孤立子--奇异点分析
孤立奇点的类型及判断方1
孤立奇点的类型及其判定方法摘要：本文归纳了孤立奇点的类型及其主要判定的方法.分别对函数在有限点和无限点的孤立奇点研究，得到了判定孤立奇点类型的三种方法：定义法、极限值法、极点与零点关系法.接着阐述了有两个函数的和、差、积、商所得的新函数与原函数在孤立奇点类型的关系，并且结合一下例子介绍了判定孤立奇点类型的三种方法的应用.关键词: 可去奇点 极点 本质奇点1.引言复变函数的孤立奇点是复变函数论中的重要概念.函数在孤立奇点的附近可以展示洛朗展开式,对一个函数而言,孤立奇点的个数往往不是很多的,但是这些不多的孤立奇点往往就决定着这个函数的性质了,因此,什么是孤立奇点，孤立奇点有哪些类型，怎么判定并快速的判定函数的孤立奇点的类型，对研究函数的孤立奇点去心邻域内的性质，复积分的计算等至关重要.但是函数的孤立奇点的类型往往很难判定，特别对复合函数等.这样就使得我们去探索新的方便的判定孤立奇点类型的方法.目前，已经有很多人对判定孤立奇点类型的问题做过研究了，也作出了很多成就.本文在此基础上，归纳诸多方法，旨在为判定孤立奇点类型提供参考.根据在孤立奇点某邻域的洛朗展开式判定孤立起点的类型，但是有些函数的洛朗展开式很难求出来，我们还可以根据函数在孤立奇点的极限值判定孤立奇点的类型.但是有些函数的倒函数很容易判定出倒函数的零点阶数，对于这样的函数我们可以根据极点和零点的关系判定孤立奇点的类型.本文论述的方法只是提供参考，在实际应用中应该根据孤立奇点类型的特点运用相应的方法，使得对孤立奇点的判定更加方便.2.孤立奇点的类型及判断方法 2.1孤立奇点的定义定义1 如果函数)(z f 在点a 的某一去心领域R a z a K <-<-||0:}{（即除去圆心a 的某圆）内解析，点a 是)(z f 的奇点，则称a 为)(z f 的一个孤立奇点.孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点.2.2 孤立奇点的类型和判断以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质.如a 为函数)(z f 的孤立奇点，则)(z f 的某去心领域{}K a -内可以展成洛朗级数)(z f =∑∞-∞=-n n na z c)(.我们称非负幂部分∑∞=-0)(n nna z c为)(z f 在点a 的正则部分，而称负幂∑∞=---1)(n nn a z c 为)(z f 在点a 的主要部分.实际上非负幂部分表示在点a 的领域:||K z a R -<内的解析函数，故函数)(z f 在点a 的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分上.定义2如果)(z f 在点a 的主要部分为零，则称a 为)(z f 的可去奇点； 如果)(z f 在点a 的主要部分为有限多项，设为),0(,)()(11)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称a 为)(z f 的m 阶极点，一阶极点也称为单极点；如果)(z f 在点a 的主要部分为无限多项，则称a 为)(z f 的本质奇点；以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征.如果a 为函数)(z f 可去奇点，则有),0(,)()()(2210R a z a z c a z c c z f <-<+-+-+=上式等号右边表圆:||K z a R -<内的解析函数.如果命,0)(c a f =则)(z f 在圆K 内与一个解析函数重合，也就是说，我们将)(z f 在点a 的值加以适当定义，则点a 就是)(z f 的解析点.这就是我们称a 为)(z f 的可去奇点的由来.定理1 如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞.证明 充分性 因为a 为函数)(z f 可去奇点，则有)(z f =)0()()(2210R a z a z c a z c c <-<+-+-+ ，于是()()00lim z af z c c →=≠∞，必要性 ()()lim z af z b →=≠∞则对任给的0ε>，有δ0>，只要δ<-a z ,就有εη<-)(z f ，于是εη+<)(z f ，所以在点a 的某去心邻域{}K a -内)(z f 是以M 为界的，考虑)(z f 在点a 的主要部分+-++-+----nn a z c a z c a z )()(c 221,....)3,2,1()()(211=-=⎰Γ+--n d a f i c n n ξξξπ， 而Γ为全含于K 内的圆周ρρξ,=-a 可以充分小，n n n M M c ρπρρπ=≤+--2211，即知当1,2,n =时0n c -=，即是说)(z f 在点a 的主意部分为0，即a 为)(z f 的可去奇点.说明0=z 是sin zz的可去奇点，32sin 1()1,03!3!z z z z z z z =-+=-+<<∞，0sin lim1→=≠∞z zz.如果孤立奇点是极点时，孤立奇点的洛朗展开式的主要部分比为有限项，我们还有分级数，称为多少级极点.洛朗展开式中的负次方的项的系数必然满足一定的关系，总存在一个负最多的次数项，那么我们就把这个负多少次数的项称为函数的多少阶极点.比如，一个m 阶极点，表示洛朗展开式不是有m 个负次方的项，而是非零系数负次方的次数最大是m 次数了.定理2 如果函数)(z f 以a 为孤立奇点，则点a 是函数)(z f 的m 阶极点充要条件是下面两个条件中任意一条.① 在点a 的某一去心领域内能表成)(z f =ma z z ）-()(λ其中()z λ在点a 领域内解析，且0)(≠a λ；② )(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点（极点与零点的关系）. 证明 充分性 点a 是函数)(z f 的m 阶极点，则在点a 的某去心邻域内有+-++-++-+-=-----)()()()(1011)1(a z c c az c a z c a z c z f m m m mmmm m a z z a z a z c c )()()()()1(-=-+-+=---λ，其中)(z λ显然在点a 的邻域内解析，且.0)(≠=-m c a λ所以在点a 的某去心邻域内有)()()(1)(z a z z f z g mλ-==，其中)(1z λ在点a 的某邻域内解析，且0)(1≠z λ，因此点a 位)(z g 的可去奇点，只要令()0g z =，a 就为)(z g 的m 阶零点.必要性 如果)(1)(z f z g =以点a 为m 阶零点，则在点a 的某邻域 )()()(z a z z g m ϕ-=，其中)(z ϕ在此邻域内解析，且0)(≠z ϕ，所以)(1)(1)(z a z z f mϕ⋅-=在此邻域内)(1z λ解析，在此邻域内命+-+=---)()(1)1(a z c c z m m ϕ， 则)(z f 在点a 的主要部分就是(1)111,(0),()()()m mm m m c c c c z a z a z a a ϕ------+++=≠--- 所以点a 是函数)(z f 的m 阶极点.在充分性中已经证明条件①可以推导出条件②，所以条件①可以推导出点a 是函数)(z f 的m 阶极点.定理3 函数)(z f 的孤立奇点a 为极点的充要条件是lim()z af z →=∞.证明 函数)(z f 以点a 为极点的充要条件是)(1z f 以点a 为零点（定理2），由此知定理为真.因此，若点a 为函数)(z f 的m 阶零点时，则点a 为函数1()f z 的m 阶极点；若点a 为函数)(z f 的m 阶极点，则点a 为函数1()f z 的m 阶零点.