构造法在数学解题中的一些简单应用

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例谈“构造法”在高中数学解题中的应用

例谈构造法在高中数学解题中的应用曾㊀智(光泽县第一中学ꎬ福建南平３５４１００)摘㊀要:高中数学新课程提出ꎬ高中数学的教学重点之一就是空间形式与数量关系ꎬ这两点数学知识是探讨研究自然规律与社会规律的基础工具.构造法ꎬ一方面ꎬ它是高中数学学习的一种重要方法ꎬ能够有效帮助学生理解空间形式与数量关系ꎻ另一方面ꎬ它也是培养学生构造思维的重要基础ꎬ是高中数学教育的关键之一.本文在此背景下ꎬ总结了在高中数学解题中应用构造法的原则ꎬ又进一步分类总结了具体应用构造法的解题案例ꎬ以期为我国高中数学教师开展构造法教学提供参考.关键词:构造法ꎻ高中数学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０３－００６０－０３收稿日期:２０２３－１０－２５作者简介:曾智(１９８４.１－)ꎬ男ꎬ福建省光泽人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中数学知识相对于初中而言难度更高ꎬ高中生在学习中不免会面临许多难以解决的问题ꎬ尤其是高中生本身解题经验较少ꎬ解题时常常会出现无法找到题目提供的各项条件与问题间的联系的情况ꎬ进而使解题变得十分艰难[１].这种情况一方面会导致学生解题效率降低ꎬ数学考试成绩下降ꎬ另一方面也会使学生长期承受较大的学习压力ꎬ导致对数学学习的兴趣降低ꎬ甚至抵触数学学习[２].此时ꎬ若学生掌握了构造法 ꎬ则能够以新的角度审视难题ꎬ通过分析问题条件构造与题目本不相关的知识或模型ꎬ间接地解决难题[３].在这一过程中ꎬ高中生的数学思维能力与逻辑推理能力也得到了提高.因此ꎬ对构造法在高中数学解题中的应用进行研究ꎬ是具有一定的理论与现实价值的.１在高中数学解题中应用构造法的原则在高中数学解题中应用构造法是具有一定的原则的ꎬ其具体内容包括:相似性原则㊀在实际应用构造法进行解题时ꎬ需要仔细分析题目中提供的条件或题目本身特征ꎬ展开具有相似性的联想ꎬ进而构造出合理的数学对象ꎬ最终通过该数学对象完成数学解题[４].直观性原则㊀高中生在以构造法解题时ꎬ应遵循直观性原则ꎬ通过构造某种辅助解题的数学形式ꎬ使得题目中的条件与结论间形成直观的联系ꎬ进而快速地完成解题.熟悉化原则㊀这一原则指的是高中生在解题时应仔细分析题目的结构特征ꎬ并将其与自身熟悉的某种数学式㊁形㊁方程等进行对比ꎬ进而构造出能够与题目相对应的数学形式ꎬ从而解决问题[５].２应用构造法进行高中数学解题的案例应用构造法进行高中数学解题的重点在于:(１)应用构造法的目的ꎬ即想要通过该方法得到的结论是什么ꎻ(２)构造哪种数学形式才能实现应用构造法的目的.只有有效实现上述两个重点ꎬ高中生才能够应用构造法解决问题[６].本文通过展示几类高中数学常见问题的构造法解法ꎬ展示构造法的具体应用方法ꎬ如下所示.２.１函数构造法解题案例在高中数学学习中ꎬ函数是重点学习的内容之一ꎬ而在实际题目中ꎬ包含函数的题目往往还会与方０６程㊁数列㊁图形等其他数学知识结合ꎬ使高中生解题难度增大.在这一类问题中应用构造法能够有效降低解题难度ꎬ进而加快学生解题速度[７].具体案例如下.案例１㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ｘ－１ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎬ并证明ｆ(ｘ)有且仅有两个零点.解㊀ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ１)ɣ(１ꎬ＋¥)ꎬ因为ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２(ｘ－１)２>０ꎬ则ｆ(ｘ)在０ꎬ１()和(１ꎬ＋ɕ)这两个区间上单调递增.通过分析题意发现该函数有两个零点ꎬ因为ｆ(ｅ)＝１－ｅ＋１ｅ－１<０ꎬｆ(ｅ２)＝２－ｅ２＋１ｅ２－１＝ｅ２－３ｅ２－１>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)有唯一零点ｘ１ꎬ即ｆ(ｘ１)＝０.又因为０<１ｘ１<１ꎬ则ｆ(１ｘ１)＝－ｌｎｘ１＋ｘ１＋１ｘ１－１＝－ｆ(ｘ１)＝０.故ｆ(ｘ)在０ꎬ１()有唯一零点１ｘ１.综上所述ꎬｆ(ｘ)有且仅有两个零点.２.２方程构造法解题案例在构造法中ꎬ方程是一种较为常见的数学形式. 方程构造法是高中数学解题中的常用方法之一ꎬ尤其是在函数相关题目的解题中.这种方法主要是通过分析题目中的数量关系或特征结构ꎬ构造出一组等量的关系式ꎬ并通过解析关系式找到题目中几个未知量间的关系ꎬ进而得到方程中包含的等量关系[８].具体案例如下.案例２㊀若ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬａ４均为非零的实数ꎬ且(ａ２１＋ａ２２)ａ２４－２ａ２(ａ１＋ａ３)ａ４＋ａ２２＋ａ２３＝０ꎬ证明四个非零实数中ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.证明㊀分析题目可推导得出ꎬ在四个非零实数中ꎬａ４这一非零实数是一元二次方程(ａ２１＋ａ２２)ｘ２－２ａ２(ａ１＋ａ３)ｘ＋(ａ２２＋ａ２３)＝０的实数根ꎬ则可以推出关系式:ә＝４ａ２２(ａ１＋ａ３)２－４(ａ２１＋ａ２２)(ａ２２＋ａ２３)＝４(２ａ１ａ２２ａ３－ａ２１ａ２３－ａ４２)＝－４(ａ２２－ａ１ａ３)２ȡ０ꎬ因此ꎬ只有当ａ２２－ａ１ａ３＝０时ꎬ关系式才能成立ꎬ则可推导出ａ２２＝ａ１ａ３ꎬ同时由于题中表明ａ１ꎬａ２ꎬａ３均为非零实数.则可得出ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成等比数列.且通过构造的求根公式可知ａ４＝２ａ２(ａ１＋ａ３)２(ａ２１＋ａ２２)＝ａ２(ａ１＋ａ３)ａ２１＋ａ１ａ３＝ａ２ａ１ꎬ则ａ４为该等比数列的公比.综上所述可以证明ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.２.３向量构造法解题案例在高中数学的所有知识点中ꎬ向量的相关知识是教学与学习的重难点之一.在高中数学考试中ꎬ与这一知识点相关的题目大多相对简单ꎬ以选择题或填空题为主ꎬ但当这一知识点出现在解答题中时ꎬ常常与立体几何相联系ꎬ解题难度增加许多ꎬ对学生的数学能力要求也相对较高[９].应用向量构造法进行解题ꎬ能够引导高中生将日常学习的向量知识点与三角函数㊁复数㊁函数等知识点联系起来ꎬ进而更加轻松地解决问题ꎬ案例如下.案例３㊀已知ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ求ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ的值.解㊀设Ｐ(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＱ(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＲ(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ)为单位圆上的三个点ꎬ则根据题意可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ的外心.由此可以得到关系式:ＯＰң＝(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＯＱң＝(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＯＲң＝(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ).因为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ则ＯＰң＋ＯＱң＋ＯＲң＝(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣꎬｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ)＝０ꎬ可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ重心ꎬ也是әＰＱＲ的外心ꎬ则әＰＱＲ为正三角形.由此可得出关系式Ｂ＝Ａ＋２π３＋２ｋπꎬＣ＝Ａ－２π３＋２ｋπꎬ则ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ａ＋２π３æèçöø÷＋ｓｉｎ２Ａ－２π３æèçöø÷＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３＋ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３－ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２１６＝ｓｉｎ２Ａ＋１２ｓｉｎ２Ａ＋３２ｃｏｓ２Ａ＝３２综上所述可得ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝３２.２.４复数构造法解题案例复数构造法的应用ꎬ简单来说可以主要分为两类ꎬ一类题目本身就是复数问题ꎬ通过应用复数本身的性质就可以完成解题ꎻ另一类则是非复数问题ꎬ需要间接构造复数形式来完成解题[１０].案例如下.案例４㊀求函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－５)２＋１６＋(ｘ－１)２＋４的最小值.证明:构造复数ｚ１＝５－ｘ＋４ｉꎬｚ２＝ｘ－１＋２ｉꎬ则ｆ(ｘ)＝ｚ１＋ｚ２ȡｚ１＋ｚ２＝４＋６ｉ＝２１３.当ｚ１＝ｋｚ２ꎬ即５－ｘ＋４ｉ＝ｋ(ｘ－１)＋２ｉ[]时取等号ꎬ解得ｘ＝７３ꎬ即ｘ＝７３时ꎬｆ(ｘ)有最小值２１３.２.５图形构造法解题案例数形结合思维是高中数学思维培养中的关键ꎬ这一思维的形成与图形构造法的应用有着密不可分的关系.应用图形构造法进行解题的案例具体如下所示.案例５㊀证明正弦两角和公式ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ.证明:如图１所示ꎬ在线段ＣＤ上任取一点Ａꎬ以Ａ为圆心ꎬ１为半径做圆弧分别过Ｃ点和Ｄ点ꎬ且和ＣＤ垂直的直线相交于点Ｂ与点Ｅꎬ令øＢＡＣ＝αꎬøＥＡＤ＝βꎬ则øＢＡＥ＝π－(α＋β)ꎬＢＣ＝ｓｉｎαꎬＡＣ＝ｃｏｓαꎬＤＥ＝ｓｉｎβꎬＡＤ＝ｃｏｓβ.图１㊀案例５证明示意图梯形ＢＣＤＥ＝әＡＢＣ＋әＡＤＥ＋әＡＢＥꎬ考虑面积相等可得:１２(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝１２ｓｉｎαｃｏｓα＋１２ｓｉｎβｃｏｓβ＋１２ˑ１２ˑｓｉｎ(π－α－β)即(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ＋ｓｉｎ(α＋β)ꎬ展开整理得ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ即可得证.３结束语«普通高中数学课程标准»中提出ꎬ数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力ꎬ是数学知识㊁技能㊁思想㊁经验及情感㊁态度㊁价值观的综合体现. 构造法作为高中最常使用的数学思想方法之一ꎬ能够有效培养高中生的创造思维与创新意识ꎬ综合提升其数学学科思维ꎬ但目前我国高中生对于构造法的了解大多有限.本文探讨了构造法在高中数学解题中的应用ꎬ为构造法在我国高中的推广应用贡献力量.㊀参考文献:[１]吴玉辉.构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０２１(３５):３１－３２.[２]顾建华.基于构造法的高中数学解题思路探索[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０２０(１０):１６６.[３]吴建文.构造法在高中数学教学中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０１９(１９):４０.[４]袁胜蓝ꎬ袁野.高中数学数列通项公式的几种求法[Ｊ].六盘水师范学院学报ꎬ２０１９ꎬ３１(０３):１１７－１２０.[５]杨丽菲.高中数学解题中应用构造法的实践尝试[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(１２):７.[６]何婷.构造函数求解高中数学问题[Ｊ].科学咨询(科技管理)ꎬ２０１８(０６):１４４.[７]李正臣.高中数学解题中应用构造法之实践[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(０２):３４.[８]罗杰.分析高中数学三角函数的解题技巧[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１７(２２):１０２.[９]洪云松.高中数学圆锥曲线解题中构造法的使用[Ｊ].农家参谋ꎬ２０１７(１３):１６０.[１０]刘米可.构造函数法在高中数学解题中的应用[Ｊ].经贸实践ꎬ２０１６(２３):２２６.[责任编辑:李㊀璟]２６。

