垂线的定义及性质
四年级上册数学第八单元垂线与平行线的思维导图
四年级上册数学第八单元垂线与平行线思维导图垂线与平行线是四年级上册数学内容中的重要概念。
通过学习垂线与平行线的性质和应用，孩子们可以更好地理解几何图形的特点。
本文将详细介绍垂线与平行线的相关知识，并提供一些例题进行练习，以帮助孩子们更好地掌握这一知识点。
1. 垂线的定义和性质垂线是与一条直线或线段相交且与之垂直的线段。
垂线的性质如下：•垂线与直线或线段的交点称为垂足，垂足位于被垂直线段的中点。
•四个垂直角是相等的，即两条互相垂直的直线之间的角度都是90度。
•垂线的长度等于被垂直线段两个端点的距离。
2. 垂线的作图方法下面介绍几种常见的垂线作图方法：•利用圆规和直尺作图：先作出一条线段，再以其中一点为圆心，任意半径画弧，再以另一点为圆心，以相同的半径画弧，两个弧交于一点，连接该点与两个端点，即为所求垂线。
•利用直角三角形的性质作图：先作出两条相交的直线AB和CD，连接AD和BC，使之相交于E点，使∠AEC和∠BED成直角，则AE即为所求垂线。
3. 平行线的定义和性质平行线是在同一平面上，永不相交的直线。
平行线的性质如下：•平行线上的任意两条线段之间的距离相等。
•平行线上的任意两个角，如果它们分别与第三线相交，那么这两个角是相等的。
•平行线间的任意两个角，它们的和为180度。
4. 平行线的判定方法下面介绍几种常见的平行线判定方法：•两条直线的斜率相等，且不相交，即可判断这两条直线平行。
•两条直线之间的对应角相等，即可判断这两条直线平行。
•两条直线的任意一组对应角都相等，即可判断这两条直线平行。
5. 垂线与平行线的应用垂线和平行线在几何图形的研究中具有重要的应用价值。
•在正方形、矩形、等边三角形等图形中，垂线和平行线常用于求解图形的各边、角的计算问题。
•在平行四边形中，垂线和平行线的性质可以帮助我们判定四边形的各边是否相等，角是否为直角或是平行四边形。
下面提供一些例题，供同学们练习：1.已知四边形ABCD中，AB//CD，∠BAD=50度，∠BCD=130度，求解∠BAC和∠CDB的大小。
专题5-3 垂线(知识讲解)
专题5.3 垂 线（知识讲解）【学习目标】1. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2. 理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：；直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD ⊥AB ．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．a b ⊥90AOC ∠=°判定性质3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线定义的理解1．【答案】130°或50°【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解：如图∵β的两边与α的两边分别垂直，∵α+β=180°故β=130°，在上述情况下，若反向延长∵β的一边，那么∵β的补角的两边也与∵α的两边互相垂直，故此时∵β=50；综上可知：∵β=50°或130°，故正确答案为：【点拨】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.举一反三：【变式1】如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE为直角，∠AOE=60°，则∠BOD=__________°．【答案】150解：试题分析：首先根据直角定义可得∵COE=90°，再根据角的和差关系可得∵AOC=∵COE+∵AOE=90°+60°=150°，根据对顶角相等可得∵BOD=∵AOC=150°．【变式2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE∠AB，O为垂足，∠EOD=30°，则∠AOC=_______【答案】60°【分析】首先根据OE∵AB，可得∵EOB＝90°，然后根据∵EOD＝30°，求出∵BOD的度数，再根据对顶角相等，即可判断出∵AOC的度数是多少．解：∵OE∵AB，∵∵EOB＝90°．∵∵EOD＝30°，∵∵BOD＝90°﹣30°＝60°．∵∵AOC＝∵BOD，∵∵AOC＝60°．故答案为60°．【点拨】（1）此题主要考查了垂线的性质和应用，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：垂线的性质在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）此题还考查了对顶角的特征和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：对顶角相等．类型二、画垂线2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线段PE．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”【分析】前两问尺规作图见详解,第（3）问中利用垂线段最短即可解题.解：（1）（2）如图所示．（3）在直角∵FPO中,PO＜FO,在直角∵PEO中,PE＜PO,∵PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”．