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中考数学24题专项训练(含答案)-

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天津中考数学第24题（几何压轴题）思路分析及真题练习

天津中考数学第24题（几何压轴题）思路分析及真题练习

天津中考数学第24题（几何压轴题）思路分析及真题练习思路分析：观察近几年的中考真题可以发现，每年倒数第二题的出题形式，都是将几何图形放在平面直角坐标系中。

但是，由于解析几何要到高中才学，所以坐标系在这里其实只能起到一个确定点的坐标的作用。

当然，如果把直线看成一次函数图像，一次函数解析式就是直线方程，也就可以将直线交点问题，转化为方程组求解问题，但在这道题中通常都不需要这样做。

题目每年都会对几何图形进行变换，近六年的变换规律是：旋转、对称、旋转、对称、旋转、平移，明年应该大概率是旋转。

因为无论是对称变换、旋转变换还是平移变换，图形的大小和形状都不会发生改变，所以每年的题目都会涉及到全等。

由于在图形变换的过程中，全等的判定通常都是比较容易的，所以本题对全等的考察又主要在全等性质的应用上。

题目设问无论是点的坐标、线段的长还是图形的面积，其核心都是求距离。

所有的距离又都可以转化为求两点间的距离或求点到直线间的距离。

任意两点之间的距离公式虽然要高中才学，但我们可以将两点之间的距离转化为求一个直角三角形的斜边长，用勾股定理求解。

因此，我们会发现每年的题目中几乎都会涉及到勾股定理。

任意点到任意直线的距离公式也要到高中才会学习，但对于一些特殊情况，我们现在就可以做了。

每年的第一问，都是送分问，用一次勾股定理基本都可以解决。

第二问和第三问，解题的关键是要抓住全等的性质和特殊三角形。

第三问通常也会和其它知识点结合，但涉及的都是一些基础知识点，基本功扎实的同学，问题都不大。

最后提醒一下，当对图形进行旋转变换时，尤其需要注意其与圆的结合。

在研究点、直线、圆和圆的位置关系时，只需要研究它们和圆心的位置关系即可。

而在旋转变换时，旋转中心自然就是圆心。

真题练习参考答案。

中考数学数与式专题训练50题(含答案)

中考数学数与式专题训练50题(含答案)

中考数学数与式专题知识训练50题含答案 （有理数、实数、代数、因式分解、二次根式）一、单选题1．下列运算正确的是（ ） A ．()328-=B ．33--=C ．()326-=-D ．()239--=-2．下列说法正确的是（ ） A ．1的立方根是它本身 B ．4的平方根是2 C ．9的立方根是3D ．0没有算术平方根3．比﹣2小的数是（ ） A ．﹣1B ．﹣3C ．0D ．﹣124．下列计算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅=B ．22325a b 3ab 3a b -⋅=C ．0(π 3.14) 3.14π-=-D ．3262(a b)a b =5．长城总长约为670000米，用科学记数法表示为（ ） A ．56.710⨯米 B ．50.6710⨯米 C ．46.710⨯米D ．60.6710⨯米6．下列计算正确的是（ ） A ．x 2+x 3=x 5B ．x 2•x 3=x 6C ．（x 2）3=x 5D ．x 5÷x 3=x 27．一定相等的是（ ） A ．a 2+a 2与a 4B ．（a 3）3与a 9C ．a 2﹣a 2与2a 2D ．a 6÷a 2与a 38．对于有理数a ，b 定义2a b a b =-，则()3x y x +化简后得（ ）A ．2x y +B ．2x y -+C ．52x y +D ．52x y -+9．下列运算正确的是（ ）A B ．2=C ．22=D 4=±10．N 是一个单项式，且22223N x y ax y ⋅=（－）－，则N 等于（ ） A ．32ayB ．3ay －C ．32xy －D ．12axy11．下列计算正确的是（ ） A ．()235a a =B ．()23624m m -=C ．623a a a ÷=D ．()222a b a b +=+ 12．（ ）A ．2B ．C ．D ．13．下列计算中，结果正确的是（ ） A ．a 3 ＋a ＝2a 4B ．a 3•a 2＝a 6C ．2a 6÷a 2 ＝2a 3D ．（a 2）4 ＝a 814．下列各组代数式中没有公因式的是 （ ） A ．4a 2bc 与8abc 2 B ．a 3b 2+1与a 2b 3–1 C ．b (a –2b )2与a （2b –a ）2 D ．x +1与x 2–115．下列计算正确的是（ ）A 3=±B 3=-C ．(23= D ．23=-161m -，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >B ．1m <C ．m 1≥D ．1m17．下列运算中，计算结果正确的是（ ） A ．a2•a3=a6B ．a2+a3=a5C ．（a2）3=a6D ．a12÷a6=a218．下列运算正确的是（ ）A ．824x x x ÷=B =C ．()32628aa -=-D ．11(1)32-⎛⎫--=- ⎪⎝⎭19的正确结果是（ ）A ．(m ﹣5)5m -B ．(5﹣m)5m -C ．m ﹣5()5m --D ．5﹣m 5m -二、填空题20．已知某种感冒病毒的直径是-0.000000012米，那么这个数可用科学记数法表示为____________． 21．45--=______． 22．2018年我省夏粮总产量达到2299000吨，将数据“2299000吨”用科学记数法表示为__________．23叫做二次根式． 24．2015的相反数为____．25．把202100000用科学记数法表示为______．260，则xzy=_______.27______=______.28．写出一个．．绝对值大于2且小于3的无理数____________．29．当2a =+2943a a -+的值等于___．30．将数67500用科学记数法表示为____________．31有意义，则x 的取值范围是___________________. 32．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是___________．33．213-的倒数是_____，213-的相反数是_____．34．“皮克定理”是用来计算顶点在格点（即图中虚线的交点，如图中的小黑点）上的多边形的面积公式，公式为S = a +2b-1．小明只记得公式中的表示多边形的面积，a和 b 中有一个表示多边形边上（含多边形顶点）的格点个数，另一个表示多边形内部的格点个数，但记不清楚究竟是哪一个表示多边形内部的格点个数，请你利用图 1 探究并运用探究的结果求图 2 中多边形的面积是____．35．若a ＋b ＝8，ab ＝15，则a 2＋ab ＋b 2＝________．36．已知甲数是719的平方根，乙数是338的立方根，则甲、乙两个数的积是__．37．分解因式：2244x y y -+-=__________．38．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，它的发现比欧洲早五百年左右．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（）na b +（n =1，2，3，4，5，6）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着222()2a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着+=+++33223()33a b a a b ab b 展开式中各项的系数，等等． （1）当n =4时，4()a b +的展开式中第3项的系数是_________；（2）人们发现，当n 是大于6的自然数时，这个规律依然成立，那么7()a b +的展开式中各项的系数的和为_________．三、解答题39．计算：20220(1)1)-+︒． 40．计算：（1）()232()nn m mn m -⋅÷（2）解不等式组： 10223x x x +>⎧⎪-⎨≤+⎪⎩41．在平面直角坐标系中，已知点P （3，－1）关于原点对称的点Q 的坐标是(),1a b b +-，求b a 的值．42．（1）计算：﹣32+（π﹣2021）0﹣|1|．（2）解不等式组：3(1)25322x xxx-≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②．43．计算：(1)（﹣1）3+（π+2022）0+（12）﹣2；(2)（-a）3•a2﹣（2a4）2÷a3．44．计算下列各式：(1)(2)45．已知2a－l的算术平方根为3，3a+b－1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．46．（1）计算：0112sin3022π-⎛⎫⎛⎫-︒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）化简：2(21)(1)(1)x x x--+-．47．已知a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简||||||a ab b c-+-．48．观察以下等式：第1个等式：211111=+第2个等式：211326=+第3个等式：2115315=+第4个等式：2117428=+第5个等式：2119545=+按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第7个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．参考答案：1．D【分析】根据乘方运算、绝对值及相反数的意义，逐个运算得结论．【详解】解：（-2）3=-8，故选项A、C错误；-|-3|=-3，故选项B错误；-（-3）2=-9，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查了乘方运算，绝对值、相反数的意义．题目相对简单．负数的偶次方是正，负数的奇数次方为负．2．A【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【详解】解：A、1的立方根是它本身，故此选项符合题意；B、4的平方根是2 ，故此选项不符合题意；C、9D、0的算术平方根是0，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解立方根与平方根的定义．3．B【分析】对于正数绝对值大的数就大；对于负数绝对值大的反而小；负数小于0，0小于正数；【详解】解：A，是个负数绝对值比2小，﹣1＞﹣2；B，是个负数绝对值比2大，﹣3＜﹣2；C，0比负数大；D，是个负数绝对值比2小，﹣1＞﹣2；2故答案选：B【点睛】本题考查有理数大小的判断，先比正负，再比绝对值．4．D【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、零指数幂的性质分别判断得出答案．【详解】解：A 、a 2•a 3=a 5，故此选项错误； B 、-a 2b 2•3ab 3=-3a 3b 5，故此选项错误； C 、（π-3.14）0=1，故此选项错误； D 、（a 3b 2）2=a 6b 4，正确． 故选D ．【点睛】考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．A【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：670000米56.710=⨯米， 故选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 6．D【详解】试题分析：A ．2x+3x 已经为最简式．B ．x 2•x 3=x 5同底数幂相乘，指数相加． C ．（x 2）3=x 6求幂的乘方，指数相乘．故只有D 正确 考点：整式运算点评：本题难度较低，主要考查学生对整式运算知识点的掌握．注意同底数幂相乘，指数相加．幂的乘方，指数相乘． 7．B【分析】A ．根据整式的加法运算合并同类项即可； B ．运用幂的乘法公式，底数不变，指数相乘，化简即可； C ．根据整式的减法运算合并同类项即可；D ．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可得出结论． 【详解】解：A ．22242a a a a +=≠，故选项不合题意； B ．()339a a =，故选项符合题意；C ．22202a a a -=≠，故选项不合题意；D ．624a a a ÷=，故选项不合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握每个计算的运算法则是解题的关键． 8．B【分析】根据新定义运算可直接进行求解． 【详解】解：∵2a b a b =-，∵()3x y x +()23x y x =+-223x y x =+-2x y =-+．故选：B ．【点睛】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 9．A【分析】根据二次根式的性质以及二次根式的混合运算逐项计算分析判断即可求解．【详解】解：A 、=B 、2C 、253=+-D 4=，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质以及运算法则是解题关键． 10．A【分析】利用单项式与单项式除法，把他们的系数，相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，进而得出即可． 【详解】解：∵N •（-2x 2y ）=-3ax 2y 2， ∵N =-3ax 2y 2÷（-2x 2y ）=32ay ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 11．B【分析】分别根据幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一进行判断即可得出正确选项. 【详解】A. ()236a a =，故本选项不符合题意；B. ()23624m m -=，正确；C. 624a a a ÷=，故本选项不符合题意；D. ()2222a b a ab b +=++，故本选项不符合题意. 故选：B.【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键. 12．B【详解】试题分析：10099100991009912()22222--⨯-=-⨯=-=-.故选B.考点: 1.负整数指数幂；2.积的乘方. 13．D【分析】分别计算后判断即可．【详解】解：A.不是同类项不能合并，故该选项计算错误； B. a 3•a 2＝a 5，故该选项计算错误； C. 2a 6÷a 2 ＝2a 4，故该选项计算错误； D.（a 2）4 ＝a 8，故该选项计算正确． 故选：D ．【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂乘法、单项式除单项式、幂的乘方．掌握相关运算法则是解题关键． 14．B【分析】分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可．【详解】A 、4a 2bc 与8abc 2有公因式4abc ，故该选项不满足题意；B、a3b2+1与a2b3–1，没有共公因式，故该选项满足题意；C、b(a–2b)2与a（2b–a）2有公因式()2a b-，故该选项不满足题意；2D、x+1与x2–1有公因式x+1，故该选项不满足题意；故选：B.【点睛】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握因式分解是解决本题的关键.15．C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】A. 3=，故原选项错误；B. 3，故原选项错误；C. (23=，正确；D. D错误故选：C．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．16．D=进行化简，再根据绝对值的意义列出不等式，求解即可．a=-=-，m m11∵1-m≥0，∵m≤1故选：Da二者是等价的，故二者可以互化．17．C【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解．【详解】A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；B、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；C、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；D、a12÷a6=a12﹣6=a6，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．18．C【分析】分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的加法法则，积的乘方运算法则以及零指数幂、负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．【详解】A、826x x x÷=原计算错误，不符合题意；B、235=+=≠C、()32628a a-=-正确，符合题意；D、11(1)1212-⎛⎫--=-=-⎪⎝⎭原计算错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的运算，零指数幂、负整数指数幂的运算，熟记二次根式的运算、幂的运算法则是解答本题的关键．19．B【详解】试题解析：50m∴-≥，即5m≤，∵原式(5m=-故选B.20．-1.2×10-8【详解】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．0.000000012用科学记数法表示为21．4 -5【分析】先求出有理数的绝对值，再求相反数，即可得到答案.【详解】∵45--=45-， 故答案是： 45-. 【点睛】本题主要考查有理数的绝对值法则和相反数的概念，掌握有理数的绝对值法则和相反数的概念是解题的关键.22．2.299×106吨【分析】根据科学记数法的形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 是原数的整数位数减1，可得出答案.【详解】2299000吨=2.299×106吨，故答案为2.299×106吨.【点睛】本题考查科学记数法，其形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 是整数，关键是确定a 和n 的值.23．0a ≥【分析】根据二次根式的非负性解题即可．【详解】解：∵0a ≥，故答案为：0a ≥．【点睛】本题主要考查二次根式的定义，能够熟记定义是解题关键．24．-2015．【详解】试题解析：2015的相反数是-2015．考点：相反数．25．82.02110⨯【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【详解】解：202100000＝2.021×108．故答案为：82.02110⨯．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要确定a 的值以及n 的值．26．52【分析】根据根式有意义的条件可知2x+3_≥0,4y-6x_≥0,x+y+z_≥0,再根据已知条件可得到2x+3=0,4y-6x=0,x+y+z=0;通过解方程组即可求出x 、y 、z 的值,即可xz y的值.0=可得2304600x y x x y z +=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩， 解得3294154x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩， 将x 、x 、z 的值代入xzy 可得3152494-⨯-=52， 所以xz y 的值为52. 故答案为52. 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于利用其性质进行解答. 27．【分析】（1）根据二次根式的性质即可求解.（2）根据最简二次根式的化简即可求解.=；=；【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则与性质. 28【分析】根据算术平方根的性质可以把2和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．∵写出一个大于2小于3．【点睛】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．29．92【分析】由2a =2a -=241a a -=-，整体代入即可求解．【详解】解：∵2a =∵2a -=()223a -=，∵2443a a -+=，即241a a -=-， ∵299943132a a ==-+-+． 故答案为：92． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，掌握整体代入法是解题的关键． 30．46.7510⨯【分析】科学记数法的表示形式为ax10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.【详解】解：67500=46.7510⨯，即答案为：46.7510⨯.【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10n ，其中1≤al<10，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.31．x≤且x≠0【详解】试题分析：当x 满足条件120{0x x -≥≠时，式子有意义，解得x≤且x≠0.考点：代数式有意义的条件.32【分析】直接根据题意列式计算即可．2是有理数，即输出的y【点睛】本题考查了求算术平方根和立方根即根据图片列式计算，能够根据图片正确列出算式是解题的关键．33． ﹣3553 【详解】试题解析：根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数；根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，故：213-的倒数是-35，213-的相反数是213 34．10.【分析】分别找到图1中图形内的格点数和图形上的格点数后，再与公式比较，即可发现表示图上的格点数对应的字母和图形内的格点数对应的字母，再利用图2中的有关数据代入公式即可求得图形的面积．【详解】解：根据图1可得，∵矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6， 即106=2+12-； 正方形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4， 即84=1+12-； ∵公式中表示多边形内部整点个数的字母是a ；表示多边形边上（含多边形顶点）的格点个数为b ，由图2得：8,6,a b ==6=18110.22b S a ∴+-=+-= 故答案为：10.【点睛】本题考查了新定义型的图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细弄懂题意，弄懂公式中代数式的含义，根据题意进行探究，找到规律，再利用规律解决问题． 35．49【分析】首先配方得出a 2+ab+b 2=（a+b ）2-ab 进而得出答案．【详解】解：∵a+b=8，ab=15，则a 2+ab+b 2=（a+b ）2-ab=82-15=49．故答案为49．【点睛】此题主要考查了配方法的应用，正确配方是解题关键．36．2±．【分析】分别根据平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果． 【详解】甲数是719的平方根 ∴甲数等于43±； 乙数是338的立方根， ∴乙数等于32． ∵43=232⨯ ∴甲、乙两个数的积是2±．故答案：2±．【点睛】此题主要考查了立方根、平方根的定义，解题的关键是根据平方根和立方根的定义求出甲数和乙数．37．(2)(2)x y x y +--+##（x -y +2）（x +y -2）【分析】先分组成22(44)x y y -+-，再利用完全平方公式化为22(2)x y --，最后利用平方差公式解答．【详解】解：2244x y y -+-22(44)x y y =--+22(2)x y =--(2)(2)x y x y =+--+故答案为：(2)(2)x y x y +--+．【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．38． 6 128【分析】（1）当n=4时，4()a b +的展开式的系数恰好对应的是第五行的数，根据第五行的数即刻得出答案；（2）7()a b +的展开式的系数恰好对应第八行的数，据图写出第八行的数求和即可.【详解】解：（1）4()a b +的展开式的系数恰好对应的是第五行的数，为：1,4,6,4,1，故4()a b +的展开式中第3项的系数是6；（2）据题可知第八行的数为：1,7,21,35,35,21,7,1.故7()a b +的展开式中各项的系数的和为：1+7+21+35+35+21+7+1=128.故答案为：(1)6;(2)128.【点睛】本题考查完全平方公式，探索与表达规律.（1）能找出（）n a b +的展开式的系数与杨辉三角中行数之间的关系是解题关键；（2）中能依据“杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和”写出“杨辉三角”的第八行数是解题关键.39．1【分析】根据数的乘方、零指数幂、开方法则进行计算，在加上特殊角的三角函数值，即可求解．【详解】解：原式=1＋1－2＝1121+-+＝1．【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．40．（1）53n m n +；（2）- 12x <≤【分析】（1）运用整式的乘法法则计算即可；（2）根据不等式的运算求得解后再联立求解集即可．【详解】解：（1）原式 233253n n n m n m m n +-+=÷= （2）10223x x x +>⎧⎪⎨-≤+⎪⎩①② 解∵的1x >-，解∵得x 2≤，不等式组的解集为- 12x <≤【点睛】本题主要考查整式的乘法法则以及解一元一次不等式组，解题的关键是熟练地掌握整式的乘法的乘法法则以及解一元一次不等式组的解题步骤和方法即可．41．25 【详解】解：点(3,1)P -与点(,1)Q a b b +-关于原点对称，3a b ∴+=-，11b -=，解得：2,5b a ==-，2(5)25b a ∴=-=．42．（1）﹣7；（2）﹣2≤x ＜1【分析】（1）根据有理数的乘方、零指数幂、绝对值的意义进行化简即可；（2）先分别解不等式，再根据不等式组解集的规律写出解集即可．【详解】（1）原式＝﹣9+11）＝﹣9+1＝﹣7（2）3(1)25322x x x x -≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②， 解不等式∵，得x ≥﹣2，解不等式∵，得x ＜1，∵不等式组的解集为﹣2≤x ＜1．【点睛】本题考查了实数的混合运算和解不等式组，掌握实数的运算法则和解不等式组的步骤是解题的关键．43．(1)4(2)-5a 5【分析】（1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂分别进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式分别进行计算即可．(1)解：原式=-1+1+4=4；(2)原式=-a3•a2﹣4a8÷a3=-a5-4a5=-5a5．【点睛】本题考查有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘法、积的乘方、单项式除以单项式，解题关键是掌握相关的运算法则．44．2【分析】（1）运用分配律计算即可；（2）先将二次根式化简，然后去括号计算即可．【详解】（1）解：=2（2）==【点睛】题目主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．45．3±【分析】利用平方根及算术平方根的定义列出方程，得到a与b的值，确定出a+2b的值，即可求出平方根．【详解】解：由题意得2a-1=9，3a+b-1=16，解得：a=5，b=2，则a+2b=9，∵a+2b的平方根是3±．【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．46．（1）4；（2）2-+．x x342【分析】（1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，负整数指数幂计算即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式展开，化简即可．【详解】（1）原式112222=-⨯++ 1122=-++4=；（2）原式()224411x x x =-+--224411x x x =-+-+2342x x =-+.【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根，负整数指数幂，完全平方公式和平方差公式，注意第（2）个小题平方差公式展开要加括号．47．-a +2c ．【分析】根据已知判断出a +b ，c -a 及b -c 的符号，进而确定出二次根式、绝对值里边式子的符号，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．【详解】解：∵a ＜b ＜0＜c ，a +b ＜0，c -a ＞0，b -c ＜0．∵||||||a a b b c -+-||||||||a a b c a b c =-++-+-=-a +(a +b )+(c -a )+(c -b )=-a +a +b +c -a +c -b=-a +2c ．【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，整式的加减，以及绝对值的性质，去括号法则，以及合并同类项法则．正确得出各项符号是解题关键．48．（1）21113791=+ （2）21121(21)n n n n =+--；证明见解析 【分析】（1）观察前几个等式即可写出第7个等式；（2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第n 个等式，并进行证明．【详解】解：观察以下等式：第1个等式：211111=+， 第2个等式：211326=+，答案第16页，共16页 第3个等式：2115315=+， 第4个等式：2117428=+， 第5个等式：2119545=+， ……按照以上规律， （1）第7个等式：21113791=+； 故答案为：21113791=+； （2）第n 个等式：21121(21)n n n n =+-- 证明：∵等式右边11(21)n n n =+- 21122(21)(21)(21)21n n n n n n n n n -=+==---- ∵左边＝右边∵猜想得证． 故答案为：21121(21)n n n n =+-- 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．。

