10存贮论
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存贮论(存储论,库存论)
1 2
(RT
Q1)2 R
C3)
Y 有两个变量T , Q ,利用多元函数求机制的方法求最小值。
C Q1
1 T
( C1Q1 R
RT Q1 R
C2 )
0
C T
1 T2
( Q12C1 2R
1 2
(RT
Q1)2 R
C2
C3 )
1 T
(C2 (RT
Q1))
0
得到：
T
2C3(C1 C2 ) C1C2 R
库存物资占用仓库面积而引起的一系列费 用，如货物的搬运费，仓库本身的固定资 产折旧，仓库维修费用，仓库及其设备的 租金，仓库的取暖、冷藏、照明等费用， 仓库管理人员等的工资、福利费用，仓库 的业务核算费用等。
库存管理中费用分类
2 订货费
它包括二项：一项是订货费用（固定费用 ）如采购人员的各种工资、旅差费、订购 合同、邮电费用等 ，它与订购次数有关， 与订购数量无关。
2.过高的存贮量占用了流动资金使资金周转困 难,降低了资金利用率;
3.过量存贮降低了材料或产品的质量,甚至于 产品过时,变质损坏.
存贮量不足会有什么后果:
1.由于原料不足可能会造成停工,停产等重大 经济损失; 2.因缺货失去销售机会,失去顾客;
3.用频繁订货的方法以补充短缺的物资,这将 增加订购费用.
的最大缺货量，并设单位时间缺货费用为 C3 ，则T1 为存储量为正的时间
周期， T2 为存储量为负的时间周期（缺货周期）。所以在一个周期内的
订货量仍为 Q1 RT1
与 模 型 (2.1) 的 推 导 类 似 ， 在 一 个 周 期 内 0 ~ T1 的 平 均 存 量 为
Q1 2
Ch10存储论
5000 0.5(月)
0.51000 2 5000 1000
制作与教学 广州大学松田学院 管理学系
高新国
10.1 确定型经济订货批量模型 Deterministic Inventory Model
Ch 10 存储论 Inventory Theory
2020年3月12日星期四 Page 14
已知： 单位时间的需求量D 生产速率P 一次生产准备成本A 单位货物获得成本C 单位时间内单位货物持有（储存）成本H 单位时间内单位货物的缺货成本B
求：最优存储策略。这里的最优存储策略就是求订货周期t，订 货批量Q及最大缺货量S各为多少，使单位时间的总成本最低。
制作与教学 广州大学松田学院 管理学系
(4) 由式(10-4)，一个月的总成本
f * 2HAD B P D HB P
2 0.5 401000 2 5000 1000 160(元) 0.5 2 5000
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高新国
10.1 确定型经济订货批量模型 Deterministic Inventory Model
（10-2）
Q* Dt* 2AD H B P
H
B PD
（10-3）
f * 2HAD B P D CD HB P
2A B
P
t3* HD H B P D
最大存储量
Q1＝(P D)t1
D(P D)t3 P
2 AD H
B H B
（10-4）
（10- 5）
企业从外部订货或自己生产，使物资存储增加，就是物资 的供应或称为输入，企业销售产品使存储减少就是物资的需求 或称为输出。
存贮论
Q* 2 Dc3 D (1 )c1 P
TC 2 Dc1c3 (1 D ) P
T*
Q* D
例：有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书 馆专用书架，基于以往的销售记录和市场预测，估计今年 一年的需求量为4900，存贮一个书架一年要花费1000元， 每年的生产能力为9800各，组织一次生产花费500元，应如 何组织生产？（假设工作日为250天） 解：D＝4900个/年；P＝9800个/年；c1=1000元/个年； c3=500元/次。
在经济生产批量模型中，它的总费用由存储费与生产准 备费构成。
存贮量
P-D
D
平均存贮量
t
不生产 时间T-t
时间t
最高存贮量为：(P-D)t
平均存贮量为：1/2(P-D)t
生产批量Q需时间t,故 t=Q/P。 单位时间存贮费1/2c1(P-D) Q/P= 1/2 (1-D/P) Qc1 单位时间生产准备费c3/(Q/D)=D c3/Q TC= 1/2 (1-D/P) Qc1+ D c3/Q d(TC)/d(Q)=0
0
时间t t1 t2 t3 t
4
S
T
t1为在周期T中存贮量增加的时期; t2为在周期T中存贮量减少的时期;
t3为在周期T中缺货量增加的时期;
t4为在周期T中缺货量减少的时期; 周期
T t1 t 2 t 3 t 4
t1每天存贮量为P-D
最大存贮量 V P D t1
t1 V PD
（2）允许缺货S，当存贮降为零时，可以等一段时间 进行订货，一个周期内缺货的时间为t2,不缺货的时间为t1, 单位缺货损失为c2。 (3)一次订货为Q。
Q-S
0 时间t
TC 2 Dc1c3 (1 D ) P
T*
Q* D
例：有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书 馆专用书架，基于以往的销售记录和市场预测，估计今年 一年的需求量为4900，存贮一个书架一年要花费1000元， 每年的生产能力为9800各，组织一次生产花费500元，应如 何组织生产？（假设工作日为250天） 解：D＝4900个/年；P＝9800个/年；c1=1000元/个年； c3=500元/次。
在经济生产批量模型中，它的总费用由存储费与生产准 备费构成。
存贮量
P-D
D
平均存贮量
t
不生产 时间T-t
时间t
最高存贮量为：(P-D)t
平均存贮量为：1/2(P-D)t
