1-4 次序统计量

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3-次序统计量

F ( z ) F ( y )
j i 1
n k
( X (1) , X ( 2 ) ,, X ( n ) )的联合密度函数为
p( n ) ( y1 , y2 ,, yn ) n! p( y1 ) p( y2 ) p( yn ), y1 y2 yn
二、与次序统计量相关的常用统计量
样本中位数m0.5的渐近分布为
m0.5
1 ~ N x , 0 . 5 2 4 n p ( x ) 0.5
例5 设总体分布为柯西分布，密度函数为
1 p( x; ) , x 2 (1 ( x ) )
若X 1 , X 2 ,, X n 来自该总体的样本，求样本中位数的渐近分布.
1、样本均值 X 总体均值
估计
2、样本中位数估计总体中位数
样本均值容易受离群值的干扰，离群值会把样本均值拉向自己一侧，而样本中位数不受此害 .
若有离群值时，可用截尾均值代替样本均值 . 何为截尾均值？把样本排序，并截去两端一定比例的样本后求得的其余值的平均 .
m0.25 x([290.251]) x(8) 60
m0.5 x(15) 67 m0.75 x([290.751]) x(22) 73
五值 18 , 60 , ,67 , ,73 , 97
箱线图
18
60 67 73
97
1、样本中位数设x(1) ,x(2) , , x( n) 是有序样本，则样本中位数m0 .5为
m0 .5 x n 1 , n为奇数; ( ) 2 1 ( x n x n ), n为偶数. ( 1) 2 2 (2)

次序统计量计算次序统计量和进行排序

次序统计量计算次序统计量和进行排序次序统计量是在统计学中常用的概念，它用来描述样本中的特定数值在排序后的位置和相对大小。

在数据分析和排序算法中，次序统计量的计算和排序是十分重要的步骤。

本文将介绍次序统计量的概念、计算方法以及在排序中的应用。

一、次序统计量的概念次序统计量是指样本中第k个小的观测值，其中k可以是任意正整数（1 ≤ k ≤ n）。

当k=1时，次序统计量即为最小值；当k=n时，次序统计量即为最大值。

通过计算次序统计量，我们可以得到样本中某一特定百分位数的值，例如中位数、四分位数等。

二、次序统计量的计算方法计算次序统计量的方法有多种，下面介绍两种常见的方法。

1. 快速选择算法快速选择算法是一种高效的计算次序统计量的方法。

它基于快速排序算法的思想，在每次划分过程中只选择其中一个子序列进行递归。

通过不断地划分和比较，最终可以找到第k个小的观测值。

快速选择算法的时间复杂度为O(n)，是一种较快的计算次序统计量的方法。

2. 堆排序算法堆排序算法是另一种常用的计算次序统计量的方法。

它通过构建最小堆或最大堆的数据结构，每次取出堆顶元素并重新调整堆的结构，直到找到第k个小的观测值。

堆排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，虽然较快速选择算法慢一些，但在实际应用中仍然具有较好的性能。

三、次序统计量在排序中的应用次序统计量在排序中有着广泛的应用。

以下是两个常见的应用场景。

1. 快速排序算法快速排序算法是一种常用的排序算法，它利用次序统计量的概念进行排序。

快速排序算法通过选择一个枢轴元素，将序列分成左右两部分，并通过递归地对左右子序列进行排序，最终将整个序列有序化。

在每次排序过程中，通过求解次序统计量的值来确定枢轴元素的位置，从而实现排序。

2. 堆排序算法堆排序算法也是一种常用的排序算法，它利用次序统计量的计算方法进行排序。

通过构建最小堆或最大堆的数据结构，并依次取出堆顶元素，可以实现将序列有序化的过程。

在每次取出堆顶元素时，通过计算次序统计量的值来确定堆顶元素的位置，从而实现排序。

次序统计量及其分布

§5.3次序统计量及其分布次序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于次序统计量有一些性质不依赖于母体的分布并且计算量很小，使用起来较方便。

因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用，现在我们在本节中扼要地介绍有关次序统计量的内容。

gjzsj设1ξ，2ξ，…，n ξ是取自分布函数为F （x ）的母体ξ的一个子样，x 1，x 2，… ，x n 表示这子样的一组观测值。

这些观测值，由小到大的排列用x )1(，x )2(，… ，x )(n 表示，即x )1(≤x )2(≤… ≤x )(n ，若其中有两个分量x 1与x 2相等，它们先后次序的安排是可以任意的。

