两条直线所成的角教案1
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案教学目标：1.理解直线与平面所成角的概念。
2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。
教学重点：教学难点：通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
教学准备：投影仪、PPT等教具。
教学过程：Step 1：引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。
2.提问：直线与平面之间有什么关系？学生回答。
3.引导学生思考，直线与平面所成角有什么特点？学生讨论。
Step 2：定义及性质1.展示PPT，介绍直线与平面所成角的定义：在平面内，以一条线段与平面的法线为边，从线段的其中一端点起，可以画出一个角，称为直线与平面所成角。
2.介绍直线与平面所成角的性质：a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角，与直线的长度无关。
b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。
Step 3：例题讲解1.案例一：已知一条直线与一个平面的夹角为60°，求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，所求的角度为60°。
2.案例二：一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上，它与平地成45°的角，它离地面高度为5米，求蜘蛛丝的长度。
解题思路：根据直线与平面所成角的性质，直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以，设蜘蛛丝的长度为x米，根据三角函数的定义，我们有tan 45°=5/x，解方程得x=5米。
Step 4：让学生自主探究1.将学生分成小组，每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子，让学生尝试计算直线与平面所成角的大小，并讲解解题思路和方法。
Step 5：归纳总结1.学生回答问题：直线与平面所成角的度数范围是多少？直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗？2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质；2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角；3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点：直线与平面所成的角的定义及其性质，求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点：直线与平面所成的角的求解，将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备：直角三角形模型，平面模型，直线模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线与平面所成的角的概念，让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角，如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形，让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成的角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所成的角，称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质：直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法：利用直角三角形，将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析（10分钟）1. 分析实例：楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例：墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维：直线与平面所成的角在现实生活中的应用，如建筑设计、导航等。
教学反思：通过本节课的学习，学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法，并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生观察实例，培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题，提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标：1. 学会使用工具（如量角器）测量直线与平面所成的角；2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理；3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
直线与平面所成角方法归纳教案
直线与平面所成角方法归纳教案一、知识点概述二、教学目标1.掌握直线与平面所成角的概念。
2.理解直线与平面所成角的几种方法。
3.能够根据图形确定直线与平面所成角的大小和性质。
4.能够用所学方法解决与直线与平面所成角相关的几何问题。
三、教学活动活动一：直线与平面所成角的定义与性质介绍（10分钟）1.提问：直线与平面的关系是什么？回答：直线与平面可以相交、平行或共面。
2.几何名词解释：直线与平面的交线称为直线与平面所成角。
3.展示相关性质：垂直平面与其所包含直线所成角为90°；与平面平行的直线与该平面所成角为1/2周角；与同一平面垂直的两直线所成角相等。
活动二：直线与平面所成角方法归纳（20分钟）1.归纳讨论：学生们结合示意图，总结直线与平面所成角的几种方法。
2.教师点拨：引导学生归纳出直线与平面所成角的四种方法：直线与平面的夹角；直线与平面法线的夹角；直线与平面的斜角；两面角的一种特殊形式。
3.小组讨论：学生自由组成小组，根据已归纳的方法讨论一些具体例题，加深对每种方法的理解。
活动三：练习与应用（30分钟）1.整理复习：教师给学生几分钟时间，让他们来回忆已学内容，并整理复习笔记。
2.练习题：教师出示一些具体图形，让学生根据所学方法计算直线与平面所成角的大小，并分析角的性质。
3.实际应用：教师设计一些与直线与平面夹角相关的实际问题，让学生灵活运用所学方法解决。
活动四：总结与展望（10分钟）1.小结归纳：学生们通过讨论、练习和应用，总结直线与平面所成角的几种方法。
2.展望拓展：教师引导学生思考，这些方法还可以延伸到哪些几何问题中，如何应用于实际生活中。
四、教学资源1.教学准备：电脑、投影仪、教学PPT、白板、笔等。
2.学生用具：课本、笔、纸等。
五、教学评价与反思1.教学评价：通过课堂讨论、学生练习和实际应用等方式，教师可以对学生的掌握程度进行评价。
2.教学反思：本教案通过明确教学目标，合理设计学习活动，促进了学生对直线与平面所成角的理解和掌握。
角的教案(二)：加深对角度概念的认识与掌握
角是几何学中的一个重要概念，我们在初中段已经学习过了。
但是在学习的过程中，很多同学对于角度的概念不够深刻，或者对于一些基础的角度知识掌握不够熟练。
因此，本篇教案旨在加深同学们对于角度概念的认识与掌握，帮助大家理解角的相关知识。
本篇教案涉的角度知识包括角的分类、角度的相等、互补角和补角以及角度的度数表示等，同学们可以结合自己的实际情况和学习进度，进行针对性的学习。
一、角的分类角可以分为直角、钝角、锐角三种类型。