但是判断多少阶极点时要注意条件. 例如 函数21()z e f z z-=，0z =不是函数)(z f 的二阶极点，因为 231211()(),2!3!2!3!z z zf z z z z -=+++=+++所以，0z =是函数)(z f 的一阶极点.定理4 函数)(z f 的孤立奇点a 为本质奇点的充要条件是lim ()z af z →不存在. 这个可以由定理1和定理3得到证明.定理5若z a =为函数)(z f 的本质奇点，且在点a 的充分小的去心邻域内部不为零，则z a =必为)(1z f 的本质奇点. 证明：令)(1)(z f z =ϕ，有假设得z a =必为)(z ϕ的孤立奇点.若点a 为)(z ϕ的可去奇点，则点a 必为)(z f 的可去奇点或者极点，与假设矛盾；若点a 为)(z ϕ的极点，则点a 必为)(z f 的零点，与假设矛盾，故z a =必为)(z ϕ的本质奇点.2.3在∞点的孤立奇点定义3设函数)(z f 在无穷远点（去心）领域{}:||K z -∞+∞>内解析，则称点∞为)(z f 的一个孤立奇点.如果点∞为)(z f 的一个孤立奇点，令1t z =,1()()()g t f f z t==则函数()g t 某去心领域{0}:0||K t R -<<内解析，0t =就为()g t 之一孤立奇点.于是得到下面结论:（1）在对应点z 与t 上，函数)(z f 与()g t 的值相等； （2）0lim ()lim ()z t f z g t →∞→=,或两个极限都不存在.定义4 若0t =为()g t 的可去奇点，m 阶极点或本质极点，则我们相应的称z =∞为)(z f 的可去奇点，m 阶极点或本质极点.定理6 如果z =∞是函数)(z f 的可去奇点的充要条件lim ()z f z b →∞=≠∞；如果z =∞是函数)(z f 的m 阶极点的充要条件)(z f 在z =∞的某去心领域{}K -∞内能表成()()m f z z h z =其中()h z z =∞在)(z u 的领域K 内解析，且()0h z ≠或者1()()h z z f z ==∞以为m 阶零点或者lim ()z f z →∞=∞；函数)(z f 的孤立奇点∞为本质奇点的充要条件不存在lim ()z f z →∞.证明 令1t z =，1()()()g t f f z t==，再根据定理1,2,3,4可证. 综上所述①如果a 为函数)(z f 可去奇点充要条件lim ()()z af z b →=≠∞；②如果a 为函数)(z f 极点充要条件lim()z af z →=∞；③如果a 为函数)(z f 本质奇点充要条件lim ()z af z →不存在.3.复变函数中的应用定理7 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的可去奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点；当()0f a ≠，()0g a ≠时，则z a =函数)()(z f z g ，)()(z g z f 的可去奇点. 证明 因为点z a =为)(z g 的可去奇点，所以lim ()z ag z b →=（有限复数）由)(z f 在点z a=解析知)(z f 在点z a =必连续，从而lim()()z af z f a →=，于是[]lim ()()()z af zg z f z b →±=±（有限复数），lim ()()()z af zg z bf z →=（有限复数），所以点z a =也为)()(z g z f ±，)()(z g z f 的可去奇点.因为z a =是函数)(z g 的可去奇点，则lim ()z ag z b →=(有限数)，函数)(z f 在点z a =解析，所以lim()()z af z f a →=，因为()0f a ≠,所以()lim ()()z ag z bf z f z →=（有限数）所以点z a=是函数)()(z f z g 的可去奇点.同理可证点z a =是函数)()(z g z f 的可去奇点. 定理8 若函数)(z f 在点z a =解析，点z a =为函数)(z g 的m 阶极点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的m 阶极点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数的)()(z g z f ，)()(z f z g 的m 阶极点.证明：因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠a λ.于是()()()()()()m mz a f z z f z g z z a λ-±±=-,令)()()()(z z f a z z m λ±-=Φ则在点z a =解析，且0)()(≠±=Φa a λ所以点z a =也为)()(z g z f ±的m 阶极点.因为点z a =为)(z g 的m 阶极点，所以)(z g 在点a 的某去心邻域内能表成ma z z z g )()()(-=λ，其中)(z λ在点a 解析，且0)(≠z λ，于是()()()()()mf z z f zg z z a λ=-，这里)()()(z z f z λ=Φ在点z a =解析，且0)(≠Φa ，所以点z a =是函数)()(z g z f 的m 阶极点.同理可证点z a =是函数)()(z f z g 的m 阶极点. 定理9 若函数)(z f 在点z a =解析,点z a =为函数)(z g 的本质奇点，则点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点；当()0f a ≠时，则点z a =也为函数)()(z g z f ，)()(z f z g 的本质奇点.证明 因为函数)(z f 在点z a =解析，所以()f z b =，点z a =为函数)(z g 的本质奇点 所以lim ()z ag z →不存在，假设lim[()()]lim ()z a z ag z f z g z b →→+=+存在，则lim ()(z ag z b c →+=有限数）或者∞； lim ()(z ag z c b →=-∞有限数）或者 矛盾，所以点z a =也为函数)()(z g z f ±的本质奇点.因为点z a =为函数)(z g 的本质奇点，所以lim ()z ag z →不存在；函数)(z f 在点z a =解析,且()0f a ≠，所以lim ()()z af z f a →=，假z a =不是函数)()(zg z f 的本质奇点，则lim ()()(z af zg z b →=∞有限数）或，lim[()()]lim (=()(z az af zg z bg z f a f a →→=∞）或）相矛盾， 所以z a =是函数)()(z g z f 的本质奇点.同理可证也是)()(z f z g 的本质奇点. 定理10 若)(z f 在点a 的某去心邻域内能表示成)()()(z g z h z f =，a 为()h z 的n 阶零点，为)(z g 的m 阶零点，当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a 为)(z f 的可去奇点.证明：0)()(,)()(,))(()(1111解析，且都不等于和z g z h a z g z g a z z h z h mn-=-=,于是，11()()()()n mh z z a f z g z --=，所以当m n >时，a 为)(z f 得m n -阶极点;当m n ≤时，a为)(z f 的可去奇点.例1 判断()2z z z f z e+=∞=点函数的孤立奇点类型.