随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布列
中装有3个红球、2个白球、
中装有3个红球、2个白球、
5个黑球，它们大小形状
5个黑球，它们大小形状完
完全相同。现从10个球中
全相同。现从10个球中任
有放回的抽取3次，并做
意抽取3个。
好记录。
(1)求抽取的3个球是来自2
(1)求抽取的3个球中恰有2
种不同颜色球的概率；
个球是黑色的概率；
所以抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率 P＝C25
3312 135
＝
.
512
4 4
返回
(2)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问
题， 监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部
门作进一步抽样检测，并规定：若抽到的是黄色汽车，则将
其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝
，
125
8
3 2 3
P(X＝3)＝C3 5 ＝
，
125
∴X的分布列为
X
0
1
2
27
54
36
P
125
125
125
27
54
36
8
6
∴E(X)＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝ .
125
125
125
125 5
3
8
125
返回
2
法二：∵随机变量X～B3，5，
k 2 k 3 3－k
3n－1 1
3n
＋…＋(n－1)×4
分布列知识点总结
分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。
对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。
1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。
（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。
二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。
根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。
2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。
这对于一些概率问题的求解非常有用。
三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。
3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。
设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。
四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。
概率论与数理统计【第一到四章】公式
概率论公式！一、随机事件与概率二、随机变量及其分布三、多维随机变量及其分布联合分布函数：对任意的n个实数，，，n个事件同时发生的概率，，，，。
联合分布函数，性质：单调性：对x，y单调非减。
有界性：，，，，，右连续性：对每个变量右连续。
非负性：对任意，，有，，，，，。
二维离散随机变量：只取有限个或可列个数对。
联合分布列：，，i，j=1,2…联合分布列性质：非负性、正则性。
联合密度函数：，，使，，，，。
联合密度函数性质：非负性、正则性、，X的边际分布：，，。
Y的边际分布：，，。
二维指数分布：，，，，其他，是参数其边际分布是一维指数分布。
边际分布列：二维离散随机变量对单个变量求和：，，，边际密度函数：，，，=，为X的边际密度函数。
，，，=，为Y的边际密度函数。
相互独立：多维随机变量的分布函数为，，，边际分布为，对任意n个实数，，：，，称，，相互独立。
可分离：，=，，，，。
①相互独立②非零区域可分解为两个一维区间乘积。
多维离散随机变量函数：，，为n维离散随机变量，则，，为一维离散随机变量。
可加性：同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布。
泊松分布的可加性：，，则.二项分布的可加性：，，，，则，。
连续场合的卷积公式：X和Y独立，密度函数分别为和，则Z=X+Y的密度函数为：正态分布的可加性：，，则。
变量变换法：即数分中求二重积分的变量变换法：的联合密度函数是，，若，，有连续偏导数，且存在唯一反函数，，，其雅可比行列式，，，，二维随机变量，，，则的联合密度函数是：，，，，增补变量法：若，，则可令或。
多维随机变量特征数：数学期望：，的数学期望为，，，在离散场合，，，在连续场合当，，得X的期望。
当，，的X的方差。
期望和方差的性质：和的期望得期望的和：积的期望得期望的积：X和Y独立，则和差的方差得方差的和差：X和Y独立，协方差（相关（中心）矩）：，特别的，：正相关；：负相关。
：不相关：①X，Y取值毫无关联②存在某种非线性关系。
随机变量及其分布总结
随机变量及其分布1、基本概念⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A B C 、、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A B C 、、彼此互斥. 当A B 、是互斥事件时，那么事件A B +发生（即A B 、中有一个发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的和，即()()(P A B P A P B +=+.⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A . 对立事件的概率和等于1. ()1()P A P A =-.特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.⑶相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当A B 、是相互独立事件时，那么事件A B ⋅发生（即A B 、同时发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的积.即()()()P A B P A P B ⋅=⋅.若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的.⑷独立重复试验①一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式p ，那么在n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率()()(1)0,12,.,k k n k n n P k n k C p p -==-⑸条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 发生的概率.知识结构公式：()(),()0.()P AB P B A P A P A => 2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母,,,X Y ξη等表示.⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X 是随机变量，(,Y aX b a b =+是常数）则Y 也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布（分布列）设离散型随机变量X 可能取的不同值为12,x x ，…，i x ，…，n x ，X )i i X x p ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列.性质：①0,1,2,...;i p i n ≥= ②1 1.n i i p ==∑⑵两点分布则称X 服从两点分布，并称(1)p P X ==为成功概率.