其中，直角是常见的一种角，它是一种度数为90度的角。
顾名思义，直角就是两条相交的直线形成的角度是直的。
钝角是大于90度小于180度的角，通常情况下我们也称之为不锐角。
锐角则是小于90度的角，它的角度很小，是一种尖锐的角度。
二、角度的相等在初中阶段我们曾经学习过两条直线的交点形成四个角，这四个角两两相等。
这个定理就是两个角等于一直角。
也就是说，一个直角被分为两个角时，这两个角的度数之和是90度。
同理，当一个角被平分成两个小角时，这两个小角的度数相等，两个小角的度数之和等于该角的度数。
这个定理在我们学习解方程的过程中也经常用到，深刻理解这个角的性质对于我们解题会有很大的帮助。
三、互补角和补角互补角指的是两个角的度数之和为90度，而补角则是两个角的度数之和为180度。
我们可以通过一些具体的例子来深入理解这两个概念。
比如说，两条直线相交，形成的四个角中，如果有一个角度为45度，那么与它相对的角也为45度，它们就是一对互补角。
而如果有一个角度为60度，那么与它补角的角度就是120度，这就是一对补角。
四、角度的度数表示我们在这里需要重点介绍一下角度的度数表示，因为它是我们学习角度知识的基础。
度是角的度量单位，用符号“°”表示，例如90°表示90度。
正如我们前面讲到的，90度的角是一个直角。
要想求解不同角度的度数，我们需要使用一些相关的公式和技巧。
比如说，当我们知道一个角的弧长和所在圆的半径时，就可以通过一些公式来求出它的度数。
七年级数学下册 4.1.2 相交直线所成的角教案 (新版)湘教版
相交直线所成的角知识与技能：1．理解相交直线所成的角意义，理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念。
2．理解对顶角相等的性质。
3．会运用对顶角相等及等量代换的性质得到三条直线相交所得8个角之间的等量关系及互补关系。
过程与方法：通过认识图形的组合（由简到繁），培养学生识别图形基本结构的能力。
情感态度与价值观：经历知识发生的过程，通过动手操作，体验数学概念的发展是现实生活的需要，感受数学学习的价值，积极参与探索过程。
教学重点：三条直线构成的角的关系，对顶角相等的性质。
教学难点：准确地找出三条直线构成的8个角之间的关系，用对顶角相交及等量代换得到它们之间的等量关系。
教学过程：一、预学：1、在同一平面内的两条直线有几种位置关系？2、经过直线外一点怎样画出这条直线的平行线？3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行即：如果b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥ c 。
二、探究：如图4-7，剪刀的两个交叉腿构成四个角，将其简单地表示为图4-8.1、做一做：1与∠3有什么关系？2、对顶角的概念如图∠1与∠3有共同的顶点O ，其中一个角的两边分别 是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
3、学生从做一做中得出相应的结论，也可从简单的推理中得到： 对顶角相等。
∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。
图4-7 1 23 4图4-84、说一说：生活中的对顶角5、画直线AB、CD与MN相交，找出它们中的对顶角。
三、精导：1、讲解同位角、内错角、同旁内角的概念。
直线AB，CD都与第三条直线MN相交(有时也说直线AB和CD被第三条直线MN所截)，可以构成8个角，如图所示.2、假设直线AB，CD被MN所截，有一对同位角相等比如说∠1＝∠5，找出图形中相等的角或互补的角。
3、应用“对顶角相等”及“等量代换”及等式的性质，可以得出相应的一些结论：（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角也相等，同旁内角互补。
高中数学选修2—1直线和平面所成的角教案
直线和平面所成的角（一）学习目标：（1）知道直线和平面所成的角定义生成过程及其合理性.（2）明确定义法求直线和平面所成角的方法和步骤.了解三余弦定理推导过程，并记忆定理内容（3）会在具体几何体中求直线与平面所成的角； 自学指导：1、直线和平面的位置关系有哪几种？（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：3线所成的角的关系如何？4、如图，怎样刻画不同斜线1l 与2l 相对同一平面α角的概念是什么？ 5、重要结论：（1）平面的斜线和它在平面内的 所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .(2)一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角 6、规定：（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是 .（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 . （3）直线和平面所成的角的范围是 . （4）三余弦公式是自学检测：1、在单位正方体1111ABCD A BC D -中，（1）试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角. （2）试求直线1BA 与平面1BC 所成的角.2、在长方体1111ABCD A BC D -中，a AD AA ==1，1与长方体各面所成角的余弦.3、已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角是︒60，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角是︒45，求斜线与平面所成角的大小。
合作探究：在单位正方体1111ABCD A BC D -中，求直线11AC 与截面11ABC D 所成的角.小结：定义法就是根据斜线与平面所成角的定义，直接作出斜线在平面内的射影，则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角，这是解题时首先要考虑的方法 （1）求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.（2）求直线和平面所成的角的关键是作（找）斜线在平面内的射影.A（3）下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。
①定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
《两条直线的夹角》教案
《两条直线的夹角》教案奉贤中学金红卫执教时间：20XX年9月26日执教班级：高二(16)班教学目的：1、掌握两条直线夹角的概念，能推导并掌握夹角公式；2、培养学生分类讨论的数学思想；3、培养学生研究性学习的能力。
教学重点：两条直线的夹角公式教学难点：夹角公式的推导教学过程：一、设置问题情境，引入新课：我们已经学习了与直线有关的一些概念，如直线的方向向量、法向量和直线的倾斜角、斜率，并能够根据条件选择写出相应的直线方程。
反之亦然。
对于两条直线，重合、平行和垂直是比较特殊的位置关系。
如何刻画一般情况下两条直线的位置关系呢？引入课题：两条直线的夹角。
概念：(1)相交直线的夹角；(2)重合或平行直线的夹角。
显然，直线的夹角和直线的方向向量、法向量、倾斜角、斜率好象都有点关系。
那么给你两条直线的方程，你能否推导出求两条直线的夹角公式呢？二、自主解决：第一种情况：已知L1：a1x＋b1y＋c1＝0（a1、b1不全为零），L2：a2x＋b2y＋c2＝0（a2、b2不全为零），求L1与L2的夹角。
第二种情况：已知L1：y―y1＝k1(x―x1)，L2：y―y2＝k2(x―x2)，求L1与L2的夹角。
让学生自己选择一种，在独立研究的基础上进行小组讨论。
第一种情况的注意点：向量的夹角并不等于直线的夹角。
第二种情况的注意点：倾斜角的差并不等于直线的夹角；直线的斜率是否存在。
