第2章 逻辑代数基础(完整版)

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A BC ( A B)( A C )
方法二：真值表法
[解]
方法一：公式法
右式 ( A B)( A C ) A A A C A B B C
A AC AB BC A(1 C B) BC
A BC 左式
A (B C) A B A C 分配律： C ( A B) ( A C ) A B 缓一缓 ( A B)' A'B' ( A B)' A' B' 反演律(摩根定理）：
( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C ' ( A B C )' A' B'C ' ( A B C )' A'B'C '
互补律： A A' 1
A 1 1 A 0 0
A A' 0
等幂律： A A A
A A A
双重否定律: ( A' )' A
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3）基本运算规则
A B B A 交换律： A B B A ( A B) C A ( B C ) 结合律： ( A B) C A ( B C )
A E 电路图 B Y
开关 A 开关 B 断开 断开 闭合 闭合 断开 闭合 断开 闭合 功能表
灯Y 灭 灭 灭 亮
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设：开关（条件）合为逻辑“1‖，开关断为逻辑“0‖； 灯亮（事件发生）为逻辑“1‖， 灯灭为逻辑“0‖
真值表
A 0 0 1 1
• 真值表
• 逻辑符号 • 逻辑表达式
或运算 非运算
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2 逻辑代数中的三种基本运算 (1) 与运算(与逻辑)
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定义： 表达式：
仅当决定事件Y 发生的所有条件（A,B,C,…） 均满足 时，事件Y 才能发生。 Ｙ＝Ａ.Ｂ.Ｃ=A B C
例如:用电路图表示 开关A，B串联控制灯泡Y
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逻辑函数的建立
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试建立下图所示用双联开关控制楼道照明的开关电路的逻辑函数
E Y
A
B
图 双联开关控制的开关电路
两个单刀双掷开关 A 和 B 分别 安装在楼上和楼下。上楼前在楼 真值表 下开灯，上楼后关灯；反之下楼 A B Y 前，在楼上开灯，下楼后关灯。 以 1 表示开关上拨， 0 0 1 0 表示开 0 1 表示灯亮，以 1 0 关下拨；以 0 表示 1 0 0 灯灭，则灯 1 Y 是开关 1 A、B 1的二值逻 辑函数，
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3/4 逻辑代数的公式和定理
2
(1)、逻辑代数的基本公式
1）常量之间的关系
与运算：0 0 0
或运算： 0 0 0
非运算：1' 0
0 1 0
1 0 0
11 1
0 11
0' 1
1 0 1
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2）基本公式
A 0 A 0-1 律： A 1 A
2
第二章 逻辑代数基础
1 概述 2 逻辑代数中的三种基本运算 3 逻辑代数的公式 4 逻辑代数的定理 5 逻辑函数及其表示方法
6 逻辑函数的化简方法
公式化简法
卡诺图化简法
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主要问题：
1、三种基本逻辑运算 2、与、或门的封锁与选通方法
3、 逻辑问题的真值表、函数式、逻辑图等表示方法
。
例2 : 若 Y (( AB'C )' D)'C，求 Y '
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2
2）代入定理：
在任何一个包含变量 A （假设某变量）的逻辑等式中，若以 另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。 例1: 已知 (A+B)’=A’·B’ ，若用 F=B+C 代替等式中的 B ，则可 以得到适用于多变量的反演律：
4、逻辑代数基本定律及常用公式 5、卡诺图及其化简函数表达式的方法 重点： 三种基本逻辑运算，逻辑问题的真值表、函数式、逻 辑图等表示方法 难点： 函数表达式的化简
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概述
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逻辑代数: 又称布尔代数，开关代数。是一个由逻辑变量真假
（或取值 0，1）、以及用“与”、“或”、“非”3种基本运
(5) 逻辑符号的说明 国标符号 A & Y A B 曾用符号
2
美国符号 Y A B A B Y
B
A B A
A B
≥1 Y A B A
B 1
YA
Y
Y
A
Y
A
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Y
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国标符号 A B &
Y A B
曾用符号 A B Y
美国符号
A B
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(利用乘对加的分配律）
方法二：真值表法
A BC ( A B)( A C )
2
将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中
A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
左式D A( B C ) AB AC
D D 右式 = AB AC 左式 A BC ( A B)(A C) 左式=右式
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(4) 证明和例题
[例 1] 证明公式
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c. 与或非运算
(AND – OR – INVERT)
Y3 AB CD
A B C D
&
≥1
Y3
(输入有几种可能的组合)
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d. 异或运算
A (Exclusive—OR) B
=1
2
Y4
Y4 A B A B AB
e. 同或运算
P24 式8 式18
Y AB Y ' (A B )' A' B '
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注意： 1. 需遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算优先次序; 2.不属于单个变量上的非号应保留不变。
例1: 已知
Y A(B C) CD
，求 Y '
B 0 1 0 1
Y 0 1 1 1
特点：若有 1出1； 若全 0出 0
逻辑表达式为： 或门的逻辑符号：
Ｙ＝Ａ+Ｂ
A B A B
OR GATE
Y ≥1 Y
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(3) 非运算（非逻辑）