解 令z 1=ξ则得ξξ211)1(+=e f ，记函数为)(ξϕ所以点0=ξ是此函数的解析点()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=''+-='++432112112214218)()21(2)(ξξξϕξξϕξξee所以e e e 12)0(,2)0(,)0(=''-='=ϕϕϕ，()() ++-=2621ξξξϕe ，()()+∞<<⎪⎭⎫⎝⎛++-=z z z e z f 26212 ，这里∞=z 是函数)(z f 的可去奇点. 例2 求下列函数奇点的类型 ⑴z z cos sin 1+ ⑵()321iz + ⑶z 2tan ； 解：⑴4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是原式的孤立奇点，41limsin cos z k z zππ→-=∞+，4ππ-=k z 是函数)(z f =z z cos sin +的一阶零点，所以4ππ-=k z () ,2,1±±=k 是一阶极点.⑵()i z -±=122是孤立奇点，()i z -±=122是函数()32i z +的3阶零点，所以()i z -±=122是三阶极点. ⑶π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是孤立奇点，π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是函数z z 22sin cos 的2阶零点，所以π⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21k z 是二阶极点.例3求下列函数在扩大平面上的孤立奇点，并确定它们的类别.⑴226)1(1++z z z (2)21ze z+ (3)1111---z z ee (4)ztge1解：（1）令原式为)(z f ，则)(z f 是有理分式，显然0z =是单极点，当z i =±时，此时分子分母均为零，)1)(1(12426+-+=+z z z z ，))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=， 可见z i =±也是)(z f 的一阶极点.当z =∞时))((1)1()1)(1()(2422242i z i z z z z z z z z z z f +-+-=++-+=，可见z =∞是)(z f 的一阶极点.（2）显然z i =±是)(z f 的一阶极点. 当z =∞时，令0z x =>211lim lim 0()x x x x f x e→∞→∞+==, ()()2110,lim lim x x x x z x x f x e-→∞→∞+=->==∞-,因此极限1lim()z f z →∞不存在（包括不为∞），所以，z =∞是)(1z f 的本性奇点，故z =∞是)(z f 的本质奇点.注：若lim ()z f z →∞不存在，则z =∞是)(z f 的本性奇点，这是显然的，否则若z =∞是可去奇点（正则点）或极点，则lim ()z f z →∞存在且有限，或lim ()z f z →∞=∞，矛盾.（3）显然k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是分母的零点，而分子仅有),0(10==k z 分子为零，所以k z =1+i k π2（0k =， ,2,1±±）是)(z f 的一阶极点. 当10==z z 时，令1,-==x y x z ，则()11lim lim 1yy x y ef x e ++→→==+∞-11lim ()lim 0,(),1pp x p ef x p y e -+--→→===--所以1lim ()z f z →不存在，故1=z 是)(z f 的本性奇点.又∞→k z （∞→k ），故z =∞不是孤立奇点.（4）由下列注知：函数ζe 仅有唯一的奇点∞=ζ，且它是本质奇点，于是令ztg1=ζ，则)(z f 仅为函数ζe 又由z 1cos =0知，当k z =π)12(2+k （0k =， ,1±）时，∞=ζ所以k z 是的)(z f 本质奇点.显然0z =是)(z f 的本质奇点.当z =∞时，若定义,01=∞则z =∞是)(z f 可去奇点.综上对孤立奇点的研究，要判断孤立奇点类型主要有2种方法：①根据主要部分，但有一些函数的洛朗展开式不容易求出；②函数的极限值，当极点时，无法判断极点的阶数.所以求函数的奇点类型一般方法先求函数在孤立奇点的极限值，如果我们求出的是极点，在根据极点和零点的关系求出极点的阶数.结束语本论文所论述的判定孤立奇点类型的方法只是为了判定孤立奇点的类型提供参考，在具体的判定孤立奇点类型时，可以根据函数的不同采用不同的判定方法判定孤立奇点类型.本文中的方法不一定是解题时最简便的判定孤立奇点的方法.参考文献[1]尹水仿，李寿贵，复变函数与积分变换[M],科学出版社，2009.[2]苏变萍，陈东立,复变函数与积分变换（第二版）[M], 高等教育出版社 ，2010. [3]陈宗煊，孙道椿，刘名生, 复变函数[M],科学出版社 ，2010. [4]钟玉泉, 复变函数论（第三版）[M], 高等教育出版社， 2004. [5]沈燮昌, 复变函数论基础[M], 上海科学技术出版社,1982. [6]庄圻泰, 复变函数[M], 北京大学出版社， 1984. [7]冯复科，复变函数与积分变换[M]，科学出版社,2008.[8]Brown, James Ward., Complex variables and applications[M], China Machine Press ， 2004.Types and Their Judgment of The Isolated SingularityAuthor ：Dong Zhaolin Supervisor: Wu DaiyongAbstract ：This article generalizes type and main determination way of the isolated singularity.Respectively studying function in finite number of points and infinite point of the isolated singularity, we get three to determine the method which are definition of law , limit law and poles and zeros relations act with isolated singularity type. This article describes relationship of new function which two functions and, difference, product, business receive with the original function in isolated singularity type. Combination of what the example describes the application of the three methods to determine the type of isolated singularity.Keywords: removable singularity extreme essential singularity。
课件：第1节 孤立奇点
2、零点的性质：
(1) 如果 f (z)在z0解析，则
z0为f (z) 的m级零点 f (n)(z0 ) 0,(n 0,1, 2, f (m) (z0 ) 0.
