10存贮论
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2014-6-19
O
时 t
5
货物单价为K，则订货费为C3 KRt C3 平均订货费为 KR t 1 t 1 t时间内平均存储量为： RTdT Rt t 0 2 1 t时间内所需平均存储费用为 RtC1 2 C 1 t时间内总的平均费用为C(t)= 3 KR C1 Rt t 2 C3 1 dC (t ) 令 2 C1 R 0 dt t 2 2C3 得:t0 C1 R 订货批量：Q0 Rt0
当需求量一定时，购进费是常数，不必考虑.
存贮费=订购费+保管费+短缺费
存贮论就是研究如何确定进货的批次和批量，使得 存贮费最小.
令 R : 单位时间货物需求量 C1 : 单位货物的单位时间保管费 C3 : 订购费
2014-6-19
4
• 第一类存贮模型（经济订购批量存贮模型） 假设： （1）进货能力无限； （2）不允许缺货，即短缺费为无穷大； （3）任一时刻的货物需求量是常数 （4）当货物的存贮量降为0时，可立即得到 存储量 补充. Q （5）单位存储费不变 用右图表示为：
则存储成本为
( P R )t1t3 2t
C1 ( P D)t1t3 2t
2014-6-19
17
在t－t3内，生产量等于需求量，即(t－t3)D=t2P，最大缺货量 为（P－D）t2，t内平均缺货量等于图10-1中存量小于零对 应三角形的面积（累计存量）除以t，即
( P Biblioteka Baidu R )(t t3 )t2 2t
s
存储量
时间
O
W t2
2014-6-19
t
t1
图10—3
13
C2 , 最大存储量S可以满足t1时间内的需求，
1 内平均存储量为： S 2
1 1 时间内平均缺货量为 R(t t1 ), t时间所需平均缺货费用为 R (t t1 ) 2 C2 2 2 1 的所需存储费为 C1St1 2 Rt1
K1 , 0 Q Q1 K (Q) K 2 , Q1 Q Q2 K , Q Q 3 2
当订购量为Q时，一个周期内所需费用为
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1 Q C1Q C3 K (Q )Q 2 R
22
• 当 当 当
1 Q Q [0, Q1 ), 有 C1Q C3 K1Q 2 R 1 Q Q [Q1 , Q2 ), 有 C1Q C3 K 2Q 2 R 1 Q Q [Q2 , ), 有 C1Q C3 K 3Q 2 R
III
注意到如果不考虑定义域，他们只差一个常数，求 导数为0，得不到最优解
• 缺货成本为
C2 ( P R)( C t t3 )t 2 2t
3
一次准备成本为 C3 储模型为
，则在单位时间内使总成本最小的存
2014-6-19
18
• 则[0,t]时间内总的平均成本为
C3 1 1 C (t , t1 , t2 , t3 ) C1 ( P R)t1t3 C2 ( P D)(t t3 )t2 2t 2t t
Pt1 Rt3 R (t t3 ) Pt2 t , t , t 0 1 2 3
• 由上面的关系式，可以得到
C3 1 1 2 2 C (t , t3 ) C1 R( P R)t3 C2 R( P R )(t t3 ) 2 Pt 2 Pt t
2014-6-19
基本概念： 进货周期：两次进货之间的时间间隔；
批次：一年中进货的次数；
批量：每一个批次进货的数量. 两种进货方式： （1）货物以某种速度进入存贮. （2）货物整批进入存贮. 两种进货能力： （ 1 ）有限：以一定的速度购进货物，直到满足订货量为 止；（2）无限：一次性购进一定数量的货物.
