垂径定理课件PPT

3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
3 工程项目管理规划
感谢下 载
3 工程项目管理规划
•O ACB
(4)
3 工程项目管理规划
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间 的距离叫做弦心距
如图：圆O中，AB是圆O 中的一条弦，其中
OC⊥AB
圆心到弦的距离用d表示
，半径用r表示，2 弦长用a
表示，则d，r，a之间满
A
足什r么2 样的d 关2 系呢a？2 2
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
3 工程项目管理规划
引申定理
定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线 段。从而得到垂径定理的变式：
一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
3 工程项目管理规划
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
7.2
A
18.7
AD 1 AB2 1 37.4 18.7,
2
2
D
R来自百度文库
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
O
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
3 工程项目管理规划
3 工程项目管理规划
别忘记还有我哟！！ 作业：
1、教材88页习题24.1 第8题 ；
2、教辅书48-51页
3 工程项目管理规划
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
∴ AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
3 工∴程项目四管理边规划形ADOE为正方形.
C
E· O
A
D
B
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O 的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于
___2___5_cm
3 工程项目管理规划
小结
１、圆的轴对称性 ２、垂径定理及其推论的图式
B
MA
P
是一条非常重要的辅助 线。
O
弦心距、半径、半弦长
构成直角三角形，便将
问题转化为直角三角形
的问题。
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再逛赵州石拱桥
赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥
主桥拱的半径吗？
37.4
C
解：如图，设半径为R，
AB=37.4,CD=7.
A
B
.
O
O.
E AC
D
B
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
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3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2 ，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦心距，这
条弦增加”不是直径”的限制.
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垂径定理的推论
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
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B
3 工程项目管理规划
练习 2： 1.如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心到AB 的距离为3cm,则⊙O的半径为5cm .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
· A
4C
∟3
O
B
(1)题
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C
A
8
D
12
B
O
(2)题
方法归纳:
3 工程项目管理规划
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
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•O
A
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
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垂径定理的推论1:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
CD为直径 条件
ACDE⊥=BABE
CD⊥AB
结论
⌒⌒ A⌒C=B⌒C
C
AD=BD
D
·Ｏ
·Ｏ
A
(E)
B
E
A
B
D
C
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“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
DB
系？为什么？
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2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形，
∵ OE⊥AC OD⊥AB
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且
①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
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·O
E
A
B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦对的两条弧。
D
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应用垂径定理的书写步骤
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧 => 直径垂直于弧所对的弦
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M
E
C
D
A
.
O
B
A
O.
A
E C
D
B
B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
C
垂径定理及推论
条件 结论
命题
A M└
B
●O
①② ①③ ①④ ①⑤
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D条弧.
②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤
O
C
B
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垂径定理的应用
练习 1
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。
AE B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
练习1
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
AC
B C
O
E
C
D
B
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O
AE
B
D
D D
O
AE
B
C
C
O
A
A
E
B
A
O
D
B
D
B
O
D
C
A
A
O
C
B
C
C
B
D
O
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判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
DC
O
O
E DC A
D
注意：定理中的两个条件 （直径，垂直于弦）缺一 不可！
变式： 图中两圆为同心圆
O
变式1：AC与BD有什么关系？
AC
变式2：AC＝BD依然成立吗
DB
O A CM
ND B
变式3：隐去（变式1）中的大圆，得
右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、
O
BD有什么关系？为什么？
AC
DB
变式4：隐去（变式1）中的大
O
圆，得右图，连接OC，OD，
设OC=OD，AC、BD有什么关 A C
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（X ）
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思考
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的
C
直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
活 动 三 练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
22
在Rt△AOE中
· O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
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赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆 弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到 0.1m).
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垂直于弦的直径 ———（垂径定理）
3 工程项目管理规划
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重 复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。