浅议构造法在数学中的作用

浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。

在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。

构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。

通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。

构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。

构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。

通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。

构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。

1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。

它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。

构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。

构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。

通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。

构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。

构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。

通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。

构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。

2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。

在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。

一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。

通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。

构造法在中学数学问题中的解题应用

构造法在中学数学问题中的解题应用摘要：本文主要是在前人研究的基础上通过收集大量资料，对用构造法解题的形式进行分类，介绍在中学数学中用构造思想方法解题的典型例子，并归纳整理出构造法在代数和几何中的应用,使得构造法在解题的应用有一个比较系统、清晰且全面的结论。

关键词：构造法中学数学问题思想方法应用一、构造法在代数问题中的应用1.构造函数解代数问题。

如何构造一个函数，构造一个什么样的函数才能解决问题？关键在于分析问题的结构，充分利用问题所提供的信息，善于进行联想。

(1)构造函数证明不等式。

根据代数式的特征(如结构的对称性)，构造适当的函数，借助函数的性质，来证明不等式，是一种常用的构造方法。

构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法，它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等式关系，从而合理选择恰当的函数模型。

利用构造函数证明不等式，不仅能使解题过程简捷、明快，而且使解题方法新颖、精致，使数学解题思路突破常规，具有很强的创造性，体现独特的数学价值。

(2)构造函数证明等式。

例2 已知 a，b，c互不相等，求证：分析：如果把式子左边展开来证，是非常繁琐的,注意到a，b，c互不相等这一特性，巧构函数f(x)能富有创造性地证明本题.证明：构造函数f(x)=由于a，b，c互不相等，可知-a，-b，-c也互不相等。

因为f(x)是二次函数，而f(-a)=f(-b)=f(-c)=0，故f(x)=0恒成立，即原式成立。

2.构造方程解代数问题。

在应用方程思想解题时，主要是运用方程的两个性质，即韦达定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式。

根据韦达定理及其逆定理构造一元二次方程解代数题。

有些数学问题未必是方程问题，但我们可以构造辅助的方程进行求解。

用方程思想构造方程解题非方程问题有一定的规律性：已知两个或多个数之和、之积的对称式，利用韦达定理的逆定理构造两次或高次方程；当问题中出现形如“b2-4ac”的式子时，可构造出以“b2-4ac”为判别式的二次方程ax2+bx+c=0的形式。

例谈数学解题中的构造法及其应用

＋
：１ Ⅱ＞０，（ｂ＞ｏ．）
（）１
数学学习与研究
２１９０１
谚．ｉ．ｔ一ａ … ｘ
≥ ｓ＋
一痢汹
姆
６．构造数列
椤４６求（＋１）＋（＋１。＋（＋１＋・・＋１））・＋（）。项的系数．的展开式中
４
理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到
变量的认识上的飞跃．多数学命题繁冗复杂，寻入口，很难
又
ｔｎ￣，ａ＝Ｙｔｎａｃ＝ｔ，ａｙ：。于是有，
一 —
若巧妙运用函数思想，使解答别具一格，能耐人寻味．
规，另辟蹊径，妙地解决问题，在数学解题『有着广泛巧它１ｊ
又
ｎ，是方程Ｘ、Ⅱ 一６ｘ＋１８＝０的两根．６２
解方程，＝２，＝６．得，４
‘
．
．
ｄｌ＝２，＝６ｎ４或 Ⅱ １＝６ Ⅱ ４，＝２．
ｔｎ一ａ（卢）＋ｔｎ（一）＋ｔｎ（ — ）＝ｔｎ（一）・ａ卢ａａｔｎ卢一’）ａ一Ｏ）ａ（，ｔｎ（／．（）１
分析
此不等式求解比较困难，们可以在不等号两我
边构造两个函数，用函数的性质求解利
列 ” 产生意想不到的效果．能从以上各例不难看出，造法是一种极富技巧性和创构

构造法在中学数学解题中的应用

：
０ｎ，（ ≥２ｎ∈Ｎ＋，。：）且
５构造几何图形
注意问题和对象的几何背景，构造几何图形，再
运用图形的几何性质可以使复杂问题简单化．例７如图，段Ａ线Ｂ在平面内，段Ｃ线Ｄ在
（）１求数列｛的通项公式；０｝
・
７・５
《数学之友》
２１００年第２４期
又６＝ｌｇ１＋１＝１ｂ１ｏ２．：１×２～＝２，
即ｌ２ｌ＝２一，ｏｏ＋１进而ｌ２＝一１ｇｏｏ２一ｇ，
・
６｝＝，为的差列进６公２等数，而：３差
・．．
平面内，且 ∥卢Ａ，Ｂ上∞ ，Ｂ：Ｄ＝，面，ＡＣ口平之间的距离为ｈ求四面体ＡＣ的体积．，ＢＤ
Ｄ
５
一２Ｏ．１＋ＳＳ＝
一
口一１＝２
，
所数｛）项２差２等数以列妾首为公为的差是
，１Ｉ，一、一１
为ｎ体为＝７＝ｈ三锥Ｃ等，积ｆｎｈ下而棱其、，１，ｌ０－
一
（）２由第一问可得ｂ２１）ｉ：（一ｎｎ１，
所以＋＋＋… ＋＝＋１＋１＋… ＋１
解：。１１２一口＝口＝１ ‘ 口＝Ｓ＝．１１，
当ｎ２时，】２＞ｔ０＝Ｓ一Ｓ一＝ｎ一０一［（，）２／一１７
一

构造法举例

构造法举例构造法是一种解决数学问题的方法，它可以通过构造出一个合适的对象来证明所要证明的结论。

下面我们来举几个例子。

例一：证明所有奇数的平方都是奇数。

我们可以通过构造来证明这个结论。

假设n是一个奇数，那么n可以表示为2m+1的形式，其中m是一个整数。

那么n的平方可以表示为 (2m+1)^2=4m^2+4m+1 的形式，显然它是一个奇数。

例二：证明对于任何正整数n，都存在一个质数p，使得p>n。

我们可以通过构造来证明这个结论。

假设存在一个正整数n，对于所有的质数p，都满足p<=n，那么考虑p1,p2,p3,...,pk是所有小于等于n的质数，那么n!+1不是质数，因为它可以被p1,p2,p3,...,pk 中的某一个质数整除，但是这个质数不在p1,p2,p3,...,pk中，因为它比它们都大。