【点拨】本题考查了尺规作图和垂线段的性质,属于简单题,熟悉尺规作图的方法和步骤,垂线段的性质是解题关键.举一反三：【变式1】如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．（1）过C点画OB的垂线，交OA于点D；（2）过C 点画OA 的垂线，垂足为E ；（3）比较线段CE ，OD ，CD 的大小（请直接写出结论）；（4）请写出第（3）小题图中与∠AOB 互余的角（不增添其它字母）．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）CE ＜CD ＜OD ；（4）与∵AOB 互余的角是∵OCE与∵ODC【分析】(1)作DC∵OB 即可；(2)作CE∵OA 即可；(3)根据垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边即可得出结论；(4)根据两角互余的定义即可得出结论．解：解：(1)、(2)如图所示；(3)∵CE∵OA ，∵CE ＜CD.∵∵OCD 中OD 是斜边，CD 是直角边，∵CD ＜OD ，∵CE ＜CD ＜OD ；(4) ∵CE∵OA ，∵∵AOB+∵OCE=90°．∵CD∵OB ，∵∵AOB+∵ODC=90°，∵与∵AOB 互余的角是∵OCE 与∵ODC ．【点拨】本题考查的是作图-基本作图，熟知垂线的作法是解答此题的关键．【变式2】如图，90AOB ∠=︒，在AOB ∠的内部有一条射线OC .（1）画射线.OD OC ⊥（2）写出此时AOD ∠与BOC ∠的数量关系，并说明理由.【答案】（1）作图见解析（2）（1）AOD BOC ∠=∠或180AOD BOC ∠+∠=︒【解析】试题分析：（1）根据基本作图—做已知直线的垂线即可；（2）通过图形判断即可.试题解析：（1）画图，如下图（2）AOD BOC ∠=∠或180AOD BOC ∠+∠=︒类型三、垂线段最短3．如图所示，在∠ABC 中，AC=5，BC=6，BC 边上高AD=4，若点P 在边AC 上（不含端点）移动，求BP 最短时的值．【答案】245【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP 垂直于AC 时，BP 的长最小，利用面积法即可求出此时BP 的长．解：根据垂线段最短可知，当BP ∵AC 时，BP 最短．∵S ∵ABC 12=⨯BC ×AD 12=⨯AC ×BP ，∵6×4=5BP ，∵PB 245=，即BP 最短时的值为：245． 【点拨】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是解答本题的关键．【变式1】如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是______________．(2)在直线MN上取一点D，使线段AD＋BD最短．依据是______________________．【答案】垂线段最短两点之间，线段最短【分析】(1)过A作AC∵MN，AC最短；(2)连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．解：(1)过A作AC∵MN，根据垂线段最短，故答案为垂线段最短；(2)连接AB交MN于D，根据是两点之间线段最短，故答案为两点之间线段最短．【点拨】本题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．【变式2】火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．(1)从火车站到码头怎样走最近？(2)从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】(1)从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离，依据两点之间线段最短解答即可；(2)从码头到铁路的距离是点到直线的距离，依据垂线段最短解答即可．(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿BD走，垂线段最短.【点拨】本题考查了线段的性质、垂线段的性质，根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．类型四、点到直线的距离4．如图，已知直线AB及直线AB外一点P，按下列要求完成画图和解答：（1）连接PA，PB，用量角器画出∠APB的平分线PC，交AB于点C；（2）过点P作PD∠AB于点D；（3）用刻度尺取AB中点E，连接PE；（4）根据图形回答：点P到直线AB的距离是线段的长度．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）PD．解：试题分析：(1)、用量角器量出∵APB的度数，然后求出一半的度数得出答案；(2)、根据垂线的作法得出答案；(3)、用刻度尺量出AB的长度，然后找出中点，从而得出答案；(4)、点到直线的距离是指点到直线垂线段的长度．解：(1)、如图所示；(2)、如图所示；(3)、如图所示；(4)、PD ．举一反三：【变式1】 如图,AC BC ⊥9,AC =12,BC =15AB =.（1）试说出点A 到直线BC 的距离；点B 到直线AC 的距离；（2）点C 到直线AB 的距离是多少？【答案】（1）点A 到直线BC 的距离、点B 到直线AC 的距离分别是9，12；（2）365【分析】根据点到直线的距离即为垂线段的距离，求解即可.