定义5.3 第i 个次序统计量ξ)(i 是上述子样1ξ，2ξ，…，n ξ这样的一个的一个函数，不论子样1ξ，2ξ，…，n ξ取得怎样一组观测值x 1，x 2，… ，x n ，它总是取其中的x )(i 为观测值。

显然，对于容量为n 的子样可以得到n 个次序统计量ξ)1(≤ξ)2(≤… ≤ξ)(n ，其中ξ)1(称做最小次序统计量，ξ)(n 称做最大次序统计量。

如果1ξ，2ξ，…，n ξ是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么次序统计量1ξ，2ξ，…，n ξ是否也相互独立呢？这可以从下述例子中看出（例略）。

定理5.5 设母体ξ有密度函数f (x)>0，a ≤x ≤b ,并且1ξ，2ξ，…，n ξ为取自这母体的一个子样，则第i 个次序统计量的密度函数为g i (y)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-----其他,0),()](1][)([)!()!1(!1b y a y f y F y F i n i n i n i（5.24）例5.3 设母体ξ有密度函数⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f 并且ξ)1(<ξ)2(<ξ)3(<ξ)4(为从ξ取出的容量为4的子样的次序统计量。

求ξ)3(的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并且计算概率)21()3(>ξP 。

次序统计量理论及应用

顺序统计量的分布及其应用探究学生姓名：杨道圣指导教师：刘宇民摘要顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。

经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数：1.离散型随机变量子样最小值的分布律为)(])1()!(!![)(11)1(I r pi r p l n l n x X P nl l n rl lr∈--==∑∑=-=2.离散型随机变量子样最大值的分布律为)(])1()!1()!1(![)(11111)(I r pi r p j n j n x X P nj j r l j n rn ∈-+--==∑∑=--=+-3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为关键词最小顺序统计量，最大顺序统计量，第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数引言顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布，并且计算量很小，使用起来较方便，因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。

顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。

定义定义1：设(X 1，X 2…，X n )是总体X 的一个样本，假如样本的实值函数g(X 1，X 2…，X n )不依赖任何未知的量，则称g(X 1，X 2…，X n )为统计量。

次序统计量及其分布通用课件

中心极限定理
在大量独立同分布随机变量的样本中，任意一个样本的平均值（或中位数）都将趋近于正态分布。
次序统计量
在给定样本中，按照大小排序后得到的顺序统计量。
关系
中心极限定理为次序统计量提供了理论基础，因为次序统计量是样本中排序后的变量，其分布情况与中心极限定理密切相关。
次序统计量与大数定律的关系
次序统计量在统计学中的重要性
01
02
03
描述数据分布特征
次序统计量可以帮助我们快速了解数据分布情况，如数据的最大值、最小值、中位数等。
进行统计分析
在统计分析中，次序统计量常被用作描述变量或样本的特性，如计算相关性、进行回归分析等。
数据排序与筛选
通过次序统计量可以对数据进行排序和筛选，以便更好地理解和处理数据。
计算方法
通过概率密度函数或概率质量函数积分得到。
03
次序统计量的应用场景
金融数据分析
风险评估
次序统计量可以用于评估投资组合的风险，通过分析历史收益率数据，确定投资组合在不同市场环境下的风险水平。
市场趋势判断
利用次序统计量对市场数据进行排序，可以判断市场趋势，例如通过分析股票价格指数的排序来判断市场的整体走势。
次序统计量及其分布通用课件
目录
• 次序统计量的定义与性质 • 次序统计量的分布 • 次序统计量的应用场景 • 次序统计量的计算方法 • 次序统计量与其他统计量的关系 • 次序统计量在数据分析中的应用
01
次序统计量的定义与性质
次序统计量的定义
定义
次序统计量是指一组数据中按照大小顺序排列
的统计量。
在数据异常值检测中的应用
总结词
次序统计量在异常值检测中具有重要应用，能够识别出离群点，帮助分析者了解数据分布和潜在问题。