,m 1)
2、零点的性质：
(2) 解析函数零点的孤立性。
设 f (z) 解析，且不恒为零，如f(z0)=0, 则
0
0
存在 U(z0 ), 使得当z U(z0 ) 时, f (z) 0.
(4) f (z) sin z z
(5)
f (z)
(z2 1)(z 2)3
(sin z)3
0<|z-z0|<δ
(*)
n
n1
n0
1. 可去奇点 如在(*)式中不含zz0的负幂项, 则称z0为f(z)的可 去奇点.
f (z) =c0+c1(zz0)+...+cn(zz0)n+.... 0<|z-z0|<δ
F (z),
lim
zz0
f
(z)
lim F (z)
zz0
F (z0 )
c0 ,
z0为 f(z)的可去奇点
lim
z z0
f (z) c0.
(其中c0是有限复常数.)
例 sin( z) 1 (z 1 z3 ) 1 1 z 2 1 z 4
z z 3!
3! 5!
z=0是可去奇点。
ez 1 1(z 1 z2 1 z3 ) 1 1 z 1 z2
z z 2! 3!
2! 3!
z=0是可去奇点。
z= -1, i都是孤立奇点。
但是并不能认为函数的奇点都是孤立的。
f (z) 1 sin( 1)
第五章1 孤立奇点
2
的二级极点。
3) z
e
2
z
1
解： 孤立奇点 z 1 1, z 2 1
lim
e
2
z
z zi
( z 1)
z i ( i 1, 2 )为极点。
极点z1 1
ez e 1 2 1 z 1 z 1 ( z 1)
z
ez ez 在z 1处解析， 0 z 1 z 1 z 1
类似地， z 1也是 e
2 z
z 1
的一级极点
3. 函数的零点与极点的关系 定义
若不恒等于零的解析函 数 f ( z ) 在 z 0 的邻域内能表示成
m
f ( z ) ( z z0 ) g ( z )
(m 1)
其中 g ( z ) 在 z 0 解析且 g ( z 0 ) 0 , 则称 z 0 为 f ( z ) 的 m 级零点 .
n -
c n ( z z 0 ) 存在。
n
n
c
n
( z z0 )
n
解析部分
c n ( z z0 )
n 1 (1) n
cn ( z z 0 )
( 2)
n
n0
主要部分 根据主要部分中( z z0 )负幂项的多少， 对孤立奇点分类：
有无限多负幂项，所以 z 1为本性奇点
(4)
1 z sin z
z 0 , z k ( k 1, 2 ,...) 为孤立奇点
lim
1 z sin z
z 0
§4.4-孤立奇点
(III) f(z)在点的充分小邻域内有界。
例2、将 f ( z )
解：首先令：
1 在2|z|+内展开为Laurant级数。 z 1 ( z 2)
1 1 1 f ( z) z 1 ( z 2) z 2 z 1 1 1 1 z 1 ( z 2) z 1 2 z z 1 1 z
定理4.1：为函数f(z)的可去奇点的充要条件：
(I) 函数f(z)在点没有主要部分；
(II) 函数 lim f ( z )存在并且有限； z (III) f(z)在点的充分小邻域内有界。 证明：首先由(I)得，在的邻域内有： ( z ) c0 c1 ( z ) f
f ( z)
n
c z c z
n n n 0 n
1
n
我们将后面的正幂次项部分称为正则部分，而将前面的负幂 次项部分称为主要部分。
根据Laurant展式中主要部分的性质，可以将孤立奇点分为三 种类型：
(I) 若Laurant展式中无主要部分，则为可去奇点。
n 0 n
函数f(z)是在0|z- |R圆内的解析函数， f(z)在点无定义、 不可微。如果将f(z)在点的值重新定义为： f(z)=c0，则f(z)在 点的奇异性就去掉了，则函数f(z)可以用上面的Laurant展开 式在|z- |R实心圆内完全表示，因此称这样的奇点为可去奇 点。
定理4.5：若为函数f(z)的m阶极点的充要条件为：
(I) 函数f(z)在点主要部分为： cn z n ；
f (II) f(z)在点的无心邻域内能表示成： ( z ) ( z ) z m
n 1
m
§2解析函数的孤立奇点解读
§2 解析函数的孤立奇点 一、教学目标或要求：掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明 重点：解析函数的孤立奇点的分类 难点: 许瓦兹引理的叙述和证明 三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 4－7§2 解析函数的孤立奇点 1. 孤立奇点的三种类型若为的孤立奇点，则在点的某去心邻域内可以展开成Laurent 展式 。
定义5.3 设点a 为函数)(z f 的孤立奇点：(1)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent 展式不含负幂项），则称点a 为)(z f 的可去奇点；(2)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为0,)()(11)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称点a 为)(z f 的m 级（阶）极点；(3)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a 为)(z f 的本性奇点．依定义，点0=z 为z z sin 的可去奇点，点0=z 为2e zz的二级极点，点1=z 为z z -1sin的本性奇点． 2. 可去奇点定理5.3 若点a 为)(z f 的孤立奇点，则下列三个条件是等价的： (1) 在点 的主要部分为0；(2)(3) 在点 的某去心邻域内有界。
证由于且在内解析，从而连续，故 。
由于,故取 ，则,即得。
设，考虑在 的主要部分则对 成立，故当 时， 即得。
3.Schwarz 引理如果函数)(z f 在单位圆1||<z 内解析，并且满足条件),1|(|1|)(|,0)0(<<=z z f f则在单位圆1||<z 内恒有|,||)(|z z f ≤ 且有1|)0('|≤f 。
如果上式等号成立，或在圆1||<z 内一点00≠z 处前一式等号成立，则)1|(|)(<=z z e z f ia ，其中a 为一实常数。
复变函数-孤立奇点及分类讲解
于是f (z)在0 z z0 内可展开为洛朗级数
f (z) an(z z0 )n an(z z0 )n an(z z0 )n
n
n0
n1
（1）可去奇点
若洛朗展开式中不含有(z z0)的负幂项，即an 0,
(n 1,2,......) 则称孤立奇点z0为f (z)的可去奇点。
显然，函数的奇点是
z 1,
zk
1 k
2
(k 0, 1, 2...)