⑶二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是()(1).k k n k n P X k C p p -==-我们称这样的随机变量X 服从二项分布，记作()p n B X ,~，并称p 为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n 次;① 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.② 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是,,.p k n⑷超几何分布一般地, 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}X k =发生的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===,于是得到随机变量X其中{}min ,m M n =,*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤. 我们称这样的随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从超几何分布.注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；⑵超几何分布中的参数是,,.M N n 其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值则称()1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++为离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差则称21()(())n ii i D X x E X p ==-∑为离散型随机变量X 的方差，为随机变量X 的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. ()D X 越小，X 的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()D X 越大，X 的稳定性越差，波动越大，取值越分散.。
分布律和分布列
分布律和分布列分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域，包括统计学、工程学、金融学等。
本文将详细介绍分布律和分布列的概念、性质及其在实际应用中的意义。
一、分布律的定义与性质分布律又称分布函数，通常用F(x)来表示。
假设随机变量X的取值范围为实数轴上的所有实数，F(x)表示X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。
分布律具有以下性质：1. F(x)是一个非降函数，即F(x)在定义域内具有单调性。
2. F(x)的取值范围在[0,1]之间。
3. F(x)是一个右连续函数，即对于任意的x，F(x)在右侧连续。
4. F(x)在x处的导数等于X=x处的概率密度函数f(x)，即F'(x) = f(x)。
二、分布列的定义与性质分布列是离散随机变量的分布函数，通常用p(x)来表示。
假设随机变量X的取值范围为{x1,x2,…,xn}，则p(x)表示X等于x的概率，即：p(xi) = P{X=xi}分布列具有以下性质：1. 对于所有的i，有0 ≤ p(xi) ≤ 1。
2. ∑_i=1^n p(xi) = 1。
3. p(x)是一个非降函数。
三、分布律与分布列的区别分布律用来描述连续随机变量的概率分布，而分布列则用来描述离散随机变量的概率分布。
因为连续随机变量可以取无限多个值，所以概率密度函数f(x)是用来表示概率分布的。
分布律F(x)是f(x)的积分，表示随机变量小于等于某个值的概率。
而离散随机变量只能取有限个取值，所以概率可以用一个列表来表示。
分布列p(x)就是这个列表，它表示随机变量取某一特定值的概率。
四、分布律与分布列的应用分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域。
例如，在统计学中，分布律和分布列常常用来描述样本数据的概率分布，从而进行统计推断；在工程学中，分布律和分布列常常用来描述工程系统的性能分布，从而进行系统设计和优化；在金融学中，分布律和分布列常常用来描述金融资产的风险分布，从而进行投资决策和风险控制等。
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布一，离散型随机变量1，试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。
2，随机试验：一个试验如果满足（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，那么，这个试验就叫做随机试验。
3，随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母ηξ,,,Y X 表示。
例如抛筛子、掷硬币 4，离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量二，离散型随机变量的分布列要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道： 1，X 所有可能取的值n x x x ,,,21 ； 2，X 取每一个值i x 的概率n p p p ,,,21 分布列 ：我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列。
3，离散型随机变量的分布列性质：（1）*,0N i p i ∈≥；（2）1321=++++n p p p p三，两点分布与超几何分布1，两点分布若随机变量X 的分布列为则称X 的分布列为两点分布列。
如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，并称)1(==x P p 为成功概率 2，超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}k X =发生的概率为nNk n MN k M CC C k x P --==)(（m k ,2,1,0=），其中{}*,,,,,,min N N M n N M N n n M m ∈≤≤=且，称为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布四，独立重复试验与二项分布1，独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
2，独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率：一般的，如果在1次实验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率=)(k P n k n k knp p C --)1(，（n k ,2,1,0=）3，二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：==)(k X P kn k k n p p C --)1(，（n k ,2,1,0=）此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X ，并称p 为成功概率五，离散型随机变量的均值1，一般的，若离散型随机变量X 的分布列为则称：n n i i p x p x p x p x x E +++++= 2211)(为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
(完整版)基础随机变量及其分布知识点
随机变量及其分布一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=常见的两种分布： 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：(),0,1,2,3,...,k n k MN M n NC C P X k k m C--===则随机变量X 的概率分布列如下：{}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。