公式一：cos α＝222221212121b +a •b +a |b b +a a |公式二：tan α＝2112k k +1－k k 应提醒学生注意公式推导过程中的分类讨论和公式适用的条件。
反思：(1)研究过程中要善于运用已有的知识和技能、数学思想；(2)懂得分工、合作、交流、共享。
三、 知识应用：[例1] 已知两条直线的方程分别是L 1：3x ＋y ＋2＝0，L 2：2x －y －3＝0，求L 1与L 2的夹角α。
变式：若L 2改为y ＝3呢？给为x ＝－2呢？反思：(1)懂得选择合适的公式；(2)注意运用数形结合思想。
中职数学(高教版)教案：直线与平面所成的角
中等专业学校2023-2024-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 4.3.3 直线与平面所成的角教学目标1.知道直线在平面内的射影的定义，会找出直线在平面内的射影；2.知道直线与平面所成角的定义，会找出直线与平面所成的角，会解决直线与平面所成角的简单问题.重点直线与平面所成的角难点直线与平面所成角的求法教法数形结合，讲练结合，教学设备多媒体教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入我国是拥有斜拉索桥最多的国家.斜拉索桥是大跨度桥梁的主要桥型，依靠若干斜拉将梁体重量和桥面载荷传至桥塔、桥墩.斜拉索安装位置的设计是斜拉索桥设计的重要内容.如图所示，斜拉索AC所在的直线与桥面所在的平面口相交，但是它们并不垂直.不同斜拉索相对于桥面的倾斜程度是不同的,如何描述这种不同呢？教学内容二、探索新知1.直线在平面内的射影如果直线与平面相交但不垂直,就称直线是平面的斜线.斜线与平面的交点称为斜足,经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线,连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影.如图所示，直线m是平面α的斜线，点P为斜足，A∈m且AB⊥α,垂足为B,则BP是斜线m在平面α内的射影.显然, 直线AP与射影BP所成的角θ反映了斜线相对于平面的倾斜程度.2.直线与平面所成的角一般地,平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角,称为这条斜线与这个平面所成的角.规定:当直线在平面内或直线与平面平行时,它与平面所成的角是0;当直线与平面垂直时,它与平面所成的角为2π于是,直线与平面所成的角的范围为02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.三、例题巩固例7如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)找出BC1在底面ABCD上的射影；(2)求BC1与底面ABCD所成角的大小；(3)求BD1与底面ABCD所成角的正切值.解(1)因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面都是正方形，所以CC1⊥DC，CC1⊥BC，且DC∩BC=C，从而，CC1⊥平面ABCD且垂足为C.又BC1∩平面ABCD=B，故BC是BC1在平面ABCD上的射影.教学内容(2)由(1)知，BC1与底面ABCD所成的角是∠C1BC.因为BC1是正方形BCC1B1的对角线，所以∠C1BC=4π.于是，BC1与底面ABCD所成角为4π. (3)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为DD1⊥AD，DD1⊥DC，且AD∩DC=D，所以DD1⊥底面ABCD，从而BD是BD1在平面ABCD上的射影，且DD1⊥BD.因为DD1=a，BD=2a，所以tan D1BD=122DDBD=，即BD1与底面ABCD所成角的正切值是22.例8 中国于2015年实现了“无电地区人口全部用上电”的目标. 如图所示，为防止电杆倾斜.工作人员用一根钢丝绳作牵拉绳.受周围环境影响，牵拉绳接地点A到电杆与地面的交点C的距离是 2.5m.若牵拉绳与水平地面所成的角为 60°.求牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离.解由题意可知电杆与地面是垂直的，所以BC⊥AC，且AC是AB在地面上的射影，于是∠BAC= 60°.在RtΔABC中，因为AC=2.5m，所以BC=AC tan ∠BAC=2.5tan60°=332255=(m)⨯.因此，牵拉绳与电杆的连接处点B到点C的距离是325m .。
两直线夹角教案
两直线夹角教案教案标题：两直线夹角教案教案目标：1. 理解直线夹角的概念和性质。
2. 能够计算两直线夹角的大小。
3. 能够应用两直线夹角的概念解决实际问题。
教学重点：1. 直线夹角的定义和性质。
2. 计算两直线夹角的方法。
3. 实际问题的应用。
教学难点：1. 理解夹角的概念和性质。
2. 运用夹角概念解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/马克笔、直尺、量角器等。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、量角器等。
教学过程：Step 1：导入新知识（5分钟）教师通过引入两直线夹角的实际问题，如两条道路的夹角、建筑物的夹角等，引起学生对夹角的兴趣，并激发学生思考。
Step 2：概念讲解（10分钟）教师通过黑板或白板上绘制两条直线，并标注出夹角的概念，引导学生理解夹角的定义。
然后，讲解夹角的性质，如夹角的度数范围、夹角的分类等。
Step 3：计算夹角（15分钟）教师通过示范，教授计算两直线夹角的方法。
首先，介绍使用量角器测量夹角的步骤和注意事项。
然后，教授使用公式计算夹角的方法，包括使用三角函数和直角三角形的知识。
Step 4：练习与巩固（15分钟）教师提供一些练习题，让学生在课堂上独立或合作完成。
练习题可以包括计算夹角的实例题和应用题，以检验学生对夹角计算的掌握程度。
Step 5：拓展应用（10分钟）教师引导学生思考夹角在实际问题中的应用，并提供一些拓展应用的问题，让学生运用所学知识解决实际问题。
Step 6：课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行小结，并强调学生需要继续巩固夹角的概念和计算方法。
Step 7：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生继续练习夹角的计算和应用，并在下节课前完成。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解直线夹角的概念和性质，能够计算两直线夹角的大小，并能够应用夹角概念解决实际问题。
教师在教学过程中要注重引导学生思考和互动，培养学生的问题解决能力和应用能力。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标：1. 了解直线与平面所成角的概念及其几何特征。
2. 学会使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
3. 能够运用直线与平面所成的角解决一些简单的问题。
教学重点：1. 直线与平面所成角的定义及其几何特征。
2. 测量直线与平面所成角的方法。
教学难点：1. 理解直线与平面所成角的定义，能够正确判断直线与平面所成的角。
2. 熟练使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
教学准备：1. 三角板2. 量角器3. 教学课件或黑板教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入新课：回顾直线与平面的位置关系，思考直线与平面可以形成哪些角。
2. 提问：什么是直线与平面所成的角？它具有哪些几何特征？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与平面所成角的定义：直线与平面相交时，直线与平面内的任意一条直线所形成的角。