由于lim tan( z 1) lim sin( z 1) 1 z1 z 1 z1 z 1 cos(z 1)
1
所以，z 1为可去奇点。
又
sin(z 1) z 1
zk
(vi)
若f
(z)
P(z) Q(z)
,
P(z0 )
0且P ( z )在z0点 解 析 ，
若z0是Q(z)的m级零点，则必为f (z)的m级极点。
例 试确定函数 f (z) tan( z 1) 的奇点类型。
z 1
解：由于 f (z) tan( z 1) sin(z 1) z 1 (z 1)cos(z 1)
定理 z 为 f (z) 的可去奇点、极点、本性奇点的 充要条件分别为当 z 时， f (z) 的极限为有限数、 为无穷大、不存在也不为无穷大。
例
函数 z 1 z2
是否以 z 为孤立奇点？
若是，属于哪一类？
例 函数 sin z cos z 是否以 z 为孤立奇点？ 若是，属于哪一类？
z
于是1
cos z2
第一讲 孤立奇点
内解析，那么 z 0 是 f(z) 的本性奇点的充分必 lim f ( z ).不存在也不为 要条件是： z z
0
综上所述: 如果z0为f ( z )的可去奇点 lim f ( z )存在且有限;
z z0
如果z0为f ( z )的极点 lim f ( z ) ;
z z0 z z0
1 例3 设f z , zn n 1,2, 1 n si n z 是它的孤立奇点
1
但 z 0 是奇点而不是孤立奇点。换句话说, 在z 0 不论怎样小的去心领域内总有 f z 的奇点 存在.
将函数 f z 在它的孤立奇点 z0 的去心邻域 0 z z0 内展开成洛朗级数.
si nz 所以z=0是函数 z
的可去奇点。
学生课堂练习 例5.5 研究函数
f z 1 z 1z 22
的孤立奇点的类型。
例5.6 研究函数 f z e
1 z 1
的孤立奇点的类型。
三、函数的零点与极点的关系
定义5.2 若f (z) = (zz0) m (z), 其中 (z)在z0解析且
(z0) 0, m为某一正整数, 则称z0为f (z)的m阶零点.
例5.7 当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一阶与三阶零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
定理5.4 若f (z)在z0解析, 则z0是 f (z)的m阶零点的充
要条件是 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 .
( z) 在z0解析, 且 ( z0 ) 0 .
1 1 1 当z z0时 ，f ( z ) h( z ) m m ( z z0 ) ( z ) ( z z0 )
孤立子--奇异点分析
如果ODE是三阶的或是高阶的，那么就得借
助奇异点分析的方法进行判断。
例1.考虑ODE族：
(1)
如果m=0，(1)式的解就是椭圆函数；如果m=1，
那么(1)式你就是PⅡ方程。下面讨论m不为0，1
时的情形，表明此时它具有流动临界点。
下面用到奇异点分析的方法，主要分为下
述三个步骤：
例1.考虑ODE族： 第一步，设：
(1)
1).m=0或1时，对任意a3都满足，故a3就 是第二个积分常数，而此时(3)式确实是在 流动极点z0的领域内(1)式解的Laurent级数
的开始的几项，由于没有其他的代数奇异
点，故没有流动代数分支点。
例1.考虑ODE族：
(1)
2）m 不为0和1时，对于任意的a3,(4)式无
法成立，故对(3)式中必须添加对数项，故
给出，得： 可求得两根，r=-1，此时z0是任意的；r=4， 故可将展式展开成如下形式： (3)
当a3被确定时，第二个积分常数即可被确定。
例1.考虑ODE族： 第三步：将(3)式代入(1)式，使得
(1) 的各次幂次
相等，可得出结果：
对于
Hale Waihona Puke 的项，我们发现： (4)故有以下两种可能性：
例1.考虑ODE族：
本性奇点
本世纪初painleve’及其合作者，研究了如下形式 的非线性ODE：
其中R,S,T是w的有理函数，且是在复平面上某
区域关于z的解析函数。
在上述方程中，不具有流动临界点者只有50个， 这种不具有流动临界点的性质称为Painleve’性质。
一般，我们称具有Painleve’性质的方程为P—型方 程，在上述50个方程中，只有6个需要定义新的函数，
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点孤立奇点是复变函数中的一种特殊情况，指的是某个点处的函数不连续且无法进行泰勒展开的点。
在实际应用中，孤立奇点经常出现在复函数的分母中，导致分母为零从而使得函数的值无法计算。
因此，了解孤立奇点及其性质对于理解复变函数的研究和应用至关重要。
首先，我们来看一个简单的例子：设$f(z)$为复变函数$\frac{1}{z}$。
此时，我们可以发现，当$z=0$时，函数$f$的值为无穷大，即$f$在$z=0$处有一个孤立奇点。
这是因为当$z$无限地接近于0时，分母会无限地接近于零，从而使得$f$的值趋向于无穷大或负无穷大。
因此，我们可以将孤立奇点定义为“使得函数无法在该点处连续的点”。
在复平面上，孤立奇点通常具有以下几个性质：1. 孤立奇点必须是函数的“独立点”。
也就是说，如果一个点是函数的“可去奇点”、“极限奇点”或“本性奇点”，那么它就不可能是孤立奇点。
2. 孤立奇点是函数的“聚点”。
也就是说，无论以任何方式接近孤立奇点，都必然会进入到“不可解析”的区域内。
3. 孤立奇点有限。
也就是说，一个复变函数的孤立奇点不能无限多。
有了这些性质，我们可以更好地理解孤立奇点的特性和行为。
例如，对于一个孤立奇点，我们可以通过求解$f$的洛朗级数来近似描述它附近的函数行为。
洛朗级数可以看做是泰勒级数在孤立奇点处的推广形式，是一种形如$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$的级数，其中$a_n$为常数，$z_0$为孤立奇点。
通过求解这个级数，我们可以得到$f$的近似值，并进一步研究其性质。
此外，我们还可以通过研究孤立奇点的类型来判断复变函数在该点附近的行为。
