随机变量及其分布列概念公式总结
随机变量及其分布列
中装有3个红球、2个白球、
中装有3个红球、2个白球、
5个黑球，它们大小形状
5个黑球，它们大小形状完
完全相同。现从10个球中
全相同。现从10个球中任
有放回的抽取3次，并做
意抽取3个。
好记录。
(1)求抽取的3个球是来自2
(1)求抽取的3个球中恰有2
种不同颜色球的概率；
个球是黑色的概率；
所以抽取的 5 辆汽车中恰有 2 辆是蓝色汽车的概率 P＝C25
3312 135
＝
.
512
4 4
返回
(2)在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问
题， 监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部
门作进一步抽样检测，并规定：若抽到的是黄色汽车，则将
其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝
，
125
8
3 2 3
P(X＝3)＝C3 5 ＝
，
125
∴X的分布列为
X
0
1
2
27
54
36
P
125
125
125
27
54
36
8
6
∴E(X)＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝ .
125
125
125
125 5
3
8
125
返回
2
法二：∵随机变量X～B3，5，
k 2 k 3 3－k
3n－1 1
3n
＋…＋(n－1)×4
分布列知识点总结
分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。
对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。
1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。
（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。
二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。
根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。
2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。
这对于一些概率问题的求解非常有用。
三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。
3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。
设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。
四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。
概率论与数理统计【第一到四章】公式
概率论公式！一、随机事件与概率二、随机变量及其分布三、多维随机变量及其分布联合分布函数：对任意的n个实数，，，n个事件同时发生的概率，，，，。
联合分布函数，性质：单调性：对x，y单调非减。
有界性：，，，，，右连续性：对每个变量右连续。
非负性：对任意，，有，，，，，。
二维离散随机变量：只取有限个或可列个数对。
联合分布列：，，i，j=1,2…联合分布列性质：非负性、正则性。
联合密度函数：，，使，，，，。
联合密度函数性质：非负性、正则性、，X的边际分布：，，。
Y的边际分布：，，。
二维指数分布：，，，，其他，是参数其边际分布是一维指数分布。
边际分布列：二维离散随机变量对单个变量求和：，，，边际密度函数：，，，=，为X的边际密度函数。
，，，=，为Y的边际密度函数。
相互独立：多维随机变量的分布函数为，，，边际分布为，对任意n个实数，，：，，称，，相互独立。
可分离：，=，，，，。
①相互独立②非零区域可分解为两个一维区间乘积。
多维离散随机变量函数：，，为n维离散随机变量，则，，为一维离散随机变量。
可加性：同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布。
泊松分布的可加性：，，则.二项分布的可加性：，，，，则，。
连续场合的卷积公式：X和Y独立，密度函数分别为和，则Z=X+Y的密度函数为：正态分布的可加性：，，则。
变量变换法：即数分中求二重积分的变量变换法：的联合密度函数是，，若，，有连续偏导数，且存在唯一反函数，，，其雅可比行列式，，，，二维随机变量，，，则的联合密度函数是：，，，，增补变量法：若，，则可令或。
多维随机变量特征数：数学期望：，的数学期望为，，，在离散场合，，，在连续场合当，，得X的期望。
当，，的X的方差。
期望和方差的性质：和的期望得期望的和：积的期望得期望的积：X和Y独立，则和差的方差得方差的和差：X和Y独立，协方差（相关（中心）矩）：，特别的，：正相关；：负相关。
：不相关：①X，Y取值毫无关联②存在某种非线性关系。
随机变量及其分布总结
随机变量及其分布1、基本概念⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A B C 、、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件A B C 、、彼此互斥. 当A B 、是互斥事件时，那么事件A B +发生（即A B 、中有一个发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的和，即()()(P A B P A P B +=+.⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A 的对立事件通常记着A . 对立事件的概率和等于1. ()1()P A P A =-.特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.⑶相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当A B 、是相互独立事件时，那么事件A B ⋅发生（即A B 、同时发生）的概率，等于事件A B 、分别发生的概率的积.即()()()P A B P A P B ⋅=⋅.若A 、B 两事件相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的.⑷独立重复试验①一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.②独立重复试验的概率公式p ，那么在n 次独立重复试验中这个试验恰好发生k 次的概率()()(1)0,12,.,k k n k n n P k n k C p p -==-⑸条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 发生的概率.知识结构公式：()(),()0.()P AB P B A P A P A => 2、离散型随机变量 ⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母,,,X Y ξη等表示.⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X 是随机变量，(,Y aX b a b =+是常数）则Y 也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.3、离散型随机变量的分布列⑴概率分布（分布列）设离散型随机变量X 可能取的不同值为12,x x ，…，i x ，…，n x ，X )i i X x p ==，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列.性质：①0,1,2,...;i p i n ≥= ②1 1.n i i p ==∑⑵两点分布则称X 服从两点分布，并称(1)p P X ==为成功概率.⑶二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是()(1).k k n k n P X k C p p -==-我们称这样的随机变量X 服从二项分布，记作()p n B X ,~，并称p 为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；②重复性：即试验是独立重复地进行了n 次;① 等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.