2014-6-19 2
• 该公司的最优培训策略是：约2个月举办一次培训 班，全年共组织6次，每次招聘10人进行培训， 12 2014-6-19
模型三：瞬时供货，允许缺货的经济批量模型
• 此模型的特征是：供货速率无穷大，一次性供给订货量Q； 当存量降到零时，不一定非要立即补充，允许一段时间缺 货，但到货后应将缺货数量马上全部补齐，即缺货预约。 存储量变化见图10-3。最大存储量为S，最大缺货量为W， 订货量Q=S+W
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2C 3 R C1
6
例1 某农机公司每年需向“潍柴”购买500台柴油机.订购费 为750元/次.每台柴油机的年保管费为12元.潍柴可随时供货， 农机公司不允许缺货.问：该农机公司每年订货的最优批次 应为多少？ 解：显然，此问题可归结为第一类存贮模型，
C3 750, R 500, C1 12
11
C3 1 R C1 ( P R ) t t 2 P
Rt0 2C 3 R 最佳生产时间：t1 2014-6-19 P C1 P ( P R )
例3：某公司每年需要招聘新的工作人员60名（假定这60名 工作人员在一年内是均匀需要的）。被招聘的工作人员在 上岗之前需要办班集中培训，公司每年最多可以培训100 人。开设一次培训班的成本是1800元。每位应聘的工作人 员在培训期间及上岗之前的年薪是5400元。公司不愿意在 不需要时招聘并训练这些人员，公司如何制定一年的培训 计划，既保证不缺编而储备部分人员，又使得全年的总成 本最小。 C3＝1800， C1 ＝5400，得 【解】 已知：R＝60，P＝100，
与模型一相比，除允许缺货生产需一定外，其余同 模型一。
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存储量 Q=Dt
O S=(P－D)t2
时间
t2
t1 t
t3
图10－4
16
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取[0,t]为一个周期，在周期t内，t－t3时间内是缺货周期， t1+t2时间内是生产时间,生产量等于t 内的需求量，即 P(t1+t2)=Rt，在t1内的生产量等于t3内的需求量，即Pt1=Rt3， 故最高存储量为（P－R）t1，t内的平均存储量等于图10-4 中存量大于零对应三角形的面积（累计存量）除以t，即
2 RC3 2 36500 10 Q0 632 C1 1.825
n R 36500 58 ▍ Q0 632
8
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Ex.浪潮集团需从市场购进一种电子元件，年购进量为4800 个 . 元件的单价为 40 元 / 个，单个元件的年保管费为单价的 25％.订购费为10元/次.设此种元件的生产供应能力无限， 浪潮集团不允许缺货.问：浪潮集团每年订货的最优批次是 多少？
C3 C1S 2 1 2 总的平均费用为C(t,S)= C2 ( Rt S ) t 2 Rt 2 Rt ) C (t , S ) 0, 0 S 2C3 (C1 C2 ) C1C2 R 2C2C 3 R 2014-6-19 C1 (C1 C2 )
量：S0
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• 注意模型1与模型三的比较。 • 模型四 允许缺货，生产需一定时间
存贮论
存储论也称库存论，是研究物资最优存储策略及存储控制的 理论。物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。例如， 军事部门将武器弹药存储起来，以备战时急用；在生产过程 中，工厂为了保证正常生产，不可避免地要存储一些原材料 和半成品，暂时不能销售时就会出现产品存储。又如商店存 储的商品，人们存储的食品和日常用品等等，都是物资存储 现象 任何工商企业，如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且 还占用仓储空间，增加保管费用。如果存储的物资是过时的或 陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少 企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫 停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。因而，寻求合理 的存储量和订货时间就显得十分重要。 由此提出什么时间供货（简称期的问题），每次供货多少（简 称量的问题）的存储控制策略问题。 2014-6-19 1
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• 模型二： 不允许缺货，生产需一定时间 除生产需要一定时间外,其他条件同一
存储量 Q＝Rt＝Pt 1 (P－R) t 1
o
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t1
时间
t
图10-2
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1 t时间内平均存储量为： ( P R )t 2 1 t时间内所需平均存储费用为 ( P R )tC1 2 t时间内的所需装配费为C3 易知：（P R)t1 R (t t1 ) t时间内总的平均费用为C(t)= dC (t ) 令 0 dt 2C3 P 得:t0 C1 R( P R ) 订货批量：Q0 Rt0 2C 3 RP C1 ( P R )
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• 模型五 价格有折扣的存储问题
规定凡是每批购买数量达到一定范围时，就可以享受价格上 的优惠，这种价格上的优惠叫做批量折扣。 有批量折扣时，对顾客来说有利有弊。一方面可以从中得到 折扣收益，订货批量大，可以减少订货次数，节省订货费 用；另一方面会造成物资积压，占用流动资金和增加存储 费用。是否选择有折扣的批量或选择何种折扣，仍然是选 择总费用最小的方案。考虑除货物单价订购数量变化外， 其余同模型一。 假设货物单价为K(Q),不妨设有三个数量等级为
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• 令 C(t, t3 ) / t 0, C(t, t3 ) / t3 0
2C3 C1 C2 t0 C1 R C2 P PR
2C3 R C1 C2 Q0 Rt0 C1 C2
P PR
C2 PR C 2C1C3 R C1 C2 P
• 最大存储量 Q1＝( P R)t1 最大缺货量
存贮问题的三个过程：
进货，存贮，需求.
