第五章第六章汇总资料
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的稳定性.就是说当n很大时，事件发生的频率 nA n
与概率几乎相等，两者发生偏差的可能性很小。
在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以 用事件发生的频率来代替事件的概率.
3.辛钦大数定律
定理 1.3 设随机变量 X1, X 2 , , X n , 相互独立同分布，
如果 EX i ， i 1, 2, ，则对任意的 0 ，有
12
例 2.2 设 X ~ B(100,0.64) ，求 P{52 X 160}.
13
例 2.3 设 X1, X 2 , X 32 独立同服从参数为 2 的指数分布，记 X X1 X 2 X 32 ， a P{X 16}, b P{X 12}, 则 有
（）
（A）a<b （C）a=b
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 大数定律
1.相关概念
（了解）
定义 1.1 设有随机变量序列 Y1,Y2 ,,Yn , ，如果存
在常数 a ，使得对任意的 0 ，有
lim
n
P{|
Yn
a
|
}
1,
P
就称序列
P
{Yn }
依概率收敛于
a
，
记为
lim
n
Yn
a
或
Yn a.
通俗地说，当 n 时，Yn 几乎变成一个常数。
n
近似
Tn Xi ~ N (50n, 25n) ．
i 1
由题意知，不超载的概率
P{Tn
5000}
P
Tn 50n 5n
5000 5
50n
n
(1000 10n) 0.977 (2) ． n
由此可见，1000 10n 2 ，从而n 98.0199，即最多
n
可以装 98 箱． 16
数理统计
17
数理统计是一门研究带有随机影响数据的学科， 是数学中的一个重要分支．它是在一般统计所进行的 数据整理的基础上，用概率论知识科学地加工，提炼， 并作出判断的一门数学学科。其主要是的思想方法是 用局部推断整体。
用数理统计方法去解决一个实际问题时，一般有 如下几个步骤：建立数学模型，收集整理数据，进行 统计推断、预测和决策。
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n
EX i
i 1
1
．
4
2.贝努里大数定律
定理 1.2 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任
意的 0 ，有
lim P n
nA n
p
1
，
即
lim
nA
P
p
．
n n
5
关于贝努里大数定律的说明: 贝努里定理以严格的数学形式表达了频率
，
n 1, 2, ． Yn 的分布函数记作 FYn (x) ，则有
lim
n
FYn
(
x)
(
x)
1
2
x
t2
e2
dt
，
x
(,
)
．
9
【注 1】定理 2.1 称为列维—林德伯格中心极限定理， 也称为独立同分布随机变量序列的中心极限定理．
【注 2】由定理 2.1 表明，当 n 充分大时， FYn (x) (x) ，
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1
，即
lim
n
1 n
n i 1
Xi
P
．
7
§2 中心极限定理
问题的引入
实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差.
这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、 风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们 中每一个对总和产生的影响不大.
统计推断包括参数估计和假设检验两类基本问
题．
18
第六章 数理统计的基础知识
§1 样本与统计量
19
一、总体和样本
定义 1.1 将研究问题中，所有被考察对象的全体
（B）a>b （D）a+b<1
14
例 2.4 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机
的． 假设每箱平均重 50 千克，标准差为5 千克．若用最大 载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车 最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977 ．
15
续解 根据列维-林德伯格中心极限定理，知总重量
近似
即得Yn ~ N (0,1) ，从而有
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 ) ．
i 1
1
n
n i 1
Xi
近似
~
N
(
,
2
)
nபைடு நூலகம்
【注
3】特别地，当
n
30
时，其误差可以忽略不计． 10
例 2.1 设随机变量 X1 , X 2 , , X 48 相互独立，且 Xi ~ U (0, 2), i 1, 2, , 48．
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
1.
P
即X 注：为EX
切比雪夫大数定律
设随机变量 X1, X 2 , , X n , 两两不相关，每个 X i 均有有
限的数学期望 EX i 和有限的方差 DX i ，且存在常数 c ，使
得 DXi c ，i 1, 2, ，则对任意的 0 ，有
lim
【注 1】定理 2.2 称为棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，也称 为二项分布以正态分布为极限分布的中心极限定理．定理 2.2 为定理 2.1 的特例．
【注 2】定理 2.2 的应用：若 X ~ B(n, p) ，则当n 充分大时，有
近似
X ~ N(np, np(1 p)) ．（主要结论）
同样，当 n 30 时，其误差可以忽略不计．
48
记 X X i ，则利用中心极限定理计算 P{X 50}． i 1
11
2.棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
定理 2.2 设随机变量 X n ~ B(n, p) ，n 1, 2, ，则
lim
P
X n np
x (x)
1
x t2
e 2 dt ， x R ．
n np(1 p)
2
2
2.基本定理
定理1.1（切比雪夫定理的特殊情况）
设随机变量 X1, X2 ,, Xn , 相互独立,
且具有相同的数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( Xk ) 2 (k 1, 2,), 作前 n 个随机变量
的算术平均
数 有
X
1n n k1
Xk,
则对于任意正
lim P{|
n
X
| }
问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.
1.列维—林德伯格中心极限定理
定理 2.1 设随机变量序列 X1, X 2 , , X n , 独立同分布，且
EX i ， DX i 2 0 ， i 1, 2,
n
Xi n
． 令 Yn i1 n
与概率几乎相等，两者发生偏差的可能性很小。
在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以 用事件发生的频率来代替事件的概率.