例三：证明正整数n可以表示为三个整数的平方和的形式当且仅当n不是形如4^k(8m+7)的数。

我们可以通过构造来证明这个结论。

首先证明当n不是形如4^k(8m+7)的数时，n可以表示为三个整数的平方和的形式。

对于任意的正整数n，有n=1^2+n^2+0^2，因此n可以表示为三个整数的平方和的形式。

接下来证明当n是形如4^k(8m+7)的数时，n不能表示为三个整数的平方和的形式。

假设n可以表示为a^2+b^2+c^2的形式，其中a,b,c为正整数。

那么取模4，显然a^2+b^2+c^2模4的余数只能是0,1,2,3中的一个，而形如4^k(8m+7)的数模4余数为3，因此n不能表示为三个整数的平方和的形式。

通过构造法，我们可以将抽象的数学问题转化为具体的对象，从而更加直观地理解和证明数学结论。

构造法在初中数学解题中的应用

构造法在初中数学解题中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

构造法在高中数学解题中的应用方法

构造法在高中数学解题中的应用方法发布时间：2021-03-31T14:52:08.820Z 来源：《中小学教育》2020年36期作者：刘德位[导读] 随着新课标改革的进行，相关部门对于高中数学教育提出了更高的要求。

刘德位松桃第三高级中学贵州铜仁 554100摘要:随着新课标改革的进行，相关部门对于高中数学教育提出了更高的要求。

当前，高中数学教学除了要求学生能够解决问题，更重要的是对于学生自主学习、思维能力的锻炼。

近年来，构造法以其覆盖面广等特点引起了数学教师的重视，构造法也可以帮助学生提高自身数学思维。

本文将对构造法进行分析，简述其概念，总结出构造法在高中数学中的应用，为高中数学教学提供参考。

关键词:构造法；高中数学；解题应用作者简介：刘德位，出生于1992年4月，男，土家族，贵州，松桃第三高级中学，本科，中学二级教师，解题技巧。

引言:高二对于学生来说是非常重要的一年，学生在高二就已经正式处在高考备战状态，所以学生必须养成良好的数学思维，学会应用相关方法解决数学问题。

数学知识比较复杂，而且比较抽象化，大多数时候需要学生运用相关的思维，找到合适的方法去解决。

所以如何将书本上的知识与相关学习方法进行结合，将数学题转化为更易于学生理解的形式就成为了当前高中数学教学的重点问题。

构造法通过将题目创新、转化，再与知识进行结合得出问题答案，不仅可以构建完整的解题思路，而且还可以真正实现高中数学的教学目的。

一、构造法的概念构造法是一种历史悠久的数学方法，这种方法在数学产生时代就存在，而且随着时代的变迁不同的数学家对其进行了丰富和改善，使其更加成熟，更加容易解决问题。

当前，构造法已经被广泛应用在高中教学中。

常规的数学题通过与书本相联系，对题目中给出的条件进行分析，就可以得出结论。

为了锻炼学生的数学思维，培养出思维型人才，数学题目的展现方法也在不断改变，一些数学题的难度也在增长。

一些题目用普通的定向思维难以解决，就需要转换思维，将题目中的已知条件与数学知识相结合，构造出更加简单易于理解的题型，然后解决问题。

构造法在高中数学解题中的应用方法

构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种在数学解题中常用的方法，它通过构造特定的数、图形或形式来解决问题。

构造法在高中数学中的应用十分广泛，不仅能够帮助学生理解问题，还能够培养学生
的逻辑思维和创造力。

一、构造法在代数问题中的应用
1. 构造特殊的数：通过构造特殊的数来解决问题，如通过构造一个满足条件的整数、有理数或无理数等。

在解方程问题中，可以通过构造特殊的数来找到解的规律或确定解的
范围。

2. 构造函数式：通过构造合适的函数式来解决问题。

在函数的极值问题中，可以通
过构造一个函数式来描述问题，并通过分析函数式的性质来确定极值点。

3. 构造方程组：通过构造一组方程来解决问题。

在线性方程组的解题中，可以通过
构造一组满足条件的方程来确定未知数的值。

三、构造法在概率与统计问题中的应用
1. 构造样本空间：通过构造合适的样本空间来解决概率问题。

在求解随机事件的概
率问题中，可以通过构造一个恰当的样本空间来确定事件发生的可能性。

2. 构造频数表或频率分布图：通过构造频数表或频率分布图来解决统计问题。

在统
计一组数据的分布特征时，可以通过构造一个频数表或频率分布图来描述数据的分布情
况。

3. 构造统计模型：通过构造合适的统计模型来解决概率与统计问题。

在求解样本均值、方差等问题时，可以通过构造一个适当的统计模型来计算所需的统计量。

用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式汇总构造法是一种在数学中广泛使用的解题方法，特别是在求解数列的通项公式时，我们可以通过构造一些新的数列，将问题转化为已知的问题，从而达到求解的目的。

以下是几种用构造法求数列通项公式的汇总：1.等差数列构造法：对于形如 an+1 = an + d 或者 an+1 = an - d 的递推式，我们可以通过累加法来求通项公式。

即：令n = 0,1,2,n-1，然后将其各项相加，可得：a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + , + [a1 + (n-1)d] = n(a1 + n-1)d。

对于等差数列，我们还可以使用前 n 项和公式求解通项公式：an = Sn - Sn-1。

2.等比数列构造法：对于形如 an+1 = q an 或者 an+1 = an q 的递推式，我们可以通过连乘法来求通项公式。

即：令n = 0,1,2,n-1，然后各项相乘，可得：a1 * a1q * a1q^2 * , * a1*q^(n-1) = a1^n * q^(1+2+,+(n-1))。

3.常见数列构造法：对于形如 an+1 = an^2 或者 an+1 = an^2 + 1 等无法直接求出通项公式的递推式，我们需要通过构造新的辅助数列来求解。

例如，令an+1 + x = (an +x)(an + x)，可以构造出新的等比数列，从而求得通项公式。

对于形如 an+2 = an+1 + an 或者 an+2 = an+1 * an 等无法通过递推直接求出通项公式的递推式，我们可以通过对原式变形，构造出两个独立的等差或者等比数列，从而利用对应的方法求出通项公式。

例如，对于 an+2 = an+1 + an，我们可以令an+2 + an+1 = 2(an+1 + an)，得到一个等差数列；对于 an+2 = an+1 * an，我们可以令an+2 / an+1 = an+1 / an，得到一个等比数列。

构造法在初中数学解题中的应用

直觉派的先驱者是 19 世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得不承认它的存在性。他在数学工作中的立场是：第一，认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论。第二，否认传统逻辑的普遍有效性而重建直觉派逻辑。第三，批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”。（3）算法数学阶段
构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在：构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性。
构造法的实质是一句某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新
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的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决的方法。它的具体解题过程可以用下面的框架来表示：
【关键词】数学解题构造法数学问题
I
Construction method in solving problems
Abstract
Mathematical thinking method plays a crucial role in the middle school mathematics teaching, in the junior middle school mathematics teaching, the structural thought method is a kind of creative mathematical thinking method, especially in solving hard mathematical problems, such as method to construct proper use can according to the specific problems, then will be hard, change numerous for brief, make the problem solved, it fully penetrated in other mathematical thinking method.