生产批量Q需时间t,故 t=Q/P。 单位时间存贮费1/2c1(P-D) Q/P= 1/2 (1-D/P) Qc1 单位时间生产准备费c3/(Q/D)=D c3/Q TC= 1/2 (1-D/P) Qc1+ D c3/Q d(TC)/d(Q)=0
0
时间t t1 t2 t3 t
4
S
T
t1为在周期T中存贮量增加的时期; t2为在周期T中存贮量减少的时期;
t3为在周期T中缺货量增加的时期;
t4为在周期T中缺货量减少的时期; 周期
T t1 t 2 t 3 t 4
t1每天存贮量为P-D
最大存贮量 V P D t1
t1 V PD
（2）允许缺货S，当存贮降为零时，可以等一段时间 进行订货，一个周期内缺货的时间为t2,不缺货的时间为t1, 单位缺货损失为c2。 (3)一次订货为Q。
Q-S
0 时间t
存贮论(数学建模)
⎧∂C(T ,t2 ) ⎪⎪ ∂T
=
0
⎨ ⎪
∂C
(T
,
t
2
)
=
0
⎪⎩ ∂t2
可得
（8）
T* =
2CD (CP + CS )
DCPCS
(1 −
D P
)
t2*
=
CP CP + CS
T
*
容易证明，此时的费用 C(T *,t2* ) 是费用函数 C(T ,t2 ) 的最小值。
因此，模型的最优存贮策略各参数值为：
记为 CD 。
（2）存贮费：所有用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关。
单位存贮费记为 CP 。
（3）短缺损失费：由于物品短缺所产生的一切损失费用，通常与损失物品的多少
和短缺时间的长短有关，记为 CS 。
3．存贮策略 所谓一个存贮策略，是指决定什么情况下对存贮进行补充，以及补充数量的多少。 下面是一些比较常见的存贮策略。
end 求得每个周期为 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生产，每次的生产量为 121 件，而且
缺货的时间有 3 天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为 40414.52 元。 可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定
时间的条件，即 CS → ∞ ， P → ∞ ，则模型二就是模型一。事实上，如将 CS → ∞ 和
C_P=1000;
P=9800;
C_D=500;
C_S=2000; T=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)))^0.5; !单位为年; TT=T*365; !单位为天;
Q=D*T; T_S=C_P*TT/(C_P+C_S); !求缺货时间; T_P=D*TT/P; ! 求生产周期; C=2*C_D/T; ! 求年总费用;
存贮论及其应用
存贮量变化情况如图1所示：
Q
Q 0
t
0
T
图1
由于货物会立即得到补充，不出现缺货，所以不考 虑缺货费用。 用总平均费用来衡量存贮策略的优劣：在需求确定 的情况下，每次订货量多，则订货次数可以减少， 从而减少了订购费。但是每次订货量多，会增加 存贮费用。 假定每隔时间补充一次存贮，那么订货量必须满足 时间的需求，记订货量为，，订购费为，货物单 价为，则订货费为；时间的平均订货费为，时间 内的平均存贮量为
存贮在各行各业的大大小小的系统的运行过程中， 是一个不可或缺的重要环节。尤其是随着物流管 理研究的兴起，存贮管理将扮演越来越重要的角 色。一个系统若无存贮物，会降低系统的效率， 但是存贮物品过多，不仅影响资金周转率，从而 降低经济效益，而且存贮活动本身也需耗费人、 财、物力，因而会提高存贮费用。因此，如何最 合理、最经济地解决好存贮问题是企业经济管理 中的大问题。存贮论为我们解决这个问题提供了 方法。 存贮论中研究的主要问题可以概括为：何时订货 （补充存贮），每次订多少货（补充多少库存） 这两个问题。
3 2 1
得
t
0
2C CR
3 1
(2) d C (t ) 因 dt 0 ，即每隔时间订货一次可使费用 C (t ) 达到 最小。 2C R 3 Q Rt 订货批量为 (3) 0 0 C
2 2
1
上式即为存贮论中著名的经济订购批量公式，简称 E.O.Q公式，也称平方根公式，或经济批量公式。 由于 Q0 、 t0皆与 K 无关，所以此后在费用函数中可略 去这项费用。如无特殊需要不再考虑此项费用， （1）式改写为
但是，存贮物资需要占用大量的资金，人力和物 力，有时甚至造成资源的严重浪费。此外，大量 的库存物资还会引起某些货物劣化变质，造成巨 大损失。那么，一个企业究竟应存放多少物资为 最适宜呢？这个问题很难笼统地给出准确的答案， 必须根据企业自身的实际情况和外部的经营环境 来决定。若能通过科学的存贮管理，建立一套控 制库存的有效方法，使物资存贮量减少到一个很 小的百分比，从而降低物资的库存水平，减少资 金的占用量，提高资源的利用率，这对一个企业 乃至一个国家来讲，所带来的经济效益无疑是十 分可观的。这正是现代存贮论所要研究的问题。
存贮论公式