2020陕西中考数学24题真、副题

2020陕西中考数学24题真、副题

（2012•陕西）如果一条抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的 顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）； （2）若抛物线 y＝﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值； （3）如图，△OAB 是抛物线 y＝﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存 在以原点 O 为对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D三点的抛物线的表达式； 若不存在，请说明理由．
（2015·陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C．已知 A（﹣3，0），该抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求点 B、C 的坐标； （3）假设将线段 BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在 x 轴上，若将点 B、C 平移后的对应点分别记为点 D、E，求以 B、C、D、E 为顶点的四 边形面积的最大值．
（2017·陕西）在同一直角坐标系中，抛物线 C1：y＝ax2﹣2x﹣3 与抛物线 C2：y＝x2+mx+n 关于 y 轴对称，C2 与 x 轴交于 A、B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧． （1）求抛物线 C1，C2 的函数表达式； （2）求 A、B 两点的坐标； （3）在抛物线 C1 上是否存在一点 P，在抛物线 C2 上是否存在一点 Q，使得以 AB 为边， 且以 A、B、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的坐标； 若不存在，请说明理由．
（2011•陕西）如图，二次函数

中考数学24题专题训练

中考数学24题专题训练

中考数学24题专题训练一、选择题（每小题3分，共15分）1. 下列各式中，正确的是 ( )A. √(25/81) = 5/9B. √(3(1/5)) = √(16/5)C. √(2/3) = 2/√3D. √((ab^5)/(c^2)) = (b^2√(ab))/c2. 下列运算正确的是 ( )A. √(25/81) = 5/9B. √(3(1/5)) = √(16/5)C. √(2/3) = 2/√3D. √((ab^5)/(c^2)) = (b^2√(ab))/c3. 下列各式中，正确的是 ( )A. √(25/81) = 5/9B. √(3(1/5)) = √(16/5)C. √(2/3) = 2/√3D. √((ab^5)/(c^2)) = (b^2√(ab))/c4. 下列运算正确的是 ( )A. √(25/81) = 5/9B. √(3(1/5)) = √(16/5)C. √(2/3) = 2/√3D. √((ab^5)/(c^2)) = (b^2√(ab))/c5. 下列各式中，正确的是 ( )A. √(25/81) = 5/9B. √(3(1/5)) = √(16/5)C. √(2/3) = 2/√3D. √((ab^5)/(c^2)) = (b^2√(ab))/c二、填空题（每小题4分，共16分）6. 下列运算正确的是 _______．A. $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$B. $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} =\sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$C. $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36} = 6$D. $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$7. 下列运算正确的是 _______．A. $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$B. $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} =\sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$C. $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36} = 6$D. $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$8. 下列运算正确的是 _______．A. $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$B. $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} =\sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$C. $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36} = 6$D. $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$9. 下列运算正确的是 _______．A. $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$B. $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} =\sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$C. $\sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36} = 6$D. $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$。

中考数学24题 -回复

中考数学24题 -回复

中考数学24题1. 求下列各组数中的最小值：{3, 5, 2, 7, 4}。

2. 计算：(2 + 3) ×4 - 5 ÷1。

3. 若a = 3，b = -2，c = 5，求a ×(b - c)。

4. 已知一个三角形的两边长分别为8 cm和10 cm，夹角为60°，求第三边的长度。

5. 小明家离学校有6 km，他每天骑自行车来回上学，用时30分钟。

求他的平均速度。

6. 一个矩形的长为12 m，宽为8 m，求其面积和周长。

7. 解方程：2x - 5 = 13。

8. 如果x = 3，y = -2，计算2x + 3y。

9. 计算：(1 + 2 + 3 + 4 + 5) ÷5。

10. 一块土地的面积是1200 平方米，宽是20 米，求其长度。

11. 某商品原价为200元，现在打折8折出售，求实际售价。

12. 若正方形的边长是6 cm，求其对角线的长度。

13. 一个长方体的长、宽、高分别是5 cm、3 cm和2 cm，求其体积。

14. 求下列各组数中的最大值：{-3, 0, -7, 5, 2}。

15. 如果一个圆的半径是3 cm，求其周长和面积。

16. 已知a = 4，b = -2，c = 6，求a ×b + c ÷a。

17. 解方程：3x + 2 = 14。

18. 计算：(10 - 6) ×2 + 8 ÷4。

19. 小明去购物，买了一件原价80元的衣服，店家打折9折出售，求实际付款金额。

20. 若正方形的对角线长为10 cm，求其边长。

21. 某班级有40名学生，男生占总人数的25%，求男生的人数。

22. 某商品原价为120元，现在降价20%，求实际售价。

23. 一个矩形的长为15 cm，宽为10 cm，求其面积和周长。

24. 已知一个三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，夹角为30°，求第三边的长度。

历年初三数学中考总复习专题训练25-特殊值法 通关26题(含答案)

历年初三数学中考总复习专题训练25-特殊值法 通关26题(含答案)

特殊值法通关26题（含答案）1. 若m，n取正数，p，q取负数，则以下式子中其值最大的是( )A. m−(n+p−q)B. m+(n−p−q)C. m−(n−p+q)D. m+(n−p+q)2. 已知ba =513，则a−ba+b的值是( )A. 23B. 32C. 94D. 493. 若0<x<1，则x−1，x，x2的大小关系是( )A. x−1<x<x2B. x<x2<x−1C. x2<x<x−1D. x2<x−1<x4. 下列说法正确的是( )A. 如果a>b，那么a2>b2B. 如果a2>b2，那么a>bC. 如果∣a∣>∣b∣，那么a2>b2D. 如果a>b，那么∣a∣>∣b∣5. 若α，β是方程x2+px+8=0的两个不同实根，且∣α∣>∣β∣，则下面的四个结论中不一定成立的是( )A. ∣α∣>2且∣β∣>2B. ∣α∣+∣β∣>4√2C. ∣α∣>52或∣β∣>52D. ∣α∣>2√2且∣β∣<2√26. 如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为( )A. √10B. √172C. √17 D. 43√107. 已知mn<0且1−m>1−n>0>n+m+1，那么n，m，1n，n+1m的大小关系是( )A. m<1n <n+1m<n B. m<n+1m<1n<nC. n+1m <m<n<1nD. m<n+1m<n<1n8. 记x=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)⋅⋅⋅(1+2256)，则x+1是( )A. 一个奇数B. 一个质数C. 一个整数的平方D. 一个整数的立方9. 设p1，p2，p3，p4是不等于零的有理数，q1，q2，q3，q4是无理数，则下列四个数①p12+q12，②(p2+q2)2，③(p3+q3)q3，④p4(p4+q4)中必为无理数的有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10. 设a，b，c分别是△ABC的三条边，且∠A=60∘，那么ca+b +ba+c的值是( )A. 1B. 0.5C. 2D. 311. 设a>0>b>c，a+b+c=1，m=b+ca ，n=a+cb，p=a+bc，则m,n,p之间的关系为( )A. m>n>pB. n>p>mC. p>m>nD. p>n>m12. 抛物线y=ax2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a的取值范围是( )A. 14≤a≤1 B. 12≤a≤2 C. 12≤a≤1 D. 14≤a≤213. 正实数a，b，c，d满足a+b+c+d=1，设p=√3a+1+√3b+1+√3c+1+√3d+1，则( )A. p>5B. p=5C. p<5D. p与5的大小关系不确定14. 如果x>y>0，那么y+1x+1yx（填“>”“<”或“=”）．15. 如图所示，四个函数图象对应的表达式分别是：①y=ax2，②y=bx2，③y=cx2，④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是．16. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，tanA=13，则sinB=．17. 若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是ℎ，给出下列结论：①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以√a，√b，√c的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+ℎ，ℎ的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以1a ，1b，1ℎ的长为边的三条线段能组成直角三角形．其中所有正确结论的序号为．18. 如图所示的四个二次函数的图象对应的表达式分别是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系为．19. （1）直接写出x与y的和的平方：；x与y的平方的和：．（2）试借特殊值，举例说明x2+y2与(x+y)2不同．20. 古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S=√a+b+c2⋅a+b−c2⋅a+c−b2⋅b+c−a2 ⋯⋯①，请你举出一个例子，说明关系式①是正确的．21. 已知ax3+bx2+cx+d=(4x−1)3，试求：（提示：分别令x=1或x=−1或x=0，并代入条件等式中化简．）（1）a+b+c+d的值；（2）a−b+c−d的值；（3）a−b+c+2012d的值．22. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+2mx−m2−m+1．（1）当抛物线的顶点在x轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A(−1,0)，B(1,0)，且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m的取值范围．23. 认真阅读下面的材料，完成有关问题．材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如∣5−3∣表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；∣5+3∣=∣5−(−3)∣，所以∣5+3∣表示5，−3在数轴上对应的两点之间的距离；∣5∣=∣5−0∣，所以∣5∣表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为∣a−b∣．（1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，−2，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）．（2）利用数轴探究：①找出满足∣x−3∣+∣x+1∣=6的x的所有值是，②设∣x−3∣+∣x+1∣=p，当x的值取在不小于−1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是；当x的值取在的范围时，∣x∣+∣x−2∣的最小值是．（3）求∣x−3∣+∣x−2∣+∣x+1∣的最小值以及此时x的值．（4）若∣x−3∣+∣x−2∣+∣x∣+∣x+1∣≥a对任意的实数x都成立，求a的取值．24. 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD交于点P，下面给出5个论断：①AB∥CD；②AP=PC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC．（1）若用①和④论断作为条件，试证明四边形ABCD是矩形；（2）请你另选取两个能推出四边形ABCD为矩形的论断，如：和（不证明，用序号表示即可）；（3）若选取论断③和⑤作为条件，能推出四边形ABCD为矩形吗?若能，请给出证明；若不能，请举反例说明．25. 小李同学在研究这样一个问题：“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?”请你与他一起参加这项研究活动．（1）如果已知矩形的长为2，宽为1，则符合条件的矩形存在吗?请说明理由．如果已知矩形的长为3，宽为2呢?（2）已知矩形的长为a，宽为b，是否有同样的结论呢?请说明理由．（3）小李又想“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?”举例，并研究之．26. 某公园对一个边长为a(a>1)的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗?请你说明理由．（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米?（3）如果正方形的花坛边长是a米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．答案1. B 【解析】特殊值法．令m，n取某一正数，p，q取某一负数，代入计算就可以．2. D 【解析】可以用代入消元法，也可以用特殊值法求解．因为ba =513，所以不妨设a为13，b为5，则a−ba+b =13−513+5=818=49．3. C 【解析】取x=12，则x−1=(12)−1=2，x2=(12)2=14．∴x2<x<x−1．4. C 【解析】若a=1，b=−3，则a2<b2，故A错误；若a=−3，b=1，则a<b，故B错误；如果∣a∣>∣b∣，那么a2>b2，故C正确；若a=1，b=−3，则∣a∣<∣b∣，故D错误．5. A6. C 【解析】提示：当点D与点H重合时如图所示．7. D 【解析】∵mn<0，∴m,n异号．由1−m>1−n>0>n+m+1，可知m<0<n<1<1n，∣m∣>∣n∣．假设符合条件的m=−4，n=0.2，则1n =5，n+1m=0.2−14=−120，所以m<n+1m <n<1n．8. C 【解析】∵x=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)⋅⋅⋅(1+2256)，∴x=(2−1)(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)⋅⋅⋅(1+2256) =(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(2256+1)=2512−1.∴x+1=2512−1+1=2512．9. B 【解析】①当p1=1,q1=√2时，(p12+q12)=3，是有理数；②当p2=1,q2=√2−1时，(p2+q2)2=2，是有理数；③当p3=2,q3=√2−1时，(p3+q3)q3=1，是有理数；④p4(p4+q4)中，无论p、q取何值原式都是无理数．10. A【解析】由于a，b，c分别是△ABC的三条边，且∠A=60∘，则可利用特殊值法，令a=b=c=1，因此ca+b +ba+c=11+1+11+1=1．11. A 【解析】方法一：特殊值法，可得到m>n>p．方法二：因为a+b+c=1，所以b+c=1−a，a+c=1−b，a+b= 1−c．所以m=b+ca =1−aa=1a−1，n=a+cb =1−bb=1b−1，p=a+bc =1−cc=1c−1．又因为a>0>b>c，所以1a >1c>1b，所以m>n>p．12. D 【解析】当抛物线经过点(1,2)时，得a=2；当抛物线经过点(2,1)时，得a=14．所以满足题意的a的取值范围为14≤a≤2．13. A14. >【解析】可以代入特殊值，如x=2，y=1，代入：y+1x+1=23>yx=12，得到结论较快．15. a>b>c>d【解析】因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a)，(1,b)，(1,c)，(1,d)，所以a>b>c>d．16. 3√1010【解析】令BC=1，AC=3．则在Rt△ABC中，AB=√10，sinB=ACAB =√10=3√1010．17. ②③④【解析】用特殊值法，取a=4，b=3，c=5，则ℎ=125，分别代入四个答案排除．18. a>b>d>c【解析】本题采用取特殊点的方法比较二次项系数的大小．由直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1,a)，(1,b)，(1,d)，(1,c)，得出a> b>d>c．第三部分19. （1）(x+y)2；x2+y2（2）假设x=1,y=2，则x与y的和的平方：(x+y)2=(1+2)2=9，而x与y的平方的和：x2+y2=12+22=5，所以两者不同．20. 设a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴S=3×42=6，∵S=√a+b+c 2⋅a+b−c 2⋅a+c−b 2⋅b+c−a 2=√3+4+52×3+4−52×3+5−42×4+5−32=√6×1×2×3=6.∴ S =√a+b+c 2⋅a+b−c 2⋅a+c−b 2⋅b+c−a 2 是正确的．21. （1） 令 x =1 并代入条件等式中，则 a +b +c +d =(4×1−1)3=27．（2） 令 x =−1 并代入条件等式中，则 −a +b −c +d =[4×(−1)−1]3=−125，∴a −b +c −d =125．（3） 令 x =0 并代入条件等式中，得 d =−1．∴a −b +c =125+d =124．∴a −b +c +2012d =124−2012=−1888．22. （1） 由题意可知，方程 x 2−2mx +m 2+m −1=0 的判别式等于 0． Δ=4m 2−4m 2−4m +4=0．m =1．∴ 抛物线的解析式为 y =−x 2+2x −1．（2） 可求抛物线的顶点坐标为 (m,−m +1)．不妨令 m =0或1，得到两点坐标为 (0,1) 和 (1,0)，设直线的解析式为 y =kx +b ，可求 {k =−1,b =1.∴ 直线的解析式为 y =−x +1．（3） m 的取值范围是 −3≤m ≤1．23. （1） ∣x +2∣+∣x −1∣（2） −2，4；4；不小于 0 且不大于 2；2（3） 由分析可知，当 x =2 时能同时满足要求，把 x =2 代入 原式=1+0+3=4．（4） ∣x −3∣+∣x −2∣+∣x∣+∣x +1∣=(∣x −3∣+∣x +1∣)+(∣x −2∣+∣x∣)．要使 ∣x −3∣+∣x +1∣ 的值最小，x 应取 −1 到 3 之间（包括 −1，3）的任意一个数，要使 ∣x −2∣+∣x∣ 的值最小，x 应取 0 到 2 之间（包括 0，2）的任意一个数， 显然当 x 取 0 到 2 之间（包括 0，2）的任意一个数时能同时满足要求， 不妨取 x =0，并将其代入原式，得 ∣x −3∣+∣x −2∣+∣x∣+∣x +1∣=3+2+0+1=6，即 a =6．24. （1） ∵ 四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∴ ∠BAD +∠DCB =180∘，又 ∵ ∠BAD =∠DCB ，∴ ∠BAD =∠DCB =90∘，又 ∵ AB ∥DC ，∴ ∠BAD +∠ADC =180∘，∴ ∠ADC =90∘，故四边形 ABCD 是矩形．（2） ①；③（答案不唯一）（3） 不能，如图，AD ∥BC ，AB =DC ，但四边形 ABCD 不是矩形．25. （1） 存在，设所求矩形的长和宽分别为 a ，b ，则 {a +b =6,ab =4,解得 a =3+√5，b =3−√5，故存在．同理可求得另一矩形的长和宽分别为 5+√13 和 5−√13．（2） 同样存在．设所求矩形的长和宽分别为 m ，n ，则 {m +n =2(a +b ),mn =2ab,解得 {m =a +b +√a 2+b 2,n =a +b −√a 2+b 2,（3） 由（1）知，这样的矩形是存在的．∵ 长和宽分别为 3+√5 和 3−√5 的矩形的周长和面积分别为 12 和 4；长和宽分别为 2 和 1 的矩形的周长和面积分别为 6 和 2，后一矩形的周长和面积分别是前一矩形周长、面积的一半，但并非所有的矩形都存在．如矩形的长和宽分别为 4 和 2，其周长和面积分别为 12 和 8，另一矩形的长和宽分别为a ，b ，则 {a +b =3,ab =4.此方程组无解． 26. （1） 小明的说法不对． 正方形的周长 4a ，正方形的面积 a 2．长方形的周长 2(a −1)+2(a +1)=4a ．长方形的面积 (a −1)(a +1)=a 2−1．∴ 周长相等，面积缩小了．（2） 设向东延长了 x 米(5−1)(5+x )=25．x =1.25 米∴ 向东延长了 1.25 米．（3）a 2a−1 米．。