双参数指数型分布最小和最大次序统计量矩的精确计算公式

双参数指数型分布最小和最大次序统计量矩的精确计算公式刘宣【摘要】讨论双参数指数型分布最小和最大次序统计量矩的计算,利用双参数指数型分布矩的递推关系及密度函数的特点获得了它的最小和最大次序统计量各阶矩以及各阶混合矩的精确计算公式.%The calculation of the minimum and maximum order statistic moments of two-parameter expo-nential distribution was discussed.The moments and mixed moments precise calculation formula of two-parameter exponential distribution were obtained by using the recursive relations of moments and the char-acteristics of the density function of two-parameter exponential distribution.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2015(047)002【总页数】4页(P41-44)【关键词】双参数指数型分布;次序统计量;矩【作者】刘宣【作者单位】福州大学阳光学院基础部福建福州350015【正文语种】中文【中图分类】O212.1次序统计量是统计理论与应用中常用的一种统计量，有关其矩的计算问题是人们感兴趣的课题．然而，由于一般次序统计量分布的复杂性，使得其高阶矩计算十分困难，并不是任意总体的次序统计量的高阶矩都能获得精确简单的计算公式，但已有部分结果，如文献[1-4]．本文考虑了一个特殊的总体—双参数指数型分布总体次序统计量矩的计算问题，获得了它的最小和最大次序统计量高阶原点矩和混合矩的精确计算公式．双参数指数型分布是可靠性工程中一种有用的失效分布，常用于描述伺服机构、车辆、电子产品等的寿命分布，具有重要的应用价值，它的密度函数和分布函数分别为[5]：其中,α∈R称为门限参数，β∈R+称为尺度参数．令表示从n个不同的数中选出k个数的全排列．引理1[5] 若{Xn:1≤k≤n}是来自某总体的一个样本，该总体具有密度函数f(x)和分布函数F(x)，X(1),X(2),…,X(n)为其次序统计量，则1) X(1)的密度函数为2) X(n)的密度函数为3) (X(1),X(n))的密度函数为引理2 若随机变量X服从门限参数为α、尺度参数为β的双参数指数型分布，则X的k阶原点矩为证明由随机变量k阶原点矩的定义可知于是得到递推公式定理1 若{Xk:1≤k≤n}是来自参数为α∈R，β∈R+的双参数指数型分布总体的一个样本，X(1),X(n)为其最小和最大次序统计量，则1) X(1)的密度函数为2) X(n)的密度函数为3) (X(1),X(n))的密度函数为证明由引理1及双参数指数型分布的密度函数和分布函数立即可得此结论．注① 最小次序统计量仍然服从双参数指数型分布，只是尺度参数变为；② 最大次序统计量已不服从双参数指数型分布，但其密度函数可看做不同双参数指数型分布密度函数的线性组合．定理2 若{Xk:1≤k≤n}是来自参数为α∈R，β∈R+的双参数指数型分布总体的一个样本，X(1),X(n)为其最小和最大次序统计量，则1)2)3)证明 1) 由定理1的注①及引理2可证．2) 由定理1的2)及引理2可知故结论(2)成立．3) 由定理1的3)及引理2可得注由上可知，E(X(1))≠E(X(n))，E(X(1)X(n))≠E(X(1))E(X(n))．因此，若{Xk:1≤k≤n}是来自参数为α∈R，β∈R+的双参数指数型分布总体的一个样本，X(1),X(2),…,X(n)为其顺序统计量，则X(1),X(2)-X(1),…,X(n)-X(n-1)既不独立也不同分布．定义1 若{Xn:1≤k≤n}是来自某总体的一个样本，X(1),X(2),…,X(n)为其次序统计量，则称Rn=X(1)-X(n)为样本极差．样本极差可以反映总体分布的变异范围和离散程度，在质量控制分析中有广泛应用．如对于某产品的某项指标，当生产处于稳定状态时，可通过设定置信水平得到这项指标取值的控制区间.在实际应用时通常每次都要计算样本均值与方差，计算较繁琐，且为了保证样本均值和方差计算的准确性，做检查时必须逐个检查样本观察值．若对检验结果有疑问则需要加大样本容量，一些计算又得重新进行.在高度自动化的现代工业生产条件下，这种做法对检验生产过程是否正常等及时作出判断是很不适应的[6]，而样本极差在一定程度上可以弥补上述缺陷，计算相对简捷，因此可用于质量控制，但这个过程通常需要求出样本极差的期望和方差．假设根据以往的生产经验，某产品的某项指标X服从门限参数为α、尺度参数为β的双指数分布，{Xn:1≤k≤n}为抽取的样本，下面求出此样本极差的期望和方差．由于样本极差的分布较复杂，因此不宜用此分布函数去求．直接利用本文定理2所得结论计算可得,，，综上，本文获得了双参数指数型分布总体最小和最大次序统计量各阶原点矩以及各阶混合矩的精确计算公式．从公式的形式上看没有积分运算，稍微复杂一点不过是有限项求和，用数学软件容易实现比较精确的计算结果，因此在质量分析中具有一定的应用价值．当然，任意总体次序统计量矩的计算问题较复杂，有待进一步研究．【相关文献】[1] Childs A．Higher order moments of order statistics from INID exponential random variables[J]．Statistical Papers，2003，44(2)：151-167．[2] Thomas P Y，Samuel P．Recurrence relation for the moments of order statistics froma beta distribution[J]．Statistical Papers，2008，49(1)：139-146．[3] 张金延．次序统计量矩的计算[J]．中国科学院研究生院学报，1990，7(1)：1-29．[4] Nadarajah S．Explicit expressions for moments of order statistics[J]．Statistics & Probability Letters，2008，78(2)：196-205．[5] 茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计[M]．2版.北京：高等教育出版社，2006．[6] 张方仁．极差的概率分布和它在质量控制中的应用[J]．数学的实践与认识，1985，15(3)：4-14．。

