运筹学第1章

（第三版）
《运筹学》教材编写组编
清华大学出版社
运筹学
第1章线性规划与单纯形法
第1节线性规划问题及其数学模型
二.线性规划与目标规划
第1章线性规划与单纯形法
第2章对偶理论与灵敏度分析
第3章运输问题
第4章目标规划
第1章线性规划与单纯形法
第1节线性规划问题及其数学模型
第2节线性规划问题的几何意义
第3节单纯形法
第4节单纯形法的计算步骤
第5节单纯形法的进一步讨论
第6节应用举例
第1节线性规划问题及其数学模型
•1.1 问题的提出
•1.2 图解法
•1.3 线性规划问题的标准形式
•1.4 线性规划问题的解的概念
第1节线性规划问题及其数学模型
线性规划是运筹学的一个重要分支。

线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。

特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。

从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。

它已是现代科学管理的重要手段之一。

解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。

1.1 问题的提出
从一个简化的生产计划安排问题开始
例1
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。

资源产品ⅠⅡ拥有量
设备 1 2 8台时
原材料A40 16kg
原材料B0 4 12kg
续例1
该工厂
•每生产一件产品Ⅰ可获利2元，•每生产一件产品Ⅱ可获利3元，•问应如何安排计划使该工厂获利最多?
如何用数学关系式描述这问题，必须考虑
称它们为决策变量。

产品的数量，分别表示计划生产设II I,,21x x ∙12
416482212121≤≤≤+∙x ;x ;x x ,x ,x 这是约束条件。

即有量的限制的数量多少，受资源拥生产0
21≥∙x ,x ,即生产的产品不能是负值这是目标。

最大如何安排生产，使利润,∙
数学模型
⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤≤≤++=01241648
2322
121212
1x ,x x x x x :x x z max 约束条件目标函数
例2. 简化的环境保护问题
靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。

图1-1
续例2
•第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万立方米。

从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自然净化。

根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。

这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。

第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。

•第二化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。

现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。

建模型之前的分析和计算
设：
第一化工厂每天处理工业污水量为x 1万立方米，第二化工厂每天处理工业污水量为x 2万立方米
1000
27004128021000250022211≤-+-≤-)]x .()x (.[)x (工厂后的水质要求：经第工厂前的水质要求：经第
数学模型
,4
.126.18.018001000min 212121121≥≤≤≥+≥+=x x x x x x x x x z 约束条件目标函数
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。

一般这些变量取值是非负且连续的；
(2)要有各种资源和使用有关资源的技术数据，创造新价值的数据；
()n x ,x ,x 21)
n ,j ;m ,i (c ;a j ij 11==
共同的特征（继续）
(3)存在可以量化的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示;
(4)要有一个达到目标的要求，它可用决策变量的线性函数(称为目标函数)来表示。

按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

它们的对应关系可用表格表示：
n m mn m m n n n c c b b b a a a a a a a a a m x x x
212121
222211121121c 2
1价值系数
动活资源决策变量
线性规划的一般模型形式
).(x ,,x ,x b ),(x a x a x a ).(b ),(x a x a x a b ),(x a x a x a ).(
x c x c x c z max(min)n m
n m m m n n n n n
n 31021112122112
22221211
12121112211≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤++++++=
约束条件
目标函数
1.2 图解法
例1是二维空间（平面）线性规划问题，可用作图法直观地来表述它的求解。

因存在必须在直角坐标的第1象限内作图，求解。

21 x ,x
图1-2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=012416422322121212
1x ,x x x x x x x z max
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14
目标函数2
132x x z max +=表示一簇平行线
3
3212z x x +-=
可能出现的几种情况
（1）无穷多最优解(多重最优解)，见图1-4（2）无界解，见图1-5-1
（3）无可行解，见图1-5-2
图1-4 无穷多最优解(多重最优解)
+4x2
目标函数max z=2x
1
图1-5-1 无界解⎪⎩⎪⎨⎧≥≤
-≤+-+=o x ,x x x
x x x x z max 212112
12
42
无可行解
当存在矛盾的约束条件时，为无可行域。