陕西中考数学24题汇总

陕西中考数学24题汇总

中考数学24题：二次函数第四节最值问题、典型例题y 1 3 2.1. (2009省威海市)如图，在直角坐标系中,点A, B, C 的坐标分别为(1,0), (3 0) (0 3),过A B, C 三点的抛物线的对称轴为直线 l, D 为对称轴l 上一动点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 求当AD CD 最小时点D 的坐标； (3) 以点A 为圆心，以AD 为半径作Q A .① 证明：当AD CD 最小时，直线BD 与0 A 相切. ② 写出直线BD 与0 A 相切时， D 点的另一个坐标：.解：(1)设抛物线的解析式为 y a(x 1)(x 3).将(0,3)代入上式，得a(0 1)(0 3) .抛物线的解析式为(x 1)(x 3).l 于点l 对称, (2)连接BC ,交直线 :点B 与点A 关于直线AD BD .AD CD BD CD BC.由“两点之间，线段最短”的原理可知： 此时AD CD 最小，点D 的位置即为所求. 设直线BC 的解析式为 y kx由直线BC 过点(3,0),(0,3),3k b, b.k解这个万程组，得b 1, 3.直线BC 的解析式为3.由(1)知：对称轴l 为x2 ( 1)点D 的坐标为（1, 2）.说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可，答案正确给2分.（3）①连接AD .设直线l与x轴的交点记为点E .由（1）知：当AD CD最小时，点D的坐标为（1, 2）.DE AE BE 2.DAB DBA 45°.ADB 90°.AD ± BD .BD与O A相切.②（1, 2） .2. （2009 广西贺州市）如图，抛物线y1 2-x x 2的顶点为A,与y轴父于点B.4（1）求点A、点B的坐标.（2）若点P是x轴上任意一点，求证: PA（3）当PA PB最大时，求点P的坐标.解：(1)抛物线y l x2x 2与y轴的交于点4令x= 0 得y= 2.••B (0, 2)1 2 1 2-y x2x 2 (x 2)2 34 4A (— 2, 3)(2) 当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA PB AB.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时, 在点P、A、B构成的三角形中，PA PB AB.综合上述：PA PB < AB（3）作直线AB交x轴于点P,由（2）可知：当PA—PB最大时，点P是所求的点作AH ±OP 于H.. • BO ± OP,. .△BOPs^ AHP.AH HPBO OP由(1)可知：AH= 3、OH=2、OB=2,. .OP=4,故P (4, 0)3. (2007省市)已知等腰三角形 ABC 的两个顶点分别是 A(0,1), B(0,3)，第三个顶点C 在CA 是 BCO 的角平分线.直线BC 与x 轴关于直线AC 对称.点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线1 2 …… y - x 1的父点. 3:点P 在直线BC : y J3x 3上，x 轴的正半轴上，关于2 .y 轴对称的抛物线y ax bxc 经过A, D(3, 2) , P 三点，且点P 关于直线 AC 的对称点在x 轴上.(1) 求直线BC 的解析式；2(2) 求抛物线y ax bx c 的解析式及点P 的坐标;(3)点M 是y 轴上一动点，求 PM CM 的取值围.解：(1) : A(01) , B(0,3),AB 2 ,v △ ABC 是等腰三角形，且点 C 在x 轴的正半轴上,OC J AC 2 OA 2 73.C(屁).AC AB 2,设直线BC 的解析式为y kx 3, J3k 3 0,直线BC 的解析式为y 扼x 3 .(2):抛物线y ax 2 bx c 关于y 轴对称，b 0.又抛物线yax 2 bx c 经过 A(0,1), D(3, 2)两点.c 1, 9a c解得2.3, 1.抛物线的解析式是y在 Rt △ AOC 中，OA 1, AC 2，易得 ACO 30：：.在 RtA BOC 中，OB 3, OC扼，易得 BCO 60： .x故设点P 的坐标是（X, J3x 3）. 又点P (x,J 3x 3）在抛物线y3x 21上，、、331 2』… —x 1 .解得x , 3,3, x 22焰.故所求的点 P 的坐标是日（右,0）, P 2(2.3, 3).（3）要求 PM CM 的取值围，可先求 PMCM 的最小值I ） 当点P 的坐标是（也0）时，点P 与点C 重合，故PM CM 2CM .显然CM 的最小值就是点 C 到y 轴的距离为 J 3 , :点M 是y 轴上的动点，PM CM 无最大值，PM CM > 2龙.II ） 当点P 的坐标是（2J 3, 3）时，由点C 关于y 轴的对称点C （龙,0）,故只要求PM MC 的最小值，显然线段 PC 最短.易求得PC 6. PM CM 的最小值是6. 同理PM CM 综上所述，当点没有最大值， PM P 的坐标是（焰,0）时，CM 的取值围是PM CM > 6.PM CM > 2焰,当点P 的坐标是 (2 足 3)时，PM CM > 6.二、自我检测1. （2007自治区市）如图，一元二次方程 2 x 2x 3 0的二根x 〔，x 2 （为 乂2）是抛物线2y ax bx c 与x 轴的两个交点B, C 的横坐标，且此抛物线过点 A （3,6）.（1） 求此二次函数的解析式.（2） 设此抛物线的顶点为 P ,对称轴与线段 AC 相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标.（3） 在x 轴上有一动点M ,当MQ MA 取得最小值时，求 M 点的坐标.碍 X i 3, X 2 1.••抛物线与x 轴的两个交点坐标为： C( 3,0), B(1,0) 设抛物线的解析式为 y a(x 3)(x 1) ••- A(3,6)在抛物线上 1 6 a(3 3) (3 1) a -2..•抛物线解析式为：y ^x 2 x -2 2(2)由 y lx 2 x - - (x 1)2 2 2 2 2二抛物线顶点P 的坐标为：(1, 2),对称轴方程为：x 1 设直线AC 的方程为：y kx b . • A(3,6) C( 3,0)在该直线上2x 2x 3与x 轴交A, B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交于 A, C 两点，其中C 点的横坐标为2.(1) 求A, B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；(2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛 物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；(3) 点G 抛物线上的动点， 在x 轴上是否存在点 F ,使A, C, F, G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求 出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由.. .A (-1 , 0) B (3, 0);3k b 6融/曰 解得 3k b 0b 3二直线AC 的方程为:k 1将x 1代入y x 3得y 2•.•Q 点坐标为(1,2)(3) 作A 关于x 轴的对称点A (3, 6),连接AQ; AQ 与x 轴交于点M 即为所求的点设直线 AQ 方程为y kx b3k b 6 …b 0解得k b 2 k 2 直线 A C : y 2x2. (2007省义乌市)如图，抛物线y解：(1)令y=0,解得x 1 1或x 2 3令x 0,贝U y 0M 点坐标为(0,0)将C 点的横坐标x=2代入y x 2 2x 3得y=-3, ...C (2, -3) 直线AC 的函数解析式是y=-x-1(2)设P 点的横坐标为x (-1叔V2)(注：x 的围不写不扣分) 则P, E 的坐标分别为：P (x, -x-1),,2E ( (x, x 2x 3). P 点在 E 点的上方，PE=( x 1) (x 2 2x 3) x 2 x 219 •••当x —时，PE 的最大值=一24(3)存在 4 个这样的点 F,分别是 F 1(1,0), F 2( 3,0), F 3(4, J7), F 4(4, J 7)3. (2009省市)已知：抛物线y 2ax bx c a 0的对称轴为x1,与x 轴交于A B两点，与y 轴交于点C,其中A(1)求这条抛物线的函数表达式.3,0 、C 0, 2 .(2) 已知在对称轴上存在一点 P,使得△ PBC 的周长最小.请求出点 P 的坐标.(3) 若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE // PC 交x 轴 于点E.连接PD 、PE .设CD 的长为m , △ PDE 的面积为S .求S 与m 之间的函数关 系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由............. …，，2 2 4此抛物线的解析式为 y —x — x 23 3(2)连结 AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以 △ PBC 周长最小，就是使PC PB 最小.B 点关于对称轴的对称点是 A 点，AC 与对称轴x 1的交点即为所求的 点P .解(1)由题意得_b_2a9a 1 3b c 0c22a —3解得b43c 2设直线AC 的表达式为y kx b3k b b 2 0, k —3 b 2解得 …八…，，， 2 ..•此直线的表达式为 y — x 2. 3 , ........ - 4 把x 1代入碍y - 3 4 •■- P 点的坐标为 1,- 3 (3) S 存在最大值 理由：DE // PC,即 DE // AC. △OED^A OAC. OD OE 协 2 m OE ••-——一，即------------ ------ . OC OA 23 3 3 OE 3 —m, AE 3, OE -m2 2方法一： 连结OP 1 -3 2 3 —m 24 3 122 m1 1 23 3 —m23 2 -m4 3 m 23 4 0当m 1时，S 最大3 4 3 2 3 4S S 四边形PDOE S A OED S A POE S A POD OED方法 2 m1 c C 1 3 32 m1 3 4 1 m 132 - -m— —m — — 2 222 23 23 233 2 3-m-m —m 1 —42 44S SA OACS/\OED SA AEPSA PCD43••当m 1时，S 最大—44. （2010省）如图，在平面直角坐标系中，直线y x 3与x轴、y 轴分别交于点B 、C ;抛物线y x bx c经过B 、C 两点，并与x轴交于另一点A .（1）求该抛物线所对应的函数关系式; （2）设P（x，y ）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点 P 作直线l x 轴于点M,交直线BC 于点N解得 b=2, c=32时，线段PN 的长度的最大值为4 .① 若点P 在第一象限.试问：线段 PN 的长度是否存在最大值 及此时x 的值；若不存在，请说明理由； ② 求以BC 为底边的等腰△ BPC 的面积.解：（1）由于直线y x 3经过B 、C 两点, 令y=0得x=3；令 . .B (3, 0), C (0, x=0, 3)得y=3 •••点B 、C 在抛物线bxc上，于是得9 3b+c=0c=3所求函数关系式为2x（2）①I •点P （x ,y ）在抛物线 且PN±x 轴， 2x 2x设点P 的坐标为（x2x 3)同理可设点N 的坐标为（ x,3)又点P 在第一象限, . .PN=PM-NM2x 3)-(3)= x 23x =?若存在，求出它的最大值②解法一：由题意知，点P 在线段BC 的垂直平分线上， 又由⑴知，OB=OC.••BC 的垂直平分线同时也是Z BOC 的平分线, 设点P 的坐标为（a,a ）2又点P 在抛物线y X 2x 3上，于是有aa 2a 3 a a 3 0解法二：由题意知，点 P 在线段BC 的垂直平分线上, 又由①知，OB=OC•••BC 的中垂线同时也是/ BOC 的平分线，1.131 .13a1, a 2解得 22.,•点P 的坐标为：解得 --点 1 ..13ai ，a 22P 的坐标为： 13 1 13 若点P 的坐标为或113 2 113 1 13 ， 2 21 .13 ，2MP OM第一象限，在 Rt △ OMP 和Rt △ BOC 中,1 132, OB=OC=3S BPC S 四边形 BOCP S BOC=2S BOP SBOC 1 1=2 — BO PM-—BO CO 2 2 11 13 9 =2 — 3 -------------------- —2 2 2 _3 13 6 2 若点P 的坐标为 113 1 132 ， 2则 SBPCS BOP S COPS BOC,此时点P 在第三象限，.宿 1 c 93、i3 3 9 3,13--------- 2 — ---------------------- --------- 2 2 2 2设点P 的坐标为 a,a又点P 在抛物线y2x 2x 3上，于是有a22a 2a 3 • a a 3 01 13 1 .132若点P 的坐标为1 13MP OM ----------------- 21 .13 1 ■ 13,■ 21 13 1 .有 ~2, 2~,OB=OC=3s BPCS 梯形 COMP S BMP S BOC1OC 2MP -1MO BM2PM1-BO CO 21 3113 1 .. 13 1 31 . 131 13 1 c c _____ _332 2 2222 21 1 13 3 113 1 3.13 9 22 2 22当点P 在第一象限时，△ BPC 面积其它解法有:S BPCS 四边形 BOCP S BOC1 - 1-PN OM+上 PN MB 2 21 一 一 一、1PN (OM+MB ) 21 - -PN OB 2,此时点P 在第一象限，在 Rt △ OMP 和Rt △ BOC 中,= 3 3 13 9 =3 13 62若点P 的坐标为113 1 ■13 , 2 2此时点P 在第三象限,（与解法一相同）OP113也,BC=3^1-OP BC 2 1 1 、、13 2 2 3 13 621 -OB OC2 ■.-■23 2 — 2S PNC S PNBBPC。