有关费用： 订购费：进一次货所需的固定费用，如差旅费，手续费等；
购进费：货物本身的价值及运费等，与进货量无关；
保管费：包括保险费，照明费，仓库租金，保养费等； 短缺费：因需求不能得到满足而造成的损失. 存贮费=订购费+购进费+保管费+短缺费
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3
Q0 2C3 R P 2 1800 60 100 10(人） C1 PR 5400 (100 60)
f * 2C1C3 R
PR 2 5400 1800 60 (100 60) 21600(元) P 100
t0
Q0 10 0.1667(年） 61(天) R 60
R( P R)t3 2C3 R C2 P C1 C1 C2
P－R P
R( P R)(t t3 ) 2C1C3 R P－R S＝( P R)t2 P C2 (C1 C2 ) P
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• 例4：某机加工车间计划加工一种零件，这 种零件需要先在车床上加工，每月可加工 5000件，然后在铣床上加工，每月加工 1000件，组织一次车加工的准备成本为40 元，车加工后的在制品保管费为0.5元/月－ 件，如果铣加工生产间断，为了保证完成 任务，需组织铣加工加班生产，每件产品 增加成本2元。不计生产成本。 • 试求：（1）车加工的最优生产计划；（2） 车加工的在制品最大存储量；（3）铣加工 的最大缺货量；（4）一个月的总成本。
由经济订购批量公式，
2 RC3 2 500 750 Q0 250 C1 12
故最优批次为
R 500 n 2 ▍ Q0 250
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例2 某文具店出售一种中性笔，其单价为5元，每支日保管 费为单价的0.1％.订购费为10元/次.市场对该中性笔的日需 求量为100支.生产该中性笔的厂家的生产能力无限，文具店 不允许缺货.问：该文具店每年应分几批进货，才能使得一 年的存贮费最少？（一年按365天计） 解： R 100 365 36500, C1 5 0.1% 365 1.825, C3 10.
则平均每单位货物费用为：
1 Q C3 Q [0, Q1 ), C (Q) C1 K1 2 R Q 1 Q C Q [Q1 , Q2 ), C II (Q) C1 3 K 2 2 R Q
I
1 Q C3 Q [Q2 , ), C (Q) C1 K3 2 R Q
O
时 t
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货物单价为K，则订货费为C3 KRt C3 平均订货费为 KR t 1 t 1 t时间内平均存储量为： RTdT Rt t 0 2 1 t时间内所需平均存储费用为 RtC1 2 C 1 t时间内总的平均费用为C(t)= 3 KR C1 Rt t 2 C3 1 dC (t ) 令 2 C1 R 0 dt t 2 2C3 得:t0 C1 R 订货批量：Q0 Rt0
当需求量一定时，购进费是常数，不必考虑.
存贮费=订购费+保管费+短缺费
存贮论就是研究如何确定进货的批次和批量，使得 存贮费最小.
令 R : 单位时间货物需求量 C1 : 单位货物的单位时间保管费 C3 : 订购费
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4
• 第一类存贮模型（经济订购批量存贮模型） 假设： （1）进货能力无限； （2）不允许缺货，即短缺费为无穷大； （3）任一时刻的货物需求量是常数 （4）当货物的存贮量降为0时，可立即得到 存储量 补充. Q （5）单位存储费不变 用右图表示为：
则存储成本为
( P R )t1t3 2t
C1 ( P D)t1t3 2t
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在t－t3内，生产量等于需求量，即(t－t3)D=t2P，最大缺货量 为（P－D）t2，t内平均缺货量等于图10-1中存量小于零对 应三角形的面积（累计存量）除以t，即
( P Biblioteka Baidu R )(t t3 )t2 2t
s
存储量
时间
O
W t2
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t
t1
图10—3
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C2 , 最大存储量S可以满足t1时间内的需求，
1 内平均存储量为： S 2
1 1 时间内平均缺货量为 R(t t1 ), t时间所需平均缺货费用为 R (t t1 ) 2 C2 2 2 1 的所需存储费为 C1St1 2 Rt1
K1 , 0 Q Q1 K (Q) K 2 , Q1 Q Q2 K , Q Q 3 2
当订购量为Q时，一个周期内所需费用为
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1 Q C1Q C3 K (Q )Q 2 R
22
• 当 当 当
1 Q Q [0, Q1 ), 有 C1Q C3 K1Q 2 R 1 Q Q [Q1 , Q2 ), 有 C1Q C3 K 2Q 2 R 1 Q Q [Q2 , ), 有 C1Q C3 K 3Q 2 R
III
注意到如果不考虑定义域，他们只差一个常数，求 导数为0，得不到最优解
• 缺货成本为
C2 ( P R)( C t t3 )t 2 2t
3
一次准备成本为 C3 储模型为
，则在单位时间内使总成本最小的存
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• 则[0,t]时间内总的平均成本为
C3 1 1 C (t , t1 , t2 , t3 ) C1 ( P R)t1t3 C2 ( P D)(t t3 )t2 2t 2t t
Pt1 Rt3 R (t t3 ) Pt2 t , t , t 0 1 2 3
• 由上面的关系式，可以得到
C3 1 1 2 2 C (t , t3 ) C1 R( P R)t3 C2 R( P R )(t t3 ) 2 Pt 2 Pt t
2014-6-19
基本概念： 进货周期：两次进货之间的时间间隔；
批次：一年中进货的次数；
批量：每一个批次进货的数量. 两种进货方式： （1）货物以某种速度进入存贮. （2）货物整批进入存贮. 两种进货能力： （ 1 ）有限：以一定的速度购进货物，直到满足订货量为 止；（2）无限：一次性购进一定数量的货物.