解：（1）∵,AC BC ⊥9,AC =12BC =，∵点A 到直线BC 的距离、点B 到直线AC 的距离分别是9，12.（2）设点C 到直线AB 的距离为h ， ABC 的面积为1122BC AC AB h ⋅=⋅，∵15129h =⨯， ∵365h =.∵点C 到直线AB 的距离为365.【点拨】此题主要考查对垂线段的理解，熟练掌握，即可解题.【变式2】如图，∠ABC 中，∠A+∠B=900.∠根据要求画图：∠过点C 画直线MN∠AB∠过点C画AB的垂线，交AB于点D．∠请在∠的基础上回答下列问题：∠已知∠B+∠DCB=900，则∠A与∠DCB的大小关系为__________，理由是__________.∠图中线段_________的长度表示点A到直线CD的距离.【答案】（1）作图见解析（2）∵ ；∵A=∵DCB；同角的余角相等；∵AD解：试题分析：（1）根据题意画出MN∵AB，CD∵AB于D；（2）∵根据同角的余角相等可判断∵A=∵DCB；∵根据点到直线的距离的定义求解．试题解析：解：（1）∵如图，MN为所求；∵如图，CD为所求；（2）∵∵∵B+∵DCB=90°，∵B+∵A=90°，∵∵A=∵DCB；∵线段AD长度表示点A到直线CD的距离．故答案为∵A=∵DCB，同角的余角相等；AD．。
第二节垂线
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线。 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
B C 1
O
n
O
A
练习： 1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F A
F
C D M A P
B
E
2、如图，过P分别作OA、 OB的垂线。 O 解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
N
B
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他 在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边 m呢？
垂线段最短
C
想一想： 已知： 如图AD＜AE ＜AC＜AB 能说AD的长是A到BC的 A 距离吗？
答：不能。
B D EC
例2：如图2-22，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D， DE⊥BC于E．试比较四条线段AC，CD，DE和AB 的大小 解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂线的性质二) 又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂线的性质二) ∵ DE⊥CE于E，(已知) ∴ DE＜CD．(垂线的性质二) ∴ AB＞AC＞CD＞DE．
七年级垂线知识点
七年级垂线知识点在中学数学中，垂线是一个重要的概念。
垂线是指从一个点到一个平面或直线上的垂直线。
在本文中，我们将介绍一些关于垂线的基本知识和应用。
一、垂线的定义与性质定义：垂线是一个点到直线或平面的垂直线。
性质：1. 垂线所在的直线或平面上的所有点到直线或平面的距离相等。
2. 垂线所在的直线或平面与另一个线段或平面的垂线相交，相交角为90度。
3. 如果两条直线相交，它们的垂线相交于同一点。
二、垂线的作用垂线在几何中具有广泛的应用，特别是在三角形的研究中。
以下是一些垂线的应用：1. 三角形的垂心：三角形的三条垂线交于同一点，称为垂心。
2. 斜线段分成两部分：斜线段上的垂线可以将斜线段分成两部分。
3. 两线段之间的距离：两条不相交的线段之间的距离可以通过将它们分别延伸成垂线并测量垂线之间的距离来计算。
三、垂线的构造在几何中，可以使用直尺和圆规等工具来构造垂线。
以下是一些常用的构造方法：1. 已知一条直线和一点，可以使用圆规和直尺构造垂线。
2. 已知一个角度，可以使用圆规和直尺构造垂线。
3. 已知两条平行线，可以使用圆规和直尺构造垂线。
四、垂线的实例垂线是几何学中的一个基本概念，它在现实生活中也具有广泛的应用。
以下是一些垂线的实例：1. 电信杆：电信杆上的天线和垂直于地面的支柱之间的线段是垂线。
2. 照明杆：路灯杆上的灯和垂直于地面的支柱之间的线段也是垂线。
3. 射击训练：射击训练中的靶心上的垂线可以帮助射手确定枪口的位置。
结论垂线是一个重要的几何概念，在许多不同的几何问题中都有应用。
了解垂线的定义、性质和应用可以帮助学生进一步理解和掌握几何知识。
垂直线的判定与性质
垂直线的判定与性质在几何学中，垂直线是一个重要的概念。
在本文中，我们将讨论如何判定两条线是否垂直以及垂直线的性质。
通过了解垂直线的定义和性质，我们可以更好地理解几何学中的垂直关系。
一、垂直线的定义垂直线是指两条线或线段之间的夹角为90度的线。
当两条线或线段的夹角等于90度时，我们就可以说它们是垂直的。
这个定义告诉我们如何判定两条线是否垂直。
二、垂直线的判定方法1. 几何推理法：通过几何推理的方法，可以快速判定两条线是否垂直。
如果两条线段之间的夹角为90度，那么它们就是垂直的。
通过观察几何图形的形状和角度，我们可以轻松判定线段是否垂直。
2. 斜率法：在解析几何中，我们可以使用斜率来判断两条线段是否垂直。