模型1——经典的经济定货批量模型 (1)单位时间内总的平均费用C(t)=订货费用/存储时间+存储费用/存储空间311/2C t kR C Rt =++ (11-1) (2)最佳订货周期t *=(11-2) (3)最佳订货批量Q Rt **==(11-3) (4)最佳费用（略去C （t ）中的kR项）()min ()C C t C t **=== (11-4) 模型2——不允许缺货的生产批量模型(1)单位时间内总的平均费用21311()[()]2Rt C t C P R C t P=-+ (11-6) (2)最佳订货周期t *=(11-7) (3)最佳生产批量Q *=(11-8) (4)最佳生产时间;)(213**R P P C R C P Rt T -== （11.9）(5)最高存储量**S Q RT *=-=(11.10) (6)最小费用)(min )(**t C t C C === （11.11） 模型3—允许缺货的经济批量模型(1)单位时间内的总平均费用];2)(2[1),(32221C RS Rt C R S C t S t C +-+= (11.12) (2)最佳订货周期*t =（11.13） (3)最佳最初库存量*S =（11.14） (4)最佳订货批量*Q Rt *==（11.15）(5)在一个定货周期t*内的最大缺货量;)(221131**C C C C RC S Q +-- （11.16）(6)最小费用***min (,)(,)C C t S C t S === （11.17）模型4—允许缺货的生产批量模型 (1)单位时间内的系统总平均费用;])(2[)(21),(322212112tC t t C C t C t C P R P t t C +++--= （11.18）(2)最佳定货周期*t =(11.9) (3)最大缺货量*1B Rt ==（11.20）(4)最佳定货量;**222113**RP PC C C C R C Rt Q -+== （11.21） (5)最大存储量*S =（11.22） (6)最小费用*C = （11.23）。
运筹学课件——存储论
*
最大缺货量
C1R * B t C1 C2
*
平均总费用
C 2C3 t
*
*
存贮论
三、单周期的随机性存贮模型 在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已 知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一
个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量，
特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存
存贮论
三、存贮问题及其基本概念
存贮系统 是一个由补充、存贮、需求三个环节紧密构成的运行 系统。 存贮由于需求（输出）而减少，通过补充（输入）而增加， 其中心可视为仓库。
定购进货 输入
仓库 (库存量)
供给需求
输出
存贮论
需求: 由于需求，从存贮中取出一定数量的存货，使存贮 量减少，即存贮的输出。 需求类型：间断的, 连续的; 确定性的, 随机性的 Q Q
存贮费用越小 订货费用越大 存贮费用越大 订货费用越小
存贮论
研究目的： 1．补充存贮物资时，每次补充数量(Q)是多少？ 2．应该间隔多长时间( t )来补充这些存贮物资？ 使得总费用最少
存贮量 Q
存贮状态图
Q/2
0
t
t
t
时间 t
存贮论
采用t - 循环策略
2C3 t C1 R
*
2C3 R Q Rt C1
贮模型。典型的单周期存储模型是“报童问题”
（Newsboy Problem），它是由报童卖报演变而来的，
在存储论和供应链的研究中有广泛地应用。
存贮论
基本的订货策略
按决定是否订货的条件划分： 订购点订货法、定期订货法 按订货量的决定方法划分： 定量订货法、补充订货法
最大缺货量
C1R * B t C1 C2
*
平均总费用
C 2C3 t
*
*
存贮论
三、单周期的随机性存贮模型 在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已 知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一
个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量，
特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存
存贮论
三、存贮问题及其基本概念
存贮系统 是一个由补充、存贮、需求三个环节紧密构成的运行 系统。 存贮由于需求（输出）而减少，通过补充（输入）而增加， 其中心可视为仓库。
定购进货 输入
仓库 (库存量)
供给需求
输出
存贮论
需求: 由于需求，从存贮中取出一定数量的存货，使存贮 量减少，即存贮的输出。 需求类型：间断的, 连续的; 确定性的, 随机性的 Q Q
存贮费用越小 订货费用越大 存贮费用越大 订货费用越小
存贮论
研究目的： 1．补充存贮物资时，每次补充数量(Q)是多少？ 2．应该间隔多长时间( t )来补充这些存贮物资？ 使得总费用最少
存贮量 Q
存贮状态图
Q/2
0
t
t
t
时间 t
存贮论
采用t - 循环策略
2C3 t C1 R
*
2C3 R Q Rt C1
贮模型。典型的单周期存储模型是“报童问题”
（Newsboy Problem），它是由报童卖报演变而来的，
在存储论和供应链的研究中有广泛地应用。
存贮论
基本的订货策略
按决定是否订货的条件划分： 订购点订货法、定期订货法 按订货量的决定方法划分： 定量订货法、补充订货法
管理运筹学--存储论
1.3 存贮论的研究对象 • 何时订货——时间 • 每次订多少货——数量
1.4 存贮论的基本概念
1、需求：
即库存的输出（生产消耗、商业销售）。
需求量：单位时间的需求。
初始存 贮量
I Q I Q T时间后 的存贮量
T （1）连续式输出
T （2）间断式输出
2、补充订货：库存的输入。 控制两个主要因素：补充库存的时间。 每次补充的数量。
则有
D D D D C2 C2 C 2 C2
C1 C1 C1 C1
Q Q * Q Q*
Q
D 2C 2 C1
2 D(1 D )C 2 (1 C 2 ) C 1 (1 C 1 )
所以
Q Q * Q Q* (1 D )(1 C 2 ) 1 (1 C 1 )
B类物资品种占总物资品种数目的20%-30%,但其 年金额占全部物资年金额的20%左右.