次序统计量及其分布.ppt

m1
2
~
N
x1
2
, n[
f
1 (x1
2
)]2
例5-3-2: 设总体 X 为柯西分布，其密度函数为
f(x ;) (1 (1 x ))2, x
其分布函数为
F (x;)1 2 1arctan(x)
易知，θ是该总体的中位数，即 x ½ = θ.
设 X1,X2, ,Xn 是来自该总体的样本，则
图 ) 若 X~N(,2)，要求的分位数 xα, 可化成求
N ( 0, 1 )的分位数 .
P { X x } P { X x }
此时， X~N(0,1)
故
x
u
从而 xu
（5-3-8）
2）对于 T ~ t (n) ，由密度函数的对称性可知
推论1 ：最大次序统计量 x (n) 的概率密度函数为
p n ( x ) n [ 1 F ( x ) ] n 1 p ( x ) (5-3-4)
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
p 1 (x ) n [F (x ) ] n 1 p (x ) (5-3-5)
例 5-3-2 :设总体X 的密度函数为
F(y)]ji1[1F(z)]nj f(y)f(z) , ayzb
例5-3-4：设总体分布为 U ( 0 , 1 ) , x1, x2, … , xn 为
样本，则 ( x (1) , x (n) )的联合密度函数为
p 1 , n ( y , z ) n ( n 1 ) ( z y ) n 2 ,0 y z 1
P { T t ( n ) } P { T t ( n ) } 1 P { T t ( n ) } 1
即

1-4 次序统计量

1
显然有
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
称为最小次序统计量它的值 x(1) 是样本最小次序统计量，其中 X (1) = min X i 称为最小次序统计量， 1≤i≤n 值中最小的一个；称为最大次序统计量最大次序统计量，值中最小的一个；而 X (n) = max X i 称为最大次序统计量， 1≤i≤n 是样本值中最大的一个。它的值 x(n) 是样本值中最大的一个。
米的小河中淹死了，他觉得不可思议。平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。这件事情是否是一个玩笑？这件事情是否是一个玩笑？
8
思考2. 一位统计学家把一只脚放进 100℃ 的开水里，思考 ℃ 的开水里，另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的意义上，我感觉很舒服。意义上，我感觉很舒服。
16
乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说，例乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说，公司平均月薪是 3000 元。一个月后乙同学得到工资1000元，据了解，公司共有21人，和自己元据了解，公司共有人工资职位相同的业务员共有 10 人，每人的月薪都是 1000 元。应该如何理解乙同学的遭遇？总经理 15,000 ；两个副总经理每人 8,000 ； , , 3 个部门经理每人 4000；5 个财务等行政人员；每人 2000；10 个业务员每人 1000 。；一共 21 人，每月支出工资 63,000。 , 。平均值 3000，中位数 2000，众数 1000，极差 14,000 ，，， ,
2
定义
样本 X 1 , X 2 ,L , X n 按由小到大的顺序重排为
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )

