【数学】2015青岛39中海洋班

二0一五年青岛三十九中（海大附中）海洋班自主招生测试
数学试题
（时间：60分钟满分：100分）
温馨提示：所有题目均在答题卡上作答，在试卷上作答无效.
一、选择题：（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
请把唯一正确答案的字母代号涂在答题卡的相应位置.
1．一个口袋中有24个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小强为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数
与10的比值，再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为：4.0，2.0，2.0，3.0，4.0，根据上述数据，小强可估计口袋红球个数为A．80 B．56 C．70 D．46
2
4．送餐公司为某校提供甲、乙、丙三类午餐供师生选择，三类午餐每份的价格分别是：甲餐6元，乙餐8元，丙餐10元．为做好下阶段的营销工作，送餐公司根据该校上周甲、乙、丙三类午餐购买情况，将所得的数据处理后，制成统计表（如下左图）；根据以往销售量与平均每份利润之间的关系，制成统计图（如下右图）. 该校师生上周购买午餐费用的中位数和送餐公司上周在该校销售午餐盈利分别为
A ．6元，5500元
B ．8元，5500元
C ．6元，7500元
D ．8元，7500元 5．如下图所示，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将AOB ∆沿y 轴对折，再将所得的11OB A ∆绕点1A 按顺时针方向旋转
90， 得到222B O A ∆，则点2B 的坐标为 A ．)
21(， B ．)12(--，
C ．)12(，-
D ．)34(，
6. 若关于x 的方程0342
=-+-m x x 有两个 正实数根,则实数m 的取值范围是
A. 31<<-m
B. 1-≥m
C. 31<≤-m
D. 1->m 或3<m
二、填空题：（本题满分24分，共有6道小题，每小题4分）请把正确答案填写在答题卡的相应位置.
7．计算 1
2)6
1
(|4|2015)3(4-+-⨯--+- 的结果为 ．
8．如右图，海中有小岛A 和小岛B ，在C 处测得A 的方位角为 北偏东
60，测得B 的方位角为南偏东
45，一艘轮船以42海里/小时的速度由C 出发，航行20分钟后到达小岛B 处，在B 处测得小岛A 在小岛B 的正北方向,则小岛A 与小岛B 之间的 距离是 海里（结果保留根号）．
300～800 (不含800) 一周销售量（份）
800～1200 (不含1200)
1200及 1200以上
该校上周购买情况统计表 x
y
1 2 4
3 0 -1
-2 -3 1
2 3
A
B
第5题图
9．如右图，已知12=AB ，BC AB ⊥于B ,5=AD ，CD 的中点，则线段AE
10．如右图，在正方形长为4，以A 为圆心，4弧．以D 为圆心，2图中阴影部分的面积分2
1S S 、．则________21=-S S 11．已知某二次函数x y +=2
过点)0,1(A ，)0,3(-B 数的关系式是 ,物线上存在一点P ，使ABP ∆为8，则点P 的坐标是 ．12．将边长为1的正方形OAPB 如图放置，P 点能恰好位于某反比例函数的图象上， 已知
),()...,,(),,(),,(333222111n n n y x P y x P y x P y x P （n 为正整数）均为此反比例函数的图象上
的点，其中n n n n x n ,...,3,2,1),12)(12(=+-=，分别过),(111y x P ，),(222y x P ，
),()...,,(333n n n y x P y x P （n n ,...,3,2,1=）向x 轴作垂线，与x 轴分别交于n A A A A ,...,,,321,
且线段n n A P A P A P A P ,...,,,332211的长分别为n a a a a ,...,,,321，设这些线段的和
n a a a a S ++++=...321，则
______=S ， 使S 大于
4029
2014
的 最小正整数n 为.______
13. (本题满分10分，共有2道小题，每小题5分)
(1)先化简，再求值：11
)11(22-÷---x x x x ，并为x 选择一个你喜欢的数，代入求值． (2)解不等式组：⎪⎩⎪
⎨⎧+<-≤+--)
1(31512
1
5312x x x x 14．（本题满分16分）
某村庄进行绿化，购买A 、B 两种树苗共100棵，其中A 种树苗每棵8元，B 种树苗每棵13元．
(1)如果购买这两种树苗共用980元，求A 、B 两种树苗各购买了多少棵？ (2)该村庄准备再次购买这两种树苗（不包括已购买的100棵），使B 种树苗是A 种树苗 的3倍，且所需费用不多于1300元，A 种树苗最多能再购买多少棵？ 15．（本题满分16分） 已知四边形ABCD 中，BC AD //，
90=∠ABC ，CD BC =，把四边形ABCD 绕点C 顺时针旋转得到四边形CDEF ，连接DF 、BD 、BF ，BF 与DC 交于点G ． (1)求证：ABD ∆≌EDF ∆；
(2)试判断四边形DEFG 的形状，并证明； (3)将四边形ABCD 沿AB 翻折得到四边形ABHI ， 当DCB ∠是多少度时，四边形IHBD 是菱形，请说明理由.
16. （本题满分 16分）
如图,四边形ABCD 是矩形,4=AB 米,3=AD 米，动点P 从B 沿边界从某一时刻开始运动，运动的速度为1米/秒,运动时间为x 秒, (1) 若动点P 从B 经过C 运动到D ,设△APD 的面积为y ,写出y 与x 之间的函数关系式; (2) 点P 从B 经过C 运动到D ,当P 在CD 上 运动时,设2
2
2
AB PB PA y -+=,求y 的最大值 和最小值,并求出对应的x 值.
(3) 若P 点由B 向C 方向运动,速度为1米/秒, 动点Q 由C 向D 方向运动,速度为2米/秒, 两动点同时开始运动，是否存在x ,使QP QA ⊥? 若存在,求出x ;若不存在,请说明理由.
第15题图
F
G
H
I
E
C
D B
A
A
D C
B
第16题（3）图 D
P
Q
A
C
B。