浅谈构造法在高中数学中的应用

２、构造函数法数学中大量存在的各种关系，很多情况下是函数关系。若所研究的问题本质上是一种函数关系，则可将题设条件及题中给出的数量关
系构造出一种新的函数，通过对函数性质的研究，使问题得到解决。
例４、已知＞Ｏ，求证ｚ＋ｚ＋昙
．ｚ＋
Ｚ
思路分析：构造函数，（ｚ）＝－ｚ＋＞Ｏ），则ｚ＋ ≥２，
山
＿』Ｉ
设２Ｏｔ＜口
ｆ（ａ）－ｆ（ｆ１）ａ＋１一（卢＋吉）＝一卢）＋（１一）一ａ（８一１）
显然 ‘．’２≤口＜．‘．ａ一＞０，＞０，一１＞０故＿厂（ａ）－ｆ（ｆ１）＞０
所以ｆ（ｘ）在【２，＋∞）上单调递增，所以左边厂（２）＝昙
构造函数的关键是选择恰当的函数解析式，这需要有高度的观察和分析能力，观察想象条件的主体特征，所以条件的特点给了我们很大的思考的空间，我们要学会使用好每一个条件。
在数学解题过程中，构造法应用体现在两个方面：一是数学问题本身有构造性的要求或者可以通过构造而直接得解；二是有些问题需要通过构造出一个与原问题有关或等价的新问题（即称为辅助问题），并通过辅助问题帮助原问题的解决。这种巧妙构思正是构造法的技巧所在。
３、构造方程法方程作为中学数学的重要内容之一，它与数式、函数等诸多知识密切地联系在一起，不论解方程计算、求值以及证明等，都可以根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后将问题置于方程的求解或讨论中，使问题获得解决。例５、若一）一４（ｘ－ｙ）（ｙ一２）＝０，证明：Ｚｙ＝＋２。

构造法在数学解题中的应用

构造法在数学解题中的应用
随着新型数学教学对学生能力和思维开拓的新要求，构造法作为一种独特的数学解决问题的方法，得到了广泛的应用。

通过学生自身创造性的构思，从实际问题中寻找出解决方法的技巧，将巧妙的思维技巧应用在数学解题中，从而提升学生的解题能力。

构造法的核心思想是，结合实际材料，从而构造出相应的解决方案的过程。

无论是数学问题，还是其它类型的问题，学生都可以从它们中构造出一个有效的解决方案。

它教会学生思想的灵活性，激发学生创新思维，促进理解和解决问题的能力。

作为一种先进的教学方法，构造法引入了新的解决问题的方法。

它可以培养学生思维能力和综合素质，培养学生未知领域探索的能力。

通过解决问题，学生需要分析认识问题，并从中找出解决问题的途径。

学生需要学会积极思考，从实际材料和经验中总结出具有普遍性的规律，这有助于他们更好地理解数学概念，在解决实际问题时，可以灵活运用。

此外，构造法也是一种解决数学问题的有效方法。

在解题过程中，学生需要从数学中获取有关的知识，并将其应用到实际问题中。

例如，在解决几何图形问题时，可以通过图形中可以找到的条件，找到几何描述的方法，从而解决问题。

同样，在解决抽象数学问题时，也可以通过对数学定理的利用，将数学定理运用到实际问题中，解决问题。

总之，构造法在数学解题中具有重要的作用。

它不仅可以提高学生独立思考和综合素质，还可以提升学生解题能力，从而避免学生受
到学习困难的影响。

此外，构造法也可以深化学生对数学概念的理解，促进学生对数学问题的独创性解决。

因此，构造法在数学解题中的应用有着重要意义，应受到认真重视。

构造法在高中数学解题中的运用分析

构造法在高中数学解题中的运用分析摘要：构造法是指在数学解题过程中，按照题目已经给出的条件，通过一定的构造方法得出题目的结论的数学模式。

在高中数学教学中应用构造法进行数学例题的讲解，能够为学生提供快速解题的方法。

利用逆向思维的构造法解决高中数学中的难题，能够充分的提高学生的解题速度和正确率。

本文主要从利用构造法解题的三种途径入手，通过分析例题的解题步骤，讲解具体构造法在其中发挥的重要作用。

关键词：构造法；高中；数学；解题高中数学这门学科要求学生必须能够形成自己的数理思维能力。

为了适应高中数学题目的复杂性和抽象性，教师应当在解题教学中合理引入构造法。

在遇到比较复杂难解的数学试题时，高中生可以利用题目已知的条件，由结论逆推出未知的部分条件，解决题目条件不足的问题，这种逆向推导思维就是构造法。

高中解题过程利用构造法有多种形式，可以构造方程、函数、数列等等形式来解决疑难复杂的数学问题。

利用构造法解题能够简化学生的解题过程，提高高中的解题效率和正确率。

一、利用构造法构造方程解题对于一些比较复杂的高中数学问题的解题过程，常用的构造法解题形式就是构造方程法，通过分析题目中已知的变量条件，构建出一元二次或者二元二次方程，通过方程的跟与题干中系数之间的关系来解决数学题目。

高中数学老师需要重点对构造方程法向学生进行讲解，包括构造方程法使用时的注意事项，题干中出现什么条件时可以使用构造方程法？如何根据题干中出现的部分已知条件构造方程等等，通过合适的例题进行构造方程法使用全过程的演示，保证整个解题的步骤，保证每一个学生都能听懂，并学会熟练的使用构造方程法解决数学难题。

同时，高中数学老师也可以引导学生自行在题目中已有的条件上，选择合适的等量方程，简化数学题目，将已知条件和结论更直观的联系起来，进而快速而正确的解决遇到的数学难题。