次序统计量及其分布通用课件

3. 健康状况评估：通过对个体的多项生理指标进行监测，并利用次序统计量进行分析，可以对个体的健康状况进行综合评估。
环境科学领域应用案例
总结词：环境科学领域中，次序统计量可用于环境监测、污染物排放评估、气候变化研究等。
详细描述
1. 环境监测：通过在环境中布置传感器，并利用次序统计量分析传感器数据，可以实时监测环境的空气质量、水质等情况。
次序统计量的特点
次序统计量具有简单直观、可操作性强、易于理解等优点，是统计分析中常用的一种方法。
次序统计量的种类
简单次序统计量
只对总体或样本的视察值进行排序，不涉及其他数据处理。
加权次序统计量
将总体或样本的视察值进行加权处理后再进行排序，可以更准确地反应数据的散布特征。
次序统计量的应用场景
统计模型
参数统计模型
在这种模型中，次序统计量被视为一个随机变量，并假定其具有某种已知或可估计的散布情势（例如正态散布、泊疏松布等）。然后通过参数估计和假设检验等方法对总体参数进行推断。
非参数统计模型
在这种模型中，总体被视为非参数的，并不假定其具有某种特定的散布情势。然后通过核密度估计、分位数回归等方法对总体散布进行推断。
未来应用前景展望
金融风险管理
次序统计量在金融风险管理领域有着广泛的应用。例如，可以利用次序统计量分析股票市场的波动性，为投资决策提供支持。未来，随着金融数据的日益复杂化，次序统计量的应用将更加重要。
环境监测与保护
次序统计量可以用于环境监测和保护领域。例如，可以利用次序统计量分析空气质量、水质等环境指标的变化趋势，为制定环境保护政策提供根据。
07
参考文献
参考文献

顺序统计量

−1 ! − !
−1
1−
−
()
证明：对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值
落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于
“样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间
(x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，
100
•T1 X i 是不合格品率p的充分统计量
i 1
1 n
( X i )2

•来自正态总体的样本，若总体期望已知，
n i 1
1 n
是总体方差的充分统计量，若总体方差已知，n X i
i 1
•是总体期望的充分统计量。
3、分位数
设(1) ≤ (1) ≤ ⋯ ≤ () 为取自总体 X 的
次序统计量，称 Mp为p分位数。
+1 ,
= ൞1
+
2
若不是整数
+1
,
若是整数
4、四分位数：
① 排序后处于25%和75%位置上的值
25%
25%
QL
25%
QM
② 不受极端值的影响
③ 计算公式
布，
X
0
1
2
设总体 X 的分布如下:
p
1/3 1/3 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1
x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3)
0
0
0
0
0
0
1
1
0

全部次序统计量联合概率密度函数

全部次序统计量联合概率密度函数全部次序统计量联合概率密度函数是概率论和数理统计领域中的一项重要研究内容。

这个概念在物理、金融、生物以及其他学科中应用广泛，是很多问题的理论基础。

本文将介绍全部次序统计量联合概率密度函数的定义及性质，以及其在实际中的应用。

首先，我们来解释什么是次序统计量。

在一个有序样本中，第k个最小值被称为第k个次序统计量。

例如，一个由值为{2, 4, 6, 8}的样本所组成的有序序列，第3个次序统计量是6。

这个概念在统计领域中非常重要，因为对于样本中的每个次序统计量，我们可以推断出整个样本的性质。

接下来，我们将介绍全部次序统计量联合概率密度函数的定义。

假设我们有一个样本，它包含n个数字。

全部次序统计量联合概率密度函数是描述该样本所有次序统计量（第1个到第n个）的概率密度函数。

该函数可以表示为：f(x₁, x₂, …, xn) = n! / (p1! p2! … pn!)(F(x₁) - 0)(F(x₂) - F(x₁)) … (F(xn) - F(xn-1))(1 - F(xn))其中p1, p2, …, pn 表示每个次序统计量的出现次数，F(x)是样本的累积分布函数，n是样本总数。

该公式表示的是样本中每个次序统计量的出现概率。

次序统计量的出现与先后次序无关，两个不同次序统计量取值一样的具体情况在导出概率密度函数时需要将概率加起来。

我们可以看到，它是由每个次序统计量发生的概率相乘组成的。

其中的n！表示n个不同元素的全排列；p1! p2! … pn!表示具有相同值的次序统计量的重复出现所产生的影响。

在这个公式中，累积分布函数F(x)可以根据样本中所有数据的值计算得到。

虽然公式相对复杂，但是它提供了一个有用的方式来估计概率分布，同时也有助于对样本数据进行分析和建模。

下面是全部次序统计量联合概率密度函数的一些性质：1.对于一个具有多重对称性的分布，存在某些次序统计量与其他次序统计量具有相同的概率密度函数，因此它们在联合概率密度函数中应该计算在一起。