3.辛钦大数定律
定理 1.3 设随机变量 X1, X 2 , , X n , 相互独立同分布，
如果 EX i ， i 1, 2, ，则对任意的 0 ，有
12
例 2.2 设 X ~ B(100,0.64) ，求 P{52 X 160}.
13
例 2.3 设 X1, X 2 , X 32 独立同服从参数为 2 的指数分布，记 X X1 X 2 X 32 ， a P{X 16}, b P{X 12}, 则 有
（）
（A）a<b （C）a=b
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 大数定律
1.相关概念
（了解）
定义 1.1 设有随机变量序列 Y1,Y2 ,,Yn , ，如果存
在常数 a ，使得对任意的 0 ，有
lim
n
P{|
Yn
a
|
}
1,
P
就称序列
P
{Yn }
依概率收敛于
a
，
记为
lim
n
Yn
a
或
Yn a.
通俗地说，当 n 时，Yn 几乎变成一个常数。
n
近似
Tn Xi ~ N (50n, 25n) ．
i 1
由题意知，不超载的概率
P{Tn
5000}
P
Tn 50n 5n
5000 5
50n
n
(1000 10n) 0.977 (2) ． n
由此可见，1000 10n 2 ，从而n 98.0199，即最多
n
可以装 98 箱． 16
数理统计
17
数理统计是一门研究带有随机影响数据的学科， 是数学中的一个重要分支．它是在一般统计所进行的 数据整理的基础上，用概率论知识科学地加工，提炼， 并作出判断的一门数学学科。其主要是的思想方法是 用局部推断整体。
用数理统计方法去解决一个实际问题时，一般有 如下几个步骤：建立数学模型，收集整理数据，进行 统计推断、预测和决策。
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n
EX i
i 1
1
．
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2.贝努里大数定律
定理 1.2 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对任
意的 0 ，有
lim P n
nA n
p
1
，
即
lim
nA
P
p
．
n n
5
关于贝努里大数定律的说明: 贝努里定理以严格的数学形式表达了频率
，
n 1, 2, ． Yn 的分布函数记作 FYn (x) ，则有
lim
n
FYn
(
x)
(
x)
1
2
x
t2
e2
dt
，
x
(,
)
．
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【注 1】定理 2.1 称为列维—林德伯格中心极限定理， 也称为独立同分布随机变量序列的中心极限定理．
【注 2】由定理 2.1 表明，当 n 充分大时， FYn (x) (x) ，
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1
，即
lim
n
1 n
n i 1
Xi
P
．
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§2 中心极限定理
问题的引入
实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差.
这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、 风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们 中每一个对总和产生的影响不大.
统计推断包括参数估计和假设检验两类基本问
题．
18
第六章 数理统计的基础知识
§1 样本与统计量
19
一、总体和样本
定义 1.1 将研究问题中，所有被考察对象的全体
（B）a>b （D）a+b<1
14
例 2.4 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机
的． 假设每箱平均重 50 千克，标准差为5 千克．若用最大 载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车 最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0.977 ．
15
续解 根据列维-林德伯格中心极限定理，知总重量
近似
即得Yn ~ N (0,1) ，从而有
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 ) ．
i 1
1
n
n i 1
Xi
近似
~
N
(
,
2
)
nபைடு நூலகம்
【注
3】特别地，当
n
30
时，其误差可以忽略不计． 10
例 2.1 设随机变量 X1 , X 2 , , X 48 相互独立，且 Xi ~ U (0, 2), i 1, 2, , 48．
lim
n
P
1 n
n k 1
X
k
1.
P
即X 注：为EX
切比雪夫大数定律
设随机变量 X1, X 2 , , X n , 两两不相关，每个 X i 均有有
限的数学期望 EX i 和有限的方差 DX i ，且存在常数 c ，使
得 DXi c ，i 1, 2, ，则对任意的 0 ，有
lim
【注 1】定理 2.2 称为棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，也称 为二项分布以正态分布为极限分布的中心极限定理．定理 2.2 为定理 2.1 的特例．
【注 2】定理 2.2 的应用：若 X ~ B(n, p) ，则当n 充分大时，有
近似
X ~ N(np, np(1 p)) ．（主要结论）
同样，当 n 30 时，其误差可以忽略不计．
48
记 X X i ，则利用中心极限定理计算 P{X 50}． i 1
11
2.棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
定理 2.2 设随机变量 X n ~ B(n, p) ，n 1, 2, ，则
lim
P
X n np
x (x)
1
x t2
e 2 dt ， x R ．
n np(1 p)
2
2
2.基本定理
定理1.1（切比雪夫定理的特殊情况）
设随机变量 X1, X2 ,, Xn , 相互独立,
且具有相同的数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( Xk ) 2 (k 1, 2,), 作前 n 个随机变量
的算术平均
数 有
X
1n n k1
Xk,
则对于任意正
lim P{|
n
X
| }
问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况.
1.列维—林德伯格中心极限定理
定理 2.1 设随机变量序列 X1, X 2 , , X n , 独立同分布，且
EX i ， DX i 2 0 ， i 1, 2,
n
Xi n
． 令 Yn i1 n