2014-6-19 2
• 该公司的最优培训策略是：约2个月举办一次培训 班，全年共组织6次，每次招聘10人进行培训， 12 2014-6-19
模型三：瞬时供货，允许缺货的经济批量模型
• 此模型的特征是：供货速率无穷大，一次性供给订货量Q； 当存量降到零时，不一定非要立即补充，允许一段时间缺 货，但到货后应将缺货数量马上全部补齐，即缺货预约。 存储量变化见图10-3。最大存储量为S，最大缺货量为W， 订货量Q=S+W
2014-6-19
2C 3 R C1
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例1 某农机公司每年需向“潍柴”购买500台柴油机.订购费 为750元/次.每台柴油机的年保管费为12元.潍柴可随时供货， 农机公司不允许缺货.问：该农机公司每年订货的最优批次 应为多少？ 解：显然，此问题可归结为第一类存贮模型，
C3 750, R 500, C1 12
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C3 1 R C1 ( P R ) t t 2 P
Rt0 2C 3 R 最佳生产时间：t1 2014-6-19 P C1 P ( P R )
例3：某公司每年需要招聘新的工作人员60名（假定这60名 工作人员在一年内是均匀需要的）。被招聘的工作人员在 上岗之前需要办班集中培训，公司每年最多可以培训100 人。开设一次培训班的成本是1800元。每位应聘的工作人 员在培训期间及上岗之前的年薪是5400元。公司不愿意在 不需要时招聘并训练这些人员，公司如何制定一年的培训 计划，既保证不缺编而储备部分人员，又使得全年的总成 本最小。 C3＝1800， C1 ＝5400，得 【解】 已知：R＝60，P＝100，
与模型一相比，除允许缺货生产需一定外，其余同 模型一。
2014-6-19
15
存储量 Q=Dt
O S=(P－D)t2
时间
t2
t1 t
t3
图10－4
16
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取[0,t]为一个周期，在周期t内，t－t3时间内是缺货周期， t1+t2时间内是生产时间,生产量等于t 内的需求量，即 P(t1+t2)=Rt，在t1内的生产量等于t3内的需求量，即Pt1=Rt3， 故最高存储量为（P－R）t1，t内的平均存储量等于图10-4 中存量大于零对应三角形的面积（累计存量）除以t，即
2 RC3 2 36500 10 Q0 632 C1 1.825
n R 36500 58 ▍ Q0 632
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Ex.浪潮集团需从市场购进一种电子元件，年购进量为4800 个 . 元件的单价为 40 元 / 个，单个元件的年保管费为单价的 25％.订购费为10元/次.设此种元件的生产供应能力无限， 浪潮集团不允许缺货.问：浪潮集团每年订货的最优批次是 多少？
C3 C1S 2 1 2 总的平均费用为C(t,S)= C2 ( Rt S ) t 2 Rt 2 Rt ) C (t , S ) 0, 0 S 2C3 (C1 C2 ) C1C2 R 2C2C 3 R 2014-6-19 C1 (C1 C2 )
量：S0
14
• 注意模型1与模型三的比较。 • 模型四 允许缺货，生产需一定时间
存贮论
存储论也称库存论，是研究物资最优存储策略及存储控制的 理论。物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。例如， 军事部门将武器弹药存储起来，以备战时急用；在生产过程 中，工厂为了保证正常生产，不可避免地要存储一些原材料 和半成品，暂时不能销售时就会出现产品存储。又如商店存 储的商品，人们存储的食品和日常用品等等，都是物资存储 现象 任何工商企业，如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且 还占用仓储空间，增加保管费用。如果存储的物资是过时的或 陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少 企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫 停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。因而，寻求合理 的存储量和订货时间就显得十分重要。 由此提出什么时间供货（简称期的问题），每次供货多少（简 称量的问题）的存储控制策略问题。 2014-6-19 1