次序统计量理论及应用

顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。

定义定义1：设(X 1，X 2…，X n )是总体X 的一个样本，假如样本的实值函数g(X 1，X 2…，X n )不依赖任何未知的量，则称g(X 1，X 2…，X n )为统计量。

1.4 次序统计量及其分布

1 , n!
二、单个次序统计量的分布
定理2 设总体X的密度函数为f(x), 分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本, 则第k个次序统计量X(k)的密度函数为
n! k 1 n k fk ( x) ( F ( x )) (1 F ( x )) f ( x ) ( k 1)!( n k )!
F1n ( x , y ) P { X (1) x , X ( n ) y } P{ X ( n ) y } P{ x X (1) X ( n ) y } ( F ( y )) P{ x X i y } ( F ( y ))n ( F ( y ) F ( x ))n
1.4 次序统计量及其分布
一、次序统计量。
定义设 ) 称为
该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测
值由小到大排列后得到的第 i 个观测值。其中 X(1)=minX1, X2, …, Xn 称为该样本的最小次序统计量， X(n)=maxX1, X2, …, Xn
可给出的 X(1) , X(2), X(3) 分布列如下：
X (1)
0
19 27
1
7 27
2
1 27
X (2)
0
7 27
1
13 27
2
7 27
p
X (3)
p
0
1 27
1
7 27
2
19 27
p
这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步, 给出两个次序统计量的联合分布, 如:
X(1) 和X(2) 的联合分布列为
证明:k 1,n时,直接可得 F1 ( x ) P ( X (1) x ) 1 P (min( X i ) x ) 1 (1 F ( x ))n Fn ( x ) P ( X ( n ) x ) P (max( X i ) x ) ( F ( x ))

关于次序统计量分布的注记

关于次序统计量分布的注记
李月玲
【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(030)003
【摘要】In this paper we mainly prove the distributions of any 3 order statistics and the distributions of any I order statistics.%对任意3个次序统计量的分布及任意l(1≤l≤n)个次序统计量的分布给出详细的证明.
【总页数】3页(P24-26)
【作者】李月玲
【作者单位】江苏师范大学数学科学学院,江苏徐州221116
【正文语种】中文
【中图分类】O211.6
【相关文献】
1.两参数Lomax分布次序统计量的性质和渐近分布* [J], 龙兵
2.幂分布次序统计量的性质及渐近分布 [J], 易秀龙
3.关于次序统计量分布的注记 [J], 李月玲
4.关于双参数指数型分布次序统计量的分布性质 [J], 魏志萍
5.次序统计量的分布及其在均匀分布中的应用 [J], 时凌;时义梅;张琼
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1.4 次序统计量和分布

C
i n
(
F
(
x
))i
(1
F
(
x
))n
i
ik
n!
F ( x) t k1(1 t )nk dt
(k 1)!(n k)! 0
fk ( x)
(Fk ( x))'
(k
n! 1)!(n
(F ( x))k1(1 k)!
F ( x))nk
f
(x)
当k 1, k n时,可得 f1( x) n(1 F ( x))n1 f ( x) fn ( x) n(F ( x))n1 f ( x)
n
,
yn
)
n!
i 1
f ( yi ), y1
y2 L
yn
0
样本中位数和样本极差
• 设( X1, X2 ,L , Xn )T是来自总体 X 的样本，(X(1), X(2),L , X(n))T
是次序统计量，则样本中位数定义为
X n1 ,
X%
1
2
2
(Xn
2
定理3： ( X(1) , X(n) )的联合分布密度为（连续型)
n(n 1)(F( y) F ( x))n2 f ( x) f ( y), x y
f
X ( 1 ),
X( n )
(
x,
y)
0
x y
证明：当x y时，显然成立。
当x y时{X(n) y} { X(1) x, X(n) y} { X(1) x, X(n) y}
nCnk11(F ( x))k1(1 F ( x))nk f ( x) d x
dFk ( x) nCnk11(F ( x))k1(1 F ( x))nk f ( x)dx