② 注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；⑵二项分布中的参数是,,.p k n⑷超几何分布一般地, 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{}X k =发生的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n N C C P X k k m C --===,于是得到随机变量X其中{}min ,m M n =,*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤. 我们称这样的随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从超几何分布.注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；⑵超几何分布中的参数是,,.M N n 其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.4、离散型随机变量的均值与方差⑴离散型随机变量的均值则称()1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++为离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差则称21()(())n ii i D X x E X p ==-∑为离散型随机变量X 的方差，为随机变量X 的标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. ()D X 越小，X 的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()D X 越大，X 的稳定性越差，波动越大，取值越分散.。
分布律和分布列
分布律和分布列分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域，包括统计学、工程学、金融学等。
本文将详细介绍分布律和分布列的概念、性质及其在实际应用中的意义。
一、分布律的定义与性质分布律又称分布函数，通常用F(x)来表示。
假设随机变量X的取值范围为实数轴上的所有实数，F(x)表示X小于等于x的概率，即：F(x) = P{X ≤ x}其中，P表示概率。
分布律具有以下性质：1. F(x)是一个非降函数，即F(x)在定义域内具有单调性。
2. F(x)的取值范围在[0,1]之间。
3. F(x)是一个右连续函数，即对于任意的x，F(x)在右侧连续。
4. F(x)在x处的导数等于X=x处的概率密度函数f(x)，即F'(x) = f(x)。
二、分布列的定义与性质分布列是离散随机变量的分布函数，通常用p(x)来表示。
假设随机变量X的取值范围为{x1,x2,…,xn}，则p(x)表示X等于x的概率，即：p(xi) = P{X=xi}分布列具有以下性质：1. 对于所有的i，有0 ≤ p(xi) ≤ 1。
2. ∑_i=1^n p(xi) = 1。
3. p(x)是一个非降函数。
三、分布律与分布列的区别分布律用来描述连续随机变量的概率分布，而分布列则用来描述离散随机变量的概率分布。
因为连续随机变量可以取无限多个值，所以概率密度函数f(x)是用来表示概率分布的。
分布律F(x)是f(x)的积分，表示随机变量小于等于某个值的概率。
而离散随机变量只能取有限个取值，所以概率可以用一个列表来表示。
分布列p(x)就是这个列表，它表示随机变量取某一特定值的概率。
四、分布律与分布列的应用分布律和分布列是概率论中非常重要的概念，它们被广泛应用于各个领域。
例如，在统计学中，分布律和分布列常常用来描述样本数据的概率分布，从而进行统计推断；在工程学中，分布律和分布列常常用来描述工程系统的性能分布，从而进行系统设计和优化；在金融学中，分布律和分布列常常用来描述金融资产的风险分布，从而进行投资决策和风险控制等。
随机变量及其分布公式
随机变量及其分布一，离散型随机变量1，试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。
2，随机试验：一个试验如果满足（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，那么，这个试验就叫做随机试验。
3，随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母ηξ,,,Y X 表示。
例如抛筛子、掷硬币 4，离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量二，离散型随机变量的分布列要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道： 1，X 所有可能取的值n x x x ,,,21 ； 2，X 取每一个值i x 的概率n p p p ,,,21 分布列 ：我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列。
3，离散型随机变量的分布列性质：（1）*,0N i p i ∈≥；（2）1321=++++n p p p p三，两点分布与超几何分布1，两点分布若随机变量X 的分布列为则称X 的分布列为两点分布列。
如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，并称)1(==x P p 为成功概率 2，超几何分布：一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}k X =发生的概率为nNk n MN k M CC C k x P --==)(（m k ,2,1,0=），其中{}*,,,,,,min N N M n N M N n n M m ∈≤≤=且，称为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布四，独立重复试验与二项分布1，独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
2，独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率：一般的，如果在1次实验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率=)(k P n k n k knp p C --)1(，（n k ,2,1,0=）3，二项分布：一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：==)(k X P kn k k n p p C --)1(，（n k ,2,1,0=）此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X ，并称p 为成功概率五，离散型随机变量的均值1，一般的，若离散型随机变量X 的分布列为则称：n n i i p x p x p x p x x E +++++= 2211)(为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
(完整版)基础随机变量及其分布知识点
随机变量及其分布一、离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+=常见的两种分布： 1．两点分布如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：(),0,1,2,3,...,k n k MN M n NC C P X k k m C--===则随机变量X 的概率分布列如下：{}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。
注：超几何分布的模型是不放回抽样二、条件概率一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A =为在事件A发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤三、相互独立事件设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。