根据孤立奇点的定义，我们可以将其分为三类：可去奇点、极限奇点和本性奇点。
可去奇点指的是在该点附近可以重新定义函数使其连续的点；极限奇点指的是在该点附近函数的绝对值无限地增大或减小的点；本性奇点则是既非可去奇点也非极限奇点的孤立奇点，我们通常将这类点称为“真正的”孤立奇点。
孤立奇点.ppt
零点的定义。 定义2 设函数 f (z)在 | z z0 | R内解析，且 f (z0 ) 0,
则称 z z0 为f (z)的零点。若 f (z0 ) f (z0 ) f (m1) (z0) 0
而 f (m) (z0) 0, 则称 z z0 为f (z)的m级零点。 若z0为f (z)的m级零点，则为f (z)在z0处的Taylor展 开式为 f (z) Cm (z z0 )m Cm1(z z0 )m1
Cn (z z0 )n
0 | z z0 | R
lim
zz0
f
(z)
C0
(2) (3)：
lim
zz0
f
(z)
C0
， 对
0,
0，
当0 | z z0 | < 时，有 | f (z) C0 | <；从而
| f (z)||C0 | < | f (z) C0 | <；即| f (z)|<|C0 | 。
§4.5 孤立奇点
奇点: 函数 f (z)的不解析点，称为 f (z) 的奇点。
孤立奇点: 若函数 f (z)在 z0处不解析，但在z0的某
去心邻域 0 | z z0 | R 内解析，则称z0的为f (z)的孤
立奇点。
例如
函数
1 z
、e
1 z
都以 z 0 为孤立奇点。
zk
1
k
(k
1, 2,
)和
z0=0
即 f (z)在点z0的去心邻域 0 | z z0 | < 内有界。
(3) (1)：若在点z0的去心邻域0 | z z0 | < 内有
| f (z)|<M，考虑 f (z)在点z0的主要部分
孤立奇点的处理方法(共164张PPT)
(1)n
(2n
1 1)!( z
1)2n1
cos1 sin1
cos1
sin1 z 1 2!(z 1)2 3!(z 1)3
(1)n sin1 (2n)!(z 1
(1)n
(2n
cos1 1)!(z 1)2n1
.
三． 孤立奇点的分类 1 与孤立奇点相联系的Laurent级数的
特性
2 孤立奇点的分类
为在 R1 z z0 R2 内处处解析的函数 f z 建立一
个类似 Taylor 级数的工具，那就是 Laurent 级数。
f
定理 1. 设
z R 在环域： 1 z z0 R2 内处处
解析，则它在此环域内可惟一的展开成
f z ck z z0 k k
其中对 k 0, 1, 2,... ，
0
2 的 Laurent 系数）
z
证：对于
R1
z z0
R2
，可取正数
r1 r2 ， 满 足 R1 r1 r2 R2 ， 使 得
z r1 z z0 r2
，且
r1 z z0 r2 R1 z z0 R2
f
，于是由定理条件可知
z 在 r1 z z0 r2
1
(1
1
)zn
1 z 2(1 z ) n0
2 n 1
2
f (z) 此即
在圆 z 1内的泰勒展式。
(1)在圆环1
z
2 内,即有
1 z
1,
z 2
1
f
(z)
1 2
1
1 z
2
1 z
1 1 1
z
1 2
n0
zn 2n
浅析复变函数中的孤立奇点
浅析复变函数中的孤立奇点复变函数是指定义于复平面上的函数，即自变量和函数值都是复数。
与实变函数不同的是，复变函数的导数可以沿任意方向取值，因此具有许多特殊的性质。
其中最重要的特征之一就是奇点。
奇点是指函数在该点处没有定义或者是不连续的点，可以分为两类：可去奇点和孤立奇点。
本文将重点讨论孤立奇点，探讨其性质和在实际问题中的应用。
一、孤立奇点的定义孤立奇点是指复变函数在某一点处不解析的奇点。
通俗地讲，如果函数在某一点附近有定义，但在该点处没有定义，则该点就是该函数的孤立奇点。
例如，函数f(z)=1/z在z=0处就是其孤立奇点，因为它在z=0附近有定义，但在z=0处没有定义。
孤立奇点有三种分类方法：性质、类型和阶。
这里主要介绍性质和类型。
1、性质孤立奇点的性质取决于该点周围函数的行为。
根据函数的行为，孤立奇点可以分为以下三类：（3）本质奇点：如果函数在孤立奇点处的行为不能用有限阶极限描述，则该点为本质奇点。
例如，函数f(z)=exp(1/z)在z=0处的行为不能用有限阶极限描述，因此z=0是它的本质奇点。
本质奇点的特点是函数在该点附近不能被解析延拓为任何解析函数，任何方法都无法消除奇点。
2、类型（1）一阶孤立奇点：如果孤立奇点的极限存在，则其阶数为1阶。
例如，函数f(z)=(z-1)/((z-2)(z-3))在z=2处有一个一阶极点。
孤立奇点作为复变函数的重要特点，在实际问题中具有广泛的应用。
其中，最常见的应用是在物理和工程学科中。
例如，孤立奇点可以用于描述流体的天然涡旋或分离特性，还可以用于电磁场中的场分布计算，以及通信系统中的信号传输分析等。
此外，在数学中，孤立奇点还被用于研究解析延拓和拓扑，以及在复分析中的一些基础问题中。
总之，孤立奇点作为复变函数中的重要特征，是理解复分析基础理论中不可或缺的概念之一。
掌握孤立奇点的分类和性质对进一步的研究和应用都至关重要。
36孤立奇点的分类
解析，则称∞点为f(z)的一个孤立奇点。
可令 1
z
则
f
(z)
f
1
(
)
→在ξ平面上，ξ=0为φ(ξ)的孤立奇点
f
(z) ak zk
k
k
ak
1
k
bk k
k
( )
其中 ak=b-k
即 φ(ξ)在原点去心邻域展开式中的负幂项系数 = f(z)在无穷远点去心邻域展开式中的正幂项系数
→ ∞点为本性奇点， a-1=0→留数为零
五、支点
对于多值函数，在支点处各单值分支值相同，则 在支点的邻域内无法将各单值分支分开，即支点 的导数无法定义，所以，支点必是奇点。
正幂部分称为解析(正则)部分，负幂部分称为主要 (无限)部分：
特别地：a-1称为f(z)在z0点的留数。
1)无主要部分：z0称为f(z)的可去奇点；
2)有限项主要部分：z0称为f(z)的极点，若主要部
分为
am (z z0 )m ... a2 (z z0 )2 a1(z z0 )1
则z0称为m阶极点； 3)无限多项主要部分：z0称为本性奇点；
am 0
f (z) am (z z0 )m ... a1(z z0 )1 a0 a1(z z0 ) ...