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定义： 当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；
条件不满足时，事件反而发生。
B 0 1 0 1
Y 0 0 0 1
特点：若有 0 出 0； 若全 1 出 1
逻辑表达式为：
Ｙ＝Ａ.Ｂ=AB （AND gate)
与门的逻辑符号：
A B
A
Y B
&
Y
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(2) 或运算（或逻辑）
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定义： 决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中， 只
表示灯亮的逻辑函数式为： Y AB AB
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[例]
试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。
相同出 有0出00
全1出1 相异出
0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 1 1 0 0 1 1 解： Y1 Y2 Y3
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算构成的代数系统。 逻辑变量:是一种二值变量。仅取0 和 1两种逻辑值，表示两 种对立的逻辑状态。 0 矛盾的否定面、反面 1 矛盾的肯定面、正面
三种基本运算是：与、或、非（反）。
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2 逻辑代数中的三种基本运算 三种基本运算
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描述方法
• 定义
与运算
A ( B C ) A(1 B C ) BC A AB AC BC AA AB AC BC A( A B) C ( A B) ( A B)( A C )
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(利用0 1律和自等律） ( 利用重叠律) (利用乘对加的分配律) (利用乘对加的分配律)
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(4) 几种常用复合逻辑运算
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a. 与非运算
(NAND)
Y1 AB
A B
&
Y1、Y2 的真值表
Y1
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y1 Y2 1 1 1 0 1 0 0 0
b. 或非运算
(NOR)
Y2 A B
A B
≥1
Y2
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(2) 逻辑代数的基本定理
1）反演定理： 对任一逻辑式Y，若将其中所有的 · +/ 0 1 / 原变量 反变量，得到Y。 ’。
与的非变或、 或的非变与！
摩根定理是反演定理的特例。
Y A B Y ' (A B )' A' B '
要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。
表达式
Ｙ＝Ａ＋Ｂ
例如:用电路图表示 开关A，B并联控制灯泡Y
A
开关 A 断开 断开 闭合 闭合 开关 B 断开 闭合 断开 闭合 灯Y 灭 亮 亮 亮
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B E 电路图
Y
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真值表:
A 0 0 1 1
A+B(CD) = (A+B)(A+CD) = (A+B)(A+C)(A+D)
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3）对偶定理：
若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 对偶式: 对任一逻辑式Y, 若将其中的“· ‖ ―+‖ , ―0‖ ―1‖, 而变量保持不变, 则得到一个新的逻辑式Y D ，YD称为Y的对偶式。 比较： 由Y求Y’：对任一逻辑式Y，若将其中所有的 · +/ 0 1 / 原变量 反变量，得到 Y’。 例: 试用对偶定理证明下式：
(Exclusive—NOR)
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y4 0 1 1 0
相同为 0，不同为 1
Y5 A B
AB AB
= A⊙B
A B
=1
Y5
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y5 1 0 0 1
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13 0 相同为 1，不同为
表达式
Y＝A＇
Y＝A
例如:用电路图表示开关A控制灯泡Y
R E 电路图 A
Y
开关 A 断开 闭合
灯Y 亮 灭
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真值表:
A 0 1
Y A'
Y 1 0
逻辑表达式为：
（NOT
GATE）
非门的逻辑符号
A
Y
A
1
Y
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A B A B
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Y
A
B A B
≥1 Y A B A B
=1 Y A B A B
Y
Y

Y
Y
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(6) 逻辑变量与逻辑函数
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在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称 逻辑变量： 为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值 不是 1 就是 0 。 原变量和反变量： 字母上面无反号的称为原变量， 有反号的叫做反变量。 逻辑函数：如果输入逻辑变量 A、B、C ∙ ∙ ∙的取值 确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被 唯一确定，则称 Y 是 A、B、C ∙ ∙ ∙的 逻辑函数。并记作 Y F A, B, C
( A B C ) ' A（ ' B C ) ' A ' B ' C ' ( A B C ) ' (( A ( B C )) ' A ' （B C) ' A ' B ' C '
• 2: 式（17） A+BC 例 = (A+B)(A+C)
3/4 逻辑代数的公式和定理 逻辑代数的公式和定理的讲述方式： 常量之间的关系
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基本公式（0/1律 互补律 等幂律 双重否定律） 基本运算规律（交换律 结合律 分配律） 定理： 代入定理、反演定理、对偶定理 推出：得摩根定律 吸收定律及一些常用公式 定理的证明
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