注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。
()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n次独立重复试验中，记iA 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量X 的概率分布列为则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=即若X 服从两点分布，则()E X p = 3．若~(,)X B n p ，则()E X np =七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 2221122(())(())(())..n n DX x E X p x E X p x E X p X X =-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差的标准差1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2()()D aX b a D X +=八、正态分布1.正态分布一般记为N(μ，σ2)．μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差2．结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；3．3σ原则：对于正态总体),(2σμN 取值的概率：练习：1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
高中数学知识点总结：随机变量及其分布
高中数学知识点总结：随机变量及其分布随机变量及其分布1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,..... ,x i ,......,x n X 取每一个值 x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列4、分布列性质① p i ≥0, i =1，2， … ； ② p 1 + p 2 +…+p n = 1．5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布6、超几何分布：一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===，其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率8、公式： .0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅10、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验11、二项分布： 设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中 k=0,1, ……,n ，q=1-p ）于是可得随机变量ξ的概率分布如下：这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p) ，其中n ，p 为参数12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。
随机变量及其分布考点总结
第二章 随机变量及其分布 复习一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.3、分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1( =i x 的概率p x P ==)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.1=≥i p ； ②121=++++ i p p p .注意：若随机变量可以取某一区间的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 典型例题：1、随机变量ξ的分布列为(),1,2,3(1)cP k k k k ξ===+……，则P(13)____ξ≤≤=2、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为17，现在甲乙两人从袋中轮流摸去一球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，用ξ表示取球的次数。
（1）求ξ的分布列（2）求甲取到白球的的概率3、5封不同的信，放入三个不同的信箱，且每封信投入每个信箱的机会均等，X 表示三哥信箱中放有信件树木的最大值，求X 的分布列。
4已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，12345,,A A A A A ，，还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)二、几种常见概率1、条件概率与事件的独立性（1）B|A 与AB 的区别：__________________（2）P(B|A)的计算公式_____________,注意分子分母事件的性质相同 （3）P(AB)的计算公式_____________注意三点：前提，目标，一般情况___________________ （4）P （A+B ）的计算公式__________注意三点：前提，目标，一般情况____________________ 典型例题：1、市场上供应的灯泡，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率80%，则从市场上买到一个是甲厂产的合格品的概率是多少？2、把一副扑克52随即均分给钱四家，A={家得到六章草花}，B={家得到3草花}，计算P(B|A)，P(AB)3、从混有5假钞的20百元钞票中任取两，将其中1在验钞机上检验发现是假钞，求两都是假钞的概率。
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布公式可以用二项分布来描述。
二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复试验中，恰好发生k次某事件的概率。
3，二项分布的概率分布：设某事件在一次试验中发生的概率为p，不发生的概率为1-p，则在n次独立重复试验中，恰好发生k次这个事件的概率为P(x=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，即C(n,k)=n!/k!(n-k)!4，二项分布的性质：1）二项分布是离散型概率分布；2）二项分布的期望值为np，方差为np(1-p)。
1.二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，记作X~B(n,p)。
其中，p为成功概率，k为发生次数，n为试验次数。
2.离散型随机变量的均值：如果离散型随机变量X的分布列为p1,p2.pn，则随机变量X的均值或数学期望为E(X)=Σ(xi*pi)，即所有取值与对应概率的乘积之和，反映了离散型随机变量取值的平均水平。
3.均值的性质：如果Y=aX+b，其中a和b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX+b)=aE(X)+b。
4.常用分布的均值：1) 两点分布：E(X)=1*p+0*(1-p)=p。
2) 二项分布：E(X)=np。
3) 超几何分布：E(X)=nM/N。
5.离散型随机变量的方差：离散型随机变量X的方差D(X)描述了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算数平方根σX为随机变量X的标准差。
方差的计算公式为D(X)=Σ[(xi-E(X))^2*pi]，即所有偏离程度的平方与对应概率的乘积之和。
6.方差的性质：1) 常数的方差为0.2) 随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身。
3) 随机变量与常数之积的方差等于这个常数的平方与这个随机变量方差的积。