2014-6-19
9
• 模型二： 不允许缺货，生产需一定时间 除生产需要一定时间外,其他条件同一
存储量 Q＝Rt＝Pt 1 (P－R) t 1
o
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t1
时间
t
图10-2
10
1 t时间内平均存储量为： ( P R )t 2 1 t时间内所需平均存储费用为 ( P R )tC1 2 t时间内的所需装配费为C3 易知：（P R)t1 R (t t1 ) t时间内总的平均费用为C(t)= dC (t ) 令 0 dt 2C3 P 得:t0 C1 R( P R ) 订货批量：Q0 Rt0 2C 3 RP C1 ( P R )
2014-6-19 21
• 模型五 价格有折扣的存储问题
规定凡是每批购买数量达到一定范围时，就可以享受价格上 的优惠，这种价格上的优惠叫做批量折扣。 有批量折扣时，对顾客来说有利有弊。一方面可以从中得到 折扣收益，订货批量大，可以减少订货次数，节省订货费 用；另一方面会造成物资积压，占用流动资金和增加存储 费用。是否选择有折扣的批量或选择何种折扣，仍然是选 择总费用最小的方案。考虑除货物单价订购数量变化外， 其余同模型一。 假设货物单价为K(Q),不妨设有三个数量等级为
19
• 令 C(t, t3 ) / t 0, C(t, t3 ) / t3 0
2C3 C1 C2 t0 C1 R C2 P PR
2C3 R C1 C2 Q0 Rt0 C1 C2
P PR
C2 PR C 2C1C3 R C1 C2 P
• 最大存储量 Q1＝( P R)t1 最大缺货量
存贮问题的三个过程：
进货，存贮，需求.
有关费用： 订购费：进一次货所需的固定费用，如差旅费，手续费等；
购进费：货物本身的价值及运费等，与进货量无关；
保管费：包括保险费，照明费，仓库租金，保养费等； 短缺费：因需求不能得到满足而造成的损失. 存贮费=订购费+购进费+保管费+短缺费
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Q0 2C3 R P 2 1800 60 100 10(人） C1 PR 5400 (100 60)
f * 2C1C3 R
PR 2 5400 1800 60 (100 60) 21600(元) P 100
t0
Q0 10 0.1667(年） 61(天) R 60
R( P R)t3 2C3 R C2 P C1 C1 C2
P－R P
R( P R)(t t3 ) 2C1C3 R P－R S＝( P R)t2 P C2 (C1 C2 ) P
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• 例4：某机加工车间计划加工一种零件，这 种零件需要先在车床上加工，每月可加工 5000件，然后在铣床上加工，每月加工 1000件，组织一次车加工的准备成本为40 元，车加工后的在制品保管费为0.5元/月－ 件，如果铣加工生产间断，为了保证完成 任务，需组织铣加工加班生产，每件产品 增加成本2元。不计生产成本。 • 试求：（1）车加工的最优生产计划；（2） 车加工的在制品最大存储量；（3）铣加工 的最大缺货量；（4）一个月的总成本。
由经济订购批量公式，
2 RC3 2 500 750 Q0 250 C1 12
故最优批次为
R 500 n 2 ▍ Q0 250
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例2 某文具店出售一种中性笔，其单价为5元，每支日保管 费为单价的0.1％.订购费为10元/次.市场对该中性笔的日需 求量为100支.生产该中性笔的厂家的生产能力无限，文具店 不允许缺货.问：该文具店每年应分几批进货，才能使得一 年的存贮费最少？（一年按365天计） 解： R 100 365 36500, C1 5 0.1% 365 1.825, C3 10.
则平均每单位货物费用为：
1 Q C3 Q [0, Q1 ), C (Q) C1 K1 2 R Q 1 Q C Q [Q1 , Q2 ), C II (Q) C1 3 K 2 2 R Q
I
1 Q C3 Q [Q2 , ), C (Q) C1 K3 2 R Q