2. 讲解直线与平面所成角的几何特征：它是直线与平面相交的特殊角，具有大小和方向。
3. 讲解测量直线与平面所成角的方法：使用三角板和量角器。
三、实例演示（5分钟）1. 演示如何使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角。
2. 让学生分组进行实践，测量不同直线与平面所成的角。
四、课堂练习（5分钟）1. 布置练习题：测量给定直线与平面所成的角。
2. 学生独立完成练习题，教师巡回指导。
五、总结与布置作业（5分钟）1. 总结本节课的主要内容：直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
2. 布置作业：巩固测量直线与平面所成角的方法，解决一些简单的问题。
教学反思：本节课通过讲解和实例演示，让学生掌握了直线与平面所成角的定义、几何特征和测量方法。
在实践环节，学生能够独立使用三角板和量角器测量直线与平面所成的角，解决了实际问题。
但在教学过程中，要注意引导学生正确理解直线与平面所成角的定义，避免混淆。
可以增加一些拓展练习，提高学生的应用能力。
六、直线与平面所成角的计算教学目标：1. 理解直线与平面所成角的计算方法。
人教版七年级数学下册教案 5-1-1 相交线
5.1.1相交线一、教学目标【知识与技能】1.借助两直线相交所形成的角初步理解邻补角、对顶角的概念.2.会根据邻补角、对顶角的性质去求一个角的度数.3.掌握邻补角与对顶角的性质，并能运用它们解决简单实际问题.【过程与方法】1.通过动手操作、推断、交流等活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和表达能力.2.在具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些简单问题.【情感态度与价值观】引导学生对图形进行观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,树立学习的信心.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】对顶角的性质【教学难点】理解对顶角相等的性质的探索.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2-5）同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交．这些都给我们以相交线、平行线的形象．在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线．那么两条直线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？（二）探索新知1.出示课件7-12，探究邻补角与对顶角的定义教师问：如图，把两根木条用钉子钉在一起，转动其中一根木条，观察两根木条所形成的角的位置及大小关系.你能动手画出两条相交直线吗?学生答：能，作图如下：教师问：两条直线相交，形成的小于平角的角有几个，是哪几个？学生答：两条直线相交，形成的小于平角的角有四个 .分别是∠1，∠2，∠3，∠4.教师问：将这些角两两相配能得到几对角？教师依次展示学生答案：学生1答：∠1 和∠2.学生2答：∠2 和∠3.学生3答：∠3 和∠4.学生4答：∠4 和∠1.教师问：为何如此分类呢？学生答：有一条边在一条直线上，角的顶点相同.教师问：还有其他分类吗？学生答：分类如下：∠1 和∠3，∠2 和∠4.教师问：这样分的标准是什么？学生答：两边分别在一条直线上，有共同的顶点.总结点拨：（出示课件9）教师问：观察∠1和∠2的顶点和两边，有怎样的位置关系？师生一起解答：如图，∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1与∠2 互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.教师问：类比∠1和∠2，看∠1和∠3有怎样的位置关系？学生答：这两个角的两边都在同一条直线上，有相同的顶点.教师总结：如图，∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.总结点拨：（出示课件12）考点1：对顶角的判断下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）（出示课件13）师生共同讨论解答如下：解析：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．答案：D.出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正.答案：D.2.出示课件15-17，探究对顶角、邻补角的性质教师问：在上学期我们已经知道互为补角的两个角的和为180°，因而互为邻补角的两个角的和为180°.如图所示，∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？学生答：猜想：∠1 =∠3.教师问：你能利用学过的有关知识来验证∠1与∠3的数量关系吗？学生答：∵∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°，∴∠1=∠3.教师问：∠1与∠3互为什么角？学生答：互为对顶角.教师问：由此你能猜想对顶角有什么性质？学生答：猜想：对顶角相等.教师问：你能证明你的猜想吗？学生先独立思考，师生共同讨论后解答如下：师生一起解答：已知：直线AB与CD相交于O点(如图),求证:∠1=∠3，∠2=∠4.证明：∵直线AB与CD相交于O点,∴∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°，∴∠1=∠3.同理可得∠2=∠4.教师问：您能利用几何语言描述一下对顶角的性质吗？学生答：符号语言：∵直线AB与CD相交于O点，∴∠1=∠3，∠2=∠4.教师总结点拨：（出示课件18）两直线相交分类位置关系名称数量关系∠1 和∠2，∠2 和∠3，∠3 和∠4，∠4 和∠11.有公共顶点2.有一条公共边3.另一边互为反向延长线邻补角邻补角互补∠1 和∠3，∠2 和∠4.1.有公共顶点2.没有公共边对顶角对顶角相等3.两边互为反向延长线考点1：利用对顶角、邻补角的性质求角的度数如图,直线a、b相交，∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度数.（出示课件19）学生独立思考后，师生共同解答.学生1解：由邻补角的定义可知∠2=180°-∠1=180°-40°=140°；学生2解：由对顶角相等可得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.教师总结。
《角的认识》教案优秀6篇
《角的认识》教案优秀6篇《角的初步认识》教案篇一教学目标：1、使学生初步认识角，知道角的各部分名称。
2、初步学会用直尺画角（从一个点起画角）。
教学重点：1、知道角的各部分名称。
2、初步学会用直尺画角（从一个点起画角）。
教学难点：用直尺画角（从一个点起画角）。
教学方法：谈话法，讲授法，练习法。
教学准备：课本、电脑，实物投影仪，学生准备红领巾、三角板、纸、两根硬纸条做成的活动角。
教学过程：一、谈话导入师：同学们，你们喜欢小制作吗？有一天，小明完成了自己的作品后，突然像发现了一个大秘密似的叫了起来：快来看啊，快来看，红五星上有许多---学生：观察剪好的五角星。
师：对，就是角，同学们你们观察的真仔细。
看到这儿，你能提出什么问题？（小组讨论提出问题）可能提出的问题有：1、哪里还有角？2、什么是角？二、学习新知师：在图中你发现那里有角？能上来指一指吗？学生：同为交流观察到的角，再到前台指给全班同学看。
师：你能说说观察到的角是什么形状的吗？学生：学生通过自己感知的角，用自己的话谈谈对角的感受。
演示角从实物（钟表、三角板、扇子）中抽出来的过程。
结合刚抽出来的图形讲述什么样的图形是角。
学生：理解角，认识角。
