随机变量及其分布小结与复习

复习课: 随机变量及其分布列教学目标重点：理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等.难点：理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题.能力点：分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力.教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：容易出现事件之间的关系混乱，没能理解问题的实际意义.学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：投影仪.一、【知识结构】二、【知识梳理】1．随机变量⑴随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．常用希腊字母x、y、ξ、η等表示．⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2．概率分布定义（分布列）设离散型随机变量ξ可能取的值为123,,,,i x x x x L L ，ξ取每一个值(1,2,)i x i =L 的概率()i i P x p ξ==，则称表ξ 1x 2xLi x LP1P2PL i PL称为随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)0,123≥，，，i p i =L ；123(2)1p p p +++=L3．常见的分布列⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概率为()(1)k k n kn p X k C p p -==-，显然x 是一个随机变量.随机变量x 的概率分布如下：x1L kL nP00n n C p q111n n C p q -Lk k n kn C p q -Ln n n C p q我们称这样的随机变量x 服从二项分布,记作~(,)X B n p ⑵两点分布列:如果随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 P1P -P这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)p P ξ==为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1)p ξ~B ,⑶超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品数，则事件{}x k =发生的概率为(),0,1,2,3,,k N kM N MnNC C P X k k m C --===L ．其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈，则称分布列为超几何分布列，如果随机变量x 的分布列为超几何分布列，则称随机变量x 服从超几何分布． 4．条件概率一般地,设,A B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.注意:⑴0(|)P B A ≤≤1；⑵可加性：如果B C 和互斥，那么[]()|(|)(|)P B C A P B A P C A =+U 5．相互独立事件的概率 ⑴相互独立事件的定义:设,A B 两个事件, ()()()P AB P A P B =若 (即事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响), 则称事件A 与事件B 相互独立.若事件A 与B 相互独立, 则以下三对事件也相互独立:①A B 与； ②与；A B ③.A B 与解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. ⑵n 次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”， 显然，12()n P A A A L =12()()()n P A P A P A L重要结论：结论1：,若a b ηξ=+则E aE b ηξ=+，2D a D ηξ=结论2：若~(,)B n p ξ，则,E nP ξ=(1)D np p ξ=-ξ特别地，若服从两点分布，则,(1)E P D p p ξξ==-6．正态分布⑴正态分布密度曲线22()2(),(,)x x x μσμσϕ--,=∈-∞+∞μ(0)σσ>分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作2(,)N μσ.如果随机变量ξ服从正态分布,则记为2(,)N ξμσ~⑵正态曲线有以下特点：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，图像关于直线μ=x 对称； ③曲线在μ=x 处达峰值σπ21；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤若σ固定, 随μ值的变化而沿x 轴平移, 故μ称为位置参数；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故σ称为形状参数.⑶3σ原则：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=三、【范例导航】 考点1 条件概率例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： ⑴第1次抽到理科题的概率；⑵第1次和第2次都抽到理科题的概率；⑶在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 【分析】：解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合” ⑴求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质； 第二步，判断事件的运算； 第三步，运用公式．⑵概率问题常常与排列、组合知识相结合.【解答】：设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .⑴从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为25()20n A Ω==.根据分步乘法计数原理1134()12n A A A =⋅=，于是()123()()205n A P A n ===Ω. ⑵因为23()6n AB A ==，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω. ⑶法一：由⑴⑵可得在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为：3()15()3()210P AB P B A P A ===.法二：因为23()6n AB A ==，1134()12n A A A =⋅=，所以()61()()122n AB P B A n A ===. 【点评】条件概率通常有两种求法，一定义法()()()P AB P B A P A =，二古典法()()()n AB P B A n A =. 变式训练:某校在组织自主招生考试时，需要进行自荐、考试和面试三关．规定三项都合格者才能录取.假定每个项目相互独立，学生A 每个项目合格的概率组成一个公差为18的等差数列，且第一个项目不符合格的概率超过12，第一个项目不合格但第二个项目合格的概率为9.32⑴求学生A 被录取的概率；⑵求学生A 合格的项目数x 的分布列和数学期望. 答案：⑴364；⑵15291739()0123E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.考点2 相互独立事件的概率例2. 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29． ⑴分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率； ⑵从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．【分析】1求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．2特别注意以下两公式的使用前提：⑴若,A B 互斥，则()()()P A B P A P B =+U ，反之不成立． ⑵若,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，反之成立．