7.常用分布的方差：二项分布的方差为D(X)=np(1-p)。
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。
在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。
本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。
一、随机变量的定义随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。
随机变量的取值可以是离散的或连续的。
离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。
二、随机变量的表示随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数$g_X(x)$ 表示。
概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用$f_X(x)$ 表示。
概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用$g_X(x)$ 表示。
三、随机变量的分布随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。
离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。
1. 离散分布离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。
例如,正态分布的概率质量函数为:$$g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}$$2. 连续分布连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。
连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。
例如,均匀分布的概率质量函数为: $$f_X(x) = begin{cases}1, & x in [0,1],0, & x in [1,2],end{cases}$$四、期望和方差随机变量的期望是随机变量的取值的总和。
离散分布的期望通常用$E(X)$ 表示,连续分布的期望通常用 $E[X]$ 表示。
期望的概率质量函数通常用$f_X(x)$ 表示。
2022年人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列 章末知识梳理
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
事实上，对于具体问题，若能设出 n 个事件 Ai(i＝1,2，…，n)，使之 满足AA1iA＋j＝A2∅＋…＋An＝Ω，(任意两个事件互斥，i，j＝1,2，…，n，i≠j)．(1) 就可得 B＝BΩ＝BA1＋BA2＋…＋BAn．(2)这样就便于应用概率的加法公 式和乘法公式．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
③二项分布与超几何分布的区别：有放回抽样，每次抽取时的总体 没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复 试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样，取出一个则总体中就 少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模 型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回 抽样还是不放回抽样．
i＝1
i＝1
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
P(Ai|B)＝PAPiPBB |Ai
＝
PAiPB|Ai
k
，i＝1,2，…，n
PAkPB|Ak
i＝1
3．独立性与条件概率的关系：当 P(B)＞0 且 P(AB)＝P(A)P(B)时，
有 P(A|B)＝PPABB＝PAPPBB＝P(A)
率公式求解．
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第七章 随机变量及其分布列
数学（选择性必修·第3册 RJA）
[解析] 解法一：记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A，“恰好出 现 3 枚正面朝上”为事件 B，所求概率为 P(B|A)，事件 A 包含的基本事 件的个数为 n(A)＝C52＋C53＋C54＋C55＝26，
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
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正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
(完整版)随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，，，… 表示．ξη2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为，则称表()i i P x p ξ==ξx 1x 2…x i …PP 1P 2…P i…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1．5.求离散型随机变量的概率分布的步骤:ξ（1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(=x i )=p i ξ（36.两点分布列:ξ01P1p -p7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k ｝发生的概率为,其中(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，且．称分布列min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈X 01…mP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是，（k ＝0,1,2,…，n ，）．kn k k n n q p C k P -==)(ξp q -=1于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nPnn qp C 00111-n n qp C …kn k k n qp C -…qp C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
随机变量及其分布列知识点
随机变量及其分布列知识点随机变量是描述随机实验结果的数值，它可以是离散的（只能取一些离散的数值）或连续的（可以取所有的数值）。
随机变量可以用来描述实验结果的各种特征，如数量、位置、时间等。
离散随机变量的分布列是一个表格，列出了随机变量取各个值的概率。
概率可以通过实验或理论分析得出。
在计算机科学和统计学中，分布列通常被表示为一个数组或字典。
离散随机变量的分布列有以下几个重要性质：1. 概率和为1：所有随机变量取值的概率之和等于1，即P(X=x1) + P(X=x2) + ... + P(X=xn) = 12.非负性：概率永远不会为负数，即P(X=x)>=0，对于所有的x。
3.互斥性：不同取值的随机变量概率互不重叠，即P(X=x1)与P(X=x2)不重叠，对于所有的x1和x24.互斥性：如果随机变量取值是离散的，那么分布列是一个离散函数，概率只在取值点有定义。
如果随机变量是连续的，那么分布列是一个连续函数，概率在区间上有定义。
离散随机变量的分布列可以用于计算各种统计量，如期望值、方差、标准差等。
期望值是随机变量取值的加权平均，方差是随机变量取值偏离平均值的程度。
标准差是方差的平方根，用来度量随机变量的离散程度。
在实际应用中，离散随机变量的分布列可以用来描述概率分布、事件的发生概率等。