中考数学九年级专题训练50题-含答案

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中考数学九年级专题训练50题含答案_一、单选题1．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．12．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为x ，则得方程（ ） A ．()2001722x -=⨯ B ．()22001%72x -= C ．()2200172x -=D ．220072x =3．如图，已知BD 与CE 相交于点A ，DE BC ∥，如果348AD AB AC ===，，，那么AE 等于（ ）A ．247B ．1.5C ．14D ．64．如图，CD 是⊙O 的直径，A ，B 是⊙O 上的两点，若15ABD ∠=°，则 ⊙ADC 的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．85°5．一元二次方程()()()221211x x x --+=的解为（ ） A ．2x = B ．121,12x x =-=-C ．121,22x x ==D ．121,12x x ==-6．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，8AC =，D 是AC 上一点，5AD =，DE AB ⊥，垂足为E ，则AE =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，抛物线211242y x x =--与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且//CD AB .AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线MN 平行于x 轴，与抛物线相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为（ ）AB C ．D ．8．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，O 中，弦AB AC ⊥，4AB =，2AC =，则O 直径的长是（ ）．A ．B ．CD 10．在平面直角坐标系中，点2(2,1)A x x +与点(3,1)B -关于y 对称，则x 的值为（ ） A ．1B ．3或1C ．3-或1D ．3或1-11．2022年，某省新能源汽车产能达到30万辆．到了2024年，该省新能源汽车产能将达到41万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x ．则根据题意可列出的方程是（ ） A ．()301241x +=B ．()230141x += C ．()()23030130141x x ++++=D ．()23030141x ++=12．已知抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线y=3x+1上，且该抛物线与y 轴的交点的纵坐标为n ，则n 的最大值为（ ） A ．134B ．154C ．238D ．25813．下列说法正确的是（ ）A ．了解我市市民观看2022北京冬奥会开幕式的观后感，适合普查B ．若一组数据2、2、3、4、4、x 的众数是2，则中位数是2或3C ．一组数据2、3、3、5、7的方差为3.2D ．“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件 14．下列事件发生的概率为0的是( )A ．随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上B ．今年夏天马鞍山不会下雪C ．随意掷两枚质地均匀的骰子，朝上的点数之和为1D ．库里罚球投篮3次，全部命中15．如图是二次函数2(1)2y a x =++图象的一部分，则关于x 的不等式2(1)20a x ++>的解集是（ ）A ．x<2B ．x>-3C ．-3<x<1D ．x<-3或x>116．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3中（a ，b 是常数）与y 轴的交点为A ，点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3中（b ，c 是常数）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的对称轴是x ＝1 B ．当x ＝2时，y 有最大值－1C ．当x ＜2时，y 随x 的增大而增大D ．点A 的坐标是（0，3）点B 的坐标是（4，3）17．当x ＝a 和x ＝b （a ≠b ）时，二次函数y ＝2x 2﹣2x +3的函数值相等、当x ＝a +b 时，函数y ＝2x 2﹣2x +3的值是（ ） A ．0B ．﹣2C ．1D ．318．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23(0)y ax bx a =++<交x 轴于A ，B 两点（B 在A 左侧），交y 轴于点C ．且CO AO =，分别以,BC AC 为边向外作正方形BCDE ，正方形ACGH ．记它们的面积分别为12,S S ，ABC 面积记为3S ，当1236S S S +=时，b 的值为（ ）A ．12-B ．23-C ．34-D ．43-19．将方程()()212523x x x x -=--化为一般形式后为（ ） A ．.2x -8x-3=0 B ．9.2x +12x-3=0 C ．2x -8x+3=0D ．9.2x -12x+3=020．如图，抛物线y=14（x+2）（x ﹣8）与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为M ，以AB 为直径作⊙D ．下列结论：⊙抛物线的最小值是-8；⊙抛物线的对称轴是直线x=3；⊙⊙D 的半径为4；⊙抛物线上存在点E ，使四边形ACED 为平行四边形；⊙直线CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题21．已知反比例函数1ky x-=，每一象限内，y 都随x 的增大而增大，则k 的值可以是（写出一个即可）_____．22．下图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是________.(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上).23．如图，直线CD 与O 相切于点C ，AB AC =且//CD AB ，则cos A ∠=______．24．若二次函数261(0)y mx mx m =-+>的图象经过A （2，a ），B （﹣1，b ），C （5，c ）三点，则a ，b ，c 从小到大排列是_____．25．如图，AB 是O 的直径，点M 在O 上，且不与A 、B 两点重合，过点M 的切线交AB 的延长线于点C ，连接AM ，若⊙MAO=27°，则⊙C 的度数是______．26．如图，在平面直角坐标系中，点E 在x 轴上，E 与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点，已知()()6,0,2,0A C -，则B 点坐标为___________27．请写出一个以2和-5为根的一元二次方程：______________________. 28．已知ab =2，那么3232a b a b-+=______．29．二次函数2y x x 2=+-的图象与x 轴有______个交点. 30．对于函数6y x=，若x ＞2，则y ______3（填“＞”或“＜”）． 31．如图，C ，D 是两个村庄，分别位于一个湖的南，北两端A 和B 的正东方向上，且点D 位于点C 的北偏东60°方向上，CD=12km ，则AB=_______km32．皮影戏中的皮影是由________投影得到.33．计算：011(2019)12sin 45()3π---+=____．34．如图，在Rt △ABC 中，⊙C ＝90°.△ABC 的内切圆⊙O 切AB 于点D ，切BC 于点E ，切AC 于点F ，AD ＝4，BD ＝6，则Rt △ABC 的面积=_____．35．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若AB 的长为8cm ，则图中阴影部分的面积为____cm 2．36．若一个圆锥的底面积为16πcm 2，母线长为12cm ，则该圆锥的侧面积为_____． 37．如图，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴、y 轴上，顶点B 在第二象限，AB =将线段OA 绕点О按顺时针方向旋转60︒得到线段,OD 连接,AD 反比例函数()0ky k x=≠的图象经过,D B 两点，则k 的值为____．38．如图（1），在Rt ABC △中，=90ACB ∠︒，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC CB -运动，到点B 停止，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，PD 的长()y cm 与点P 的运动时间()x s 的函数图象如图（2）所示，当点P 运动5s 时，PD 的长是___________．39．在平面直角坐标系中，经过反比例函数ky x=图象上的点A （1，5）的直线2y x b =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，且与该反比例函数图象交于另一点B ．则BC AD +=______．三、解答题40．解方程：2(2)9x -=． 41．已知二次函数y=﹣x 2+2x+3(1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象 （2）根据图象回答，x 取何值时，y ＞0？（3）根据图象回答，x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？42．在直角坐标平面内，直线y =12x +2分别与x 轴、y 轴交于点A 、C ．抛物线y =﹣212x +bx +c 经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B ．点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果⊙ABE 的面积与⊙ABC 的面积之比为4：5，求⊙DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊙AC ，垂足为点F ，联结CD ．若⊙CFD 与⊙AOC 相似，求点D 的坐标．43．如图，已知直线2y x =与双曲线ky x=的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为()1,a ．(1)求k 的值和B 点坐标；(2)设点()(),00P m m ≠，过点P 作平行于y 轴的直线，交直线2y x =于点C ，交双曲线ky x=于点D ．若POC △的面积大于POD 的面积，结合图象，直接写出m 的取值范围．44．随着人民生活水平不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区16年底拥有家庭轿车640辆，到18年底家庭轿车拥有量达到了1000辆. (1)若该小区家庭轿车的年平均增长量都相同， 请求出这个增长率；(2)为了缓解停车矛盾，该小区计划投入15万元用于再建若干个停车位，若室内每个车位0.4万元，露天车位每个0.1万元，考虑到实际因素，计划露天车位数量大于室内车位数量的2倍，但小于室内数量的3.5倍，求出所有可能的方案.45．为了测量某教学楼CD 的高度，小明在教学楼前距楼基点C ，12米的点A 处测得楼顶D 的仰角为50°，小明又沿CA 方向向后退了3米到点B 处，此时测得楼顶D 的仰角为40°（B 、A 、C 在同一水平线上），依据这些数据小明能否求出教学楼的高度？若能求，请你帮小明求出楼高；若不能求，请说明理由． 2.24）46．（1）用配方法解方程：x2﹣2x﹣1=0．（2）解方程：2x2+3x﹣1=0．（3）解方程：x2﹣4=3（x+2）．47．梯形ABCD中DC⊙AB，AB =2DC，对角线AC、BD相交于点O，BD=4，过AC的中点H作EF⊙BD分别交AB、AD于点E、F，求EF的长.48．计算：3-+；⊙222602cos458︒+︒+︒sin45cos60tan3049．小明根据学习函数的经验，对函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)在给定的平面直角坐标系中；画出这个函数的图象，⊙列表，其中m＝，n＝．⊙描点：请根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点：⊙连线：画出该函数的图象．(2)写出该函数的两条性质：．(3)进一步探究函数图象，解决下列问题：⊙若平行于x轴的一条直线y＝k与函数y＝|x2﹣2x|﹣2的图象有两个交点，则k的取值范围是；⊙在网格中画出y＝x﹣2的图象，直接写出方程|x2﹣2x|﹣2＝x﹣2的解为．参考答案：1．A【详解】试题分析：先求出总的球的个数，再出摸到红球的概率．已知袋中装有6个红球，2个绿球，可得共有8个球，根据概率公式可得摸到红球的概率为；故答案选A.考点：概率公式.2．C【分析】设调价百分率为x ，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．【详解】解：设调价百分率为x ，则：2200(1)72.x -=故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．3．D【分析】证明ABC ADE △△∽ ，由相似三角形的性质得出AB AC AD AE=，则可得出答案． 【详解】解：⊙DE BC ∥，⊙ABC ADE △△∽， ⊙AB AC AD AE =， 即483AE =， ⊙6AE =，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．4．C【分析】根据圆周角定理可得⊙ACD =15°，再由直径所对的圆周角是直角，可得⊙CAD =90°，即可求解．【详解】解：⊙⊙ACD =⊙ABD ，15ABD ∠=°，⊙⊙ACD =15°，⊙CD 是⊙O 的直径，⊙⊙CAD =90°，⊙⊙ADC =90°-⊙ACD =75°．故选：C【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．5．C【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：()()()221211x x x --+= ()()212110x x x ----=，()()2120x x --=， 解得121,22x x ==， 故选C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 6．C【分析】先证明⊙ADE ⊙⊙ABC ，得出对应边成比例，即可求出AE 的长．【详解】解：⊙ED ⊙AB ，⊙⊙AED ＝90°＝⊙C ，⊙⊙A ＝⊙A ，⊙⊙ADE ⊙⊙ABC ， ⊙AD AE AB AC =，即5108AE =， 解得：AE ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．7．D【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 、C 、D 的坐标，由点A 、D 的坐标，利用待定系数法求出直线AD 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点E的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征得出点M 、N 的坐标，进而可求出线段MN 的长．【详解】当0y =时，2112042x x --=， 解得：1224x x =-=，，⊙点A 的坐标为(-2，0)；当0x =时，2112242y x x =--=-， ⊙点C 的坐标为(0，-2)；当2y =-时，2112242x x --=-， 解得：1202x x ==，，⊙点D 的坐标为(2，-2)，设直线AD 的解析式为()0y kx b k =+≠，将A(-2，0)，D(2，-2)代入y kx b =+，得：2022k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：121k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ⊙直线AD 的解析式为112y x =--， 当0x =时，1112y x =--=-， ⊙点E 的坐标为(0，1-)．当1y =-时，2112142x x --=-，解得：1211x x ==⊙点M 、N 的坐标分别为(1，-1)、(1-1)，⊙MN=(11=故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点M 、N 的坐标是解题的关键．8．A【分析】在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，依此进行分析．【详解】解：矩形木框在地面上形成的投影应是平行四边形或一条线段，即相对的边平行或重合，故A 不可能，即不会是梯形．故选A ．【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．9．A【分析】连接BC ，由90BAC ∠=︒可知BC 为直径，利用勾股定理求解即可．【详解】解：连接BC ，如图：⊙AB AC ⊥，⊙90BAC ∠=︒，⊙BC 为直径，由勾股定理可得：BC =故选：A【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识． 10．C【分析】先根据关于y 轴对称点的坐标特点建立方程，然后解一元二次方程，即可得出结果．【详解】解：⊙A 、B 两点关于y 轴对称，⊙223x x +=，⊙()()310x x +-=，解得3x =-或1，故选：C ．【点睛】本题考查了关于y 轴对称点的坐标特点和解一元二次方程，根据关于y 轴对称点的坐标特点建立方程是解题的关键．11．B【分析】设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程即可求解．【详解】解：设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x ，根据题意得，()230141x +=， 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．12．A【分析】将抛物线顶点坐标代入一次函数解析式，求出b 与c 的关系，再根据抛物线与y 轴交点的纵坐标为c ，即n c =，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】 抛物线2y x bx c =-++的顶点在3+1y x =上，抛物线2y x bx c =-++的顶点标为（2b 、24b c +） ∴23142b bc +=+ 23124b bc ∴=+- 抛物线与y 轴交点的纵坐标为cn c ∴=23124b b n ∴=+- ()21136944n b b ∴=--++ ()2113344n b ∴=--+ n ∴的最大值为134故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数图像上点坐标的特征，熟练掌握二次函数性质是解题关键．13．C【分析】根据全面调查与抽样调查、中位数与众数、方差、必然事件的定义逐项判断即可得．【详解】解：A 、了解我市市民观看2022北京冬奥会开幕式的观后感，适合抽样调查，则此项说法错误，不符题意；B 、因为一组数据2、2、3、4、4、x 的众数是2，所以2x =，将这组数据按从小到大进行排序为2,2,2,3,4,4，则第三个数和第四个数的平均数为中位数， 所以中位数是23 2.52+=，则此项说法错误，不符题意； C 、这组数据的平均数为2335745++++=， 则方差为222221(24)(34)(34)(54)(74) 3.25⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦，此项说法正确，符合题意；D 、“面积相等的两个三角形不一定全等”，则这一事件是随机事件，此项说法错误，不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查、中位数与众数、方差、必然事件，熟练掌握各定义和计算公式是解题关键．14．C【分析】事件的发生的概率为0，即为一定不可能发生的事件.【详解】解：C 中事件中两个骰子投的数一定大于或等于2，故选C.【点睛】本题考查了不可能事件的定义，熟悉掌握概念是解决本题的关键.15．C【分析】直接根据二次函数的图像和性质即可得出结论.【详解】二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2的对称轴为x ＝﹣1，⊙二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2与x 轴的一个交点是(﹣3,0)，⊙二次函数y ＝a(x ＋1)2＋2与x 轴的另一个交点是（1,0），⊙由图像可知关于x 的不等式a(x ＋1)2＋2＞的解集是﹣3＜x ＜1.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，找出y＝a(x＋1)2＋2与x轴的两个交点是解本题的关键.16．D【分析】利用当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是直线x=2，然后根据x=-1时，y=8，判断增减性，再利用x=0时，y=3，结合对称轴，即可得出A、B点坐标．【详解】）⊙当x=1和3时，y=0，⊙抛物线的对称轴是直线x=2，故A选项错误；又⊙x=-1时，y=8，⊙x<2时，y随x增大而减小；x>2时，y随x增大而大，故C选项错误；⊙x=2时，y有最小值，故B选项错误；⊙x=0时，y=3，则点A（0，3），⊙点A与点B关于抛物线的对称轴对称，⊙B点坐标（4,3），⊙A、B、C错误，D正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，由表格数据获取信息是解题的关键．17．D【分析】先找出二次函数y＝2x2﹣2x+3的对称轴为直线x＝12，求得a+b＝1，再把x＝1代入y＝2x2﹣2x+3即可．【详解】解：⊙当x＝a或x＝b（a≠b）时，二次函数y＝2x2﹣2x+3的函数值相等，⊙以a、b为横坐标的点关于直线x＝12对称，则122a b+=，⊙a+b＝1，⊙x＝a+b，⊙x＝1，当x＝1时，y＝2x2﹣2x+3＝2﹣2+3＝3，故选D．【点睛】题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质是解题的关键．18．B【分析】先确定(0,3)C 得到3OC OA ==，利用正方形的性质，由1236S S S +=得到2222163(3)2OC OB OC OA OB +++=⨯⨯⨯+，求出OB 得到0()9,B -，于是可设交点式(9)(3)y a x x =+-，然后把(0,3)C 代入求出a 即可得到b 的值．【详解】解：当0x =时，233y ax bx =++=，则(0,3)C ，3OC OA ∴==，(3,0)A ∴，1236S S S +=，2222163(3)2OC OB OC OA OB ∴+++=⨯⨯⨯+， 整理得290OB OB -=，解得9OB =，(9,0)B ∴-，设抛物线解析式为(9)(3)y a x x =+-，把(0,3)C 代入得9(3)3a ⨯⨯-=，解得19a =-， ∴抛物线解析式为1(9)(3)9y x x =-+-， 即212393y x x =--+，23b ∴=-． 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和正方形的性质．19．C【分析】通过去括号、移项、合并同类项将已知方程转化为一般形式．【详解】解：由原方程，得2x-4x 2=10x-5x 2-3，则x 2-8x+3=0．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．20．D【分析】根据抛物线的解析式将其化为一般式，再利用抛物线的性质，求解最小值，对称轴．⊙D 的半径计算，主要是计算AB ,将y=0,带入就可以解得．【详解】解:根据抛物线的解析式y=14（x+2）（x ﹣8）将其化为一般式可得213442y x x =-- ⊙错误，抛物线的最小值是2134(4)25421444⎛⎫⨯⨯-- ⎪⎝⎭=-⨯ ；⊙正确，抛 物线的对称轴是323124--=⨯ ；⊙错误，根据y=14（x+2）（x ﹣8）可得，要使y=0，则 x=-2或8，因此(2,0)A - ,(8,0)B ,可得10AB = ,所以⊙D 的半径的半径为5；⊙错误，抛物线上不存在点E ，使四边形ACED 为平行四边形；⊙正确，直线CM 与⊙D 相切 故选D【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，对称轴，交点坐标一直是考试的重点内容，必须熟练的掌握．21．2【分析】根据反比例函数的性质，每一象限内，y 都随x 的增大而增大，则1-k<0解出k 值范围，取合适的数即可．【详解】⊙反比例函数1k y x -=，每一象限内，y 都随x 的增大而增大， ⊙1-k<0，⊙k>1，取k=2，满足题意，故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，理解反比例函数的增减性是解题的关键． 22．⊙、⊙、⊙【详解】本题考查的是由三视图判断几何体依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即可． ⊙主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形； ⊙主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形； ⊙主视图左往右2列正方形的个数均依次为1，2，不符合所给图形；⊙主视图和左视图从左往右2列正方形的个数均依次为2，1，符合所给图形．故答案为⊙⊙⊙．23【分析】连接BC，连接CO并延长CO交AB于点H，切线性质定理得⊙OCD＝90°，CD AB得CH⊙AB，由垂径定理可得CH垂直平分AB，可推出ABC为等边三角形，进//而得出答案．【详解】解：如图，连接BC，连接CO并延长CO交AB于点H，⊙，直线CD与O相切于点C，⊙OC⊙CD⊙⊙OCD＝90°⊙//CD AB⊙⊙AHC＝⊙OCD＝90°⊙CH⊙AB⊙AH＝BH⊙CH垂直平分AB⊙AC＝BC=⊙AB AC⊙AC＝BC＝AB⊙ABC为等边三角形，⊙60A∠=︒，⊙cos⊙A【点睛】本题考查垂径定理、切线的性质定理等，熟练掌握垂径定理是解题的关键．24．a＜c＜b【分析】抛物线开口向上，可根据二次函数的性质拿出对称轴，再根据A,B,C三点横坐标到对称轴的距离判断大小关系.【详解】由题意对称轴x=-62m m-=3, A 点横坐标到对称轴的距离为3-2=1B 点横坐标到对称轴的距离为3-(-1)=4C 点横坐标到对称轴的距离为5-3=2⊙4>2>1⊙b >c >a,从小到大排列为a <c <b.【点睛】考察二次函数的性质，根据横坐标到对称轴的距离即可判断大小关系，不需要求出具体坐标.25．36【详解】如图：连接MO,因为M 为切点，所以OM⊙MC, ⊙OMC=90°,因为OA=OM,所以⊙MAO=⊙OMA= 27°,所以⊙MOC=54°,所以⊙C=90°-54°=36°26．(0,-【分析】根据A 、C 的坐标得到圆的半径长和OE 长，利用勾股定理求出OB 的长，得到点B 坐标．【详解】解：如图，连接BE ，⊙()6,0A ，()2,0C -，⊙8AC =，4BE CE ==，2OC =，⊙422OE =-=，⊙在Rt OBE 中，OB =⊙(0,B -．故答案是：(0,-．【点睛】本题考查圆的性质和平面直角坐标系，解题的关键是根据已知点坐标得到线段长，结合几何的性质求点坐标．27．答案不唯一，如【详解】试题分析：方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值. 答案不唯一，如.考点：一元二次方程的根的定义28．12 【分析】由已知可得a=2b ，代入式子进行计算即可.【详解】⊙a b=2， ⊙a=2b ， ⊙3a 2b 3a 2b -+=6262b b b b -+=12， 故答案为12. 【点睛】本题考查了比例的性质，得出a=2b 是解题的关键.29．两【分析】二次函数2y x x 2=+-的图象与x 轴的交点个数，即是2x x 2=0+-解的个数.【详解】令2x x 2=0+-，即()()120x x -+=解得x=1或x=-2，二次函数2y x x 2=+-的图象与x 轴有两个交点.故答案为两【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于使函数值等于0.30．<【分析】根据反比例函数的性质即可解答.【详解】当x＝2时，632y==，⊙k＝6时，⊙y随x的增大而减小⊙x＞2时，y＜3故答案为＜【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质,解题的关键在于利用反比例函数图象上点的坐标特点判断函数值的取值范围.31．6．【分析】过点C作CE⊙BD于E构造直角三角形，由方位角确定⊙ECD=60°，在Rt⊙CED 中利用三角函数AB=CD•cos⊙ECD即可．【详解】过点C作CE⊙BD于E，由湖的南，北两端A和B⊙⊙EBA=⊙BAC=90º，又⊙BEC=90º则四边形ABCE为矩形，⊙AB=CE⊙点D位于点C的北偏东60°方向上，⊙⊙ECD=60°，⊙CD=12km，在Rt⊙CED中，⊙CE=CD•cos⊙ECD=12×12=6km，⊙AB=CE=6km．故答案为：6．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过辅助线，将问题转化矩形和三角形中，利用三角函数与矩形性质便可解决是关键．32．中心【分析】皮影戏是有灯光照射下在影布上形成的投影，故是中心投影．【详解】皮影戏是有灯光照射下在影布上形成的投影，故是中心投影．【点睛】本题属于基础题，考查了投影的知识，可运用投影的知识或直接联系生活实际解答．33．3【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项根据绝对值的代数意义去绝对值符号，第三项代入特殊角三角函数值计算，第四项利用负整数指数幂法则进行计算，最后进行加减运算即可得到结果．【详解】解：011(2019)12sin 45()3π-︒--+=123-+=13=3【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．34．24【分析】设内切圆半径为r ,根据内切圆的性质和勾股定理求出r 即可.【详解】设内切圆半径为r,则OE＝OF＝OD＝r易知BD＝BE＝6,AD＝AF＝4⊙Rt△ABC中,AC2＋BC2＝(4＋r)2＋(6＋r)2＝AB2＝100解得r＝2,则AC＝6,BC＝8⊙S△ABC＝24【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握熟练掌握三角形的内切圆是解题的关键. 35．16π．【分析】根据大圆的弦AB与小圆相切于点C，运用垂径定理和勾股定理解答．【详解】设AB切小圆于点C，连接OC，OB，⊙AB切小圆于点C，⊙OC⊙AB，⊙BC=AC=12AB=12×8=4，⊙Rt⊙OBC中，OB2=OC2+BC2，即OB2－OC2= BC2=16，⊙圆环（阴影）的面积=π•OB2－π•OC2=π（OB2－OC2）=16π（cm2）．故答案为：16π．【点睛】本题考查了圆的切线，熟练掌握圆的切线性质定理，垂径定理和勾股定理是解决此类问题的关键．36．48πcm2【分析】根据圆锥的底面面积，得出圆锥的半径，进而利用圆锥的侧面积的面积公式求解．【详解】解：⊙圆锥的底面面积为16πcm2，⊙圆锥的半径为4cm，这个圆锥的侧面积为：212412482cm ππ⨯⨯⨯= 故答案为：48πcm 2．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的底面面积得出圆锥的半径．37．-【分析】作DE⊙x 轴，垂足为E ，设OA=m ，则点B 坐标为(m -，根据旋转的性质求出OA=OD=m ，⊙AOD=60°，求出点D 坐标为12m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，构造关于m 的方程，解方程得出点B 坐标，即可求解．【详解】解：如图，作DE⊙x 轴，垂足为E ，设OA=m ，则点B 坐标为(m -， ⊙线段OA 绕点О按顺时针方向旋转60︒得到线段,OD⊙OA=OD=m ，⊙AOD=60°， ⊙1cos 2OE OD DOE m =∠=，sin DE OD DOE =∠=，⊙点D 坐标为12m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ⊙点B 、D 都在反比例函数()0k y k x=≠的图象上，⊙1322m m -=， 解得124,0x x ==（不合题意，舍去），⊙点B 坐标为(-，⊙4k =--故答案为：-【点睛】本题为反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数的性质，旋转的性质，三角函数等知识，理解反比例函数性质，构造方程，求出点B 坐标是解题关键．38．1.2cm【分析】根据图2可判断AC=3，BC=4，则可确定t=5时BP 的值，利用sinB 的值，可求出PD ．【详解】解：由题图（2）可得3AC =cm ，4BC =cm ，5AB ∴=cm. 当5x =时，点P 在BC 边上，⊙5AC CP +=cm ，2BP AC BC AC CP ∴=+--=，在Rt ABC △中，3sin 5AC B AB ==， 在Rt PBD △中， 36sin 2 1.255PD BP B ∴=⋅=⨯==（cm ）.【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图2得到AC 、BC 的长度．39．【分析】先分别求出k ，b 的值得到函数解析式，得到点C ，D 的坐标，勾股定理求出CD 及AB 的长，即可得到答案． 【详解】解：将点（1，5）代入k y x =，得k =5，⊙5y x=， 将点（1，5）代入y =-2x +b ，得-2+b =5，解得b =7，⊙y =-2x +7，当527x x=-+时，解得x =1或x =2.5， 当x =2.5时，y =2，⊙B （2.5，2），令y =-2x +7中x =0，得y =7；令y =0，得x =3.5，⊙C （3.5，0），B （0，7），⊙CD =⊙AB⊙BC +AD =CD -AB故答案为：【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，正确掌握待定系数法求出解析式是解题的关键．40．15 =x，21x=-【分析】直接利用开平方的方法解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：（1）⊙()229x-=，⊙23x-=±，解得15 =x，21x=-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．41．（1）图象见解析；（2）-1＜x＜3；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．当x＞1时，y随x的增大而减小．【详解】试题分析：（1）列表，描点，连线，画出抛物线；（2）（3）根据图象回答问题即可．试题解析：（1）列表：描点、连线可得如图所示抛物线．（2）当-1＜x ＜3时，y ＞0；（3）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小．42．（1）y =﹣21322x -x +2；（2）98；（3）（﹣32，258）或（﹣3，2）． 【分析】（1）由直线得到A 、C 的坐标，然后代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得；（2）过点E 作EH ⊙AB 于点H ，由已知可得141252AB EH AB OC =⨯ ，从而可得EH 、HB 的长，然后再根据三角函数的定义即可得；（3）分情况讨论即可得．【详解】（1）令直线y =12x +2中y =0得12x +2=0解得x =-4，⊙A (-4，0)，令x =0得y =2，⊙C (0，2) 把A 、C 两点的坐标代入212y x bx c =-++得， 2840c b =⎧⎨-=⎩， ⊙322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ， ⊙213222y x x =--+ ；（2）过点E 作EH ⊙AB 于点H ，由上可知B （1，0）， ⊙45ABE ABC S S ∆∆=， ⊙141••252AB EH AB OC =⨯ ， ⊙4855EH OC ==， 将85y =代入直线y =12x +2，解得45x =- ⊙4855E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ⊙49155HB =+= ， ⊙90EHB ∠=︒ ⊙995cot 885HB DBA EH ∠===； （3）⊙DF ⊙AC ，⊙90DFC AOC ∠=∠=︒，⊙若DCF CAO ∠=∠，则CD//AO ，⊙点D 的纵坐标为2，把y=2代入213222y x x =--+得x=-3或x=0（舍去）， ⊙D (-3，2) ；⊙若DCF ACO ∠=∠时，过点D 作DG ⊙y 轴于点G ，过点C 作CQ ⊙DG 交x 轴于点Q ，⊙90DCQ AOC ∠=∠=︒ ，⊙90DCF ACQ ACO CAO ∠+∠=∠+∠=︒，⊙ACQ CAO ∠=∠，⊙AQ CQ =，设Q (m ，0)，则4m + ⊙32m =- ， ⊙302Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 易证：COQ ∆⊙DCG ∆ ， ⊙24332DG CO GC QO === ，设D (-4t ，3t+2)代入213222y x x =--+得t=0(舍去)或者38t =， ⊙32528D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 综上，D 点坐标为（﹣32，258）或（﹣3，2） 43．(1)2k =；点B 的坐标为()1,2--(2)1m >或1m <-【分析】（1）利用待定系数法进行求值即可；（2）结合图象，可知当PC ＞PD ，POC △的面积大于POD 的面积，由此可知1m >或1m <-．（1）解：⊙点()1,A a 在直线2y x =上，⊙212a =⨯=，⊙点A 的坐标是()1,2， 代入函数k y x=中，得212k =⨯= ⊙直线2y x =经过原点⊙由双曲线的对称性可知，点A 与点B 关于原点对称，点B 的坐标为()1,2--； （2）如图所示：⊙点A 的坐标是()1,2，点B 的坐标为()1,2--，若POC △的面积大于POD 的面积，则：PC ＞PD ，结合图象可知此时：1m >或1m <-，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．44．（1）25%；（2）室内21露天66；室内22露天62；室内23露天58；室内24露天54；【分析】（1）设平均增长率为x ，根据题意可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可. （2）设室内车位为a 个，露天车位为b 个，根据计划投入15万元用于建若干个停车位，可列出一个关于a ，b 的方程，再根据计划露天车位数量大于室内车位数量的2倍，但小于室内数量的3.5倍，列出关于a ，b 的不等式，解不等式可求出a 的范围，因为a 是整数，所以最后的方案有有限个.【详解】（1）设平均增长率为x ，根据题意得2640(1)1000x += 解得125%4x ==或94x =-（不符合题意，舍去）。

