SARS流行病模型及其对未来走势的预测

SARS流行病模型及其对未来走势的预测

摘要

SARS是21世纪第一个在世界范围内传播的疾病，它的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了巨大影响，因此定量地研究传染病的传播规律具有十分重要的意义。

本文在一系列合理假设的基础上，通过对问题的详细分析，首先对于附件（1）中的模型给予客观公正的评价。该模型简单明了，具有一定的合理性和实用性，但是又存在很多的缺陷，具有一定的片面性，对影响SARS疫情传播的因素考虑的不够全面。在此基础上，我们提出了SIR模型，该模型将某一地区的人们看作一个动力系统，再将其划分为易感染者、患病者和移出者，通过建立微分方程组来加以解决。在此模型中，我们考虑了个体的免疫率、死亡率以及被感染者的康复率等因素。为了验证模型、算法的正确性和有效性，通过计算机模拟，对北京、内蒙古、广东、河北、山西各地的SARS疫情进行拟和，并给出了我们的预测数据，结果表明我们的模型与实际情况相当的吻合。

另外，我们还分别针对得病后入院时间以及隔离强度的不同，对SARS疫情传播所造成的影响做出估计，其结果表明：SARS病人1.5天后入院与2天后入院相比，SARS发病总人数可能会减少1500人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月；而得病1.5天后入院与2.5天后入院相比，SARS发病总人数可能会减少2400人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个半月；隔离措施强度60%与50%相比，SARS发病总人数可能会减少700人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前半个月；隔离措施强度60%与隔离措施强度40%相比，SARS发病总人数可能会减少1100人，SARS疫情得到控制的时间可能会提前1个月。

一、问题的重述

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型性肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要

的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

（3）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二、已有模型的分析

对于附件1中的模型，我们可以很直观地看出，此模型简单明了，没有涉及到太多的变量和参数，读者很容易理解。模型不但包括了每个病人可以传染他人的期限L，而且还考虑了不同阶段、不同环境下传染概率的变化，并对香港和广东的疫情进行计算和分析，其结果论证了该模型具有一定的合理性。为了便于分析，其假定参数L为20天，此时该模型能较准确地反映出香港疫情的变化趋势。用此模型对广东疫情进行测算时也较准确地反映了疫情上升期间的趋势，但在随后的下降过程中反映的数据却与实际情况有一定出入，这可能与后期广东对SARS 疫情的预防或控制状况有一定的关系，需要更进一步的分析。

经过对广东及香港两地的疫情的计算和分析，他们又利用该模型来计算和预测北京地区的病例情况，发现其预测结果与实际情况大致相同，且基本上能够反映疫情的走势。从文中的实际数据和模拟结果的对比情况来看，该模型比较合理地反映了上述三处的SARS疫情，并对后期的实际操作及预防起到了一定的作用。但是我们看到，该模型还是存在着某些不足。比如期限L被固定在20天，这就有了一定的局限性，因为随着社会的重视程度及医疗水平的不断提高，还有其它诸多因素的影响，期限L将会缩短，而不是一个恒定不变的值；另外该模型考虑的影响SARS流行病的因素较少，从而导致其未能反映出一些必要的数据，比如病人的康复数及康复率等等。因此在此基础上，经过合理的假设和必要的分析，我们提出了如下的SIR模型：

三、SIR模型的建立及求解

大多数流行病如天花、肝炎、麻疹等治愈后有很强的免疫力，它们已退出传染系统。严重的急性呼吸道综合症——SARS就是21世纪出现的第一个既严重且又易于传播的疾病。但是它又不同于其他传染病，它引起了社会的极大恐慌，并造成社会运作方式发生相应的变化，因此其本质已经超出了一般传染病的发展规律。但在政府、各单位以及每个公民的共同努力下，如传染者与其他人接触率的减少、改进医院的控制措施、患者接触的检疫以及公众自动减少的接触等有效措施的实行，必然使非典疫情的发展满足更一般意义的规律。因此，我们结合SARS流行病的特点，建立SARS流行病动力学的SIR模型[2]。

我们将人群分为易感染者（Susceptible）、患病者（Infectious）、移出者（Removed）。所谓易感染者是那些健康且与病人接触过就容易感染疾病的人，他们中的一部分可能转化为患病者；患病者是那些能够将疾病传染给易感染者的人，在一定期限内（感染阶段），他们仍属于患病者；移出者则包括已治愈的患病者和死亡者[3]，我们可以通过图1来表示他们之间的转化关系：

图1.SIR 模型中各群体间的相互转换

各类t 时刻的人数分别用()t S 、()t I 、()t R 表示，且t 时刻因病死亡人数也属于移出者一类。若用()t N 表示t 时刻人口总规模，则有：

()()()()t N t R t E t S =++

假设每个个体都具有因感染SARS 而死去的相同的死亡率μ；单位时间内每个患者传染的人数为kIS （非线性传染率），其中k 为大于0的常数；一个易受感染者在与病人进行有效接触后立即被感染且被感染后的康复率γ；患者病愈后具有一定的免疫能力，其免疫率为h 。

我们再假设只考虑因SARS 死亡、康复的人，而不考虑人的自然出生与自然死亡人数（因数据不全，且影响小），则

()()()N t R t E t S =++（常数）

由此我们得出带有免疫率的SARS 流行病的数学模型为：

()()()()

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+-=+-=+---=t R t I t S t N R hI dt

dR I h I kIS dt dI N B rR S I kIS dt dS )()()()

()(γμμγμ （1） 其中()N B 为出生率，它是总人口数N 的函数，初值()0S =0S ＞0，()00I I =＞0，()00=R ，[]T t ,0∈，T 为流行病的流行时间。

若假定出生率等于死亡率，即R I S N ++=保持不变，记为0N ，则()0N N B μ=，从（1）式中消去S 可得：

⎪⎩

⎪⎨⎧+-=+---=R I dt dR I h R I N kI dt dI )()()(02γμγμ （2）