C 类物资品种多 , 占总物资数目的 60%-70%. 但其年 金额小,只占全部物资年金额的10%-20%. 分类管理： 对A类物资：计算最经济的批量,尽可能缩减库存 量和与库存有关的费用,它的储备天数较少； 对C类物资：订货次数不能过多，可适当增大批量， 减少订购次数，其储备天数较长；
从订货费角度看，订货批量越大越好。 存贮费：一般指每存储单位物资单位时间所需花费 的费用。
存贮费率：每存储1元物资单位时间所支付的费用。
从存贮费角度看，订货批量越大越不好。
缺货损失费：一般是指由于中断供应影响生产造 成的损失赔偿费，包括生产停工待料，或者采取应急 措施而支付的额外费用，以及影响利润、信誉的损失 费等。
对B类物资：对一部分品种计算最经济的批量，对 另一部分品种实行一般性管理。
运筹学(存储论)
§2 经济生产批量模型
指不允许缺货，生产需要一定时间存 贮模型，也是确定型的存贮模型。
比较:
该模型也不允许缺货,到存储量为零时, 可以立即得到补充。所不同的是经济 订货批量模型全部订货同时到位，而 经济生产批量模型当存储量为零时开 始生产，单位时间的产量即生产率p也 是常量，生产的产品一部分满足当时 的需求，剩余部分作为存储，存储量 是以（p-d）的速度增加。
§2 经济订购批量存贮模型 周 需求（箱） 模型举例 1 3000
需求量的确定：
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 总计 平均每周
3080 2960 2950 2990 3000 3020 3000 2980 3030 3000 2990 36000 3000
模型举例
§2 经济订购批量存贮模型
存贮问题的基本要素：
需求率：指单位时间（年、月、日） 内对某种物品的需求量，用D表示。 它是存贮系统的输出。 订货批量：指一次订货中包含的某种 物资的数量。用Q表示。 订货间隔期：指两次订货之间的时间 间隔。用t表示。 订货提前期：从提出订货到收到货物 的时间间隔，用L表示。
与存贮有关的基本费用：
§2 经济订购批量存贮模型
模型举例
§2 经济订购批量存贮模型
一年的存贮费=C1×0.5Q=0.5QC1 本例中，一年的存贮费=6 ×0.5Q=3Q 一年的订货费=每次的订货费×每年订货次数 =C3 ×D/Q （其中D为每年的总需求量） 本例中， C3 =25， D=3000 ×52 一年的订货费 = 25 × （3000 ×52）/Q =3900000/Q 一年的总费用TC=一年存贮费+一年订货费 TC= 0.5QC1+ C3 ×D/Q 本例中，TC=3Q+3900000/Q
存贮论
8 存贮论(Inventory Theory)
[问题] 在单位时间内输出(需求)数量或其分布给定 的情况下,如何确定输入(外部订货或内部生 产)的周期和数量.
[内容与方法] 存贮系统的一般描述与分析目标; 确 定性静态存贮系统的假定与最优存贮策略; 有数量折扣的确定性静态存贮系统的最优存 贮策略; 简单随机性存贮系统的临界比值与 (s,S)策 略(两堆法).
8.2.2 存贮状态图 I(t)
S p-d -d
O
T
-q
Tp
nT=1 t
8.2.3 单位时间内的总成本
T (Q,q) cd g(Q,q)
g(Q, q) kd h( p d) Q p(b h) q2 hq
Q 2p
2( p d ) Q
Note:考虑到实行缺货预约,cd是单位时间内为 满足需求所必需的;g(Q,q)部分则与决策 者选取的策略有关,是优化的目标.
min TC cd min f f (Q*) cd 2kdh b p d bh p
8.2.4.2 瞬时补充、允许缺货(p+、b有限)存贮系统
Q* 2kd b h hb
T* Q* d
S* b Q* bh
Tp 0
q* h Q * bh
min TC cd min f f (Q*) cd 2kdh b bh
f (Q) kd hb( p d ) Q Q 2 p(b h)
df (Q) 0 dQ
Q 2kd b h p h b pd
Q Qk ,Qk1)
TC cid+f(Q)
Q
O
Qk
Q Qk+1
最优存贮策略(Optimal Inventory Policy)
[问题] 在单位时间内输出(需求)数量或其分布给定 的情况下,如何确定输入(外部订货或内部生 产)的周期和数量.
[内容与方法] 存贮系统的一般描述与分析目标; 确 定性静态存贮系统的假定与最优存贮策略; 有数量折扣的确定性静态存贮系统的最优存 贮策略; 简单随机性存贮系统的临界比值与 (s,S)策 略(两堆法).
8.2.2 存贮状态图 I(t)
S p-d -d
O
T
-q
Tp
nT=1 t
8.2.3 单位时间内的总成本
T (Q,q) cd g(Q,q)
g(Q, q) kd h( p d) Q p(b h) q2 hq
Q 2p
2( p d ) Q
Note:考虑到实行缺货预约,cd是单位时间内为 满足需求所必需的;g(Q,q)部分则与决策 者选取的策略有关,是优化的目标.