师：你能给角的各部分起个名字吗？学生：学生给角的各部分命名。
教师小结：角有一个顶点，两条边。
师：你能做一个角吗？学生：学生独立做角，可能会根据情景图的提示剪一剪、摆一摆，也可能用画一画，折一折等方法作角。
三、认识直角出示情景图师：你能指一指图上其他的角吗？学生：到情景图上找角。
出示：显示在实物中抽象出来的角。
学生：观察并再一次认识角。
师：观察这些角，你能发现什么？学生：小组交流：学生可能发现：1、这些角有大有小。
2、第三幅和第四幅图中的角形状一样师：这样的角叫做直角，我们可以给它标上直角符号。
你看，直角符号像什么？你还在哪见过直角？学生：在直角上标上直角符号。
学生可以在教室里找，也可以在其他地方找。
四、小结同学们，这节课你知道了什么？你觉得自己的表现怎么样？五、布置作业提前预习下一课。
两条相交直线的夹角
课题：两条相交直线的夹角(教案)【教学目标】：1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角；2、理解两条直线垂直的充要条件.3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力. 【教学重点】：两条相交直线的夹角. 【教学难点】：夹角公式的应用. 【教学过程】： 一、课题引入：平面上两条直线有几种位置关系？ 相交、平行、重合．（垂直是相交的一种特殊情形） 下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究．（引出课题：两条直线的夹角） 二、新课讲授：1. 两条直线的夹角：平面上两条相交直线，它们构成四个角，是两对对顶角．如果一对是锐角，另一对是钝角，那么我们规定锐角作为它们的夹角．如果四个角都是直角，那么规定两直线夹角是直角，此时也称两条直线相互垂直．平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为０．所以，两条相交直线的夹角02πα≤≤．2. 夹角公式：如果已知两条直线的方程分别为：11112222:0:0l a x b y c l a x b y c ++=++=（其中11,a b 不同时为零，22,a b 不同时为零）．系数确定，方程确定，直线确定，它们的夹角也就确定，那么如何根据方程来求1l 与2l 的夹角？设12,l l 的方向向量分别为12,d d ，向量12,d d 的夹角为θ，直线12,l l 的夹角为α．将直线12,l l 的方向向量12,d d 平移至同一起点，构成四种情形，如图．当02πθ≤≤时，αθ=；当2θπ<≤时，απθ=-．于是，cos cos αθ=．l1d 2d根据直线方程，可设它们的方向向量分别为：()()111222,,,d b a d b a =-=-．由夹角的计算公式得：12121cosd d d d a θ==，于是，两条直线的夹角公式为：cos α=1212,,,a a b b 分别是直线一般式方程中,x y 前面的系数，已知这四个数就可以应用夹角公式求两直线夹角的余弦．因为余弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以此时角α是唯一确定的．例1、已知两条直线的方程分别是：12:230,:320l x y l x y ++=-+=，求两条直线的夹角α．解：由题意：cos 2α==， 4πα∴=，即两直线的夹角为4π．练习：求下列各组直线的夹角.（1）12:31,:340l y x l y x =-+-= 2π （2）12:20,30l x l y +=++=6π（3）12:10,:4l y x l y -+== 4π例2、已知直线10l y+=与直线10kx y -+=，若直线1l 和直线2l 的夹角为60，求k 的值. 12=得0k =. cos 0α=得两直线的夹角为2π，称两条直线相互垂直，是两直线相交的一种特殊情形，回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直（板书）的命题？当12120a a b b +=时，cos 02παα=⇒=，此时，两直线相互垂直；反之，当两直线垂直时，它们的方向向量()()111222,,,d b a d b a =-=-也相互垂直，所以1212120d d bb a a =+=．两条直线垂直的充要条件是：12120a a b b +=； 当12,k k 都存在时，两条直线垂直的充要条件是：121k k ⋅=-；所以两条直线垂直的充要条件也可为：121k k ⋅=-或一条斜率不存在另一条的斜率为零．例3、已知直线l经过点(P -，且与直线0:20l x +=的夹角为3π，求直线l 的方程．解１：设直线l 的一个法向量为(),n a b =，则直线l 的点法向式方程为：()(20a x b y ++=整理得：20ax by a ++=，212a b =⇒-=⇒= 当0b =时，直线方程为：20x +=；当0b ≠时，b =，直线方程为：10x -=； 所以，直线l的方程为：10x -=或20x +=．注意：此处设直线的点法向式方程，而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向式方程可以表示所有直线．解2：若直线l 的斜率存在，设直线l的方程为：(2)y k x -=+.12=，解得3k =-.直线方程为：10x +-=.若直线l 的斜率不存在，即方程为2x =-；则直线l 与直线0l 的夹角为3π，满足题意. 所以，直线l的方程为：10x +-=或20x +=． 解3：设直线l 的一般式方程为：0ax by c ++=（,a b 不同时为零）．则由题意：()2012a b c ⎧⋅-+==，后解同解１．三、小结：1.两条直线的夹角02cos παα⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎪=⎪⎩定义，，夹角公式2. 设直线方程时要依题而设，好中选优；利用画图、数形结合的方法．课题：两条相交直线的夹角(学案)【教学目标】：1、理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相交直线的夹角；2、理解两条直线垂直的充要条件.3、体会数形结合的数学思想，培养思维能力. 【教学重点】：两条相交直线的夹角. 【教学难点】：夹角公式的应用. 【教学过程】：1. 两条直线的夹角：平面上两条直线相交时构成两组对顶角．我们规定_____________________________为两条相交直线的夹角．规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为_____． 两条相交直线的夹角α∈________________. 2. 夹角公式：如果已知两条直线的方程分别为：11112222:0:0l a x b y c l a x b y c ++=++=（其中11,a b 不同时为零，22,a b 不同时为零）．如何根据方程来求1l 与2l 的夹角？两条相交直线的夹角公式为：___________________________________．例1、已知两条直线的方程分别是：12:230,:320l x y l x y ++=-+=，求两条直线的夹角α．练习：求下列各组直线的夹角.（1）12:31,:340l y x l y x =-+-=（2）12:20,30l x l y +=++= （3）12:10,:4l y x l y -+==例2、已知直线10l y +=与直线10kx y -+=，若直线1l 和直线2l 的夹角为60，求k 的值.两条直线垂直的充要条件是：__________________________；两条直线垂直的充要条件也可为：____________________________________．例3、已知直线l 经过点(P -，且与直线0:20l x +=的夹角为3π，求直线l 的方程．【课堂小结】 两条直线的夹角：【课后作业】两条相交直线的夹角课后作业1．求下列两组直线的夹角：（1）120,:20l y l x -=+=；6π（2）12:10,:50l x l x y -=+-=；4π（3）01243:1=--y x l 与 3:2=x l .3arccos 52. 