如果两条线段的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
具体的计算方法是比较两条线段的斜率乘积是否等于-1，如果等于-1，则说明它们是垂直的。
三、垂直线的性质1. 互补角性质：两条垂直线之间的夹角是互补角，即它们的和等于90度。
这个性质使得我们可以通过已知其中一条垂直线的角度，快速计算出另一条垂直线的角度。
2. 线段垂直平分性质：如果一条线段与另外两条垂直线相交，并将它们分成两部分，那么这条线段就是这两条垂直线的垂直平分线。
这个性质在几何证明中经常被使用，它说明了垂直线的重要性。
3. 垂直线的延伸性：垂直线可以无限延伸。
无论在平面内或空间中，一条垂直线都可以一直延伸下去，没有止境。
这个性质使得垂直线在几何学中具有独特的特点和应用。
四、垂直线的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直线的应用非常广泛。
例如，在建造一栋建筑物时，垂直线被用来确保墙面的垂直和地面的垂直。
通过使用垂直线，可以保证建筑物的结构稳定和美观。
2. 地图标示：在地图上，垂直线通常用来标示方向。
例如，纬度线和经度线是垂直于彼此的线，它们被用来确定地球上任意一个地点的位置。
通过使用垂直线，我们可以准确地定位和导航。
3. 几何证明：在几何证明中，垂直线经常被用来推导其他几何命题。
三角形中的垂线
三角形中的垂线三角形是几何学中的一个基本概念，它有着丰富的性质和特点。
在三角形中，垂线是一种重要的特殊线段，它有着独特的性质和应用。
本文将探讨三角形中的垂线及其相关内容。
一、垂线的定义在三角形ABC中，假设点D在线段BC上，如果线段AD和BC垂直相交，那么我们称线段AD为三角形ABC的垂线。
垂线是由三角形的某一个顶点引出，并与对边垂直相交。
二、垂线的性质1. 垂线的独特性质三角形中的垂线具有以下独特性质：（1）垂线与对边垂直相交，即垂线和对边之间的夹角为直角；（2）垂线长度相等，即从三角形的顶点引出的所有垂线长度相等；（3）垂线对三角形的内心有着特殊作用，垂线上每一点与三角形的内心连线的长度都相等。
2. 垂线的保角性质三角形中的垂线具有保角性质，即通过垂线使得两个角保持不变。
如果在三角形ABC的三个顶点上分别引出垂线AD、BE和CF，那么∠ADC = ∠BEC = ∠CFA。
三、垂心垂心是指三角形的三条垂线的交点。
在任意三角形中，三条垂线的交点都是一个固定点，被称为垂心。
垂心是三角形的一个重要点，它具有诸多重要性质。
（1）垂心到三角形三个顶点之间的连线构成的三角形，称为垂心三角形。
垂心三角形的三个角是90°，因为以垂心为顶点的三个角的对边分别为三角形的垂线。
（2）垂心与三个顶点之间的连线构成的三角形是全等三角形。
即∠AHD = ∠BHE = ∠CFD，并且以垂心为顶点的三个角相等，都是90°角。
四、垂线的应用垂线作为几何学的一个重要概念，在实际应用中有着广泛的运用。
1. 三角形面积的计算通过三角形的某一顶点引出垂线，可以将三角形分割为两个直角三角形。
根据直角三角形面积的计算公式（面积 = 底×高÷2），可以通过垂线的长度计算出三角形的面积。
2. 三角形的相似性质垂线具有保角性质，通过垂线可以建立三角形之间的相似关系。
相似三角形的边长之比等于相应的垂线之比。
垂线的定义和性质
有且只有一条直线垂直于已知直线；③在同一平面
内，过一点可以画一条直线垂直于已知直线；④在
同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个 C．3作直线l的垂线和斜线，叙述正确的 是( ) A．都能作且只能作一条 B．垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条 C．垂线能作两条，斜线可作无数条 D．均可作无数条
知1－导
知1－讲
要点精析： (1)在两条直线相交所成的四个角中，只要其中有一
个角是直角，即可由邻补角与对顶角的性质，得 到另三个角也是直角． (2)垂直定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已 知线垂直得直角． (3)垂线是直线：当遇到线段与射线的垂直问题时， 都是指它们所在的直线互相垂直．
知1－讲
知1－练
3 如图，点O在直线AB上且OC⊥OD，若∠COA＝ 36°，则∠DOB的大小为( ) A．36° B．54° C．55° D．44°
知1－练
4 已知在同一平面内：
①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→①
②中，正确的有( )
知1－讲
总结
知1－讲
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直， 主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所成 的四个角中有一个角是直角即可．
知1－练
1 (2015·济南)如图，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2 的度数是( ) A．35° B．45° C．55° D．70°
知1－练
2 如图，CD⊥EF，垂足为O，AB是过点O的直线， ∠1＝50°，则∠2的度数为( ) A．50° B．40° C．60° D．70°
归纳
知1－导
高中几何知识解析垂直线的性质与判定
高中几何知识解析垂直线的性质与判定在几何学中，垂直线是一种重要的概念。
垂直线的性质与判定在解决几何问题时起着重要的作用。