例题1:已知x、y分别为实数，且满足如下关系式，(x-1)3+2022(x-1)=-1同时满足(y-1)3+2022(y-1)=1，要求求出x+y=？首先分析这道题目，大部分高中生看到题目的第一部反映就是先求出x的值，然后再求出y的值，最后两者想加，得出题目中要求的答案。

构造法在高考数学解题中的应用探究

构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种解决问题的方法，它主要通过构造出特殊的情况来推导出解答的方法。

在高考数学中，构造法经常被用于解决一些特定的问题，特别是那些需要找出特殊条件或者特殊情况来解决的问题。

在高考数学中，构造法常常被运用到函数、几何、代数等各个领域中。

比如在函数的题目中，如果要求我们构造一个满足某些条件的函数，我们可以利用构造法来构造出这个函数。

在几何的题目中，如果要求我们构造一个满足某些条件的图形，我们同样可以利用构造法来构造出这个图形。

在代数的题目中，如果要求我们构造一个满足某些性质的方程或者矩阵，我们同样可以利用构造法来构造出这个方程或者矩阵。

构造法的优点是可以通过构造出特殊的情况来推导出解答的方法，因此可以大大简化问题的求解过程。

通过构造出特殊的情况，我们可以发现一些规律或者性质，从而推导出通用的解答方法。

相比其他解题方法，构造法更加直观和简洁。

构造法也有一些限制。

构造法要求我们先找到特殊的情况并构造出来，这要求我们具备一定的创造力和灵活性。

构造法只能对特定的问题起作用，对于一些复杂的问题可能无法直接应用。

构造法得出的结果可能只是局部的，不能推广到所有情况。

在运用构造法解题时，我们需要灵活掌握方法，结合题目的具体要求来分析和构造。

在构造的过程中，需要注意观察问题的特点和规律，确保所构造出的情况满足题目所要求的条件。

在运用构造法解题时，我们还可以结合其他解题方法，比如递推法、反证法等，以达到更好的解题效果。

构造法在高考数学解题中的应用是非常广泛的，它可以帮助我们通过构造特殊的情况来推导出解答的方法，从而简化解题过程。

通过灵活运用构造法，我们可以更好地应对各种数学问题，提高解题的效率和准确性。

构造法在高中数学解题中的应用

西藏科技，２０１５（０３）：３８－３９．
［４］张守俊．探析构造法在数学解题中运用［Ｊ］．赤子
（中旬），２０１４（１４）：２４０．
的要求，因此夯实数学基础对于计算复杂问题起着重要的
作用．
（三）构造方程
在高中数学的学习中，尤其是高考中，许多问题都离不
开方程与函数，因此对于许多并不是单纯的方程问题或是
函数问题的问题，在解题时依然可以利用构造方程式的方
法进行辅助计算．这不但可以降低计算量，也可以促进学生
掌握方程以及函数的解题思想．下面将以两个实际问题为
式为ｘ＋ｙ＝０，是二、四象限的角平分线，故需要构造抛物线
ｙ＝ｍｘ２－１（ｍ≠０）关于直线ｃ的对称抛物线－ｘ＝ｍｙ２－１，此
时原问题经构造方程后已转化为曲线交点问题，具体解法
如下：由方程ｙ＝ｍｘ２－１，－ｘ＝ｍｙ２－１可得ｘ＋ｙ＝ｍ（ｘ＋ｙ）（ｘ－
用，熟练、灵活地掌握构造法的相关知识可以使学生的日常
解题过程更加迅速、高效，正确率也将更上一个台阶，对于
培养学生的自信心与成就感有着重要的作用．
２．复杂数列的构造
３
１
ｍ－ｍ（ｎ＝１，２，３，…），
２ｎ＋１２ｎ
求ｍｎ．首先将该数列的通项公式化简为ｍｎ＋２－ｍｎ＋１＝
及数学性质在新构造的数学模型中更加清楚地体现出来，
并且能根据其更迅速地分析题目所求解的问题，从而更加
准确地得出问题的答案．
（二）构造思维在数学中的体现
在了解了构造法的基本概念之后，教师在日常教学过

