函数奇偶性与单调性的综合应用 专题

函数奇偶性与单调性的综合应用专题

【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】

教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；.

2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质；

3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质.

【复习旧识】

1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？

2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？

3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？

【新课讲解】

一、常考题型

1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小；

2.当题目中出现“2

121)()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性；

3.证明或判断某一函数的单调性；

4.证明或判断某一函数的奇偶性；

5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）；

6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围.

二、常用解题方法

1.画简图（草图），利用数形结合；

2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化；

3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论.

三、误区

1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关；

2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称；

3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”；

4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异；

5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制.

四、函数单调性证明的步骤：

（1）根据题意在区间上设；

（2）比较大小；

（3）下结论.

函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域；

（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；

（3）下结论.

【典型例题】

例1设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)31(log 2f ，b ＝)2

1(log 3f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞

C ．b a c ＞＞

D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质.

【解析】 因为log)

0

所以log)

所以f (log))

因为f (x )是偶函数，所以

a ＝)3

1(log 2f ＝f (－log))＝f (log))， b ＝)2

1(log 3f ＝f (－log))＝f (l og))， c ＝)2(-f ＝f (2)．所以b a c ＞＞.

【答案】 C

例2（2014?成都一模）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，

m+n≠0时有＞0．

（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式：f（x+）＜f（）；

（3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

【考点】函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问题．

【解析】解：（1）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则

f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=

∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，

由已知＞0，又x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣1，1]上为增函数；

（2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数，

故有

（3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数，

且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1．

所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

即要t2﹣2at+1≥1成立，故t2﹣2at≥0成立．

即g（a）=t2﹣2at对a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，

只需g（a）在[﹣1，1]上的最小值大于等于零．

故g（﹣1）≥0，且g（1）≥0，

解得：t≤﹣2或t=0或t≥2．

【点评】本题主要考查单调性和奇偶性的综合应用及函数最值、恒成立问题的转化化归思想．

【课堂练习】

一、选择题

1.函数y ＝2－|x |的单调递增区间是( )

A ．(－∞，＋∞)

B ．(－∞，0]

C ．[0，＋∞)

D ．(0，＋∞) 2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，如果f (lg x )>f (1)，那么x 的取值范围是( )

A ．(，1)

B ．(0，)∪(1，＋∞)

C ．(，10)

D ．(0,1)∪(10，＋∞)

3.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是( )

A ．y ＝3x ＋1

B ．f (x )＝x 1

C ．y ＝1－x 1

D ．f (x )＝x 3

4.如图是偶函数y ＝f (x )的局部图像，根据图像所给信息，下列结论正确的是( )

A ．f (－1)－f (2)>0

B ．f (－1)－f (2)＝0

C ．f (－1)－f (2)<0

D ．f (－1)＋f (2)<0

5.定义在R 上的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)上的图像与f (x )的图像重合，设a >b >0，给出下列不等式：

①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )

③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )

其中成立的是________．

6.设f (x )为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )

A ．f (－π)>f (3)>f (－2)

B ．f (－π)>f (－2)>f (3)

C ．f (－π)

D ．f (－π)

7.已知f (x )是奇函数且对任意正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有

2121)()(x x x f x f -->0，则一定正确的是( ) A ．f (3)>f (－5)

B ．f (－5)>f (－3)

C ．f (－5)>f (3)

D ．f (－3)>f (－5)

8．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )

A ．a

B ．a >b

C ．|a |<|b |

D ．0≤a b ≥0

9.若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－1)

A ．(0,10) B.⎪⎭

⎫ ⎝⎛10101，