力矩与力偶的一些练习题

第2章 力矩与力偶

2.1 力对点的矩

从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就是度量力使物体转动效果的物理量。

力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢?现以扳手拧螺帽为例，如图2.1所示。手加在扳手上的力F ，使扳手带动螺帽绕中心O 转动。力F

越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也

越快；如果力的作用线与力的作用点到转动中心O 点的

连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转

动中心O 时，无论力F 多大也不能扳动螺帽，只有当力

的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动

效果最好。另外，当力的大小和作用线不变而指向相反

时，将使物体向相反的方向转动。在建筑工地上使用撬

杠抬起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。

通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转

动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用

线的垂直距离d 也成正比。这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心(简称矩心)。力的大小与力臂的乘积称为力F 对点O 之矩(简称力矩)，记作()o m F 。计算公式可写为 ()o m F F d =±⋅ (2.1)

式中的正负号表示力矩的转向。在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。因此，力矩是个代数量。 力矩的单位是N m ⋅或kN m ⋅。

由力矩的定义可以得到如下力矩的性质：

(1)力F 对点O 的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。矩心的位置不同，力矩随之不同；

(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；

(3)力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。

(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。

例2.1 分别计算图2.2中1F 、2F 对O 点的力矩。

解 从图2–2中可知力1F 和2F 对O 点的力臂是h 和2l 。

故m o(F)=±F 11l = F 11l sin300

=49×0.1×0.5=2.45N.m

m o(F)=±F 22l =－F 22l =－16.3×

0.15=2.445N.m

必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与

力的作用点的距离，如1F 的力臂是h ,不是1l 。

2.2 合力矩定理

在计算力对点的力矩时，有些问题往往力臂不易求出，因而直接按定义求力矩难以计算。此时，通常采用的方法是将这个力分解为两个或两个以上便于求出力臂的分力，在由多个分力力矩的代数和求出合力的力矩。这一有效方法的理论根据是合力矩定理，即：

如果有n 个平面汇交力作用于A 点，则平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于力系中各分力对同一点力矩的代数和：

即 m o (F R )=m o (F 1)+ m o (F 2) +…+ m o (F n ) =∑m o (F) (2.2)

称为合力矩定理。

合力矩定理一方面常常可以用来确定物体的重心位置；另一方面也可以用来简化力矩的计算。这样就使力矩的计算有两种方法：在力臂已知或方便求解时,按力矩定义进行计算；在计算力对某点之矩，力臂不易求出时，按合力矩定理求解，可以将此力分解为相互垂直的分力，如两分力对该点的力臂已知，即可方便地求出两分力对该点的力矩的代数和，从而求出已知力对该点矩。

例 2.2 计算图2.3中F 对O 点之矩。

解 F 对O 点取矩时力臂不易找出。将F 分解

成互相垂直的两个分力F X 、F Y ，它们对O 点的矩分

别为

m o (F X )=F X b=Fbsin α

m o (F Y )= F Y a=Facos α

由合力矩定理

m o (F)= m o (F X )+ m o (F Y )= Fbsin α+ Facos α

例 2.3 槽形杆用螺钉固定于点O ，如图2.4（a ）所示。在杆端点A 作用一力F ，其

大小为400N，试求力F对点O的矩。

解 方法1(按力矩定义计算)：本题中力F 的大小和方向均已知，要计算力F 对点O 的矩，关键是找出力臂的长度。为此，自矩心O 作力F 作用线的垂线OC ，线段OC 就是力臂d ，如图2.4（b ）所示。

由图2.4（b ）中的ABO ∆可得

106tan 0.33312

α-== 18.43α=

412.65sin 0.3162

BO AO cm α=== 而在ACO ∆中，6018.4341.57β=-=，所以

sin 12.65sin 41.578.39d AO cm β===

于是力F 对点O 的矩为

m o (F)=Fd=－400×83.9=33560Nmm

“一”号表示力F 将使槽形杆绕点O 有顺时针方向转动的趋势。

方法2(按合力矩定理计算)：将力F 分解为水平力F X 和铅直力F Y ，如图2.4（c ）所示。由合力矩定理知，力F 对点O 的矩就等于分力F X 、F Y 对同一点O 的矩的代数和，即

m o (F)= m o (F X )+ m o (F Y ) =－F X ×120+F Y ×40

=－400sin600×120+400cos600×40

=－41560+8000=－33560Nmm

可见两种方法结果完全一样。但在方法1中，求力P F 对点O 的矩需要通过几何关系才能找出力臂，计算比较麻烦；而方法2用合力矩定理计算则比较简便。在实际计算中，常用合力矩定理来求力矩或合力作用线的位置。