min TC cd min f f (Q*) cd 2kdh b p d bh p
8.2.4.2 瞬时补充、允许缺货(p+、b有限)存贮系统
Q* 2kd b h hb
T* Q* d
S* b Q* bh
Tp 0
q* h Q * bh
min TC cd min f f (Q*) cd 2kdh b bh
f (Q) kd hb( p d ) Q Q 2 p(b h)
df (Q) 0 dQ
Q 2kd b h p h b pd
Q Qk ,Qk1)
TC cid+f(Q)
Q
O
Qk
Q Qk+1
最优存贮策略(Optimal Inventory Policy)
第9章存贮论
S1*
2CDCS D(1 D / P) CP (CP CS )
S2*
2CDCP D(1 D / P) CS (CP CS )
19
模型二：一般的EOQ模型
生产时间： 不缺货时间： 缺货时间： 补充缺货时间：
t1*
t2 D PD
t
* 2
2CDCS (1 D / P) CP D(CP CS )
15
模型一：基本的EOQ模型 ——不允许缺货，补TC
用
TC*
Q*
每年存贮费用TCC
每年订购费用TOC
批量
Q
16
模型二：一般的EOQ模型
允许缺货经济生产批量模型
基本模型描述：库存降为零时，允许发生一定时间内的缺 货，并通过组织生产得到补充。产品一部分满足当时的需 求,剩余部分为库存。到货后以速率D消耗。
13
模型一：基本的EOQ模型 ——不允许缺货，补充时间极短
不允许缺货经济订货批量模型（Economic Ordering Quantity，EOQ）
基本模型描述：需求是连续的，库存降为零时，可以 立即得到补充。到货后以速率D消耗。
已知条件：物品每年需求率D，提前期为零。不允许 发生缺货。
发生费用：每次组织订货费用CD（元/次）存贮费用 CP（元/件.年）
10
存贮优化问题考虑的基本因素
需求率（D）：单位时间（年、月、日）内对某 种物品的需求量。是存贮系统的输出。可以是均 匀的、间断成批的、随机的。
订货批量（Q）：当订货采用以一定数量物品为 一批的方式时，一次订货中所包含某种物品的数 量。
订货间隔期（t）：指两次订货之间的时间间隔。 订货提前期（L）：从提出订货到收到货物的时
十二章 存贮论
斜率（ 斜率（-R） Q
t 12图 12-1
T
所以， 所以，t时间内的平均总费用 经济订购批量 c + kR + 1 Rt C(t)随 的变化而变化, C(t)= t C(t)随t的变化而变化,其 公式或称经济 2c 批量公式C*是 图象为12-2,可见当t=t*时， C(t*)= C*是 图象为12-2,可见当t=t*时 12 可见当t=t* C(t)的最小值 的最小值。 C(t)的最小值。
3 1
3 1
C C(t) C* C1Rt
得：t* = 2 cR c 2c 因此： 因此：Q* = Rt* = c C* = C(t*) =
1 3
3 1
R
2c c R +
kR
c3/t+kR
t*
T
由于存贮单价k和补充量Q无关， 由于存贮单价k和补充量Q无关， 它是一常数，因此，存贮总价kQ 它是一常数，因此，存贮总价kQ 和存贮策略的选择无关。 和存贮策略的选择无关。所以为 了分析和计算的方便， 了分析和计算的方便，在求费用 函数C(t) C(t)时 函数C(t)时，常将这一项费用略 去
第二节 确定型存贮模型 不允许缺货， 一、模型一 不允许缺货，补充时间极短 为了便于描述与分析，对模型作如下假设： 为了便于描述与分析，对模型作如下假设： 需求是连续均匀的，即需求速度（单位时间需求量） 需求是连续均匀的，即需求速度（单位时间需求量） 是常数； R是常数； 补充可以瞬时实现，即补充时间（ 补充可以瞬时实现，即补充时间（拖后时间和生产 时间）近似为零； 时间）近似为零； 单位存贮费（单位时间内单位存贮物的存贮费用） 单位存贮费（单位时间内单位存贮物的存贮费用） c1，由于不允许缺货，故单位缺货费（ 为c1，由于不允许缺货，故单位缺货费（单位时间 内每缺少一单位存贮物的损失）c2为无穷大 为无穷大， 内每缺少一单位存贮物的损失）c2为无穷大，订货 每订购一次的固定费用） c3货物 存贮物） 货物（ 费（每订购一次的固定费用）为c3货物（存贮物） 单价为k 单价为k
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与模型一相比，除允许缺货生产需一定外，其余同 模型一。
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存储量 Q=Dt
O S=(P－D)t2
时间
t2
t1 t
t3
图10－4
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取[0,t]为一个周期，在周期t内，t－t3时间内是缺货周期， t1+t2时间内是生产时间,生产量等于t 内的需求量，即 P(t1+t2)=Rt，在t1内的生产量等于t3内的需求量，即Pt1=Rt3， 故最高存储量为（P－R）t1，t内的平均存储量等于图10-4 中存量大于零对应三角形的面积（累计存量）除以t，即
11
C3 1 R C1 ( P R ) t t 2 P
Rt0 2C 3 R 最佳生产时间：t1 2014-6-19 P C1 P ( P R )
例3：某公司每年需要招聘新的工作人员60名（假定这60名 工作人员在一年内是均匀需要的）。被招聘的工作人员在 上岗之前需要办班集中培训，公司每年最多可以培训100 人。开设一次培训班的成本是1800元。每位应聘的工作人 员在培训期间及上岗之前的年薪是5400元。公司不愿意在 不需要时招聘并训练这些人员，公司如何制定一年的培训 计划，既保证不缺编而储备部分人员，又使得全年的总成 本最小。 C3＝1800， C1 ＝5400，得 【解】 已知：R＝60，P＝100，
19
• 令 C(t, t3 ) / t 0, C(t, t3 ) / t3 0
2C3 C1 C2 t0 C1 R C2 P PR
2C3 R C1 C2 Q0 Rt0 C1 C2
P PR
C2 PR C 2C1C3 R C1 C2 P
• 最大存储量 Q1＝( P R)t1 最大缺货量
III
注意到如果不考虑定义域，他们只差一个常数，求 导数为0，得不到最优解
• 缺货成本为
C2 ( P R)( C t t3 )t 2 2t
3
一次准备成本为 C3 储模型为
，则在单位时间内使总成本最小的存
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• 则[0,t]时间内总的平均成本为
C3 1 1 C (t , t1 , t2 , t3 ) C1 ( P R)t1t3 C2 ( P D)(t t3 )t2 2t 2t t
2 RC3 2 36500 10 Q0 632 C1 1.825
n R 36500 58 ▍ Q0 632
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Ex.浪潮集团需从市场购进一种电子元件，年购进量为4800 个 . 元件的单价为 40 元 / 个，单个元件的年保管费为单价的 25％.订购费为10元/次.设此种元件的生产供应能力无限， 浪潮集团不允许缺货.问：浪潮集团每年订货的最优批次是 多少？
存贮问题的三个过程：
进货，存贮，需求.