圆的切线证明 中考数学专项训练(含答案解析)

圆的切线证明 中考数学专项训练(含答案解析)

圆的切线证明(1)求证：CD 为O 切线；(2)若1CD =，5AC =，求PB (1)求证：CD 是O 的切线；(2)若16ABCD S =正方形，求CE3．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的O 分别交AB ，AC 于点E ，F 连接OF 交AD 于点G ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若60OFA ∠=︒，半径为4，在圆O 上取点P ，使15PDE ∠=︒，求点P 到直线DE 的距离．4．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足是点H ，过点C 作直线分别与AB ，AD 的延长线交于点E ，F ，且2ECD BAD ∠=∠．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)如果20AB =，12CD =，求AE 的长．5．如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在BC 边上，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线，与AB 的延长线相交于点P ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若3AB =，4AC =，求线段BD 的长．6．如图，已知以Rt ABC △的直角边AB 为直径作O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边上的中点，连接DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若AD ，AB 的长是方程210240x x -+=的两个根，求直角边BC 的长．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30C ∠=︒，23CD =，求图中阴影部分的面积．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2AB =，30C ∠=︒，求9．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，BAC DAC ∠=∠，过点C 作直线EF AD ⊥，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若30CAO ∠=︒，2BC =，求CE 的长．10．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点A ，B 不重合），过点C 作直线PQ ，使得ACQ ABC ∠=∠．(1)求证：直线PQ 是O 的切线．(2)过点A 作AD PQ ⊥于点D ，交O 于点E ，若O 的半径为2，30DAC ∠=︒，求图中阴影部分的面积．11．如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线；(2)若6AB =，求阴影部分的面积12．如图，AB 是ABC 外接圆O 的直径，PA 是O 的切线，BD OP ∥，点D 在O 上．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若ABC 的边6cm AC =，8cm BC =，I 是ABC 的内心，求IO 的长度．13．如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，点D 是O 上一点，OD AB ⊥，连接CD 交AB 于点E ，F 是AB 延长线上的一点，且CF EF =．(1)求证：CF 是O 的切线；(2)若8CF =，4BF =，求弧BD 的长度．14．如图所示，在Rt ABC △中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，连接AD ，已知CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若23AD CD ==时，求阴影部分的面积．(1)求证：PA是O(2)若tan CAD∠=(3)延长CD，AB交于点(1)求证：DE BG=；(2)求证：BF是O的切线；(3)若23DEEG=时，AE(1)当60A ∠=︒，2AD =时，求(2)求证：DF 是O 的切线．(1)求证：DF 是O (2)若 BE DE =，tan(1)求证：直线AB 为O 的切线；(2)若4tan 3A =，O 的半径为2，求AB (1)求证：BF 是O 的切线；(2)若6EF =，cos ABC ∠①求BF 的长；②求O 的半径．参考答案：∵CD AE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵OC OA =，∴OCA OAC ∠=∠，∵的平分线AC 交O 于∵AB 为O 直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ADC ACB ∠=∠=︒，∵DAC OAC ∠=∠，∴，【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、平行线分线段成比例定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3．(1)见解析(2)232-或423-【分析】（1）连接OD ，可得（2）①过点P 作PN DE ⊥交交于H ，可求60EOD ∠=︒，即可求解；②连接OD ，OP 60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，可证求解．【详解】（1）解：如图，连接∴OA OD =，∴ODA OAD ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线，， ∠=︒PDE15=，PE PE ∴∠=︒POE30，OA OF∠=︒60OFA=，∴∠=︒，OAF60∠的平分线， AD是BAC同理可求60EOD ∠=︒，30POE ∠=︒，1302DOL EOD ∴∠=∠=︒，30DOP EOD POE ∠=∠-∠=︒，DOP DOL ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，AO OB =，AB CD ⊥ ，AB ∴平分弦CD ，AB 平分 CD，CH HD ∴=， CBDB =，90CHA CHE ∠=︒=∠，BAD BAC DCB ∴∠=∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴BDC 为直角三角形，∵E 为BC 边上的中点，∴ED EB =，∴12∠=∠，∵OB OD =，3=4∠∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设OB OD r ==，∴ABC ODB ∠=∠，∵AB AC =，23CD =，C ∠=∴23BD CD ==，30B C ∠=∠=∴1803030120BOD ∠=︒-︒-︒=︒OF BD ⊥==OB OD AB AC,∴∠=∠，B CB ODB∠=∠∴∠=∠．ODB C∴∥．OD AC，=OA OC∴∠=∠，OAC OCAQ，∠=∠DAC BAC∴∠=∠，DAC OCA∥，∴AD OC，EF AD⊥∴⊥，而OC为半径，EF OC的切线；∴是OEF的直径，（2）解：AB为O（1）根据题意连接OC ，可知90ACB ∠=︒，可知AOC 是等腰三角形，OAC OCA ∠=∠，继而可证90OCD ∠=︒；（2）连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，根据题意可知60EAO ∠=︒即可得知AEO △为等边三角形，再求出扇形AOE 面积减去AEO △的面积即为阴影面积．【详解】（1）解：连接OC ，，∵OA OC =，AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∴AOC 是等腰三角形，∴OAC OCA ∠=∠，∵ACQ ABC ∠=∠，∴90ACQ OCA ∠+∠=︒，∴OC PQ ⊥，∴直线PQ 是O 的切线；（2）解：连接OE ，过点E 作EF AB ⊥，，∵AD PQ ⊥，ACQ ABC ∠=∠，∴30DAC CAB ∠=∠=︒，∴60EAO ∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∵BD OP ∥，∴OP AD ⊥，OP 是AD 的垂直平分线，∴PD PA =，则IU IV IQ ==，∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵6cm AC =，8cm BC =，∴226810AB =+=，5OB OA ==(2)3π．【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；（1）如图，连接OC ，OD ．证明90OCF ∠=︒即可；（2）设O 的半径为r ，在Rt COF △中，勾股定理可得6r =，再根据弧长公式可解决问题．【详解】（1）证明：连接OCCF EF= CEF ECF∴∠=∠OD AB⊥ 90DOE ∴∠=︒，90ODE OED ∴∠+∠=︒，OD OC = ，ODE OCD ∴∠=∠，CEF OED ∠=∠ ，OED ECF ∴∠=∠，90OCD ECF ∴∠+∠=︒，即90OCF ∠=︒，OC CF ∴⊥，CF ∴是O 的切线．（2）设O 的半径为r ，∵4BF =，∴4OF r =+，在Rt OCF 中，90,∠=︒ACB∴∠+∠CAD ADC=,OB OD∴∠=∠,B ODB则sin 30OH OD =⋅ODB S S S ∴=-阴影扇形∴CAD BAD ∠=∠，∴5CD BD ==，∵AB 为直径，点∴90ADB ∠=︒，∵2DOB DAB ∠=∠=∠又∵DFO CFA ∠=∠，∴DOF CAF ∽，又∵OB BF OA ==，∴23DF FO FC FA ==，∴90EHB BGF ∠=∠=︒，∵点C 为劣弧BD 中点，∴ CDBC =，∴DAC BAC DBC ∠=∠=∠∵AD 是O 的直径，∴90AED ∠=︒，∵60A ∠=︒，2AD =∴30ADE ∠=︒，则12AE =∴2222DE AD AE =-=∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，∴1809090DEB ∠=︒-︒=︒∵四边形ABCD 为菱形，∴DBE DBF ∠=∠，AD ∥∵BE BF =，DB DB =，∴()SAS DBE DBF ≌，∴90DFB DEB ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，∴90ADF DFB ∠=∠=︒，∴AD DF ⊥，∵AD 为直径，∴DF 是O 的切线．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．18．(1)见解析(2)52AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90BDC ∴∠=︒，90BDF CDF ∠∠∴+=︒，OB OD = ，OBD ODB ∴∠=∠，CDF ABD ∠∠= ，ODB CDF ∠∠∴=，90ODB BDF ∴∠+∠=︒，90ODF ∴∠=︒，DF OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DF ∴是O 的切线；（2）如图，连接AE ，∵ BEDE =，BAE CAE ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒，90AEC ∴∠=︒，AEB AEC ∴∠=∠，∵OC OD =，∴OCD ODC ∠=∠．设OCD ODC α∠=∠=，∴22A BCD α∠=∠=．∵90ACB ∠=︒，。