本文将对高中几何知识中垂直线的性质与判定进行详细解析。
一、垂直线的性质垂直线的性质主要表现在以下几个方面：1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线相交的情况下，相交角度为90度的直线。
就是说，两条直线互相垂直。
在数学上，通常用垂直符号“⊥”来表示垂直关系。
2. 垂直线的特点垂直线的特点主要体现在以下几个方面：(1) 垂直线的斜率积为-1。
斜率是直线的一个重要性质，垂直线的斜率之积为-1。
(2) 垂直线上的线段等于零度线段。
两个垂直线上的线段，在相交点处等于零度线段。
3. 垂直线的性质应用在实际生活和学习中，垂直线的性质应用广泛。
比如，在建筑设计中，为了保证立柱的稳定性，垂直线的使用是必不可少的。
此外，在地图测量、平面布局等方面，垂直线的运用也十分重要。
二、垂直线的判定方法在几何学中，判定两条线是否垂直是非常重要的。
有以下几种常见的判定方法：1. 通过斜率判定两条直线的斜率之积为-1时，可以判定这两条直线垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 计算两条直线的斜率。
(2) 如果两条直线的斜率之积等于-1，则可以判断这两条直线垂直。
2. 通过向量判定两条非零向量的数量积为0时，可以判定这两条向量垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 计算两条向量的数量积。
(2) 如果两条向量的数量积等于0，则可以判断这两条向量垂直。
3. 通过坐标判定两条线段所在直线的法向量相同时，可以判定这两条线段垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 确定两条线段的方向向量。
(2) 计算两条线段方向向量之间的夹角。
(3) 如果两条线段方向向量之间的夹角为90度，则可以判断这两条线段垂直。
三、垂直线的应用举例1. 正交坐标系在二维平面几何中，正交坐标系是一种常见的坐标系形式。
正交坐标系的特点就是两条坐标轴垂直。
2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角为90度。
垂线
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是( C )
(A) AC (B) BC (C) CD (D) 不能确定 C B
A
D
3.直线I上有ABC三点，直线I外有一点，且 PA=2,PB=3，PC=5,那么P到直线I的距离 （ ） Ａ等于2 B小于2 C小于或等于2 Ｄ大于2且小于3 4.如图所示，何大伯从A处牵牛到河边I处饮 Ａ 水，应沿怎么的路线最近？ 。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 α b 2.垂直的表示： O 用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为： a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
B
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∵ ∠DOE= 50° （已知） B A O ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) C F ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－ 80°=100°(邻补角定义)
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线 段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
l
例：如图，是一个同学跳远的位置 A 跳远成绩怎么表示? l 回顾：两点距离、点到线的距离 解:过P点作PA⊥l于 P 点A ，垂线段PA的长 A 度就是该同学的跳远成 绩.
书本习题。
1、选择题：
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D )
垂线的定义和性质垂直的判定定理和性质定理垂线的画法步骤
一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
三、垂直的判定：垂线的定义。
四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。
这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。
2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。
3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。
五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。
平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。
空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。
六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。