有关费用： 订购费：进一次货所需的固定费用，如差旅费，手续费等；
购进费：货物本身的价值及运费等，与进货量无关；
保管费：包括保险费，照明费，仓库租金，保养费等； 短缺费：因需求不能得到满足而造成的损失. 存贮费=订购费+购进费+保管费+短缺费
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3
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2C 3 R C1
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例1 某农机公司每年需向“潍柴”购买500台柴油机.订购费 为750元/次.每台柴油机的年保管费为12元.潍柴可随时供货， 农机公司不允许缺货.问：该农机公司每年订货的最优批次 应为多少？ 解：显然，此问题可归结为第一类存贮模型，
C3 750, R 500, C1 12
基本概念： 进货周期：两次进货之间的时间间隔；
批次：一年中进货的次数；
批量：每一个批次进货的数量. 两种进货方式： （1）货物以某种速度进入存贮. （2）货物整批进入存贮. 两种进货能力： （ 1 ）有限：以一定的速度购进货物，直到满足订货量为 止；（2）无限：一次性购进一定数量的货物.
2014-6-19 2
当需求量一定时，购进费是常数，不必考虑.
存贮费=订购费+保管费+短缺费
存贮论就是研究如何确定进货的批次和批量，使得 存贮费最小.
令 R : 单位时间货物需求量 C1 : 单位货物的单位时间保管费 C3 : 订购费
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4
• 第一类存贮模型（经济订购批量存贮模型） 假设： （1）进货能力无限； （2）不允许缺货，即短缺费为无穷大； （3）任一时刻的货物需求量是常数 （4）当货物的存贮量降为0时，可立即得到 存储量 补充. Q （5）单位存储费不变 用右图表示为：
Pt1 Rt3 R (t t3 ) Pt2 t , t , t 0 1 2 3
• 由上面的关系式，可以得到
C3 1 1 2 2 C (t , t3 ) C1 R( P R)t3 C2 R( P R )(t t3 ) 2 Pt 2 Pt t
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K1 , 0 Q Q1 K (Q) K 2 , Q1 Q Q2 K , Q Q 3 2
当订购量为Q时，一个周期内所需费用为
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1 Q C1Q C3 K (Q )Q 2 R
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• 当 当 当
1 Q Q [0, Q1 ), 有 C1Q C3 K1Q 2 R 1 Q Q [Q1 , Q2 ), 有 C1Q C3 K 2Q 2 R 1 Q Q [Q2 , ), 有 C1Q C3 K 3Q 2 R
则存储成本为
( P R )t1t3 2t
C1 ( P D)t1t3 2t
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在t－t3内，生产量等于需求量，即(t－t3)D=t2P，最大缺货量 为（P－D）t2，t内平均缺货量等于图10-1中存量小于零对 应三角形的面积（累计存量）除以t，即
( P R )(t t3 )t2 2t
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O
时 t
5
货物单价为K，则订货费为C3 KRt C3 平均订货费为 KR t 1 t 1 t时间内平均存储量为： RTdT Rt t 0 2 1 t时间内所需平均存储费用为 RtC1 2 C 1 t时间内总的平均费用为C(t)= 3 KR C1 Rt t 2 C3 1 dC (t ) 令 2 C1 R 0 dt t 2 2C3 得:t0 C1 R 订货批量：Q0 Rt0
R( P R)t3 2C3 R C2 P C1 C1 C2
P－R P
R( P R)(t t3 ) 2C1C3 R P－R S＝( P R)t2 P C2 (C1 C2 ) P
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• 例4：某机加工车间计划加工一种零件，这 种零件需要先在车床上加工，每月可加工 5000件，然后在铣床上加工，每月加工 1000件，组织一次车加工的准备成本为40 元，车加工后的在制品保管费为0.5元/月－ 件，如果铣加工生产间断，为了保证完成 任务，需组织铣加工加班生产，每件产品 增加成本2元。不计生产成本。 • 试求：（1）车加工的最优生产计划；（2） 车加工的在制品最大存储量；（3）铣加工 的最大缺货量；（4）一个月的总成本。
• 该公司的最优培训策略是：约2个月举办一次培训 班，全年共组织6次，每次招聘10人进行培训， 12 2014-6-19
模型三：瞬时供货，允许缺货的经济批量模型
• 此模型的特征是：供货速率无穷大，一次性供给订货量Q； 当存量降到零时，不一定非要立即补充，允许一段时间缺 货，但到货后应将缺货数量马上全部补齐，即缺货预约。 存储量变化见图10-3。最大存储量为S，最大缺货量为W， 订货量Q=S+W
C3 C1S 2 1 2 总的平均费用为C(t,S)= C2 ( Rt S ) t 2 Rt 2 Rt ) C (t , S ) 0, 0 S 2C3 (C1 C2 ) C1C2 R 2C2C 3 R 2014-6-19 C1 (C1 C2 )
量：S0
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• 注意模型1与模型三的比较。 • 模型四 允许缺货，生产需一定时间
则平均每单位货物费用为：
1 Q C3 Q [0, Q1 ), C (Q) C1 K1 2 R Q 1 Q C Q [Q1 , Q2 ), C II (Q) C1 3 K 2 2 R Q
I
1 Q C3 Q [Q2 , ), C (Q) C1 K3 2 R Q
2014-6一定时间 除生产需要一定时间外,其他条件同一