次序统计量

由于次序统计量的每一个分量X(k) 都是样本
X,X,, 12
X n
的函数，所以X(1),X(2),L
,X(n)
也都是随机
变量。样本X1,X2,,Xn是相互独立的，但其次序统
计量(X(1),X(2),L,X(n))一般不是独立的。
2
定义样本X1,X2,,Xn按由小到大的顺序重排为 X(1) X(2) L X(n)
{ 1，1，3，3，4，2，3，8 } 3
11
Remark (1). 中位数比样本均值更为稳健，当二者相差不大时
常采用样本均值表示数据平均，否则应该用中位数。 (2). 样本的众数适用于离散的总体
12
2. 表示“变差”的统计量：样本方差(或标准差)、极差
样本极差定义为
R X (n ) X ( 1 ) m 1 i a x nX i m 1 ii n nX i,
f(X (1 ),X (2 ))(x ,y )
0 ,x y ,
7
1. 表示“平均”的统计量：样本均值、中位数、众数
例关于平均值的理解样本均值是人们采用最多的一种描述数据的方法，
它反映了一组数据整体上的一些信息，然而容易掩盖一些极端的情况，所以有时候样本均值不一定合理。
思考1. 甲同学听说，有个身高 1.75 米的成年人在平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。
4
定理 1.19 设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)), X1 , X 2 , , X n为样本，则第 k 个次序统计量 X(k) 的分布密度为
fX (k )( x ) ( k 1 ) n ! ( ! n k ) ! [ F ( x ) ] k 1 [ 1 F ( x ) ] n kf( x ) ,k 1 ,2 ,L ,n . 特别，最小次序统计量 X (1 )和最大次序统计量 X (n) 的分布密度为

1.3--1.4 抽样分布,次序统计量

位数记为 Fa (n1, n2 ) ，它满足
P{F > Fa (n1, n2 )} = a
对 a = 0.05, 0.01 ，0.10 ，0.025 的 Fa (n1, n2 ) 的值，可由附表 5 查出。
P{X > ua} = 1 − P{X ≤ ua}= 1 − Φ(ua ) = a
即 Φ(ua ) = 1 − a
给定 a ，由附表 2 可查得 ua 的值，如 u0.05 = 1.64 ，u0.025 = 1.96 。由于标准正态分布的对称性，显然有
ua = −u1−a
2、如果
χ
2 n
~
χ
2 (n)
)
=
E(
X
2 i
)
=
E
(
X
2 i
)
=
[D( X i ) + (E( X i ))2 ] =n
i =1
i =1
i =1
∫ 由于
D(
X
2 i
)
=
E
(
X
4 i
)
−
(
E
(
X
2 i
))2
=
+∞ −∞
x4
− x2
e 2 dx − 1 = 3 − 1 = 2
2π
n
n
∑ ∑ 所以
D(
χ
2 n
)
=
D(
X
2 i
)
=
D(
n→∞
ϕT
(t
)
=
1
−t2
e2
2π
此性质说明，当 n → ∞ 时， t 分布的极限分布是标准正态分布。

3-次序统计量解读

F ( z ) F ( y )
j i 1
n k
( X (1) , X ( 2 ) ,, X ( n ) )的联合密度函数为
p( n ) ( y1 , y2 ,, yn ) n! p( y1 ) p( y2 ) p( yn ), y1 y2 yn
二、与次序统计量相关的常用统计量
X ( n )称为该样本的最大次序统计量
在一个简单随机样本中，X 1 ,X 2 , ,X n独立同分布，注：
次序统计量X (1)，X (2)，，X ( n )既不独立，分布也不相同.
而且任何两个次序统计量分布也不相同 .
1、单个次序统计量的分布定理1 设X 1 ,X 2 , ,X n 是来自总体X的样本，且X的密度函数为p( x ), 分布函数F ( x ), 则第k个次序统计量x( k )的密度函数为 n! pk ( x ) ( F ( x )) k-1 (1 - F ( x )) n-k p( x ) ( k-1)! ( n-k )!
j2 -j1 1
[ F ( y jr ) - F ( y jr 1 )]
jr jr 1 1
1 F ( y )
jr
n jr
p( y j1 ) p( y j2 ) p( y jr ),
y j1 y j2 y jr
证明：
j1 1
1
y j1
j1 j2 1 y j1 y j1 yj
次序统计量和经验分布函数
一、次序统计量(或称顺序统计量)及其分布定义设X 1 ,X 2 , ,X n是来自总体X的样本，将X 1 ,
X 2 , ,X n按从小到大的顺序排列为 X (1) X ( 2 ) X ( n ) 则X ( i ) 称为该样本的第 i个次序统计量，