七年级数学垂线的知识点
七年级数学垂线的知识点数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，而垂线是数学中一个重要的概念。
在七年级的数学学习中，垂线也是重要的知识点之一。
那么，我们应该如何理解和掌握垂线的概念呢？接下来，我们将从以下几个方面进行探讨。
一、垂线的定义和性质垂线是指从一条线段的一个端点引出的，与这条线段垂直相交的线段。
垂线的性质包括以下几点：1. 垂线和被垂直的直线之间的夹角为90度。
2. 如果线段AB和CD在一个平面内，且AB和CD不平行，则它们至少有一条公共垂线。
3. 如果两条垂线在同一个点相交，那么这两条垂线所在的直线垂直。
二、垂线的作用垂线在数学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 求两条直线的垂直关系。
如果两条直线相交且相互垂直，那么它们可以构成一个直角。
2. 在平面几何中，垂线可以用来构造各种图形，如三角形、梯形、正方形等。
3. 在计算机科学中，垂线可以用来计算向量和向量之间的夹角，从而实现计算机图形的旋转和变形。
三、垂线的求解在实际问题中，我们常常需要求解垂线的长度和坐标。
以下是几个求解垂线的方法：1. 使用勾股定理和垂线的性质。
如果我们知道线段的两个端点的坐标，那么我们可以通过勾股定理和垂线的性质求出垂线的长度和坐标。
2. 利用向量的知识。
如果我们知道两个向量的坐标，那么我们可以通过向量的点积和长度求解垂线。
3. 利用函数的知识。
如果我们知道函数的方程和点的坐标，那么我们可以通过函数的导数求解垂线。
总之，垂线是数学中一个重要的概念。
掌握垂线的定义、性质和使用方法，对我们的数学学习和应用都有很大的帮助。
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
七年级垂线的知识点归纳
七年级垂线的知识点归纳垂线是初中数学中一个基础而重要的概念，也是许多几何问题的基础。
在七年级的数学学习中，垂线的知识点也是必须掌握和理解的。
本文将对七年级垂线的知识点进行归纳，帮助学生更好地掌握该知识点。
一、垂线的定义垂线是指从一个点到线段所在直线的垂直线段。
它与线段的两端点连线的夹角为90度。
二、垂线的性质1.相交于一点：一条垂线一定与所在的直线相交于一个点。
2.垂线段最短：如果从一个点到直线只能沿着该直线或沿着它的垂线段到达时，垂线段是最短的。
3.构成的两个角互补：垂线所构成的两个角为90度和一个角度，两个角互补。
三、垂线的作用1.判断是否垂直：找到两条线段之间的垂线可以判断它们是否垂直。
2.求垂足：线段上的任意一点都可以通过线段的垂线构造出它到线段的垂足。
3.解决几何问题：垂线在许多几何问题中都起着重要的作用，例如在求解三角形的中线、高线等问题中。
四、垂线的实例应用1.求互相垂直的直线：两条直线互相垂直，意味着它们形成的角度为90度。
为判断两条直线是否垂直，可以通过找到它们的交点和垂线的方法。
2.求线段上的垂足：当需要通过一点到达直线时，可以通过垂线的方法，在直线上找到垂足。
3.求解几何问题：许多几何问题可以通过垂线的构造找到答案，例如求三角形的中线或高线、判断一个点是否在三角形内部等。
以上是七年级垂线的知识点归纳。
希望这些知识点可以帮助学生更好地掌握和理解垂线的概念和作用。
同时，在学习中还需多多联系，提高自己的应用能力，达到真正的掌握和灵活运用。
垂线的知识点总结
垂线的知识点总结一、垂线的定义垂线指的是两条线段或直线之间的垂直关系。
具体来说，如果一条线段或直线与另一条线段或直线交于一点，并且与后者所在的平面垂直，则这条线段或直线就称为与后者垂直，即为垂线。
二、垂线的性质1. 垂线的引理：垂线的引理是垂线的一个重要性质。
它指出，如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们所在的两个平面也是垂直的。
这个引理在证明许多几何问题时经常使用。
2. 垂线的对称性：如果一条线段与另一条线段垂直，那么这两条线段在垂直平面内是对称的。
这个性质也是垂线的一个重要特点，它可以帮助我们简化几何问题的分析。
3. 垂线的垂直交角：如果两条直线相交于一点，并且它们分别与另一条直线垂直，那么它们之间的交角是直角。
这是垂线的一个重要性质，它直接体现了垂线的垂直关系。
4. 垂线的长度关系：如果两条垂线相交于一点，并且它们与另一条直线平行，那么它们的长度之比等于平行线之间的距离之比。
这个性质可以帮助我们计算垂线的长度，解决实际问题。
5. 垂线的平行性：如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们的垂直平面内的相交线段互相平行。
这个性质在建筑设计和工程测量中有着广泛的应用。
三、垂线的定理1. 垂线定理：垂线定理是关于垂线性质的一个重要定理。
它指出，如果两条直线相交，那么它们的垂线相交的线段互相垂直。
这个定理在证明几何问题时经常使用。
2. 垂线分割定理：垂线分割定理是关于垂线长度关系的一个重要定理。
它表明，如果一条垂线将一个三角形的底边平分，那么它被底边分割的两个线段之比等于与底边垂直的两个高之比。
这个定理在计算三角形的边长和面积时非常有用。
3. 垂线延长定理：垂线延长定理是关于垂线的对称性的一个重要定理。
它表明，如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们所在的两个平面内的任意一点与对称点的连线垂直于两条垂直直线的交点。