中考数学第24题专题训练答案

中考数学第24题专题训练答案

2015年中考数学第24题专题训练-圆1. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC 于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．（1）求证：△BGD∽△DMA；（2）求证：直线MN是⊙O的切线．证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G，∴∠BGD=∠DMA=90°．∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，∴∠ADM+∠CDM=90°，∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，∴∠DBG=∠ADM．在△BGD与△DMA中，，∴△BGD∽△DMA；（2）连结OD．∵BO=OA，BD=DC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵MN⊥AC，BG⊥MN，∴AC∥BG，∴OD∥BG，∵BG⊥MN，∴OD⊥MN，∴直线MN是⊙O的切线．2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．证明：（1）连接OE．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）如图，连结DE．∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．在△CDE与△HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF．3. （2014•山东枣庄）如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．（1）求OD的长；（2）求CD的长．解：（1）设⊙O的半径为R，∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB，在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，∵OB2+AB2=OA2，∴R2+122=（R+8）2，解得R=5，∴OD的长为5；（2）∵CD⊥OB，∴DE=CE，而OB⊥AB，∴CE∥AB，∴△OEC∽△OBA，∴=，即=，∴CE=，∴CD=2CE=．4.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =900，以AB 为直径作⊙O ，恰与另一腰CD 相切于点E ，连接OD 、OC 、BE ．(1)求证：OD ∥BE ；(2)若梯形ABCD 的面积是48，设OD =x ，OC =y ，且x +y =14，求CD 的长．解：(1)证明：连接OE ,∵CD 是⊙O 的切线， ∴OE ⊥CD ，在Rt △OAD 和Rt △OED 中，OA =OE , OD =OD ，∴Rt △OADcR ≌t △OED ， ∴∠AOD =∠EOD =21∠AOE ， 在⊙O 中，ABE =21∠AOE , ∴∠AOD =∠ABE ， ∴OD ∥BE (2)同理可证：Rt △COE ≌Rt △COB ．∴∠COE =∠COB =21∠BOE , ∴∠DOE +∠COE =900，∴△COD 是直角三角形，∵S △DEO =S △DAO , S △COE =S △COB ,∴S 梯形ABCD =2(S △DOE +S △COE )=2S △COD =OC ·OD =48，即xy =48，又∵x +y = 14，∴x 2 +y 2=(x +y )2－2xy =142－2×48=100,在Rt △COD 中,101002222==+=+=y x OD OC CD即CD 的长为10． 5.如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过x 轴上一点C ，与y 轴分别交于A 、B两点，连接AP 并延长分别交⊙P 、x 轴于点D 、E ，连接DC 并延长交y 轴于点F ，若点F 的坐标为(0 ,1),点D 的坐标为(6 ,－1).⑴ 求证：DC FC =⑵ 判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由.⑶ 求直线AD 的解析式.解：(1)如图1，作DH ⊥x 轴于点H,∵F(0,1),D(6,-1) ∴OF=DH=1,在⊿OCF 和⊿HCD 中，FCO DCO FOC DHC OF DH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩90∴⊿OCF ≌⊿HCD(AAS), DC=FC.(2)如图2，⊙P 与x 轴相切.连接PC,∵DC=FC, PD=PA, ∴CP 是⊿DFA 的中位线，∴PC ∥y 轴， ∴PC ⊥x 轴 , 又C 是⊙P 与x 轴的交点 ，∴⊙P 切x 轴于点C. (3)如图3，作PG ⊥y 轴于点G,由(1)知：C(3,0), 由(2)知：AF=2PC,设⊙P 的半径为r , 则：（r-1)2+32=r 2 , ∴r=5, ∴A(0,-9)；设直线AD 的解析式为y ax =-9，把D(6,-1)代入得：a =43， ∴直线AD 的解析式为：y x =-4936. 已知：AB 是⊙O 的直径，直线CP 切⊙O 于点C ，过点B 作BD ⊥CP 于D ．（1）求证：△ACB ∽△CDB ；（2）若⊙O 的半径为1，∠BCP=30°，求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：∵直线CP 是⊙O 的切线，∴∠BCD=∠BAC ，∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，又∵BD ⊥CP∴∠CDB=90°，∴∠ACB=∠CDB=90°∴△ACB ∽△CDB ；（2）解：如图，连接OC ，∵直线CP 是⊙O 的切线，∠BCP=30°，∴∠COB=2∠BCP=60°，∴△OCB 是正三角形，∵⊙O 的半径为1，∴S △OCB =，S 扇形OCB ==π，∴阴影部分的面积=S 扇形OCB ﹣S △OCB =π﹣7，如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．（1）求证：CF=DB；（2）当AD=时，试求E点到CF的距离．解：（1）证明：连结AE，如图，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴∠ADC=∠DAB=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，∴BE=CE，CD∥BF，∴∠DCE=∠FBF，在△DCE和△FBE中，，∴△DCE≌△FBE（ASA），∴DE=FE，∴四边形BDCF为平行四边形，∴CF=DB；（2）解：作EH⊥CF于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，AD=，∴DC=AD=1，AC=2CD=2，∴AB=AC=2，BF=CD=1，∴AF=3，在Rt△ABD中，BD==，在Rt△ADF中，DF==2，∴CF=BD=，EF=DF=，∵AE⊥BC，∴∠CAE=∠BAE=30°，∴∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，∴∠DPC=90°，在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°，∴PC=DC=，∵∠HFE=∠PFC，∴Rt△FHE∽Rt△FPC，∴=，即=，∴EH=，即E点到CF的距离为．8，如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．解：（1）证明：连结OC，如图1，∵DE与⊙O切于点C，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠2=∠3，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，即AC平分∠DAB；（2）解：如图1，∵直径AB=4，B为OE的中点，∴OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，OE=2OC，∴∠OEC=30°，∴∠COE=60°，∵CF⊥AB，∴∠OFC=90°，∴∠OCF=30°，∴OF=OC=1，CF=OF=；（3）解：连结OC，如图2，∵OC∥AD，∴△OCG∽△DAG，∴==，∵OC∥AD，∴△ECO∽△EDA，∴==，设⊙O的半径为R，OE=x，∴=，解得OE=3R，在Rt△OCE中，sin∠E===．9，如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．解答：（1）证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB=∠CBD=90°，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD和△CDB（HL）；（2）解：∵BE是切线，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∵∠DBE=37°，∴∠ABD=53°，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°，∴∠ADC的度数为37°．10，如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．解：（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC，即AC平分∠DAB；（2）连接BC，OE，过点A作AF⊥BC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ADC，∵∠DAC=∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴，即，解得：AB=10，∴BC==6，∵点E为的中点，∴∠AOE=90°，∴OE=OA=AB=5，∴AE==5，∵∠AEF=∠B，∠AFE=∠ACB=90°，∴△ACB∽△AFE，∴，∴，∴AF=4，EF=3，∵∠ACF=∠AOE=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，∴CF=AF=4，∴CE=CF+EF=7．11，如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．（1）求∠D的度数；（2）若CD=2，求BD的长．解：（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A，∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD，∵PD切⊙O于C，∴∠OCD=90°，∴∠D=∠COD=45°；（2）∵∠D=∠COD，CD=2，∴OC=OB=CD=2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：22+22=（2+BD）2，解得：BD=2﹣2．12，如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=BFD．（1）求证：FD是⊙O的一条切线；（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．解：（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD，∴FD∥AC，∵∠AEO=90°，∴∠FDO=90°，∴FD是⊙O的一条切线；（2）解：∵AB=10，AC=8，DO⊥AC，∴AE=EC=4，AO=5，∴EO=3，∵AE∥FD，∴△AEO∽△FDO，∴=，∴=，解得：FD=．13，如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．解：（1）证明：连接OD，CD，∵BC为⊙O直径，∴∠BCD=90°，即CD⊥AB，∵△ABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D点在⊙O上，∴DE为⊙O的切线；（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=BC=2，BD=BC•cos30°=2，∴AD=BD=2，AB=2BD=4，∴S△ABC=AB•CD=×4×2=4，∵DE⊥AC，∴DE=AD=×2=，AE=AD•cos30°=3，∴S△ODE=OD•DE=×2×=，S△ADE=AE•DE=××3=，∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=，∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4﹣﹣﹣=．14，已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC．（1）求证：∠PCA=∠PBC；（2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长．解：（1）证明：连结OC，OA，∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，∴∠PCO=90°，∠PCA+∠ACO=90°，在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180°，∵∠AOC=2∠PBC，∴2∠ACO+2∠PBC=180°，∴∠ACO+∠PBC=90°，∵∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCA=∠PBC；（2）解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC，∴△PAC∽△PCB，∴=，∴PC2=PA•PB，∵PA=3，PB=5，∴PC==．15，如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．解：（1）证明：∵DC2=CE•CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：如图，连接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC•PD=PB•P A∴P A=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中，AC===2，∵AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又∵∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在RT△APF中有，，求得DF=．16，如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．解：（1）证明：连接OD，OE，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE=BE，在△OBE和△ODE中，，∴△OBE≌△ODE（SSS），∴∠ODE=∠ABC=90°，则DE为圆O的切线；（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴BC=AC，∵BC=2DE=4，∴AC=8，又∵∠C=60°，DE=DC，∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC﹣DC=6．17，如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知AD=3，CD=2，求BC的长．CPAOB解： （1）证明：∵AB 是⊙O 的切直径，∴∠ADB=90°，又∵∠BAD=∠BED ，∠BED=∠DBC ， ∴∠BAD=∠DBC ，∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+ABD=90°， ∴∠ABC=90°，∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：∵∠BAD=∠DBC ，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BDC ，∴=，即BC 2=AC •CD=（AD+CD ）•CD=10，∴BC=．在O 的直径切O 于点C ，连结（1）求P ∠的正弦值；（2）若O 的半径r ＝2cm ，求BC 的长度。

初三中考数学第24题题型及解析

初三中考数学第24题题型及解析

初三中考数学第24题题型及解析第三讲中考数学第24题专练⼀1（14?长沙）．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对⾓线AC折叠，点B落在点E处，CE 与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB△AOC的⾯积．2．（2015?长沙）如图，在直⾓坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD 交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找⼀点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．3（2016?长沙）．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对⾓线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ,DC ,DF .（1）求CDE ∠的度数；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若AC =，求tan ABD ∠的值.4（17年长沙）．如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CE CD =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的⾯积．5（18*长沙）、如图，在ABC 中，AD 是边B C 上的中线，BAD CAD ，CE//AD ，CE 交B A 的延长线于点E，BC 8，A D 3。

（1）求C E 的长；（2）求证：ABC 为等腰三⾓形；（3）求ABC 的外接圆圆⼼P与内切圆圆⼼Q之间的距离。

6．（19*长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个⾓分别相等，四条边成⽐例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的⽐叫做相似⽐．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①条边成⽐例的两个凸四边形相似；（命题）②三个⾓分别相等的两个凸四边形相似；（命题）③两个⼤⼩不同的正⽅形相似．（命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC ＝∠A 1B 1C 1，∠BCD ＝∠B 1C 1D 1，111111AB BC CDA B B C C D ==，求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的⾯积为S 1，四边形EFDE 的⾯积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．第四讲专练⼆1．（18雅礼⼀模）如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线．（2）若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半径．2．（19麓⼭三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的⾓平分线．以O为圆⼼，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan D＝，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．3．（长沙第三次⽉考）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上⼀点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin C＝，AC＝6，求⊙O的直径．4．（长沙第三次⽉考）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）点E是AB上⼀点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．1.（19⼴益三模）如图，?ABCD的两条对⾓线相交于O点，过O点作OE⊥AB，垂⾜为E，已知∠DBA＝∠DBC，AB＝5．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若sin∠ADB＝，求线段OE的长．2．（19中、南雅⼀模）如图，在矩形ABCD中，P为边CD上⼀点，把△BCP沿直线BP折叠，顶点C的对应点为C′，连接BC′与AD交于点E，连接CE与BP交于点Q，若CE⊥BE．（1）若E为AD的中点，求证：△ABE≌△DEC；（2）连接C′Q，求证：四边形C′QCP是菱形；（3）若AB＝12，AD＝25，且DE＜AE，求菱形的边长．第三讲答案1（14?长沙）．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对⾓线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若∠OCD=30°，AB，求△AOC的⾯积．解2．（2015?长沙）如图，在直⾓坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D 在劣弧上，连接BD 交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找⼀点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．解：（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣），∴OA=，OB=，∴AB==2，∵∠AOB=90°，∴AB是直径∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，∴∠CBO=∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂⾜为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB===，∴∠OAB=30°，∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，∴∠ABC=∠OBC=∠ABO=30°，∴OC=OB?tan30°=×=，∴AC=OA﹣OC=，∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，∴∠EAC=60°，∴△ACE是等边三⾓形，∴AE=AC=，∴AF=AE=，EF=AE=，∴OF=OA﹣AF=，∴点E的坐标为：（，）．3（2016?长沙）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对⾓线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB,DC,DF.（1）求CDE∠的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=，求tan ABD∠的值.解（1）对⾓线AC为⊙O的直径90ADC∴∠=?90CDE∴∠=?…………………（2分）（2）（⽅法⼀）连接,OF OD，在Rt CDE中，点F为斜边CE的中点DF FC∴=在DOF和COF中DF CFOF OFOD OC===∴DOF≌COF∴90ODF OCF∠=∠=?∴DF OD⊥∴DF是⊙O的切线……………（5分）（⽅法⼆）证明：连接OD，AC为⊙O的直径，CE AC⊥90ADC CDE O∴∠=∠=, 90ACF O∠=⼜在Rt CDE中，点F为斜边CE的中点,DF FC CDF DCF ∴=∠=∠⼜OD OC = ODC OCD ∴∠=∠90ODF ODC CDF OCD DCF ∴∠=∠+∠=∠+∠=? ∴DF 是⊙O 的切线 …………………（5分）（⽅法三）证明：连接OD ，CE AC ⊥,AC 为⊙O 的直径90ADC ADO ODC ∴∠=∠+∠=? 90DAO ACD ∠+∠=?90ACD DCF ∠+∠=?DAO DCF ∴∠=∠⼜OA OD = DAO ADO ∴∠=∠ ADO DCF ∴∠=∠⼜在Rt CDE ?中，点F 为斜边CE 的中点 ,DF FC CDF DCF ∴=∠=∠ADO CDF ∴∠=∠90ODF ODC CDF ODC ADO ∴∠=∠+∠=∠+∠=? ∴DF 是⊙O 的切线 …………………（5分）（3）（⽅法⼀）由圆周⾓定理可得 ABD ACD ∠=∠由题中条件可得 90,ADC CDE CAD ECD ∠=∠=?∠=∠,ADC ∴?∽CDE ? ∴AD DCCD DE= ∴2CD AD DE =? ………………（6分）由于AC = 所以可令 ,,DE a AD b ==则有,AC CD ==在Rt ACD ?中,由勾股定理可得 222)b += 上式两边同时除以2a 并整理后得到 2()200b b a a + -= 解之可得 4b a =或5ba=-（舍去） …………………（8分）tan tan 2AD ABD ACDDC ∴∠=∠==== …………………（9分）（⽅法⼆）设DE x =，AD y =，AC =易证ACD ?∽AED ? ∴2AC AD AE =?2)()y x y =?+（即2220x y yx =+2()200y y x x +-= 解得4y x=或5yx =-（舍去）∴2CD x = ∴4tan tan 22xABD ACD x ∠=∠==（⽅法三）设DE a =，tan ABD m ∠=，则AC =，AC m EC =，CDm DE=∴AC EC m ==，CD mDE ma == 在Rt CDE ?中222CD DE CE +=∴222()ma a += ∴22201m m+= ∴222()200m m +-= ∴22(5)(4)0m m +-= ∴24m =或25m =-（舍去）∴tan 2ABD ∠=4（17年长沙）．如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CE CD =．（1）求证：OB OA =；（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的⾯积．5、如图，在 ABC 中，AD 是边 B C 上的中线，BAD CAD ，CE //AD ，CE 交 B A 的延长线于点 E ，BC 8，A D 3。

中考数学临考题号押广东卷24题(几何综合)(解析版)

中考数学临考题号押广东卷24题(几何综合)(解析版)
∴DF=FB= ，
∴∠FDB=∠FBD，
∴tan∠FDB=tan∠FBD，
∴ ，
∵∠A=45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴GH=AH，
∴ ，此时，H、D重合，
∴设AD=3x，BD=2x，则AB=5x，AC=BC=5x÷ = ，
∴GH=AH=3x，AG=3 x
∴CG=3 x- = ，
【小问1详解】
∵BC是直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵AD平方∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC=45°，
∴BD=DC，且∠DBC=∠DAC=∠DAB=∠DCB=45°
∵BD= ，
∴在等腰Rt△BDC中，BC= BD=4，DC=BD= ，
∵在Rt△BAC中，AB=2，BC=4，
∴利用勾股定理可得AC= ，
（3）连接OD，根据（1）和（2）中的结论可得出∠FBD=75°=∠DEC，再利用 和BD=CD，可得 ，即有∠BDF=∠ECD=45°，则可得∠ODF=90°，即OD⊥DF，可证得DF是⊙O的切线；根据∠BAD=∠BDF=45°，∠F=∠F，证得 ，则有 ，即可找到BF、FD、FA之间的关系，根据 ，即可求出DF．
【分析】（1）把C（1，4）代入y= 求出k=4，把（4，m）代入y= 求出m即可，将A、C两点坐标代入 ，获得直线解析式，然后利用 ，代入即可求解；
（2）设平移后的解析式为 ，而当直线与反比例函数只有一个交点时，两者相切，联立平移后的直线和反比例函数解析式，形成的新的方程的判别式为0，代入数值即可求解；
∴在Rt△AHD中，∠HAD=∠ADH=45°，即HA=HD，
设HD=a，则HA=a，HB=HA-AB=a-2，
在Rt△HBD中，利用勾股定理，