例析构造法在高中数学解题中的应用

㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１６㊀例析构造法在高中数学解题中的应用例析构造法在高中数学解题中的应用Һ张文琴１㊀许零筝２㊀（１．台州市第一中学，浙江㊀台州㊀３１８０００；２．三门第二高级中学，浙江㊀台州㊀３１７１９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造法是指依据题设条件㊁结论特征和性质，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等．构造法在数学解题中的应用，彻底打破了定向思维的束缚，开辟了全新的解题视角，有效提升了学生的数学解题能力．基于此，文章分析了构造法在高中数学解题中的应用价值，并针对构造法在高中数学解题中的具体应用进行了详细探究．ʌ关键词ɔ高中数学；解题能力；构造法；核心素养常规的解题思路基本上都是从已知条件向所求结论展开定向思考．但针对部分题目来说，常规的解题思路已经无法满足解题要求．此时，学生可以借助创造性的思维，根据题目中所给出的已知条件㊁结论特征等，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等，进而将已知条件和结论联系起来，形成解题思路．从构造法的内涵上来说，其中也蕴含了大量的数学思想，如：类比㊁归纳㊁转化．学生在创造性解答问题的过程中，不仅促进了数学知识的内化㊁迁移，也实现了数学思维的发展，这与数学核心素养的要求不谋而合．鉴于此，强化学生利用构造法解题，已经成为当前高中数学教学的重中之重．一㊁构造法与高中数学解题教学（一）构造法的内涵构造法在高中数学解题中尤为常见，主要思路是运用所学数学知识，以题目中的已知条件㊁所求结论作为解题出发点，通过综合性分析，构造出能够满足题目已知条件和所求结论的新形式，进而促进原有数学问题转化，使原本繁杂的数学问题变得简单㊁清晰，以便于学生迅速形成新的解题思路．鉴于构造法的内涵，其在解题中呈现出五个显著的特点：其一，构造性，主要是借助创新思维构造模型，立足于数学问题的本质，促进数学问题的简单化；其二，直观性，主要是借助已有数学知识，结合数学题目构建新的模型，形成解题思路；其三，可行性，构造法在高中数学解题中应用范围比较广，具备极强的实用性；其四，灵活性，在运用构造法解答数学问题时，学生必须具备丰厚的知识储备量，并结合自身的解题习惯，自行选择构造数学模型的类型；其五，多样性，构造法在应用时没有定式，学生可结合具体的题目要求，构造不同的解题模型．（二）构造法的应用价值首先，提高了学生的数学解题能力．构造法作为一种创造性解决问题的方法，可以使得题目中的隐藏条件变得可视化．因此，构造法的应用有效地消除了学生在解题过程中的畏难情绪，有助于强化学生的数学解题思路，使其逐渐强化解题能力．其次，提高了学生的数学思维能力．数学学科对学生的思维能力要求比较高，而学生的思维能力和解题能力之间息息相关．构造法的应用不仅促进了学生归纳㊁类比㊁转化数学思想的发展，也促进了学生数学思维能力的发展，这为学生更好地解决数学问题奠定了坚实的基础．最后，提高了学生的知识转化能力．高中数学题目极具综合性，学生在解题时，只有将各个部分的数学知识点整合起来，通过数学知识的迁移和转化，才能完成数学题目的解答．构造法的应用将代数㊁几何㊁函数等知识点整合起来，促进了数学知识的转化，使学生能灵活运用数学知识，从不同的角度思考问题㊁解决问题．二㊁构造法在高中数学解题中的具体应用（一）构造方程，解答数学问题构造方程在高中数学解题中尤为常见，主要是立足于方程与函数之间的关系，结合题目已知条件，构造方程，解答相关的数学问题．例１㊀已知（ｍ－ｎ）ｘ２－４（ｎ－ｘ）（ｘ－ｍ）＝０，求证：参数ｍ，ｘ，ｎ所构成的数列为等差数列．解析㊀这一数学题目与数列相关．如果按照传统的解题思路，那么学生所面临的求解难度比较大，甚㊀㊀㊀解题技巧与方法１１７㊀㊀至还需要大量的运算，极易出现错解的现象．鉴于此，可通过构造方程，从题目中所求结论出发，将其与题目中的已知条件结合起来，进而形成明确的证明思路：构造二次方程（ｎ－ｘ）ｔ２－（ｍ－ｎ）ｔ＋（ｘ－ｍ）＝０．观察其各项系数特点，可发现各项系数之和为零，故方程必有一根为１．又恰好该二次方程的根的判别式Δ＝０，故该二次方程有两个等根，即由根与系数的关系，得ｔ１ｔ２＝ｘ－ｍｎ－ｘ＝１，即２ｘ＝ｍ＋ｎ，所以得证．由此可见，借助构造方程的思想，从新的角度思考和分析问题，使得原本复杂的数学问题简单化，真正提升了学生的数学解题效率．（二）构造数列，解答数学问题在高中数学教学中，数列知识尤为重要．解答这一类型数学问题时，可灵活运用构造数列的方式，结合题目中相关信息和条件要求，通过替换等方式，构建新的数列，旨在简化数学问题，提升解题效率．例２㊀已知ｎ为正整数，求证：１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋＋１３ｎ＋１＞１．解析㊀在这一题目中，已知条件非常简单，只有ｎ为正整数．鉴于此，可运用构建数列的方式寻求证明思路：令１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋＋１３ｎ＋１＝ａｎ，则：ａｎ＋１－ａｎ＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋３＋１３ｎ＋２－１ｎ＋１＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋２－２３ｎ＋３＝２（３ｎ＋２）（３ｎ＋３）（３ｎ＋４）．因为ｎ为正整数，所以ａｎ＋１－ａｎ＞０，因此数列｛ａｎ｝为递增数列，根据ａ１＞１可得出该不等式成立．由此可见，按照常规思路很难求解此题，甚至还会在解题的过程中，由于步骤多㊁计算复杂等，导致出现错误．鉴于此，可通过构造数列，使复杂问题简单化，帮助学生顺利解题．（三）构建函数，求解数学问题在高中数学解题中，构造函数也尤为常见，其与构造方程本质相同．在解题中，可结合具体题目，构造函数，以此分析并解决数学问题．例３㊀已知ａ＜ｂ，ａ，ｂ，ｃ均为正实数，求证：ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．解析㊀对于这一题目，如果按照传统思路和方法进行证明，则极易陷入解题误区．鉴于此，可融入构造法，通过分析题目中已知条件，构建函数模型，形成证明思路：假设ｃ＝ｘ，将ａ＋ｃｂ＋ｃ构造成函数，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ，将ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ进行转化，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ＝ａ－ｂｂ＋ｘ＋１．该函数为增函数，递增区间为（０，＋ɕ）．