，7，8，9均 就可被2， ， ， ， ， ， ， 均 整除。也就是说， 整除。也就是说， x + 1 是2,3,4,5,6,7,8,9 的公倍数， 的公倍数，从而是其最小公倍数 [2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。 的倍数。 的倍数
韩信点兵与中国剩余定理
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一、“韩信点兵”的故事和《孙子算经》 韩信点兵”的故事和《孙子算经》 中的题目 1.“韩信点兵”的故事 韩信点兵” 韩信点兵
韩信阅兵时，让一队士兵 人一行排队从他面前走 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走 再让这队士兵6 过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵 他记下最后一行士兵的人数（ 人）；再让这队士兵 人一行排队从他面前走过， 人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数 再让这队士兵7人一行排队从他面前走过 （5人）；再让这队士兵 人一行排队从他面前走过，他记 人）；再让这队士兵 人一行排队从他面前走过， 下最后一行士兵的人数（ 人），再让这队士兵 再让这队士兵11人一行 下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵 人一行 排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（ 人 排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。 然后韩信就凭这些数， 可以求得这队士兵的总人数。 然后韩信就凭这些数 ， 可以求得这队士兵的总人数 。
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于是把上边每个方程两边都加上1， 于是把上边每个方程两边都加上 ，成为
x + 1 = 2(n1 + 1) x + 1 = 3(n2 + 1)
这说明， 这说明，
x +1
既是2的倍数，又是 的 既是 的倍数，又是3的 的倍数
倍数， 因此， 它是2与 的公倍数 的公倍数。 倍数 ， 因此 ， 它是 与 3的公倍数 。 由此想到
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2．《孙子算经》中“有物不知其数” ． 孙子算经》 有物不知其数” 问题的解答
问题：今有物不知其数， 问题：今有物不知其数， 三三数之剩2， 三三数之剩 ， 五五数之剩3， 五五数之剩 ， 七七数之剩2， 七七数之剩 ， 问物几何？ 问物几何？
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1）筛法. ）筛法
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余 ） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （ 除余2） 除余