存储量 Q＝Rt＝Pt 1 (P－R) t 1
o
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t1
时间
t
图10-2
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1 t时间内平均存储量为： ( P R )t 2 1 t时间内所需平均存储费用为 ( P R )tC1 2 t时间内的所需装配费为C3 易知：（P R)t1 R (t t1 ) t时间内总的平均费用为C(t)= dC (t ) 令 0 dt 2C3 P 得:t0 C1 R( P R ) 订货批量：Q0 Rt0 2C 3 RP C1 ( P R )
存贮论
存储论也称库存论，是研究物资最优存储策略及存储控制的 理论。物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。例如， 军事部门将武器弹药存储起来，以备战时急用；在生产过程 中，工厂为了保证正常生产，不可避免地要存储一些原材料 和半成品，暂时不能销售时就会出现产品存储。又如商店存 储的商品，人们存储的食品和日常用品等等，都是物资存储 现象 任何工商企业，如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且 还占用仓储空间，增加保管费用。如果存储的物资是过时的或 陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少 企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫 停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。因而，寻求合理 的存储量和订货时间就显得十分重要。 由此提出什么时间供货（简称期的问题），每次供货多少（简 称量的问题）的存储控制策略问题。 2014-6-19 1
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存储量 Q=Dt
O S=(P－D)t2
时间
t2
t1 t
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取[0,t]为一个周期，在周期t内，t－t3时间内是缺货周期， t1+t2时间内是生产时间,生产量等于t 内的需求量，即 P(t1+t2)=Rt，在t1内的生产量等于t3内的需求量，即Pt1=Rt3， 故最高存储量为（P－R）t1，t内的平均存储量等于图10-4 中存量大于零对应三角形的面积（累计存量）除以t，即
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C3 1 R C1 ( P R ) t t 2 P
Rt0 2C 3 R 最佳生产时间：t1 2014-6-19 P C1 P ( P R )
例3：某公司每年需要招聘新的工作人员60名（假定这60名 工作人员在一年内是均匀需要的）。被招聘的工作人员在 上岗之前需要办班集中培训，公司每年最多可以培训100 人。开设一次培训班的成本是1800元。每位应聘的工作人 员在培训期间及上岗之前的年薪是5400元。公司不愿意在 不需要时招聘并训练这些人员，公司如何制定一年的培训 计划，既保证不缺编而储备部分人员，又使得全年的总成 本最小。 C3＝1800， C1 ＝5400，得 【解】 已知：R＝60，P＝100，
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• 令 C(t, t3 ) / t 0, C(t, t3 ) / t3 0
2C3 C1 C2 t0 C1 R C2 P PR
2C3 R C1 C2 Q0 Rt0 C1 C2
P PR
C2 PR C 2C1C3 R C1 C2 P
• 最大存储量 Q1＝( P R)t1 最大缺货量
III
注意到如果不考虑定义域，他们只差一个常数，求 导数为0，得不到最优解
• 缺货成本为
C2 ( P R)( C t t3 )t 2 2t
3
一次准备成本为 C3 储模型为
，则在单位时间内使总成本最小的存
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• 则[0,t]时间内总的平均成本为
C3 1 1 C (t , t1 , t2 , t3 ) C1 ( P R)t1t3 C2 ( P D)(t t3 )t2 2t 2t t
2 RC3 2 36500 10 Q0 632 C1 1.825
n R 36500 58 ▍ Q0 632
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Ex.浪潮集团需从市场购进一种电子元件，年购进量为4800 个 . 元件的单价为 40 元 / 个，单个元件的年保管费为单价的 25％.订购费为10元/次.设此种元件的生产供应能力无限， 浪潮集团不允许缺货.问：浪潮集团每年订货的最优批次是 多少？
存贮问题的三个过程：
进货，存贮，需求.
有关费用： 订购费：进一次货所需的固定费用，如差旅费，手续费等；
购进费：货物本身的价值及运费等，与进货量无关；
保管费：包括保险费，照明费，仓库租金，保养费等； 短缺费：因需求不能得到满足而造成的损失. 存贮费=订购费+购进费+保管费+短缺费
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2C 3 R C1
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例1 某农机公司每年需向“潍柴”购买500台柴油机.订购费 为750元/次.每台柴油机的年保管费为12元.潍柴可随时供货， 农机公司不允许缺货.问：该农机公司每年订货的最优批次 应为多少？ 解：显然，此问题可归结为第一类存贮模型，
C3 750, R 500, C1 12
基本概念： 进货周期：两次进货之间的时间间隔；
批次：一年中进货的次数；
批量：每一个批次进货的数量. 两种进货方式： （1）货物以某种速度进入存贮. （2）货物整批进入存贮. 两种进货能力： （ 1 ）有限：以一定的速度购进货物，直到满足订货量为 止；（2）无限：一次性购进一定数量的货物.