已知直线12:10,:20l ax y l x ay +-=-+=，其中a R ∈且0a ≠，求直线1l 与2l 的夹角.2πθ=3．（10y +=与直线10kx y -+=的夹角为60︒，求实数k 的值．0k =或k =（2）经过点（3，5），且与直线0723=+-y x 之间成︒45角的直线方程.5200x y +-=或5220x y -+=4．若直线()()084123=+-++y a x a 与直线()()07425=-++-y a x a 互相垂直，求a 的值. 0或15．已知等腰三角形ABC 的斜边AB 所在直线的方程为350x y --=，直角顶点为()4,1C -，求两条直角边所在直线的方程．270,260x y x y +-=--=6. 已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A(1)求ABC ∆中A ∠的大小;(2)求A ∠的平分线所在直线的方程. （1）3arccos 5A = （2）02=-y x .两条相交直线的夹角课后作业1．求下列两组直线的夹角：（1）120,:20l y l x -=+=；（2）12:10,:50l x l x y -=+-=；（3）01243:1=--y x l 与 3:2=x l .2. 已知直线12:10,:20l ax y l x ay +-=-+=，其中a R ∈且0a ≠，求直线1l 与2l 的夹角.3．（10y +=与直线10kx y -+=的夹角为60︒，求实数k 的值．（2）经过点（3，5），且与直线0723=+-y x 之间成︒45角的直线方程.4．若直线()()084123=+-++y a x a 与直线()()07425=-++-y a x a 互相垂直，求a 的值.5．已知等腰三角形ABC 的斜边AB 所在直线的方程为350x y --=，直角顶点为()4,1C -，求两条直角边所在直线的方程．6. 已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A(1)求ABC ∆中A ∠的大小;(2)求A ∠的平分线所在直线的方程.。
新湘教版七年级数学下册《相交直线所成的角》教案
《相交直线所成的角》教案【教学目标】1.知识与能力：理解相交直线所成的角意义，理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念.能准确地找出三条直线相交所构成的八个角的关系；2.过程与方法：经历探索对顶角相等的性质，理解对顶角相等的性质.会运用对顶角相等及等量代换的性质得到三条直线相交所得8个角之间的等量关系及互补关系。
3.情感态度与价值观：感受几何图形中的等量关系，形成严谨的数学思维。
【教学重点】三条直线构成的角的关系，对顶角相等的性质。
【教学难点】准确地找出三条直线构成的8个角之间的关系，用对顶角相交及等量代换得到它们之间的等量关系。
【教学过程】一、快乐启航1.在同一平面内的两条直线有几种位置关系？2.经过直线外一点怎样画出这条直线的平行线？3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥ c.二、自主学习1.做一做（P75的内容）2.对顶角的概念如图∠1与∠3有共同的顶点O，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.3.学生从做一做中得出相应的结论，也可从简单的推理中得到：对顶角相等.∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3.4.说一说：生活中的对顶角5.画直线AB 、CD 与MN 相交，找出它们中的对顶角.三、合作探究探究：同位角、内错角、同旁内角例1：如图直线EF 与AB 、CD 相交，构成8个角，找出图中的对顶角、同位角、内错角和同旁内角.对顶角________；同位角________；内错角________；同旁内角________.例2：如图直线AB ，CD 被MN 所截，有一对同位角∠1＝∠2相等，那么内错角∠2=∠3吗？练一练：1.如右图三条直线相交于O 点，∠1=60°，∠2=70°，则∠3=___________. 321lj k2.如下图AB,CM 相交于O 点，试指出图中所有的同位角.内错角及同旁内角，并说明它们是由哪两条直线被哪条直线所截成的？四、归纳总结1.对顶角的定义：有共同的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角；2.对顶角相等；3.对顶角“X”型、同位角“F”型、内错角“Z”型、同旁内角“U”型。
教案 高教版(数学)第二册——8.7 平面上两条直线的夹角
平面上两条直线的夹角教学目标知识目标：1、理解两条直线的夹角的定义；2、理解两条直线夹角的公式.能力目标：1、掌握两条直线的夹角及其计算公式；2、会两条直线夹角公式的推导，及运用两条直线的夹角公式求已知两条直线的夹角。
德育目标：1、用联系的观点看问题；2、认识事物在一定条件下能够相互转化。
教学重点：会运用两条直线的夹角公式求已知两条直线的夹角。
教学难点：两条直线的夹角公式的推导。
教学过程：一、课前复习1、 向量内积概念及向量夹角的取值范围。
2、 已知|a|=2,|b|=5，<a ，b>= 120，求 a b •3、若==|a |),,(则y x a引入：这节课我们就来学习两条直线的夹角问题。
我们知道，在推导直线平行垂直条件时，直线平行、垂直问题可转化为法向量平行、垂直问题，那么我们在研究直线的夹角问题是否也可转化为法向量夹角问题呢？二、新课讲授问题1：当一条直线斜率不存在时，其倾斜角为90°,与 倾 斜 角为0°的直线垂直。
问题2：一条斜率不存在的直线与一条斜率为0的直线互相垂直。
答：两条直线垂直时，一共构成几个角？它们之间有什么关系?如果两直线相交，结果又如何？问题3：垂直时, 一共构成四个角, 四个角都等于90°。
如果斜交也构成四个角,组成两组对顶角。
答：两条直线相交的状况如何，我们需要具体量化。
首先我们来看直线l 1到l 2的角。
定义：把直线l 1（饶着l 1与l 2的交点）按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角，叫做l 1到l 2的角。
如图所示：θ就是直线l 1到l 2的角，而l 2到l 1的角为θ’,显然有θ+θ’=π1问题：直线l 1到l 2的角的取值范围如何？答：0°<θ<180°问题：设直线l 1：y= k 1x+b 1, 倾斜角为α1, 直线l 2:y= k 2x+b 2, 倾斜角为α2，直线l 1到l 2的角为θ。
9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：了解线线、线面、面面所成交的概念能力目标：（1）会找出线线、线面、面面所成的角；（2）利用线线、线面、面面所成的角，解释生活空间的一些实例；（3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．情感目标：（1）经历对线线、线面、面面所成的角及对应直观图形的认知，发展空间想象思维．（2）参与数学实验，感受各种位置关系的特征，培养数学直觉，感受科学思维．（3）关注生活中的数学模型，体会数学知识的应用．（4）经历合作学习的过程，尝试探究与讨论，树立团队合作意识．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]o o ．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））讲解 说明思考过 程行为 行为 意图 间(1)图9-31(2)引领 分析 仔细 分析 关键 语句理解 记忆带领 学生 分析12*巩固知识 典型例题例1 如图9−32所示的长方体中，130BAB ∠=︒，求下列异面直线所成的角的度数：(1) 1AB 与DC ； (2) 1AB 与1CC .解 （1）因为 DC ∥AB ，所以1BAB ∠为异面直线1AB 与DC 所成的角．