【解答】⑴设,,A B C 分别为甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件是一等品的事件，依题意得1()()[1()]41()()[1()]122()()()9P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C ⎧=⋅-=⎪⎪⎪=⋅-=⎨⎪⎪=⋅=⎪⎩得227[()]51()220P C P C -+= 解得211()()39或（舍）P C P C ==，所以211()()()343,,P C P B P A ===. 即甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为112,,343⑵记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．2315()1()1[1()][1()][1()]13436P D P D P C P B P A =-=--⋅-⋅-=-⨯⨯=即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56【点评】主要考查相互独立事件的概率及正难则反的原则分析解决问题的能力. 解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解． 变式训练:某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率.答案：李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)=0.9976. 考点3 离散型随机变量的分布列、均值与方差例3. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23．假设各局比赛结果相互独立． ⑴分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；⑵若比赛结果为求3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分x 的分布列及数学期望． （2013年山东高考理科题19）【分析】1离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．2对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．3均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．【解答】⑴331328()327p C ==，22232128()33327p C =⋅=，222342114()()33227p C =⋅=．⑵由题意可知x 的可能取值为：3，2，1，0，相应的概率依次为：14416,,,()321092727279E x =⨯+⨯+⨯+⨯=【点评】本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识，考查分类与整合的思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力． 变式训练:某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立． ⑴求该学生考上大学的概率；⑵如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为x ，求x 的分布列及x 的数学期望． 答案：⑴131243；⑵1441638()234592727279E x =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点4 正态分布例4．某市去年高考考生成绩服从正态分布2(500,50)N ，现有25000名考生，试确定考生成绩在550600~分的人数．【分析】正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个特殊区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．本小题主要考查正态密度函数及3σ原则的应用. 【解答】1(500600)[(500250500250)(5005050050)]2P x P X P X <<=-⨯<≤+⨯--<≤+1(0.95440.6826)0.13592-=. 【点评】正态分布是一种连续型随机变量的分布，是一种非常简捷的方式，应用较为广泛. 也是近几年高考的一个新动向． 变式训练:若随机变量x 的概率分布密度函数是()228,(),()x x x R μσϕ+-=∈，则(21)E X -= ．答案：5- 四、【解法小结】1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．2.对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．3.均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．4.本章知识在高考中占有十分重要的地位，这是因为：一方面本章知识在实际生活中应用十分广泛；另一方面本章知识又是进一步学习高等数学知识的基础．从近几年高考试题来看，一般是一小(一个选择或填空题)一大(一个解答题)，属中档难度试题，主要考查概率的求法、随机变量的分布列、以及随机变量的期望方差等问题．五、【布置作业】必做题：1.袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球，1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个．从袋中依．次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13⑴求m、n的值；⑵从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．2.如图，,A B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.⑴设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，x≥时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；当6⑵求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.3.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.⑴求随机变量ξ分布列和数学期望；⑵用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB .必做题答案：1.6,3==n m ；5=ξE 2.11313(6)4420104P x ≥=+++=；131131()456789 6.51020442010E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 3.451043434()()()3353243P AB P C P D =+=+== 选做题： “中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158. ⑴请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？⑵若从这30人中的女性路人．．．．中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为x ，求x 的分布列和数学期望.选做题答案：⑴没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关；⑵x 的数学期望为：448156()012.1391917E x =⨯+⨯+⨯= 六、【教后反思】 1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现随机变量的知识，直观简明；其次，复习相关知识充分关注贯穿本章始末的随机变量的分布列及条件概率等.再次，例题选择典型，关注应用问题的一般解法，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，以关注时代特征的低档题为主，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项是：课堂容量较大，在一些具体问题中，学生动手较少，选做题需要用到卡方公式要事先提供给学生，放在期末复习用更合适，此处有点不适.。