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当需求量一定时，购进费是常数，不必考虑.
存贮费=订购费+保管费+短缺费
存贮论就是研究如何确定进货的批次和批量，使得 存贮费最小.
令 R : 单位时间货物需求量 C1 : 单位货物的单位时间保管费 C3 : 订购费
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• 第一类存贮模型（经济订购批量存贮模型） 假设： （1）进货能力无限； （2）不允许缺货，即短缺费为无穷大； （3）任一时刻的货物需求量是常数 （4）当货物的存贮量降为0时，可立即得到 存储量 补充. Q （5）单位存储费不变 用右图表示为：
Pt1 Rt3 R (t t3 ) Pt2 t , t , t 0 1 2 3
• 由上面的关系式，可以得到
C3 1 1 2 2 C (t , t3 ) C1 R( P R)t3 C2 R( P R )(t t3 ) 2 Pt 2 Pt t
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K1 , 0 Q Q1 K (Q) K 2 , Q1 Q Q2 K , Q Q 3 2
当订购量为Q时，一个周期内所需费用为
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1 Q C1Q C3 K (Q )Q 2 R
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• 当 当 当
1 Q Q [0, Q1 ), 有 C1Q C3 K1Q 2 R 1 Q Q [Q1 , Q2 ), 有 C1Q C3 K 2Q 2 R 1 Q Q [Q2 , ), 有 C1Q C3 K 3Q 2 R
则存储成本为
( P R )t1t3 2t
C1 ( P D)t1t3 2t
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在t－t3内，生产量等于需求量，即(t－t3)D=t2P，最大缺货量 为（P－D）t2，t内平均缺货量等于图10-1中存量小于零对 应三角形的面积（累计存量）除以t，即
( P R )(t t3 )t2 2t
2014-6-19
O
时 t
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货物单价为K，则订货费为C3 KRt C3 平均订货费为 KR t 1 t 1 t时间内平均存储量为： RTdT Rt t 0 2 1 t时间内所需平均存储费用为 RtC1 2 C 1 t时间内总的平均费用为C(t)= 3 KR C1 Rt t 2 C3 1 dC (t ) 令 2 C1 R 0 dt t 2 2C3 得:t0 C1 R 订货批量：Q0 Rt0
R( P R)t3 2C3 R C2 P C1 C1 C2
P－R P
R( P R)(t t3 ) 2C1C3 R P－R S＝( P R)t2 P C2 (C1 C2 ) P
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• 例4：某机加工车间计划加工一种零件，这 种零件需要先在车床上加工，每月可加工 5000件，然后在铣床上加工，每月加工 1000件，组织一次车加工的准备成本为40 元，车加工后的在制品保管费为0.5元/月－ 件，如果铣加工生产间断，为了保证完成 任务，需组织铣加工加班生产，每件产品 增加成本2元。不计生产成本。 • 试求：（1）车加工的最优生产计划；（2） 车加工的在制品最大存储量；（3）铣加工 的最大缺货量；（4）一个月的总成本。
• 该公司的最优培训策略是：约2个月举办一次培训 班，全年共组织6次，每次招聘10人进行培训， 12 2014-6-19
模型三：瞬时供货，允许缺货的经济批量模型
• 此模型的特征是：供货速率无穷大，一次性供给订货量Q； 当存量降到零时，不一定非要立即补充，允许一段时间缺 货，但到货后应将缺货数量马上全部补齐，即缺货预约。 存储量变化见图10-3。最大存储量为S，最大缺货量为W， 订货量Q=S+W
C3 C1S 2 1 2 总的平均费用为C(t,S)= C2 ( Rt S ) t 2 Rt 2 Rt ) C (t , S ) 0, 0 S 2C3 (C1 C2 ) C1C2 R 2C2C 3 R 2014-6-19 C1 (C1 C2 )
量：S0
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• 注意模型1与模型三的比较。 • 模型四 允许缺货，生产需一定时间
则平均每单位货物费用为：
1 Q C3 Q [0, Q1 ), C (Q) C1 K1 2 R Q 1 Q C Q [Q1 , Q2 ), C II (Q) C1 3 K 2 2 R Q
I
1 Q C3 Q [Q2 , ), C (Q) C1 K3 2 R Q
2014-6一定时间 除生产需要一定时间外,其他条件同一
存储量 Q＝Rt＝Pt 1 (P－R) t 1
o
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t1
时间
t
图10-2
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1 t时间内平均存储量为： ( P R )t 2 1 t时间内所需平均存储费用为 ( P R )tC1 2 t时间内的所需装配费为C3 易知：（P R)t1 R (t t1 ) t时间内总的平均费用为C(t)= dC (t ) 令 0 dt 2C3 P 得:t0 C1 R( P R ) 订货批量：Q0 Rt0 2C 3 RP C1 ( P R )
存贮论
存储论也称库存论，是研究物资最优存储策略及存储控制的 理论。物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。例如， 军事部门将武器弹药存储起来，以备战时急用；在生产过程 中，工厂为了保证正常生产，不可避免地要存储一些原材料 和半成品，暂时不能销售时就会出现产品存储。又如商店存 储的商品，人们存储的食品和日常用品等等，都是物资存储 现象 任何工商企业，如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且 还占用仓储空间，增加保管费用。如果存储的物资是过时的或 陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少 企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫 停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。因而，寻求合理 的存储量和订货时间就显得十分重要。 由此提出什么时间供货（简称期的问题），每次供货多少（简 称量的问题）的存储控制策略问题。 2014-6-19 1