中考数学七年级下册知识专题训练50题-含答案

中考数学七年级下册知识专题训练50题-含答案

中考数学七年级下册知识专题训练50题含答案一、单选题1．若满足方程组33221x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的x 与y 互为相反数，则m 的值为（ ）A ．11B ．-1C ．1D ．-112．如图，OA ⊥OB ，若⊥1=55°，则⊥2的度数是( )A ．35°B ．40°C ．45°D ．60°3．据医学研究：猴痘病毒的平均直径约为0.00000023米，0.00000023米用科学记数法表示为（ ） A ．72.310-⨯米B ．82.310-⨯米C ．92.310-⨯米D ．102.310-⨯米4．若21x y =⎧⎨=⎩是方程3ay x -=的解，则a 的取值是（ ）A ．1B ．2C ．5D ．5-5．下列运算正确的是（ ）． A ．236a a a =B ．21a a a -=C ．236()a a =D ．842a a a ÷=6．石墨烯是目前世界上最薄却又最坚硬同时还是导电性能最好的纳米材料，其理论厚度大约仅0.00000034纳米，将0.00000034用科学记数法表示为（ ） A ．73.410-⨯B ．83.410-⨯C ．83410-⨯D ．70.3410-⨯7．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．()m x y mx my -=- B ．22()()a b a b a b -=+- C ．221(2)1x x x x ++=++D ．2(3)(1)43x x x x ++=++8．将0.0012用科学记数法表示为（ ） A ．1.2×10﹣2B ．1.2×10﹣3C ．1.2×10﹣4D ．1.2×10﹣59．计算()32a ，结果正确的是( )10．若二次三项式()2316x m x +++是一个完全平方式，则m 的值为（ ）A ．1B ．1或-7C ．5D ．5或11-11．在等式y kx b =+中，当2x =时，4y =-；当2x =-时，8y =．则这个等式是（ ） A ．32y x =-+B ．32y x =+C ．32y x =-D ．32y x =--12．如图，在ABC 中，10AB =，8AC =，AD 为中线，则ABD △与ACD 的周长之差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．413．下列四个图形中，1∠和2∠是内错角的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．方程组233x y x y +=⎧⎨=+⎩的解是( )A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．21x y =-⎧⎨=⎩C ．21x y =-⎧⎨=-⎩D ．21x y =⎧⎨=-⎩15．化简22222a b a ab b --+的结果是：（ ）A ．2a bab- B ．a b a b +- C ．a b a b -+D ．2a bab+ 16．如图，在ABC 中， D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD 与BE 相交于点O ，AO 的延长线与BC 相交于点F ，则AF 一定为ABC 的（ ）．A ．高线B ．角平分线C ．中线D ．以上都是17．在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是( ) A ．平行或垂直 B ．平行或相交 C ．垂直或相交 D ．以上都不对18．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．例如：图中ABC 的与四边形DEFG 均为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点记为L ，已知格点多边形的面积可表示为S N aL b =++（a ，b 为常数），若某格点多边形对应的14N =，7L =，则S =（ ）A ．16.5B ．17C ．175.D ．1819．下列运算正确的是（ ） A ．m 2+2m 3＝3m 5B ．m 2•m 3＝m 6C ．（﹣m ）3＝﹣m 3D ．（mn ）3＝mn 320．下列各式中，正确的是( ) A ．y 3·y 2＝y 6B ．(a 3)3＝a 6C ．(－x 2)3＝－x 6D ．－(－m 2)4＝m 8二、填空题21．若点()21,2m m -+-在x 轴上，则m =________． 22．分解因式：9a 2﹣4＝_____．23．如图，直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，⊥AOC 的邻补角是___________．若⊥AOC ＝50°，则⊥BOD ＝________，⊥COB ＝________．24．若关于x ，y 的多项式3224231xy ax xy x --+-不含2x 的项，则=a ______． 25．因式分解：2224a a b -=___________．26．若点A （m -1，m +2）在x 轴上，则点A 的坐标为_________． 27．已知4812M a b =，M=______________.28．已知三角形的三边长分别为23m ，，，则m 的取值范围是_______． 29．计算：()3222()a ab -=________．30．已知32×9m ÷27＝323，则m ＝_____．31．若a 、b 、c 为三角形的三边长，且a 、b 满足|a ﹣3|+（b ﹣2）2=0，则第三边长c 的取值范围是_____．32．附中文化源远流长，潜移默化．学校通过推出的“你的名字，我的记忆”校园文创产品的设计活动，给学子们提供了施展自己才华的平台，经过选拔评比，学校拟推出A 、B 、C 三款校园文创产品，并以零售和礼盒两种形式销售（各产品的零售单价均为正整数，礼盒售价为各产品零售价之和）．其中甲礼盒含有3件A 产品，2件B 产品，2件C 产品，乙礼盒含有4件A 产品，1件B 产品，1件C 产品，丙礼盒含有2件A 产品，4件B 产品，1件C 产品．甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，并且A 产品的单价不超过10元．则A 产品与B 产品的单价之比为______．33．已知2,32m n a b ==，m ，n 为正整数，则252m n -＝______．（用含a ，b 的式子表示）34．因式分解：21025x x -+=______． 35．在实数范围内分解因式：428a -=______；36．22164x kxy y ++是一个完全平方式，则k =_________________37．计算：()()223a a +-=__________；分解因式：32a ab -=___________． 38．很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：3333123n ++++=【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出3333123n ++++=______=______（用含n 的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：3333246(2)n ++++的结果为________．39．已知：1纳米＝1×10﹣9米．用科学记数法表示：250纳米＝___米． 40．已知：22x y 5,x y 11,+=+=则代数式3223x y-3x y xy +的值为________．三、解答题41．计算：()()2333322a a a a ⋅+-+-42．解方程组．43．解三元一次方程组：（1）3423126x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩（2）302223x z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪--=-⎩．44．已知O 为直线AB 上的一点，⊥COE 是直角，OF 平分⊥AOE ．（1）如图1，若⊥COF =34°，则⊥BOE =______；（2）如图1，若⊥BOE =80°，则⊥COF =______；（3）若⊥COF =m °，则⊥BOE =______度；⊥BOE 与⊥COF 的数量关系为______． （4）当⊥COE 绕点O 逆时针旋转到如图2的位置时，（3）中⊥BOE 与⊥COF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 45．因式分解： （1）4x 2﹣64；（2）81a 4﹣72a 2b 2+16b 4；（3）（x 2﹣2x ）2﹣2（x 2﹣2x ）﹣3．46．从夏令营地到学校先下山后走平路，某人骑自行车以12千米/时速度下山，再以9千米/时速度通过平地，用了1小时，返回时以8千米/时通过平路，6千米/时速度上山回到原地，共用1小时15分钟，求营地到学校有多远？47．如图，已知DC ⊥FP ，⊥1＝⊥2，38DEF ∠=︒,⊥AGF ＝70°，FH 平分⊥EFG ． （1）求证：DC ⊥AB ； （2）求⊥PFH 的度数．48．马虎同学化简()()()2222a b a b a b +-+-的解题过程如下：解：原式()222244a b a b =+--（第一步）222244a b a b =+--（第二步）0=（第三步）（1）马虎同学的化简过程从第__________步开始出现错误； （2）请你帮助他写出正确的化简过程． 49．已知：如图，AD⊥EF ，⊥1＝⊥2． (1) AB⊥DG 吗? 请说明理由.(2)若⊥B=50°⊥C=62°，求⊥DGC 的度数．50．因式分解（1）（2）参考答案：1．A【分析】由x 与y 互为相反数，得到y =-x ，代入方程组计算即可求出m 的值． 【详解】解：由题意得：y =-x ， 代入方程组得：33221x x m x x m -++⎧⎨-⎩＝①＝②，消去x 得：32123m m +-=， 即3m +9=4m -2， 解得：m =11． 故选：A ．【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 2．A【详解】试题分析：⊥OA⊥OB ， ⊥⊥AO⊥=90°，即⊥2+⊥1=90°. ⊥⊥1=55°，⊥⊥2=35°. 故选A ．考点：1.垂直的性质；2.数形结合思想的应用. 3．A【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a ×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．【详解】解：0.00000023米=72.310-⨯米． 故选：A【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为10n a -⨯，其中110a ≤<，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 4．C【分析】将x 与y 的值代入方程计算即可求出a 的值． 【详解】解：将x=2，y=1代入方程得：a-2=3，解得：a=5， 故选：C ．【点睛】本题考查二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5．C【分析】见解析.【详解】235a a a =，2121a a a a -=-，844a a a ÷=，所以选C. 【点睛】掌握整式的运算法则是解题的关键. 6．A【分析】科学记数法表示绝对值小于1的数形如,11001,na n a <⨯<为负整数，据此解题．【详解】解：0.00 000 034用科学记数法表示为73.410-⨯， 故选：A ．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7．B【分析】根据因式分解的定义直接判断即可．【详解】解：A ．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B ．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C ．没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D ．属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故答案为：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 8．B【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，形如,11001,na n a <⨯<负整数．【详解】解：将0.0012用科学记数法表示为1.2×10﹣3 故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 9．B【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案． 【详解】()326a a =，故选：B ．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 10．D【分析】根据首末两项是x 和4的平方，那么中间项为加上或减去x 和4的乘积的2倍也就是()3m x +，由此对应求得m 的数值即可．【详解】解：⊥()2316x m x +++是一个多项式的完全平方，⊥()324m x x +=±⨯⨯， ⊥38m +=±,解得：5m =或11m =-． 故选：D ．【点睛】此题考查完全平方公式问题，关键要根据完全平方公式的结构特征进行分析，两数和的平方加上或减去它们乘积的2倍，就构成完全平方式，在任意给出其中两项的时候，未知的第三项均可求出，要注意积的2倍符号，有正负两种情形，不可漏解． 11．A【分析】分别把当x=2时，y=-4，当x=-2时，y=8代入等式，得到关于k 、b 的二元一次方程组，求出k 、b 的值即可．【详解】解：分别把当x=2时，y=-4，当x=-2时，y=8代入等式y=kx+b 得，4282k b k b -=+⎧⎨=-+⎩①②， ⊥-⊥得，4k=-12， 解得k=-3，把k=-3代入⊥得，-4=-3×2+b ， 解得b=2，分别把k=-3，b=2的值代入等式y=kx+b 得，y=-3x+2，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法，难度适中． 12．B【分析】根据三角形中线的性质得BD CD =，则两个三角形的周长之差就是AB 和AC 长度的差．【详解】解：⊥AD 是中线，⊥BD CD =，⊥ABD CAB AD BD =++，ACD C AC AD CD =++△， ⊥1082ABD ACD C C AB AC -=-=-=．故选：B ．【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．13．B【分析】根据内错角的概念：处于两条被截直线之间，截线的两侧，再逐一判断即可．【详解】解：A 、⊥1与⊥2不是内错角，选项不符合题意；B 、⊥1与⊥2是内错角，选项符合题意；C 、⊥1与⊥2不是内错角，选项不符合题意；D 、⊥1和⊥2不是内错角，选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了内错角，关键是根据内错角的概念解答．注意：内错角的边构成“Z”形．14．D【分析】把方程⊥代入方程⊥先求解,y 再求解x 即可得到答案．【详解】解：233x y x y ①②把⊥代入⊥得：363,y解得：1,y =-把1y =-代入⊥得：2,x =所以方程组的解为：2.1x y故选D【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“代入法解二元一次方程组”是解本题的关键．15．B【分析】用平方差公式和完全平方公式进行化简即可 【详解】解：22222a b a ab b --+ ()()()2a b a b a b -+=- a b a b +=- 故选：B【点睛】本题考查了分式的化简，解决问题的关键是熟练应用平方差公式和完全平方公式 16．C【分析】结合题意，根据三角形中线和重心的性质，即可得到答案．【详解】⊥三角形三条中线相交于一点，这点是三角形的重心又⊥D 、E 分别是AB 、AC 的中点，CD 与BE 相交于点O⊥点O 是三角形的重心⊥AF 经过点O⊥AF 是ABC 的中线故选：C ．【点睛】本题考查了三角形中线、三角形重心的知识；解题的关键是熟练掌握三角形中线、三角形重心的性质，从而完成求解．17．B【详解】在同一平面内，不重合的两条直线位置关系只有平行和相交两种．18．A【分析】先分别根据ABC 和四边形DEFG 中，S 、N 、L 的数值得出关于a 和b 的二元一次方程组，解得a 和b 的值，则可求得当14N =，7L =时S 的值．【详解】解：ABC 中，1S =，0N =，4L =，则41a b +=；同理，四边形DEFG 中，24122112232 3.5S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=，2N =，5L =⊥25 3.5a b ++=；联立得4125 3.5a b a b +=⎧⎨++=⎩解得：0.5a =，1b⊥14N =，7L =，则14 3.5116.5S =+-=，故选：A ．【点睛】本题属于创新题型，主要考查了二元一次方程相关知识以及学生对于题意理解和数据分析能力．19．C【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐一计算可得．【详解】A. m 2与2m 3不是同类项，不能合并，故错误；B. m 2•m 3＝m 5，故错误；C. (﹣m)3＝﹣m 3，正确；D. (mn)3＝m 3n 3，故错误，故选C.【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则．20．C【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，利用排除法即可得到答案．【详解】A. 应为：32325y y y y +⋅==，故本选项错误； B. 应为：33339()a a a ⨯==， 故本选项错误；C.23236()x x x ，⨯-=-=-故正确；D. 应为：24248()m m m ⨯--=-=-， 故本选项错误；故选C.【点睛】考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键. 21．2【分析】根据点在x 轴上的坐标的特征，即可求解．【详解】解：⊥点()21,2m m -+-在x 轴上，⊥20m -= ，⊥2m = ．故答案为：2 ．【点睛】本题考查了x 轴上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：x 轴上的点的纵坐标为0．22．（3a ﹣2）（3a +2）【分析】直接利用平方差公式分解因式即可.【详解】222294(3)32)(2)(3a a a a --==-+故答案为：32)(2)(3a a -+.【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，分解因式常用方法有：提取公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字交叉相乘法、配方法等.23． ⊥AOD 、⊥BOC 50° 130°【分析】根据邻补角必须是相邻的两个角，即有一条公共边和一个公共顶点的互补的两个角；对顶角有一个公共顶点，其中一个角的两条边是另一个角的两条边的反向延长线，对顶角的度数相等即可得出答案．【详解】解：⊥AOC 的邻补角是⊥BOC ，⊥AOD ；⊥⊥BOD 的对顶角是⊥AOC ，⊥AOC ＝50°，⊥⊥BOD ＝⊥AOC ＝50°，⊥⊥COB 是⊥AOC 邻补角，⊥⊥COB =180°-⊥AOC =130°．故答案为：⊥AOD 、⊥BOC ，50°，130°【点睛】本题主要考查了邻补角与对顶角的概念和特点，熟练掌握邻补角与对顶角的定义是解题的关键．24．12##0.5【分析】先把多项式关于2x 项合并，由题意得出2x 项的系数为0，进而求出即可．【详解】解：3224231xy ax xy x --+- ()3242131xy a x xy =----因为关于x 、y 的多项式3224231xy ax xy x --+-不含2x 的项，可得：210a -=， 解得：12a =， 故答案为：12．【点睛】此题主要考查了多项式系数中的字母求值，多项式中不含哪一项，哪一项的系数为0，注意要先合并同类项．25．()()21212a b b -+【分析】先提取公因式，再用平方差公式来分解因式．【详解】解: ()()()2222224141212a a b a b a b b -=-=-+ ．故答案为: ()()21212a b b -+【点睛】本题考查的是用提公因式法、平方差公式分解因式，能够熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．26．（-3，0）【分析】直接利用x 轴上点的坐标特点得出m 的值，即可得出答案．【详解】解：⊥A （m -1，m +2）在x 轴上，⊥m +2=0，解得：m =-2，⊥m -1=-3，⊥点A 的坐标是：（-3，0）．故答案为：（-3，0）．【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确掌握x 轴上点的坐标特点是解题关键． 27．23a b ±【分析】根据积的乘方逆运算即可求解.【详解】⊥()423812a a b b =±⊥M=23a b ±故填：23a b ±.【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知积的乘方公式.28．15m <<##51m >>【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．【详解】解：⊥三角形的三边长分别为23m ，，， ⊥3232m -<<+，即15m <<．故答案为：15m <<．【点睛】本题考查了确定三角形第三边的取值范围，掌握三角形三边关系是解题的关键． 29．828a b -【分析】根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法法则计算．【详解】解：()3222()a ab - =()()6228a a b -⋅=828a b -故答案为：828a b -．【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则．30．12【分析】先将底数全部转为以3为底，再结合同底数幂的乘除法法则解答．【详解】解：由32×9m ÷27＝323得32×32m ÷33＝323，32+2m -3＝323，2+2m -3=232m =24m =12故答案为：12．【点睛】本题考查同底数幂的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 31．1＜c ＜5【分析】先根据非负数的性质求出a 、b 的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．【详解】⊥a 、b 满足|a ﹣3|+（b ﹣2）2=0，⊥a ﹣3=0，b ﹣2=0，⊥a =3，b =2．⊥a 、b 、c 为三角形的三边长，⊥3﹣2＜c ＜3+2，即1＜c ＜5．故答案为1＜c＜5．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．32．2：3【分析】先设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，乙礼盒的售价为：4a+b+c，丙礼盒的售价为：2a+4b+c；利用甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，列出三元一次方程组，化简得到a关于c的关系式，然后利用A产品的单价不超过10元，各产品的零售单价均为正整数，得到c，a的值，进而利用﹣a+b+c＝11求得b的值，则结论可求．【详解】解：设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，乙礼盒的售价为：4a+b+c，丙礼盒的售价为：2a+4b+c．⊥甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，⊥(322)(4)11 3222(24)80a b c a b ca b c a b c++-++=⎧⎨++=++-⎩．化简得：11680a b cb a-++=⎧⎨+=⎩，⊥a＝67c+2．⊥a≤10，a，b，c均为正整数，⊥c＝7，a＝8符合题意．⊥b＝11+a﹣c＝12．⊥A产品与B产品的单价之比为8：12＝2：3．故答案为：2：3．【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式．依据题干中的等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．33．2 a b【分析】逆运用幂的乘方公式对已知式子变形后，再逆运用同底数幂的除法计算即可．【详解】解：⊥2,32m n a b ==，⊥22252(2),2m m n a b ===， ⊥22255=222m m n n a b-=． 故答案为：2a b【点睛】本题考查幂的乘方公式和同底数幂的除法．熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键．34．()x -25【分析】直接利用公式法分解因式即可．【详解】原式＝x 2-25x ⋅⋅＋52＝（x-5）2．故答案为：（x-5）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．35．2(a 2【分析】实数包括有理数和无理数，先运用提公因式法和平方差公式得出2（x 2+2）（x 2-2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解．【详解】解：原式=2（x 2+2）（x 2-2）()222(x x x =+故答案为()222(x x x + 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 36．16±【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【详解】⊥()()222216442x kxy y x kxy y ++=++是一个完全平方式，⊥24?2kxy x y =±⨯，⊥k =±16．故答案为：±16．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值． 37． 226a a +- ()();a a b a b +-【分析】⊥用多项式乘多项式法则计算即可；⊥提取公因式再公式法因式分解即可．【详解】⊥()()22223234626a a a a a a a +-=-+-=+-，⊥3222()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-，故答案为：⊥226a a +-；⊥()()a a b a b +-．【点睛】此题考查多项式的乘法和因式分解的相关知识，难度一般．38．规律探究26；解决问题2(123)n +++⋅⋅⋅+；22(1)4n n +；拓展应用222(1)n n +或432242n n n ++．【分析】规律探究：计算333123++=36=大正方形面积，然后直接求大正方形面积即可； 解决问题：3333123n +++⋯+转化为大正方形面积，其边长为1+2+3+…+n ，再求面积化简即可；拓展应用：()33332462n +++⋯+提公因式8转化为8（3333123n +++⋯+），再用规律计算即可【详解】解：规律探究：333123++=1+8+27=36=大正方形面积=()221+2+3=6； 故答案为：62解决问题：由上面表示几何图形的面积探究知，()23333123123n n +++⋯+=+++⋯+， 又(1)1232n n n ++++⋯+=， 2223333(1)(1)12324n n n n n ++⎡⎤∴+++⋯+==⎢⎥⎣⎦； 故答案为：222(1)(123),4n n n ++++⋯+； 拓展应用：()33333333324622123n n +++⋯+=⨯+++⋯+⎡⎤⎣⎦，223333(1)1234n n n ++++⋯+=， ()()()223233332432124622212424n n n n n n n n +∴+++⋯+=⨯=+=++． 故答案为：222(1)n n +或432242n n n ++．【点睛】本题考查实践探索问题，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等于最大正方形面积，再利用面积公式求是解题关键．39．2.5×10-7．【分析】根据用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10-n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，求解即可得出答案．【详解】解：250纳米=2.5×10-7米．故答案为：2.5×10-7．【点睛】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示的方法进行求解是解决本题的关键．40．-70【分析】先由22x y 5,x y 11,+=+=求出xy 的值，然后再对3223x y-3x y xy +因式分解即可完成解答.【详解】解：⊥22x y 5,x y 11,+=+=⊥()222x y x y 225xy +=++=⊥xy=7 3223x y-3x y xy +=()22xy x -3xy y +=()22xy x y -3xy +=7×（11-3×7）=-70【点睛】本题考查了完全平方公式、因式分解和代数式求值，解题的关键是通过完全平方公式的变形以及因式分解寻求条件之间的关系．41．64a【分析】原式利用幂的乘方及同底数幂的乘法法则计算，合并即可得到结果．【详解】解：()()2333322a a a a ⋅+-+- 666=4a a a +-64a =【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．42．【详解】试题分析：方程组利用加减消元法求出解即可．解：，⊥×3﹣⊥×2得：5x=25，即x=5，把x=5代入⊥得：y=1，则方程组的解为．考点：解二元一次方程组．43．（1）231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）241x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 【详解】试题分析：(1)、通过⊥+⊥和⊥+⊥得到关于x 和y 的二元一次方程组，从而求出方程组的解，最后代入⊥求出z 的值，得出方程组的解；(2)、通过⊥﹣⊥和⊥得出关于x 和z 的二元一次方程组，从而求出方程组的解，最后代入⊥求出y 的值，得出方程组的解．试题解析：(1)、3423126x y z x y z x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩①②③， ⊥+⊥得：5x+2y=16⊥， ⊥+⊥得：3x+4y=18⊥，⊥×2﹣⊥得：7x=14，即x=2，把x=2代入⊥得：y=3， 把x=2，y=3代入⊥得：z=1，则方程组的解为231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；(2)、302223x z x y z x y z +-=⎧⎪-+=⎨⎪--=-⎩①②③， ⊥﹣⊥得：x+3z=5⊥， ⊥﹣⊥得：2z=2，即z=1，把z=1代入⊥得：x=2， 把z=1，x=2代入⊥得：y=4，则方程组的解为241xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．44．（1）68° (2) 40° （3）2m⊥BOE=2⊥COF;(4)成立，理由见解析.【分析】（1）根据互余得到⊥EOF=90°-34°，再由OF平分⊥AOE，得到⊥AOE=2⊥EOF，然后根据邻补角的定义即可得到⊥BOE；（2）设⊥COF=n°，根据互余得到⊥EOF=90°-n°，再由OF平分⊥AOE，得到⊥AOE=2⊥EOF=180°-2n°，然后根据邻补角的定义得到⊥BOE=180°-（180°-2n°）=2n°=80°，于是得到结论；（3）当⊥COF=m°，根据互余得到⊥EOF=90°-m°，再由OF平分⊥AOE，得到⊥AOE=2⊥EOF=180°-2m°，然后根据邻补角的定义得到⊥BOE=180°-（180°-2m°）=2m°，所以有⊥BOE=2⊥COF；（4）同（3），可得到⊥BOE=2⊥COF．【详解】解：（1）⊥⊥COE是直角，⊥COF=34°，⊥⊥EOF=90°-34°=56°，⊥OF平分⊥AOE．⊥⊥AOE=2⊥EOF=112°，⊥⊥BOE=180°-112°=68°；（2）设⊥COF=n°，⊥⊥EOF=90°-n°，⊥⊥AOE=2⊥EOF=180°-2n°，⊥⊥BOE=180°-（180°-2n°）=2n°=80°，⊥⊥COF=40°；（3）当⊥COF=m°，⊥⊥EOF=90°-m°，⊥⊥AOE=2⊥EOF=180°-2m°，⊥⊥BOE=180°-（180°-2m°）=2m°，⊥⊥BOE=2⊥COF；（4）⊥BOE与⊥COF的数量关系仍然成立．理由如下：设⊥COF=n°，⊥⊥COE是直角，⊥⊥EOF=90°-n°，又⊥OF平分⊥AOE．⊥⊥AOE=2⊥EOF=180°-2n°，⊥⊥BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，即⊥BOE=2⊥COF．【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义以及互余互补．解题的关键是注意找出所求角与已知角之间的关系．45．（1）x（x+4）（x﹣4）；（2）（3a﹣2b）2（3a+2b）2；（3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．【详解】整体分析：先提取公因式，再用公式法分解，注意x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)形式的因式分解，要分解到不能再分解为至，相同的因式要写成幂的形式.解：(1)4x2﹣64＝4(x2﹣16)＝x(x＋4)(x﹣4)．(2)81a4﹣72a2b2＋16b4＝(9a2)2﹣2×9×4a2b2＋﹙4b2﹚2＝(9a2﹣4b2)2＝(3a﹣2b)2(3a＋2b)2.(3)(x2﹣2x)2﹣2(x2﹣2x)﹣3．＝(x2﹣2x﹣3)(x2﹣2x＋1)＝(x﹣3)(x＋1)(x﹣1)2．46．营地到学校有667千米【分析】设下山路长x千米，平路长y千米，根据“下山时间+走平路时间=1、上山时间+走平路时间=54”列方程组求解可得．【详解】设下山路长x千米，平路长y千米，根据题意，得：1 1295 684x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得：34364330x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ⊥+⊥得：7766x y +=， ⊥667x y +=． 答：营地到学校有667千米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，理解题意得出题目当中蕴含的相等关系是解题的关键．47．（1）见解析；（2）16︒【分析】（1）根据平行线的性质与判定定理即可得证；（2）先根据平行线的性质求得EFG ∠，再根据平分线的定义求得EFH ∠，进而根据角度的差即可求得⊥PFH 的度数．【详解】（1）12∠=∠//AB FP ∴//DC FP//DC AB ∴（2）//DC FPDEF EFP ∴∠=∠12∠=∠//AB FP ∴AGF PFG ∴∠=∠DEF AGF EFP PFG EFG ∴∠+∠=∠+∠=∠38DEF ∠=︒,⊥AGF ＝70°，∴EFG ∠=3870108︒+︒=︒FH 平分⊥EFG111085422EFH EFG ∴∠=∠=⨯︒=︒ 543816PFH EFH EFP ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒16PFH ∴∠=︒【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，角度的和差计算，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．48．（1）一；（2）见解析【分析】（1）观察该同学解题过程，确定出出错的步骤即可；（2）写出正确的解答过程，把a 的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）该同学的解答过程从第一步开始出现错误；故答案为：一；（2）解：原式()2222444a ab b a b =++--2222444a ab b a b =++-+248ab b =+【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 49．（1）证明见解析；（2）68°【详解】(1）AB⊥DG ．理由如下: 略(2) 68°50．（1）x （x+1）（x-1）；（2）23(2)x x y -．【详解】试题分析：（1）先提取公因式x ，再运用平方差公式进行分解即可； （2）先提取公因式3x ，再运用平方差公式进行分解即可．试题解析：（1）x 3-x=x （x 2-1）=x （x+1）（x-1）；（2）32222312123(44)x x y xy x x xy y -+=-+23(2)x x y =-考点：因式分解---提公因式法与公式法的综合运用．。