(zLeabharlann 1 z0 )mam ... a1(z z0 )m1 a0 (z z0 )m ...
(z)
(z z0 )m
则(z0 ) am 0
3) 极点处 lim f (z) zz0
如： f (z) sin z 1 z2 z4 ... (0 | z | )
z
3! 5!
sin z
f1(z)
5.1.15.1.1孤立奇点
sin z 的可去奇点. z
lim sin z 1 z0 z
2 极点
如果洛朗级数中只含有限多个 z z0 的负幂项，
且其中关于 z z0 1的最高幂为 z z0 m , 则称
孤立奇点 z0 为 f (z) 的 m 级极点.
在 0 z 内，有
ez 1
z3
1 z3
n0
zn n!
1 孤立奇点的分类
以洛朗级数为工具对解析函数的孤立奇点分类
2 留数定理
以留数定理为工具对解析函数的复积分计算
沈阳 理工
留数 大学
孤立奇点
1 孤立奇点的定义 2 孤立奇点的分类
一、孤立奇点的定义
如果函数 f (z) 在 z0 点不解析，但在 z0 点的某个
去心邻域 0 z z0 内处处解析，则称点 z0 为 f (z)
1
1 z2
1 2!z
1 3!
1z 4!
由于展开式中关于 z1 的最高幂为 z2 , 因此 z = 0
为函数 ez 1 的二级极点. z3
3 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个 z z0 的负幂项， 则称孤立奇点 z0 为 f (z)的本性奇点.
在 0 z 内，有
sin 1 z1 z3 z5 (1)n1 z(2n1)
根据展开式中负幂项的不同情况将孤立奇点进行分类.
1 可去奇点
如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项， 则称孤立 奇点 z0为 f (z) 的可去奇点.
在 0 z 内，有
sin z 1 (z 1 z3 1 z5 ) 1 1 z2 1 z4
z z 3! 5!
3! 5!
由于展开式中不含 z 的负幂项，因此 z = 0为函数
数学物理实验第六节(孤立奇点分类)
\ z k k 0,1,2,3,为奇点.
从而是 sin z 的三阶零点. \ z 0,± 的三阶极点. 1,± 2,中除去1,1,2外的点都是f z \ z 1,1是f z 的二阶极点.
z 2 1 z 1z 1\ 1,1是它的一阶零点,
上来看这些定义,就一目了然了!
11
如果 f z 在 R z 为孤立奇点定义： 内解析，则称点 为 f z 的孤立奇点
1 令t , f z t , t 在0 t 1 内解析, z R 则t 0为 z 的孤立奇点 .
如 果t 0是 t 的 可 去 奇 点 、 m级 极 点 、 本 性 奇 点 , 则称点 为f z 的 可 去 奇 点 、 m级 极 点 、 本 性 奇 点 .
此洛朗级数的负幂部分叫做解析部分,正幂部分叫做主要部分或 无限部分,如果没有正幂项叫做f(z)在无限远点是解析的,如果只有 有限个正幂,把无限远点叫做f(z)的极点,最高幂指数叫做极点的阶 如果洛朗级数有无限个正幂项,就把无限远点叫做f(z)的本性奇点
1 实际上,只要作变换 t , 可以把无穷变换为零,然后从t平面 z
1 zk 1，k 0， 1， 1 k 2
z k 是一阶极点， z 1
是非孤立奇点
10
四.函数在无穷远处的性态
如果函数f(z)在无限远点的邻域 R z 解析,则可展为
f z
k
k a z k R z
13
z 2为可去奇点，
lim
z 2
2 z 1 z 2
3
1 3 lim 2 1 sin 3 3 0
5-1孤立奇点
由m级极点的定义可得
f z z z0
若令
m
[c m c m 1 z z0 c m 2 z z0 2 ]
2
则 gz 是在 z z0 内解析的函数， 且 gz0 c m 0， 从而f(z)的m级极点的定义也可以叙述成: 若 f z
z c0 c1 z z0 c2 z z0 , 其中 c0 z0 0。
于是 f
z c0 z z0 m c1 z z0 m1 c2 z z0 m2 ,
m1
f z0 0
f z c0mz z0
第五章 留数
本章先以洛朗级数为工具,研究解析函数的孤立奇点.然后引入 留数概念,介绍留数定理,应用留数定理计算沿闭曲线的积分以及 高等数学中计算复杂甚至不能计算的定积分和广义积分.
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用
§1 孤立奇点
定义 如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域
lim f z lim F z F z0 c0
z z0 z z0
所以不论f(z)原来在z0是否有定义,如果我们规定 那末在z0的邻域
f z0 c0
f z c0 c1 z z0 cn z z0
n
z z0 内就有
e e
zn
2n i
1; e e
zn
2n1 i
1;
e
1 zn
e
1 2 n i 2
i.
这说明:在函数f(z)的本性奇点z0的邻域内,对于任意给定的复数A, 总可以找到一个趋向于z0的数列,当z沿这个数列趋向于z0时,f(z)的值 趋向于A. f z 不存在但不为∞. 这实际是指,z趋向于zo时,f(z)的极限 lim z z
课件：5.1 孤立奇点
e
(z 1)2
(1 (z 1) 1 (z 1)2 )
2!
e
(z 1)2
e
z1
e
2!
e (z 1) ,
3!
( 0 | z| ).
