8-随机变量及其分布

■例1(p42):一张考卷共有5个题，每道题有四个可能答案，其中只有一个正确，某学生猜测至少能 答对四道题的概率是多少？
■ 进一步扩展：修改为一张考卷100个题，求答对k个题平均做题多少个：
如右图所示，当k越大，大过某一值后会出现越来越小因为总共题数为100有限，答对k题平均做 题4*k个（总题数为无穷大时）
■R程序和输出：
X ~ b(5, 0.25) p( X 4) p( X 4) P(X 5) C54 0.254 0.75 C55 0.255 1/ 64
绘图画出答对n题对应的概率分布：
可看出指答对一题概率最大，因为二项分布期 望为np，本题为4*0.25=1
x 100 2
x
X 100 1U
R语言编程求解
此种方法针对与连续分布函数服从均匀分布U(0,1),当可以反解出X(U)时方可使用其产生的 随机数求解一下比较复杂的概率问题
■例10(p47):某类日光灯管的寿使用命X是以
为参数的指数随机变量。
（1）任取一根这种日光灯管，求能正常使用1000小时以上的概率
f
(
x)

2
x
2
,
0

x

■ 理论推导Y 的密度函数为：
0 , otherwise
R语言编程求解
ln y
0 f (x)dy
ln y
0, y 1 F ( y) 1/ y,1 y e
1, otherwise
，求
(0 x 1)
的密度函数。
■R程序和输出：通过随机数模拟绘制密度函数
R语言编程求解 Y eU
■例2(p53):将一均匀的骰子掷n次，将所得的n个点数的最小值记为X，最大值记为Y，分别求X,Y 的分布列。
5
2 1/ 5 dx 3 / 5
R语言编程求解
• 可以通过产生随机 数，使用索引进行 判断；
• 对于求根R语言有 很多方法；后面进 一步介绍
■进一步推广：一般方程求根方法 以
方法一：图像法
求解为例。
结果为右图所示，该方法仅仅为粗略估计解的范围。 知道范围进而使用其他函数精确求解。
方法二：使用uniroot（）函数求解。
(1)求c (2) 解（1）由归一化可知：
(3)X的分布函数
（2）通过编程函数f，使用integrate（）求积分，如下：， R语言编程求解
（3）分布函数为：
■例9(p46):某电子元件的寿命X是以密度函数为
的连续性随机变量，秋5个同类型的原件在使用前150h恰有两个需要更换的概率 R语言编程求解
f (x)
0 x0
f (x)
1பைடு நூலகம்
e

x 2
2 2
2
1). 定理 ： 设X ~ fX (x),
而y g(x) 是严格单调且且处处可导的, x h( y)
设
是g的Y反函g数( X,则)
是连续型随机变量,其密度函
数为
fY
(
y)


f
X
(h(
y)) 0
|
h(
可知电子元件寿命小于150的概率为1/3。令Y表示五个使用寿命不超过150的概率，则有 Y~b(5,1/3)
■例9(p46):某电子元件的寿命X是以密度函数为
的连续性随机变量，秋5个同类型的原件在使用前150h恰有两个需要更换的概率
■进一步改进： 使用随机数求解概率
■理论推导:
F (x) x 100 1 100 ~ U (0,1)
几何分布
PX k pqk1, k 1,2,.
超几何分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
PX PX

k k
C C k nk M NM
k
CNn e , k

0,1,
k!
f
(
x)

b
1
a
a xb
0 otherwise
ex x 0
■p43例3：对同一目标进行射击400次，设每次射击的概率为0.02
（1）求400次射击最可能射中几次？
（2）求至少射中2次的概率。
从分别列图中观察
R语言编程求解
或者：
求解结果： 可从图中看出概率最大在x=7或者8，进一步计算发现x=8概率最大，即最有可能射中8次。 ■至少射中两次的概率：
■例8(p46): 设X是连续性随机变量，其密度函数为：
R语言编程求解
■ 方法二 :求p(Y>=1)
可直接用模拟的想法， 每次产生5个服从该指数 分布的随机数，判断大于 等于10的个数即为所求 Y>=1
■例14(p59):设顾客在某银行窗口等待的时间X（min）服从指数分布，其概率密度为 某顾客在窗口等待的时间若超过10min，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他 为等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求p(Y>=1).
■ 进一步改进：（方法二）向量思想
■例23(p65)：设X 的分布列为 求X^2和2X的分布列 R语言编程求解
对于离散的随机变量随机数可以通过其分布列+sample函数进行抽样产 生，本题中weigt向量即为分布列对应的概率。
■例29(p69):设随机变量的概率密度函数如下，求Y=sinX的密度函数。
实用统计软件
——R语 言
班级：统计1702 学号： 17271119 姓名： 成长锦
随机变量及其分布
常用离散、连续分布的概率密度
分布名称
退化分布
0-1分布
概率分布
PX c 1
PX 1 p, PX 0 q
二项分布
PX k Cnk pk qnk , i 0,, n.
y)
|,
a y b, otherwise,
其中：a min(| g(x) |), b max(| g(x) |).
2）如果(X, Y)的联合分布密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布
密度函数为


fZ (z) f (x, z x)dx 或 fZ (z) f (z y, y)dy.
（2）有一根这种日光管，已经正常使用了1500h，求至少再使用1000h的概率
■ 通过理论求解：
由指数分布无记忆性：
p( X 1500 | X 1000) p( X 1000)
1
e 2 R语言编程求解
■例13(p50):设随机变量 ■理论推导：
F ( y) P(Y y) P(eX y) p(0 X ln y)
■ 方法三 :使用x的分布函数连续可反解得到满足该分布x的随机数，求p(Y>=1)=p（X>=10)
■ 方法四、五 :矩阵思想或向量思想进一步改进程序,求p(Y>=1)=p（X>=10)
■例16(p60):已知随机变量X的分布列为： 求关于t的一元二次方程3t2 2Xt (X 1) 0 有实根的概率。 ■ （方法一） 程序和输出
■R程序和输出：
■进一步改进：矩阵思想简化
■或者使用replicate（），方法与矩阵类似，不过这 里操作后是一行向量
■例12(p58):设K在U(0,5)服从均匀分布。求x的方程：
有实根的概率。 ■理论推导：
p p[(4K )2 4 4 (K 2) 0] p[(K 2)(K 1) 0] p(K 2)
方法三：使用optimize（）函数
optimize（）函数介绍： ●optimize(f, interval, ..., lower = min(interval), upper = max(interval), maximum = FALSE, tol = .Machine$double.eps^0.25) • f ：函数 • Interval：包含使得函数到达最小值的向量 • maximum：逻辑值表示求最大还是最小 • tol ：期望的求解精度
特别地，当X, Y 相互独立时，有卷积公式
fZ (z)

f X (x) fY (z x)dx 或
fZ (z)


fX (z y) fY ( y)dy.
4
■例1(p42):一张考卷上有5道选择题，每道选择题仅有4个可能的答案，其中只有一个答案正确， 某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？
举例：
该方法使用优化函数，适用于连续函数求解， 较方法二精确，为使得精确度更高，需将函数进 行偶次方处理。其中objective表示函数在 minimum处时所达到的值
■例14(p59):设顾客在某银行窗口等待的时间X（min）服从指数分布，其概率密度为
某顾客在窗口等待的时间若超过10min，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他 为等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求p(Y>=1). ■ 理论推导：