又因为ａ，ｂ，ｃ均为正实数，因此ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．例４㊀已知关于ｘ的方程ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２＝０存在唯一的实数解，求实数ａ的值．解析㊀该题目为二次方程问题．因为题目中含有参数，所以学生在解题时常常毫无头绪．鉴于此，可结合已知条件和未知参数，通过构造函数的方式，形成解题思路：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２．因为ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以该函数为偶函数．假设ｘ０为ｆ（ｘ）＝０的解，则－ｘ０也为函数ｆ（ｘ）＝０的解，即－ｘ０＝ｘ０，因此，ｘ０＝０．所以ｆ（０）＝０２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓ０）＋１－４ａ２，即（２ａ＋１）（１－２ａ－ｓｉｎ１）＝０，解得ａ＝－１２或ａ＝１＋ｓｉｎ１２．由此可见，在遇到这一类型的问题时，学生可通过对已知条件㊁所求结论的分析，构造一个新的函数关系，将所求的问题转化为函数问题，进而运用函数的相关性质进行解答．（四）构造几何图形，解答数学问题在解答数学问题时，由于部分题目难度非常大，并且已知条件复杂，因此学生在分析题目时，常常难以理清思路，导致解题陷入困境．鉴于此，可运用构造法，结合题目中已知条件，构造出直观的几何图形，进而打开解题思路．例５㊀求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６的最小值．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１８㊀解析㊀这一题目已知条件简单，但如果按照常规思路进行解题，学生则难以形成清晰的解题思路．鉴于此，可通过构造图形的方式，将题目中的已知条件直观地呈现出来．㊀ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６＝（ｘ－２）２＋（０－３）２＋（ｘ－５）２＋［０－（－１）］２．㊀图１构造平面几何图形（如图１所示），假设平面上有一点Ｐ（ｘ，０），定点Ｍ（２，３），Ｎ（５，－１）．如此，所求问题转化为求Ｐ到Ｍ，Ｎ距离的最小值．结合所学知识可知，当三点共线时，ｆ（ｘ）存在最小值，即ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ＭＮ＝（２－５）２＋（３＋１）２＝５．由此可见，借助构造平面图形的方式，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生通过观察，构建已知条件和所求结论之间的关系，并运用所学知识灵活解答问题．（五）构造向量，解答数学问题在高中阶段，构造向量是一种非常重要的解题方式．在具体的高中数学解题中，可运用构造法，将不等式问题㊁函数问题等构造成向量问题，进而运用向量的相关知识进行解答．例６㊀假设函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ，求该函数的最大值．解析㊀这是一道经典的函数问题，如果按照传统的解题思路解答问题，则会产生大量的计算步骤，极易出现计算错误．鉴于此，可借助构造法，运用向量的相关知识㊁性质进行解答．假设向量ｍ＝（２，１），向量ｎ＝（ｘ＋１，４－ｘ）．由于ｍ㊃ｎɤｍ㊃ｎ，因此ｙ＝ｍ㊃ｎɤ５．故当ｘ＝３时，函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ存在最大值，为５．例７㊀在әＡＢＣ中，øＢＣＡ＝θ，ＣＢ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，试对әＡＢＣ的余弦定理进行证明．解析㊀可结合题目中的已知条件，构造向量：向量ＣＢң＝ａ，向量ＣＡң＝ｂ，向量ＡＢң＝ｃ．已知ｃ＝ａ－ｂ，则ｃ２＝ｃ㊃ｃ＝（ａ－ｂ）㊃（ａ－ｂ）＝ａ㊃ａ＋ｂ㊃ｂ－２ａ㊃ｂ＝ａ２＋ｂ２－２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ．即ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓθ．由此可见，借助构造向量的方法，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生从新的视角出发，根据新的思维模式，运用所学的知识思考问题㊁分析问题㊁解答问题．三㊁基于构造法解答数学问题的教学启示课堂教学实践证明，通过构造法在高中数学解题中的应用，真正实现了化繁为简㊁由难到易的目的．学生结合题目中的已知条件和所求问题，构造新的关系，促进所求问题的转化．可以这样说，构造法在解题中的应用不仅提升了学生的数学解题能力，也发展了学生的思维能力，更加强了学生的数学综合素养．鉴于此，教师在日常教学中，应有意识地渗透构造法，加深学生对构造法的理解，使其能掌握构造法．一方面，学生的构造意识并不是在短时间内形成的，唯有通过潜移默化地渗透，才能达到预期的目标；另一方面，虽然构造法在解题中占据一定的优势，但并不意味着构造法适用于每一道题目，因此教师在日常解题中要带领学生积极开展一题多解训练，帮助学生掌握多种解题方法，便于学生在对比中了解构造法的解题优势和具体应用，使其在日后解题中能够合理利用这一方法．结㊀语构造法在高中数学解题中尤为常见，通过构造函数㊁构造方程㊁构造数列㊁构造平面图形等手段，可将原本复杂的数学问题简单化，便于学生形成新的解题思路，从新的视角分析问题㊁解答问题．鉴于此，教师在日常教学中，应结合实际情况，有意识地渗透构造法，不断提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］庄素慧．基于构造法的高中数学解题思路探索［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３１）：５５－５７．［２］张宏敏．应用构造法在高中数学中的解题策略［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１８）：４９－５１．［３］刘海杰．构造法在高中数学解题中的运用措施分析［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（１２）：１４－１６．［４］丁爱年．高中数学解题教学中构造法运用分析［Ｊ］．数学之友，２０２２（０４）：２５－２７．［５］张焕生．解析构造法在高中数学解题中的运用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（０２）：１４－１５．［６］刘晓妮．高中数学解题中应用构造法的总结［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３１）：６５－６６．。