这个定理在证明对称性问题时非常有用。
四、垂线的相关应用1. 在三角形中的应用：垂线在三角形中有着广泛的应用。
垂直线的判定条件和性质
垂直线的判定条件和性质垂直线在几何学中是指两条线段或直线相互交叉成直角的情况。
在解决几何问题和计算中，判定两条线段或直线是否垂直是非常重要的，这需要我们掌握垂直线的判定条件和性质。
本文将探讨垂直线的判定条件以及其相关性质。
一、垂直线的判定条件1. 判定条件一：斜率之乘积为负一两条线段或直线垂直的一个充分必要条件是它们的斜率之乘积等于负一。
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么L1与L2垂直的条件为k1 * k2 = -1。
2. 判定条件二：直角三角形的两条边斜率之积为负一当我们面对三角形ABC，其中AB与AC垂直时，可以利用直角三角形两条边斜率之积为负一的判定条件进行判定。
如果直线L1通过A与B两个点，直线L2通过A与C两个点，然后计算斜率k1与斜率k2，如果k1 * k2 = -1，则可得知AB与AC垂直。
二、垂直线的性质1. 性质一：垂直线的斜率性质在判定垂直线时，我们可以通过直线的斜率来判断。
如果一条直线的斜率为k，那么与其垂直的直线的斜率为-k的倒数（即-1/k）。
这个性质可以帮助我们在已知一条直线的斜率时，迅速判定与其垂直的直线的斜率。
2. 性质二：垂直线上两条线段的长度乘积为定值设直线L与坐标轴相交于A点，若点B, C分别在L上，则AB与AC的长度之积等于定值，即|AB| * |AC| = k。
这个性质表明，垂直线上两条线段的长度乘积是固定的，可以利用这个性质来解决一些相关的计算问题。
三、垂直线的应用举例1. 应用一：判定直线方程当我们给定一个直线的方程，例如y = 2x + 3，如何判定它是否垂直于另外一条直线？我们只需要计算给定直线的斜率，然后利用垂直线的性质一来判断。
在这个例子中，斜率为2的直线垂直于斜率为-1/2的直线。
2. 应用二：计算两条直线的交点坐标如果我们需要计算两条直线的交点坐标，并且已知其中一条直线为垂直线，可以利用垂直线的性质二来解决。
假设垂直线L与x轴交于点A，直线L与直线M交于点B，我们已知点A和线段AB的长度，通过计算可以得到交点B的坐标。
垂线及其性质
垂线及其性质垂线是几何学中的一个基本概念，它在我们日常生活和数学研究中都起着非常重要的作用。
垂线有许多特性和性质，理解并掌握这些性质对于深入研究几何学非常重要。
本文将介绍垂线的定义、性质以及相关应用。
一、垂线的定义在几何中，垂线指的是一个与给定线段或直线相交的线段或直线，并且与给定线段或直线的交点成直角。
垂线可以理解为垂直于给定线段或直线的线段或直线。
二、垂线与垂直关系垂直是几何学中一个非常重要的概念，与垂线密切相关。
当两条线段或直线的夹角为90度时，我们称它们为相互垂直或互相垂直。
垂线与给定线段或直线垂直相交，因此可以说垂线与给定线段或直线垂直。
三、垂线的性质1. 垂线的长度：垂线长度等于两点之间的距离。
根据勾股定理，在平面几何中，如果A、B两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则垂线AB的长度可以通过勾股定理计算，即d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
2. 垂线交点的唯一性：给定一条线段或直线和一个点，通过这个点可以作一条唯一的垂线与给定线段或直线相交。
3. 垂线的方向：垂线始终垂直于所给定的线段或直线，在二维平面几何中，与给定线段或直线的夹角为90度。
4. 垂线的对称性：通过某点可以引出的垂线与通过该点的直线互相垂直，并且垂线与直线关于该点对称。
5. 垂线的应用：垂线可以应用于求解几何图形的性质，如求解三角形的高、中位线等，也可以用于实际生活问题的解决，如建筑设计、地理测量等。
四、垂线的应用举例1. 三角形内心：对于任意一个三角形ABC，如果以三角形的三条边为直径作圆，这三个圆的交点就是三角形的内心。
内心到三角形的三边上的点可以通过作垂线来求解。
2. 平行线的判定：当两条直线与一条第三线相交，且交点处的对应角相等时，可以判定两条直线平行。
可以通过作垂线来判断两条直线是否平行。
3. 同类四边形的证明：对于一个四边形ABCD，如果有两组对边互相平行，并且对应边的长度相等，则可以证明该四边形为同类四边形。
垂直线的性质
垂直线的性质垂直线是我们在几何学里常常遇到的一种特殊情况，其性质与其他直线形式有所不同。
在本文中，我们将探讨垂直线的定义、性质以及相关定理。
通过对垂直线的深入理解，我们可以更好地应用它们来解决几何问题。
1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线在某一点上交成的角度为90度的情况。
当两条直线互相垂直时，它们可以称为垂直线。
2. 垂直线的性质垂直线具有以下几个重要的性质：- 垂直线之间的角度为90度。
当两条线段相交形成的角度为90度时，我们可以判定它们是垂直的。
- 垂直线上的点到另一条直线的距离相等。
当一条垂直线上的点垂直于另一条直线时，该点到直线的垂直距离将与垂线的长度相等。
- 垂直线可以帮助我们确定形状和位置。
在建筑设计、工程测量和几何推理中，垂直线经常被用来确定垂直关系和形状位置。
3. 相关定理- 垂直线与水平线的关系：垂直线与水平线构成直角。
- 平行线与垂直线的关系：如果一条直线与两条平行线相交，且与其中一条平行线垂直，则它也与另一条平行线垂直。
