《算法设计与分析》第三章 动态规划.ppt

一、最优子结构性质
•利用问题的最优子结构性质，以自底向上的 方式递归地从子问题的最优解逐步构造出整 个问题的最优解。最优子结构是问题能用动 态规划算法求解的前提。
3.2 动态规划法的适用条件
二、重叠子问题性质
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新 问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子 问题的重叠性质。
1373
1374
1363T(n)=O(
n m
)
1372
1362 1362
1352
1371 13611361 1351 1361 1351 1351 1341
3.3 动态规划法的基本步骤
找出最优解的性质，并刻划其结构特征。－－ 考察是否适合采用动态规划法。
递归地定义最优值(建立递归式或动态规划方 程)。
int Fib(int n) {
f1=f2=0; for(f=1,i=0; i<=n; i++) {
f2=f1; f1=f; f=f1+f2; } return f;
}
3.3 动态规划法的基本步骤
例2 求解二项式系数 求解步骤： 1 具有最优子结构性质 2 具有重叠子问题性质 3 建立递归式或动态规划方程 4 求解。
mn
n! m!(n
m)!
n m
＝
1
1
n m
1
mn 11
m=0 n=m 其它
3.2 动态规划法的适用条件
一、最优子结构性质
•在分析问题的最优子结构性质时，所用的方法具有普 遍性：首先假设由问题的最优解导出的子问题的解不 是最优的，然后再设法说明在这个假设下可构造出比 原问题最优解更好的解，从而导致矛盾。
一、最优子结构性质
当问题的最优解包含着其子问题的最优解时，称该问 题具有最优子结构性质。
例1：Fibonacci数问题
n
n≤1
F(n)＝
F(n-1)＋F(n-2) n>1
3.2 动态规划法的适用条件
一、最优子结构性质
当问题的最优解包含着其子问题的最优解时，称该问题
具有最优子结构性质。
例2：求解二项式系数
动态规划法解所能解决的问题一般具有以下两个 基本因素：
一、最优子结构性质
当问题的最优解包含着其子问题的最优解时，称该问 题具有最优子结构性质。
二、重叠子问题性质
递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新 问题，有些子问题被反复计算多次。这种性质称为子 问题的重叠性质。
其它同分治法
3.2 动态规划法的适用条件
3.2 动态规划法的适用条件
一、最优子结构性质
•例3 最短路径问题 设G是有向图，若G中从顶点i到顶点j有
路径存在，找出最短的一条。 下面证明最短路径问题具有最优子结构性质
3.2 动态规划法的适用条件
一、最优子结构性质 证明： 设i,i1,i2,…,ik,j是从i到j的一条最短路径。从初 始顶点i开始，设从i到下一顶点i1的判定已经做 出。接下去，问题就转化为用i1替代i，重复原 来的问题，找出一条从i1到j的路径。显然， i1,i2,…,ik,j一定构成了从从i1到j的最短路径（与 原问题相同的最优子序列）
3.2 动态规划法的适用条件
二、重叠子问题性质
例1： Fibonacci数问题的递归树
Fib(5)
T(n)=O(Fib(n))
Fib(4)
Fib(3)
Fib(3) Fib(2) Fib(2) Fib(1)
Fib(2) Fib(1)
3.2 动态规划法的适用条件
二、重叠子问题性质
例2：
求解二项式系数的递归树
n 3
n 4
n 5
n 6
n 7
01
11 1
21 2 1
31 3 31
41 4 641
51 61
5 10 10 5 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
3.3 动态规划法的基本步骤
例2 求解二项式系数 int Binom（int n, int m） {
int b[MAXSIZE]; b[0]=1; for(i=1;i<=n;i++) {
以自底向上迭代的方式（或以自顶向下的备忘 录方法）计算出最优值；
根据计算Βιβλιοθήκη Baidu优值时得到的信息，构造最优解。
3.3 动态规划法的基本步骤
例1 Fibonacci数问题 求解步骤： 1 具有最优子结构性质 2 具有重叠子问题性质 3 建立递归式或动态规划方程 4 求解值。
3.3 动态规划法的基本步骤
3.1 动态规划法的基本思想
动态规划法与分治法的异同：
– 与分治法类似，动态规划法也是对问题进行递归分解。 – 而当递归分解得到的子问题不互相独立时，用分治法
求解，则有些子问题被重复计算了许多次。而动态规 划法通过保存已解决的子问题的解，在需要时再找出 已求得的解，可以避免大量重复计算。
3.2 动态规划法的适用条件
3.2 动态规划法的适用条件
一、最优子结构性质
证明： 若不然，设i1, r1,r2,…,rp,j是一条从i1 到j的
最短路径，则i,i1, r1,r2,…,rp,j将是一条从i到j的路 径且比路径i,i1,i2,…,ik,j要短，得出矛盾。
所以，最短路径问题具有最优子结构性质。
3.2 动态规划法的适用条件
3.3 动态规划法的基本步骤
例2 求解二项式系数
求解方法：
1 动态规划法：
计算如下序列：
SS10=={{1000， }11
}
SS2n=={{0n02，，121n，，222n}，…,
n n
}
3.3 动态规划法的基本步骤
例2 求解二项式系数
1 动态规划法：
Pascal 三角形
n
n 0
1n
n 2
第3章 动态规划（Dynamic-Programming）
3.1 动态规划法的基本思想 3.2 动态规划法的适用条件 3.3 动态规划法的基本步骤 3.4 应用举例－0/1背包问题
3.1 动态规划法的基本思想
为求解给定问题，有一系列子问题需要解答。 对这些子问题按照某种方式仔细设计，使得其 后的每一个子问题都可以通过上面已经求出的 一个或多个子问题的合并而获得其解。
b[i]=1 for(j=i-1;j>0;j++)
b[j]=b[j]+b[j-1]; } return b[m]; }
3.3 动态规划法的基本步骤
例2 求解二项式系数 求解方法： 2 备忘录法：
•备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结 构相同，区别在于备忘录方法为每个解过的子问 题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子 问题的重复求解。