()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2) 相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n次独立重复试验中，记iA 是“第i 次试验的结果”，显然，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()(1)0,1,2,,k kn k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望） 一般地，随机变量X 的概率分布列为则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=即若X 服从两点分布，则()E X p = 3．若~(,)X B n p ，则()E X np =七、离散型随机变量取值的方差和标准差 一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为 2221122(())(())(())..n n DX x E X p x E X p x E X p X X =-+-+⋅⋅⋅+-则称为随机变量的方差的标准差1．若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =- 2．若~(,)X B n p ，则()(1)D X np p =- 3．2()()D aX b a D X +=八、正态分布1.正态分布一般记为N(μ，σ2)．μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差2．结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；3．3σ原则：对于正态总体),(2σμN 取值的概率：练习：1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
离散型随机变量及其分布列知识点
离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量及其分布列知识点离散型随机变量是指在有限个或无限个取值中，只能取其中一个数值的随机变量。
离散型随机变量可以用分布列来描述其概率分布特征。
离散型随机变量的概率分布列概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的表格，通常用符号P 表示。
其一般形式如下：P(X=x1)=p1P(X=x2)=p2P(X=x3)=p3…P(X=xn)=pn其中，Xi表示随机变量X的取值，pi表示随机变量X取值为Xi的概率。
离散型随机变量的特点1. 离散型随机变量只取有限或无限个取值中的一个，变化不连续。
2. 取值之间具有间隔或间距。
3. 每个取值对应一个概率，概率分布可用概率分布列来体现。
4. 概率之和为1。
离散型随机变量的常见分布1. 0-1分布0-1分布是指当进行一次伯努利试验时，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=0)=1-pP(X=1)=p2. 二项分布二项分布是进行n次伯努利试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p时，恰好出现k次事件发生的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)为从n中选出k个的组合数。
3. 泊松分布泊松分布是指在某个时间段内，某一事件发生的次数符合泊松定理的离散型随机变量的分布。
其分布列为：P(X=k)=λ^ke^(-λ)/k!其中，λ为这段时间内事件的平均发生次数。
总结离散型随机变量及其分布列是概率论中的重要基础概念之一，具有广泛的应用。
掌握离散型随机变量及其分布列的知识点对于深入理解概率论及其实际应用有重要意义。
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随机变量及其分布总结
1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．
2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，
ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：
（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1
+P 2+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格
6.两点分布列:
7超几何分布列：
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品
数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k
M N M
n
N
C C P X k k m C --===,其中
min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k n k k
n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0
1 … k … n
P
n
n q p C 00
111-n n q p C … k
n k k n q p C - …
q p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。
9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξE μ （5）b aE b a E +=+ξξ)(
11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，
且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,
ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 12. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差， 13.方差的性质：
（1）若ξ服从两点分布，则=ξD p (1-p )． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )． （3）()0=c D ，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξD 2σ （5）ξξD a b a D 2)(=+
14正态分布密度函数可写成
22
()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）
15正态分布：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足
,()()b
a P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal
distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作
),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .
16．正态曲线的性质：
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 （2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称 （3）曲线在x=
（4）曲线与x 轴之间的面积为1
（5）μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
（6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移。
17．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，
2
221)(x e
x f -
=
π
，（-∞＜x ＜+∞）
18（1）()6826.0=+≤<-σμσμx P
（2）()9544.022=+≤<-σμσμx P （3）()9974.033=+≤<-σμσμx P。