它可以用来解决各种问题，如生活中的投资决策、经济模型的拟合、产品质量控制等。
例如，一个骰子的随机变量可以描述它可能的取值为1、2、3、4、5或6，对应的分布列是[1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6]。
这个分布列可以用来计算骰子摇出特定点数的概率，以及求得骰子取值的期望值和方差。
另一个例子是二项分布，它描述了在一系列独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的随机变量是一个离散随机变量，它的分布列可以用来计算成功次数的概率和期望值。
连续随机变量的分布列被称为概率密度函数。
概率密度函数描述了随机变量取值的概率密度，而不是概率。
随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布总结1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格6.两点分布列:7超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n kM NMnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 01 … k … nPnn q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
(完整版)分布列概念
1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x i ,x 2,…3X …x 若取每一个值x i (i=1,2, , -n)的概率为P( x i ) P i ，则称表为随机变量的概率分布，简称 的分布列 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) P i > 0,i=1,2 …，n ; (2) P i +P 2+n+P n =1要点四、两类特殊的分布列1. 两点分布随机变量X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列.要点诠释：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1)为成功率. (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛 ，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究2. 超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有 X 件次品，则则事件{X=k }n N,M N,n, M,N N •称分布列为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列， 则称随机变量 X 服 从超几何分布1. 定义设A 、B 为两个事件，且P(A) 0，在已知事件 A 发生的条件下，事件B 发生的概 率叫做条件概率。
用符号 P(B | A) 表示。
发生的概率为P(Xk)k n kC M C N MC N,k 0,1,2,L ,m ,其中min{ M , n},且P(B| A)读作：A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A在事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的. 而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.2 . P ( A | B)、P (AB)、P (B)的区别P (A | B)是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
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随机变量及其分布总结
1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．
2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，
ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：
（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1
+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格
6.两点分布列:
7超几何分布列：
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品
数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k
M N M
n
N
C C P X k k m C --===,其中
min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k n k k
n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0
1 … k … n
P
n
n q p C 00
111-n n q p C … k
n k k n q p C - …
q p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)(
11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，
且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,
ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 12. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差， 13.方差的性质：
（1）若ξ服从两点分布，则=ξD p (1-p )． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )． （3）()0=c D ，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξD 2σ （5）ξξD a b a D 2)(=+
14正态分布密度函数可写成
22
()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）
15正态分布：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足
,()()b
a P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal
distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作
),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .
16．正态曲线的性质：
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 （2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称 （3）曲线在x=
（4）曲线与x 轴之间的面积为1
（5）μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
（6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移。
17．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，
2
221)(x e
x f -
=
π
，（-∞＜x ＜+∞）
18（1）()6826.0=+≤<-σμσμx P
（2）()9544.022=+≤<-σμσμx P （3）()9974.033=+≤<-σμσμx P。