(含有限个负幂次项，且最高负幂次为2 )
可见， z 1 为 f (z) 的二阶极点。
解
z0是
f (z) 的奇点，由
lim
z0
f (z) lim z0
展开为洛朗级数：f (z) an(z z0 )n ,
n
(2) 若 N 0, 有 aN 0, 且 n N , 有 an 0 , ( 即含有限个负幂次项 )
则称 z0 为 f (z) 的 N 阶极点；
特别地，当 N 1 时，称 z0 为 f (z) 的简单极点。
四、孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在 0 | z z0 | 内
例 f (z) 1 , P102 例5.3
sin
1 z
(1) 令
sin
1 z
0,
1 z
kπ,
k 0, 1, 2, ,
zk
1 kπ
为孤立奇点；
(2) z 0 也是奇点，但不是孤立奇点。
四、孤立奇点的分类
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在 0 | z z0 | 内
z
1 2!
z2
1 3!
z3
1 4!
z4
1 5!
z5
)
(1
z)]
1 2! z2
5-1孤立奇点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
ez 1 对m Z讨论函数f ( z ) m 在z 0处的性质. z 1 有哪些奇点 ? 如果是极点, 例2 函数 sin z 指出它的阶数 . z 例3 求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e )
如果是极点指出它的阶。 zn 例4 求 f ( z ) z ( n Βιβλιοθήκη 0)的极点。 e 1例如
f (z) e
1 z
----z=0为孤立奇点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 f (z) ----z=1为孤立奇点 z 1 1 f (z) 1 sin z ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
哈 尔 滨 工 程 大 学
1 但因为lim 0, 所以在z 0不论多么小的 n n y 去心邻域内,总有f ( z )的奇点存在，
故z 0不是 1 1 sin z 的孤立奇点。
复 变 函 数 与 积 分 变 换
o
x
这说明奇点 未必是孤立的。
哈 尔 滨 工 程 大 学
二、 孤立奇点的分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级 数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行 分类。 定义 z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0的去心 邻域内，若f (z)的洛朗级数
e z 1 z n 1 z z n 1 1 z z n 0 n ! z 2! n!
z 0是函数的一阶极点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 2 1 n e 1 z z z 2! n!
1 z
1
z 0是函数的本性奇点
三、孤立奇点的性质
z 0
1 z
高校工程数学孤立奇点教学课件
在判断函数的极点时，可比较性质2和性质3。
总结
综上所述，如果z0为f(z)的可去奇点，那末 在且有限；如果z0为f(z)的极点，那末 如果z0为f(z)的本性奇点，那末 存 ； 不存在且不为∞。
因已讨论了孤立奇点的一切可能情形，所以反过来的结论
也戍立。
即可以利用上述极限的不同情形来判别奇点类型。
从而函数f(z)在z0就成为解析的了，由这个原因，所以z0
叫做可去奇点。
可去奇点
说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
f ( z ) c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) .
n
( 0 z z0 )
其和函数 F ( z ) 为在 z0 解析的函数.
1 z 1是函数 的孤立奇点. z 1
孤立奇点的概念
例如 z 0 是函数
sin z z
的孤立奇点.
1 1 si n z 的奇点 .
1 z 0, z ( n 1, 2,)都 是f ( z ) n
注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤 立奇点。
孤立奇点 真的孤立？
其中，g(z)在|z–z0|<δ内是解析的函数，且g(z0)≠0。 反过来，当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式时， 那末z0是f(z)的m级极点。
极点的判定方法
(1) 由定义判别
f ( z ) 的洛朗展开式中含有 z z0 的负幂项为有 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) ( z z0 ) m
孤立奇点的性质
z2 2 例如： f ( z ) 2 ( z 1)( z 1)4
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其它的都可以化为已经解决过的方程：
在这里给出其中的三个：
给定一个ODE后，我们该如何判定它是否为 P—型方程呢？
如果ODE正好是二阶的，并且刚好满足上 述方程形式，那么我们可以通过查painleve’ 等提供的50个方程的表，如果该ODE在 这个
表上，或者经过适当的变换后在这个表上，
那么它就是P—型的。
(1)
1).m=0或1时，对任意a3都满足，故a3就 是第二个积分常数，而此时(3)式确实是在 流动极点z0的领域内(1)式解的Laurent级数
的开始的几项，由于没有其他的代数奇异
点，故没有流动代数分支点。
例1.考虑ODE族：
(1)
2）m 不为0和1时，对于任意的a3,(4)式无
法成立，故对(3)式中必须添加对数项，故
如果ODE是三阶的或是高阶的，那么就得借
助奇异点分析的方法进行判断。
例1.考虑ODE族：
(1)
如果m=0，(1)式的解就是椭圆函数；如果m=1，
那么(1)式你就是PⅡ方程。下面讨论m不为0，1
时的情形，表明此时它具有流动临界点。
下面用到奇异点分析的方法，主要分为下
述三个步骤：
例1.考虑ODE族： 第一步，设：
(1)
此时，(1)式主要项为左边的二阶导数项和右
边的高次项，可得 若取a=1，那么当
由于方程为二阶方程，有两个积分常数，此 时只得到一个z0，故还需对方程进行展开，直 到得到另一个积分常数。
例1.考虑ODE族： 第二步：求展式中 的幂次，
(1)
设：
则 (2)
将(2)代入(1)式中的主要项，将以β开头的项
奇异点的位置随着积分常数的变动而变动，称这种
奇异点为流动奇异点。 例如，对于非线性ODE：
其通解是
此时，z0既是积分常数，也是其奇异点的位置，由 于奇异点的位置随着积分常数的变动而变动，故称这 种奇异点为流动奇异点（movable singularity）。
极点
代数支点
奇 异 点
支点
对数支点
临 界 点
给出，得： 可求得两根，r=-1，此时z0是任意的；r=4， 故可将展式展开成如下形式： (3)
当a3被确定时，第二个积分常数即可被确定。
例1.考虑ODE族： 第三步：将(3)式代入(1)式，使得
(1) 的各次幂次
相等，可得出结果：
对于
的项，我们发现： (4)
故有以下两种可能性：
例1.考虑ODE族：
本性奇点
本世纪初painleve’及其合作者，研究了如下形式 的是在复平面上某
区域关于z的解析函数。
在上述方程中，不具有流动临界点者只有50个， 这种不具有流动临界点的性质称为Painleve’性质。
一般，我们称具有Painleve’性质的方程为P—型方 程，在上述50个方程中，只有6个需要定义新的函数，
化为形式:
此时仍可得到 而在 的项，当a3为任意时，b3可被确定，
此时上述展式，表明流动点z0为对数分支点。
例1.考虑ODE族： 故可得出结论：
(1)
当m=0,1时，方程(1)为P-型方程；
当m不为0，1时，方程(1)具有流动临界点。