即所求角为30︒.（2）因为1CC ∥1BB ，所以1∠AB B 为异面直线1AB 与1CC 所成的角．在直角△1ABB 中190ABB ∠=︒，130BAB ∠=︒，所以1903060AB B ∠=︒-︒=︒， 即所求的角为60︒.D 1A 1B 1AC 1D CB图9－32说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会17nm'm'noθnm 'mo过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．讲解说明引领分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间图9−34*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．质疑思考带领学生分析图9−35过程行为行为意图间图9−3642*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]o o．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A 到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角说明强调观察思考通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE 的长；AED ∠是AE 和平面α所成的角，三角形ADE 是直角三角形，求出AED ∠的正弦值即可求出斜线AE 和平面α所成的角．解 (1) 在等腰∆ABC 中，AE BC ⊥，故由BC =16可得BE =8.在Rt ∆AEB 中，∠AEB =90°，因此222217815AE AB BE =-=-=. （2）联结DE .因为AD 是平面α的垂线，AE 是α的斜线，所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===，所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？引领讲解 说明主动 求解 思考注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 55 *运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60*创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．质疑思考启发过 程行为 行为 意图 间在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察． 引导 分析思考63*动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此讲解 说明思考带领 学生图9−40CD图9−41loNM βαCD（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间二面角取值范围是[0,180]oo．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 引领 分析理解 记忆 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°.说明 强调引领讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会 81 *运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构练习9.3.3题过 程行为 行为 意图 间思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？在正方体1AC 中，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成的二面角的大小．提问 巡视 指导反思 动手 求解检验 学生 学习 效果89 *继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题9.1 A 组（必做）；9.1 B 组（选做）(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例 说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；第9章 立体几何（教案） 学生的情感态度 学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。
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两条直线所成的角教案1教学目标1．使学生理解两条直线夹角的概念，掌握夹角公式的推导及运用．2．通过夹角公式推导过程的教学，培养学生周密分析、严格论证的能力．3．使学生进一步体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法．教学重点与难点夹角公式的推导及解析法的运用．教学过程一、复习提问师：请同学们回忆一下，平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？分别是什么？生：两条直线的位置关系有平行和相交两种．(学生有可能答平行和垂直两种位置关系，教师应注意纠正．)师：相交这种位置关系中有一种非常特殊的情况，即两条直线垂直，在解析几何中是利用什么来判定两条直线垂直的呢？生：利用两条直线的方程．师：对！直线方程是直线这一平面图形的代数化，通过对直线方程的性质的研究就可以得到相应的图形——直线的性质，那么两条直线l1和l2的方程有什么性质，两条直线便垂直了？生：如果两条直线的斜率都存在，而且斜率互为负倒数，两条直线互相垂直．反之，若两条直线互相垂直，斜率互为负倒数．师：如果两条直线斜率都不存在呢？生：因为这两条直线都垂直于x轴，所以根本不可能互相垂直．师：如果一条直线l1的斜率存在，而另一条直线l2斜率不存在呢？生：关键是看l1的斜率k1是不是等于零，如果k1=0，那么l1垂直于l2，如果k1≠0，l1与l2肯定不垂直．(如果学生答不出来，可以画出l2帮助思考．)师：好，通过以上这些问题，综合起来才是完整的，同学们在考虑直线的问题时，一定要注意直线的斜率是否存在．另外，直线间的位置关系与直线的斜率密切相关，斜率又由倾斜角来确定，所以研究直线的位置关系就离不开倾斜角这一几何图形的帮助，这一点同学们在推导两条直线平行垂直的判定方法时就应该注意到了．然而两条直线相交更一般的情况是不垂直，那用什么来刻画两条直线的相对位置呢？(用两支铅笔演示两条直线相交成角变化，学生一般能回答出来用角来刻画．)二、讲授新课师：请同学们看，两条直线相交，一共构成几个角？它们之间有什么关系？生：一共构成4个角，它们是两对对顶角．师：如果这4个角全相等，我们称这两条直线垂直．如果这4个角不全相等，为统一也为研究方便，我们研究哪对对顶角更好呢？生：愿意研究锐角．师：我们给出定义．(板书)1．两条直线所成的角．两条直线相交，称不大于直角的角叫做两条直线所成的角，简称夹角．师：由夹角定义，能否得到夹角θ的取值范围呢？师：如果只研究两条直线斜交的位置关系，有两条直线的夹角就足够了，但是要研究多条直线时，夹角就有局限性，比如图1－24中，l1与l3的夹角等于l2与l3的夹角，但l1与l2的位置关系并不确定，所以最好让“角”也具有方向．(板书)2．l1到l2的角．把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，简称到角．师：如图1－25，l1到l2的角为θ1，l2到l1的角为θ2，θ1和θ2有什么关系？生：θ1与θ2和为180°．师：可以看出，到角是有顺序的，它具有指向性，我们现在关心的是l1到l2的角是多大，如何用解析几何的方法来求证？生：应该对两条直线方程进行研究．师：为了具有一般性，我们设出直线的方程．