数学构造法的原理及应用

数学构造法的原理及应用1. 前言数学构造法是一种基于数学原理和技术的问题解决方法。

通过运用数学中的概念、定理、公式等工具，对待解决的问题进行抽象和分析，从而得到问题的解决方案。

本文将介绍数学构造法的基本原理以及其在实际应用中的一些案例。

2. 数学构造法的原理数学构造法的核心原理是将复杂的问题抽象为数学模型，并运用数学的逻辑推理和计算方法进行求解。

具体而言，数学构造法通常包括以下步骤：2.1 定义问题首先，需要清晰地定义待解决的问题。

问题定义的准确性对后续的数学建模和求解过程至关重要。

2.2 建立数学模型根据问题的定义，将问题转化为数学模型。

数学模型可以是代数方程、几何图形、统计模型等形式。

2.3 分析模型对建立的数学模型进行分析，运用数学中的方法和工具对模型进行求解，得到数学的解析解或数值解。

2.4 解释结果将数学解释转化为实际问题的解释，提出对问题的结论和建议。

3. 数学构造法的应用案例以下是数学构造法在实际问题中的应用案例，以展示其在不同领域的应用价值：3.1 金融领域风险管理金融领域的风险管理需要基于大量的数据进行决策。

数学构造法可以通过建立复杂的数学模型，分析金融市场的波动性和相关性，预测风险水平，辅助决策者制定风险管理策略。

3.2 物流运输优化物流运输中最为常见的问题之一是优化路径和调度。

数学构造法可以帮助建立运输网络模型，考虑不同的顾客需求、供应链环节和运输体积等因素，从而优化路径和调度，提高物流效率。

3.3 工程建模与优化在工程领域，数学构造法广泛应用于工程建模和优化问题。

例如，在城市规划中使用图论模型优化交通网络，或者在工业生产中使用线性规划模型优化生产资源的利用率等。

3.4 生物医学研究数学构造法在生物医学领域也有重要的应用。

例如，通过建立微分方程模型，可以描述疾病的发展过程，预测治疗效果，辅助临床决策。

4. 总结数学构造法是一种基于数学原理和技术的问题解决方法，通过建立数学模型和运用数学方法进行分析和求解，提供了一种有效的工具和思维方式。