通过对垂直线性质的深入理解，我们可以应用这些性质来解决一些相关的几何问题。
例如，在解题时，我们可以利用垂直线的定义和性质来确定符合条件的几何形状，从而找出问题的答案。
总结垂直线是几何学中常见的一种直线形式，其性质与其他直线有所不同。
了解垂直线的定义、性质以及相关定理对我们理解几何学中的垂直关系和问题求解非常重要。
在应用垂直线解题时，我们需要灵活运用这些性质，挖掘出问题中的隐藏条件，进而找到正确的答案。
最重要的是，在学习垂直线的同时，我们也需要与其他几何概念和定理进行联系，形成一个完整而系统的几何学知识框架。
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垂线的定义及性质
知能点分类训练：
知能点1：垂线的定义及性质
一、课前检测：
1. 填空．
（1）当两条直线相交所成的四个角中_________，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫_________，它们的交点叫_________．
（2）过直线上或直线外一点，_________与已知直线垂直．
（3）如图①所示，若AB⊥CD于O，则∠AOD=_______；若∠BOD=90°，则AB_______CD．（4）如图②所示，已知AO⊥BC于O，那么∠1与∠2_______．
2．如图所示，OA⊥OB，OC是一条射线，若∠AOC=120°，则∠BOC=_______。
3. 如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（）．
A．26°B．64°
C．54°D．以上答案都不对
二、知识点窜讲
知能点2：垂线的画法
4．（1）如图①所示，用三角板过A点画直线l的垂线．
（2）如图②所示，过点B作直线AC的垂线BE，垂足为D．
5．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．
（1）过点P画AB的垂线段PE．
（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．
（3）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么?
知能点3：点到直线的距离及“垂线段最短”的性质在实际生活中的应用
6．在下列语句中，正确的是（）．
A．在平面上，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
7. 如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5 cm，BC=12 cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是_________，点A到BC的距离是_________，点C到AB的距离是_________，AC>CD的依据是_________．
8．一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．（1）设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置；
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离C，D两加油站都越来越近?在哪一段路上距离加油站D越来越近，而离加油站C却越来越远?
规律方法应用：
9．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短?画出线路图，并说明理由．
10. 如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）．
①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④点D到BC的距离是线段AD的长度⑤线段AB的长度是点B到AC的距离⑥线段AB是点B到AC的距离⑦AD>BD
A．2个B．4个C．7个D．0个
三、开放探索创新：
11．随意画一个锐角∠MON和一个钝角∠M′O′N′，画出∠MON的角平分线OP和∠M′O′N′的角平分线0′P′，如图所示．
（1）在OP上任取一点A，画AB⊥OM，AC⊥ON，垂足分别为B，C两点．
（2）在O′P′上任取一点A′，画A′B′⊥O′M′，A′C′⊥O′N′，垂足分别是B′，C′两点．
（3）通过度量线段AB，AC，A′B′，A′C′的长度，发现AB__________AC，A′B′_______A′C′．（填“=”或“≠”）
（4）通过上面的画图和度量，和同学们交流一下，有什么猜想，请用一句话表述出来．四、实战演练：
12．（安徽）如图所示，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个
13．（黑龙江）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示．点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（）．
A．3个B．4个C．5个D．6个
14. （连云港）如图所示，直线l1∥l2，l3⊥l4．有三个命题：①∠1+∠3=90°，②∠2+∠3=90°，③∠2=∠4．下列说法中，正确的是（）．
A．只有①正确B．只有②正确
C．①和③正确D．①②③都正确。