(板书)设l1：y=k1x+b1，或x=x1；l2：y=k2x+b2，或x=x2，(k1≠k2)师：可以看到，l1、l2的方程情况很多，先研究简单、特殊的情况——有一条直线斜率不存在．(1)若l1：y=k1x+b1，l2：x=x2，那么l1到l2的角可通过图形来观察．显然θ与l1、l2的倾斜角α1、α2相关，根据图1－26(1)可以看出θ=α2－α1=90°－α1；根据图1－26(2)则有θ＝α2+180°－α1=270°－α1，由于这种情况特殊，所以画出图来帮助分析就可以了，我们研究的重点是两条直线斜率都存在时，l1到l2的角如何计算．(2)若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，且1+k2k1≠0(因为要研究两直线斜交的情况)．设l1到l2的角为θ．师：请同学们思考θ与直线方程的关系，明确地说，由什么量决定θ？生：两条直线所成的角应该和这两条直线的方向有关(教师追问直线方向的代数化是什么)．直线的方向的代数化是直线的斜率，所以l1到l2的角应该和这两条直线的斜率有关．师：我们现在想找θ与k1、k2的关系，应该怎么办呢？生：θ是角，k1，k2是实数，不太容易找关系．生：k1、k2也是和角有关的，是不是可以间接找关系？生：试试先找θ和l1、l2的倾斜角的关系，然后再转化为k1、k2的关系．师：很好，l1，l2的倾斜角α1、α2是联系θ与k1、k2的纽带了，能不能凭空想出θ与α1、α2的联系？生：应该画图帮助思考．师：请一位同学在黑板上画出图形，反映两直线斜交的情况，其他同学在笔记本上画．(教师巡视学生作图情况，根据黑板上作出的图形，另外挑一位同学上黑板画图，两个图形分别代表α1＜α2，α1＞α2的情况，如图1－27．)师：两幅图有什么区别？生：图(1)中α1＜α2，图(2)中α1＞α2．师：l1、l2相对位置不同，θ与α1、α2的关系可能不一样，我们先研究图(1)中的情况．由于l1与l2相交，α2为三角形的外角，α1为这个三角形的内角，故有(板书)θ＝α2－α1．师：得到了θ与α1、α2的关系，如何转化为斜率呢？生：取角的正切．师：为什么？生：因为斜率是倾斜角的正切值，取了角的正切，就把这个倾斜角转化为斜率了．师：等式两边取正切，有(板书)师：由于k1、k2存在且1+k2k1≠0，所以这个关系式有意义，对于图(2)是否有相同的结论呢？可以看到，α1是三角形的外角，α2是三角形的内角，α1=α2+(180°－θ)，所以有(板书)θ=180°+α2－α1．生：仿照上面的做法，等式两边取正切，然后利用两角差的正切公式，转化为单角的正切．(学生叙述，教师板书)师：比较两种情况的结果发现，无论l1与l2的相对位置如何，l1到l2的角的正切的表达式是一致的．(板书)3．“l1到l2的角”公式．设θ是l1到l2的角，则有师：同学们要注意，公式的分子是角的终边所在直线l2的斜率减去角的始边所在直线l1的斜率，绝不能颠倒．由tanθ的取值情况，能否判定θ的取值？生：当tanθ＞0时，θ是锐角，当tanθ＜0时，θ是钝角．师：这个公式该怎么证呢？生：利用两角差的正切公式．生：记公式的推导过程，只记图(1)中的3个角的关系．(这时不必强求一致)师：怎么求l2到l1的角θ'呢？生：可以把公式中的k1换成k2，k2换成k1，也就是师：同学们在利用这一公式求“到角”时，一定要注意哪条直线是l1，哪条直线是l2，还需要条件l1与l2不垂直，即1+k2k1≠0．接下来的一个问题是：tanθ和tanθ'有什么关系？说明了什么？生：tanθ与tanθ'互为相反数．说明θ和θ'二个角中，一个是锐角，一个是钝角，正切值的绝对值相等，所以θ+θ'=180°．(板书)4．夹角公式角，可能是钝角；另一个是夹角，无方向，只能是锐角，求角时要注意求的是夹角还是到角，弄清角的类型再调动相应的公式．师：我们来利用所学的知识解决一些问题．(板书，或打出投影)师：这里已知两直线方程，要求两条直线的夹角，如何处理？生：由已知直线方程就可以知道两条直线的斜率，再利用夹角公式就能求出夹角了．师：求夹角不必考虑始边与终边，直接代入夹角公式计算结果．解直线l1的斜率为k1=－2，l2的斜率为k2=1，所以l1与l2的夹角θ有：因为θ是锐角，所以θ=arctan3．师：如果再求l1到l2的角，这个角多大？，l2到l1的角又多大？生：那需用到角公式，求出l1到l2的角的正切为－3，这个角是钝角，所以l1到l2的角是π－arctan3，l2到l1的角是arctan3．师：答案正确，从这道题的求解我们可以总结些什么规律？明确地说，是该如何选择公式？结果是正还是负？生：如果所求是两条直线的夹角，就用夹角公式，求出的值必是正值；如果求一条直线到另一条直线的角，就得用到角公式，它不带绝对值符号，求出的值可能是正的，也有可能是负的．师：归纳得很好，之所以求夹角时选用带有绝对值符号的公式，是因为不必区分两条直线中的哪一条是始边，哪一条是终边；而“到角”具有方向性，所以公式中的分子是终边的斜率减去始边的斜率，由正切值判断这个角是锐角还是钝角，当难以区分夹角还是到角时应画出图形帮助分析，判断．(板书)例2 等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x－2y－2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y－1=0，点(－2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程．师：要求直线l3的方程，已知点(－2，0)在l3上，故只需求出l3的斜率k3，要求k3，运用方程思想，要建立关于k3的一元方程．那么就需从题目中挖掘等量关系，从而转化为一个含k3的等式，显然“等腰三角形”这一条件十分重要，它能推出两腰长相等，两底角相等．那么与k3有关的条件是底角相等，所以要用已知的直线方程表示等腰三角形的底角，通过等腰三角形两底角相等建立关于k3的等式．(由学生列等式，教师巡视，从中发现不当的解法，加以展示．)生：因为l3、l1是三角形的二腰所在的直线，所以l3与l2的夹角等于l1与l2的夹角，所以有(板书)三角形，这个解法有问题．师：这就是我们刚才说的，两个夹角相等，二直线位置并不确定，所以应用到角，为避免错误，结合直观图形加以判断．(只需画出三线相对位置，如图1－28．)生：由图可以看出，l2到l1的角θ1等于l3到l2的角θ2，列式(板书)解得 k3=2．因为l3过点(－2，0)，所以直线l3的方程为y=2(x+2)，即2x－y+4=0．师：通过这两道例题，我们可以看到，恰当地调用公式是十分重要的，角度与两条直线的先后顺序没有关系时，应选用夹角公式，运算可变得简捷一些，但一定要加以判断；角是否与直线顺序无关；若角度与直线的先后顺序有关，或是出现多条直线时，通常要用“到角”公式，且要画图以助分析．三、小结师：本节课研究的是两条直线斜交所成的角、有关公式及应用，从公式推导过程，同学们要体会其中的数学思想：如转化思想，方程思想，分类讨论思想，数形结合思想，体会研究解析几何问题的基本方法，此外要掌握公式并能灵活运用．四、作业(1)复习课本中“两条直线所成的角”一节．(2)课本习题(略)．设计说明直线是最基本、最简单的平面图形，学生在初中就已研究过许多有关直线的理论，如两条直线平行、相交的位置关系，成角与距离等数量关系，但在解析几何中，解析法这种方法对学生来说是陌生的，所以课本要通过直线这一学生熟悉的图形、学生熟知的性质来使学生理解并掌握解析几何的基本思想和方法．对于两直线成角，学生并不难理解与接受，因为他们已经有了研究两条直线平行和垂直位置关系的经验．其实平行和垂直都是两直线成角的问题，都是通过两条直线的斜率(如果存在)来研究的，因而利用斜率讨论两条直线斜交的成角就十分自然了，在研究过程中，都离不开倾斜角这个中间环节，学生不难想到研究新问题的手段与方法，所以在教学中应多启发学生，让学生参与到问题的研究中来，通过类比、归纳、推证得出结论．在教学中要注意解析几何思想方法的渗透，时刻提醒学生，我们是用代数方法研究几何图形，同时注意思考上要严密，表述上要规范，学好这一章的知识能为进一步研究圆锥曲线作好知识上方法上的准备，也为今后灵活运用解析几何的基本思想方法打下坚实的基础．。