8
5.121≥+x x 如果在例1的数学模型中增加一个约束条件:
该问题的可行域为空集，即无可行解，
图1-5-2 不存在可行域8
5121≥+x .x
1.3线性规划问题的标准型式⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++=++++++=0a c z max 212211222221211121211122111n n n mn m m n n n n n
n x ,,x ,x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x x c x c x :
M 约束条件：目标函数：
线性规划问题的几种表示形式⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n ,,,j ,x m ,,,i ,b x a x c z max :
M j n
j i j ij n j j
j ' 210211
11
约束条件：目标函数：
用向量表示为：()n ,,j ;b b b b ;a a a P ;x x x X ;
c ,,c ,c C n ,,,j ,x b x P CX
z max :M m mj j j j n n j n
j j j '
' 21210212121211
1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑=约束条件：目标函数：
用矩阵表示为：()()T
n n mn m n '
'x ,,x ,x X ;P ,P ,P a a a a A X b
AX CX
z max :M 21m 1211111
1b b b 0000
=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎩⎨⎧≥==决策变量向量：；资源向量：零向量：系数矩阵：约束条件：目标函数：
如何变换为标准型：
(1)若要求目标函数实现最小化，即min z=CX。

这时只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令z′=-z，于是得到max z′=-CX。

这就同标准型的目标函数的形式一致了。

(2)约束方程为不等式。

这里有两种情况：一种是约束方程为“≤”不等式，则可在“≤”不等式的左端加入非负松弛变量，把原“≤”不等式变为等式；另一种是约束方程为“≥”不等式，则可在“≥”不等式的左端减去一个非负剩余变量(也可称松弛变量)，把不等式约束条件变为等式约束条件。

下面举例说明。

例3 将例1的数学模型化为标准型。

例1的数学模型,加松驰变量后
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥=+=+=++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+++++=⇒+=0124164820124164823232432152413212121215
432121x ,x ,x ,x ,x x x x x x x x x ,x x x x x x x x x x z max x x z max
(3) 若存在取值无约束的变量x k ,可令,其中。

"'k k k x x x
-=
0,"'≥k k x x 例4将下述线性规划问题化为标准型
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++-≥+-≤++-+-=为无约束3213213213213
2105
33
7
32x ;x ,x x x x x x x x x x x x x z min
处理的步骤：
(1)用x
4-x
5
替换x
3
，其中x
4
，x
5
≥0；
(2)在第一个约束不等式≤号的左端加入松
弛变量x
6
；
(3)在第二个约束不等式≥号的左端减去剩
余变量x
7
；
(4)令z′=-z，把求min z改为求max z′，即可得到该问题的标准型
例4的标准型
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-++-=+-+-=+-++++-+-=052327003276542142175421654217
65421x ,x ,x ,x ,x ,x )x x (x x x )x x (x x x )x x (x x x x )x x (x x z max '
1.4 线性规划问题的解的概念
•1.可行解
•2.基
•3.基可行解
•4.可行基
1. 可行解
满足约束条件(1-5)，(1-6)式的解X=(x 1,x 2，…，x n )T ，
称为线性规划问题的可行解，其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

⎪⎩⎪⎨⎧-=≥-==-=∑∑==)(n ,,,j ,x )
(m ,,i ,b x a )
(x c z max j n
j i j ij n j j
j 612105121411
1
2. 基，基向量，基变量()(
)为基变量。

为基向量，
为线性规划问题的基。

称阶非奇异子矩阵中的是系数矩阵)m ,,j ()m ,,j (P ,P ,P a a a a a a a a a B m m B m mm m m m m 21x 21P B 0B A j j 21212222111211===
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=≠⨯
3.
基可行解满足非负条件（1-6）的基解，称为基可行解. 基可行解的非零分量的数目也不大于m ，并且都是非负的。

•是基可行解
4
3210Q ,Q ,Q ,Q ,
4. 可行基对应于基可行解的基，称为可行基。

•约束方程组(1-5)具有基解的数目最多是个。

一般基可行解的数目要小于基解的数目。

•以上提到的几种解的概念，它们之间的关系可用图1-6表明。

•另外还要说明一点，基解中的非零分量的个数小于m 个时，该基解是退化解。

在以下讨论时，假设不出现退化的情况。

以上给出了线性规划问题的解的概念和定义，它们将有助于用来分析线性规划问题的求解过程。

m n C
图1-6 它们之间的关系
小结
•1. 线性规划问题的模型特征
•2. 通过图解法了解如何求解线性规划问题•3. 为求解高维线性规划问题，必须建立的概念。