2020年广州市中考数学24题详解

2020年广州市中考数学24题详解

2020年广州市中考数学24. （本小题满分14分）如图，O ⊙为等边ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC.（1）求证：DC 是ADB ∠的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点,M N 分别在线段,CA CB 上运动（不含端点），经过研究发现，点D 运动到每一个确定的位置，DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值.()()()21,,,2,,2180,,,,.32344DBC ADC EAC ADC CDE ABC AC BC AC BC ADC BDC DC ADB DA E AE DB EC EAC DAC DBC AE DB EAC DBC AC BC EAC DBC S S S S S S x x =∴=∠=∠∴∠=∠=︒-∠=∠=∠=∠=∴≅∴=+=+==<≤证：为等边三角形，是的平分线；延长至点，使得连接如图 ()3''',3''''''.'.'''.','',''''''60120,''''''33DMN D BC AC D D C DM MN NDD M MN ND D M N D DMN t t DD D C DC DC x D CB DCB D CA DCA D CD D CB BCA D CADCB DCAD CD t D D DC =++=++∴====∠=∠∠=∠∠=∠+∠+∠=∠+︒+∠=︒===依次作点关于直线，的对称点、如图、、、共线时取最小值此时由对称性有：在等腰中，max ,4,44 3.x x t D O C t x t ∴==当取得最大值时，取得最大值，即点与共线时，取得最大值，当时，。

上海中考数学202324题

上海中考数学202324题

上海中考数学202324题24.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，点C 在线段AB 上，以点C 为顶点的抛物线M ：2y ax bx c =++经过点B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求b ，c 的值；（3）平移抛物线M 至N ，点C ，B 分别平移至点P ，D ，联结CD ，且CD x ∥轴，如果点P 在x 轴上，且新抛物线过点B ，求抛物线N 的函数解析式．【答案】（1）()8,0A -，()0,6B （2）32b =，6c =（3）(2316y x =-或(2316y x =+【解析】【分析】（1）根据题意，分别将0x =，0y =代入直线364y x =+即可求得；（2）设3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到抛物线的顶点式为()2364y a x m m +-+=，将()0,6B 代入可求得34m a =-，进而可得到抛物线解析式为2362y ax x =++，即可求得b ，c ；（3）根据题意，设(),0P p ，3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据平移的性质可得点B ，点C 向下平移的距离相同，即列式求得4m =-，316a =，然后得到抛物线N 解析式为：()2316y x p =-，将()0,6B 代入可得p =±【小问1详解】解：∵直线364y x =+与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，当0x =时，代入得：6y =，故()0,6B ，当0y =时，代入得：8x =-，故()8,0A -，【小问2详解】设3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则可设抛物线的解析式为：()2364y a x m m +-+=，∵抛物线M 经过点B ，将()0,6B 代入得：23664am m ++=，∵0m ≠，∴34am =-，即34m a =-，∴将34m a =-代入()2364y a x m m +-+=，整理得：2362y ax x =++，故32b =，6c =；【小问3详解】如图：∵CD x ∥轴，点P 在x 轴上，∴设(),0P p ，3,64C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵点C ，B 分别平移至点P ，D ，∴点B ，点C 向下平移的距离相同，∴3366644m m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，解得：4m =-，由（2）知34m a =-，∴316a =，∴抛物线N 的函数解析式为：()2316y x p =-，将()0,6B 代入可得：p =±∴抛物线N 的函数解析式为：(2316y x =-或(2316y x =+．【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m 和a 的值．。

重庆中考数学24题专题

重庆中考数学24题专题

重庆中考几何一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．解答：（1）证明：连接AC，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2， ∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ， ∴△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4， ∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2， ∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6， ∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102 由（1）知，△ADC ≌△AEC ， ∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点， ∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分） 在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21AC •EH ， ∴EH=AC CEAE ⋅ =10226⨯ =5103∴DE=2EH=2×5103=5106 4、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ； （2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ， ∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ， ∴∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ． ∴△BCQ ≌△CDP ． （2）连接OB ． 由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC ， 而点O 是AC 中点， ∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ ≌△COP ， ∴OQ=OP ．5、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值. 解：（1）证明：连结CE ， 在△BAE 与△FCB 中，∵ BA=FC ，∠A=∠BCF ，， AE=BC ， ∴△BAE ≌△FCB ；（2）延长BC 交EF 于点G ，作AH ⊥BG 于H ，作AM ⊥BG ，∵△BAE ≌△FCB ，∴∠AEB=∠FBG ，BE=BF ，∴△BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ， ∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°， ∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ， 在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6×23=33 ，∴EG=AM=33， BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 6、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；ABDECF（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FEC DE=EC∴△NDE≌△FCE ∴DN=CF ∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=47、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．（1）证明：连接BF∵ABCD为矩形∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC∴△ABE为直角三角形∵F是AE的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,∴△DAF≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG ∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60° ∴△ACE 为等边三角形 ∴CE=AE=8 ∵AB ⊥BC ∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34 ∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3248、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ． （1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ； （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点． 证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ． 在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD=2， 即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ， ∴BF=CF ， ∴BC=BF+CF=21CD+21CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ， 由（1）知BC=CD ， ∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ， ∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ， ∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上， ∴CD 垂直平分EG ． （3）连接BD ， 由（2）知BE=DE ， ∴∠1=∠2． ∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ． 又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ． ∵AD=21CD ，∴DP=21CD ．∴P 是CD 的中点． 9．(2011南岸二诊)如图，已知点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ⊥DP ，交AB 于点E ，交CD 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）若23=DF ，求DP 的长； （2）求证：CF AE =.10．如图，正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），M 是线段AE 的中点，DM 的延长线交CE 于N ． （1）线段AD 与NE 相等吗？请说明理由； （2）探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交BD 于G ，且∠AGD=60°，E 、F 分别为CG 、AB 的中点．（1）求证：△AGD 为正三角形； （2）求EF 的长度．G 24题图PFEDCBA解答：（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．12、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°．⑴求证：AB=BE ；⑵延长BE ，交CD 于F ．若CE =2，tan ∠CD E =31，求BF 的长． 13．⑴证明：延长DE ，交BC 于G ．∵DE ⊥AD 于D ，∴∠ADE =90°又AD ∥BC ， ∴∠DGC =∠BGE =∠ADE =90°， 而∠ECB =45°, ∴△EGC 是等腰直角三角形， ∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDG EGB CGD EG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEG ≌△DCG (AAS ) ∴BE=CD=AB ⑵连结BD ．∵∠EBC=∠CDE ∴∠EBC +∠BCD =∠CDE +∠BCD =90°，即∠BFC =90° ∵CE=2，∴EG=CG=1又tan ∠CDE =31，∴13CG DG =，∴DG =3 ∵△BEG ≌△DCG ，∴BG=DG=3∴2210BE BG EG =+=∴CD=BE=10法一：∵1122BCDSBC DG CD BF ==，11431022BF ⨯⨯=⨯∴6105BF = 法二：经探索得，△BEG ∽△BFC ，∴BE BCBG BF=，∴1043BF = ∴6105BF = 14．如图，直角梯形ABCD 中，,90,45,AD BC ADC ABC AB ∠=∠=∥的垂直平分线EG 交BC 于F ，交DC 的延长线于.G求证：(1)CG CF =；(2).BC DG =AB CDEF证明：(1) ,AB EF ⊥ 45B ∠=904545EFB ∴∠=-=45CFG ∴∠=//,90AD BC ADC ∠=90FCG ∴∠=45,FCG ∴∠= CG CF =∴(2)连接AF ， EF 是AB 的中垂线,AF BF FE AB ∴=⊥45=∠=∠∴BFE AFE90=∠∴AFB DCB AFB ∠=∠∴BC AD CD AF //,// ∴,AF DC BF DC ∴=∴=由(1)知CG CF = ,CG DC CF BF +=+∴即：DG BC =二、有关“截长补短”题型1、在ABCD 中，对角线,BD BC G BD ⊥为延长线上一点且ABG ∆为等边三角形，BAD ∠、CBD ∠的平分线相交于点E ，连接AE BD F 交于，连接GE 。

2019重庆中考数学第24题专题训练二(含部分答案)

2019重庆中考数学第24题专题训练二(含部分答案)

2019重庆中考数学第24题专题训练二1、如图,∠ABC=90°,∠DEB=90°,BA=BC,BD=BE,连接AE,CD,AE所在直线交CD于点F,连接BF.（1）连接AD,EC,求证:AD=EC；（2）若BF⊥AF,求证:F点为CD的中点.2.在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,点F是AC的中点,过点A作BF的延长线的垂线,垂足为点D,连接CD,过点C作CE⊥CD交BF于点E.（1）如图1,若CE=AD=1,求AC的长；（2）如图2,连接AE,求证:AE=2CF.3、如图,矩形ABCD中,BC=2AB,点E是边AD的中点,点F是线段AE上ー点(点F不与点A,E重合)连接BF,过点F作直线BF的垂线,与线段CE交于点G,点H是线段BG的中点.（1）若CE=2求矩形ABCD的面积;（2）求证：BF=EH.4、如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,H为CD边上一点,连接BH交AC于K,E 为BH上一点,连接AE交BD于点F．（1）若AE⊥BH于E,且CK=,AD=6,求AF的长;（2）如图2,若AE=BE,且∠BEO=∠EAO,求证:AE=2OE．5、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为形外一点,BD⊥CD于点D,CD交AB于E. （1）如图1,若∠ABD=15°,BE=6,求BC的长;（2）如图2,连接AD,作AF⊥BC于F,交CD于M,若DA=DB,求证:CE=CM.6.（2017春・垫江县期末）已知,如图1在锐角△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,BE与AD交于点F.（1）若BF=5,DC=3,求AB的长；（2）在图1上过点F作BE的垂线,过点A作AB 的垂线,两条垂线交于点G,连接BG,得如图2。

①求证：∠BGF=45°;②求证：AB=AG+AF.2019重庆中考数学第24题专题训练二答案解析。

上海中考数学24题专项训练

上海中考数学24题专项训练

历年中考24题专项训练（08中考）24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图12，在平面直角坐标系中，为坐标原点．二次函数的图像经过点，顶点为．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；（2）如果点的坐标为，，垂足为点，点在直线上，，求点的坐标．yx（09中考）24. （本题满分12分，每小题满分各4分） 在直角坐标平面内，为原点，点的坐标为（1，0），点的坐标为（0，4），直线∥轴（如图7所示）.点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结. （1）求的值和点的坐标； （2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以为半径的圆与圆外切，求圆的半径.A O 1 -1 123 4 C M图7（10中考）24．如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l 的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n 的值.图8（11中考）24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 已知平面直角坐标系（图9），一次函数的图像与轴交于点，点在正比例函数的图像上，且．二次函数的图像经过点、．(1) 求线段的长；(2) 求这个二次函数的解析式； (3) 如果点在轴上，且位于点下方．点在上述二次函数的图像上，点在一次函数的图像上，且四边形是菱形，求点的坐标．图9O11xy（12中考）24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数过点，和，，并与轴交于点，点在线段上，设，点在第二象限，且，，于.①求二次函数的解析式； ②用含的代数式表示和的长；③当时，求的值.xDFEO BACy（13中考）24. 如图9，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线经过点A 和轴正半轴上的点B ，AO = BO = 2，∠AOB = 120°. （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标.图9MABO（14中考）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0,－2)．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P(t, 0)，且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．（15中考）24．（本题满分12分，每小题满分各4分)已知在平面直角坐标系中（如图6），抛物线与轴的负半轴相交于点，与轴相交于点，.点在抛物线上，线段与轴的正半轴相交于点，线段与轴相交于点.设点的横坐标为.（1）求这条抛物线的表达式；（2）用含的代数式表示的长；（3）当时，求的正弦值.11图6（16中考）24．如图8，抛物线（）经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，且，抛物线的顶点为；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结、、、，求四边形的面积；（3）如果点在轴的正半轴上，且，求点的坐标；图8。

垂径定理-中考数学专项训练(含解析)

垂径定理-中考数学专项训练(含解析)

垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是 的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。

江苏中考数学计算题专项训练及答案

江苏中考数学计算题专项训练及答案

江苏中考数学计算题专项训练及答案题目1：已知数a、b分别是1和5的倍数，且a+b=96，求a和b的值。

解答：由题意得，a=1x，b=5y，其中x和y为整数。

又根据题意可得x+y=96/6=16解方程组得x=4，y=12所以a=1x=4，b=5y=60答案：a=4，b=60解答：由题意可知，EF垂直于CD，由矩形性质可知EF=BC=5cm答案：EF=5cm题目3：一个圆的周长是18πcm，求该圆的半径。

解答：由题意可知，L=2πr18π=2πrr=18/2=9所以该圆的半径为9cm答案：半径为9cm题目4：若甲、乙两个数的和是13，差是7，求甲、乙两个数。

解答：设甲、乙两个数分别为x、y，由题意可得x+y=13x-y=7解方程组得x=10，y=3答案：甲数为10，乙数为3题目5:啤酒原价每瓶10元，现在打九折售卖，现归纳后的一天卖出120瓶，求当天的收入。

解答：原价为10元的啤酒打九折，售价为10×0.9=9元。

一天卖出120瓶，收入为120×9=1080元。

答案：当天的收入为1080元。

题目6: 一正方体（边长为4cm）的表面积是多少cm²？解答：正方体的表面积是6个面积的总和。

每个面的面积是4×4=16cm²。

所以正方体的表面积是6×16=96cm²。

答案：表面积是96cm²。

题目7:已知a:b=5:6，且a+b=44，求a和b的值。

解答：将比例a:b=5:6化简为5a=6b。

由a+b=44得，5a+6a=11a=44，得到a=4代入6b=5a可得6b=5×4，得到b=20/6=10/3答案：a=4，b=10/3题目8: 一条船从A地到B地，上游航行28km，下游航行42km，所用时间相同。

若船的速度是18km/h，求水流的速度。

解答：上游航行的速度为船的速度减去水流的速度，下游航行的速度为船的速度加上水流的速度。

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中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：B G=D G+CD．在B G上取BH=AB=CD，连EH，显然△ABE与△CDE全等，则∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC又∠BEC=90°=∠BFC，对顶角∠BGE=∠CGF，故∠FBE=∠DCE，所以∠ABE=∠FBE在BF上取BH=AB，连接EH，由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE与△HBE全等故∠AEB=∠HEB，AE=EH而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90°所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED同理，∠DEG=45°=∠HEGEH=AE=ED，EG=EG故△HEG与△FEG全等，所以HG=DG即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD 延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BC E的面积；（2）求证：B D=E F+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD 交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形A BC D的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EF H=∠FH G，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD 于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG 是梯形ABCD的高．（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB 的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC 的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，A E=B E，且AF⊥A B，连接EF．（1）若EF⊥AF，A F=4，AB=6，求 AE的长．（2）若点F是C D的中点，求证：CE=B E﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠A B C=90°，A B=B C，点E是A B上的点，∠E C D=45°，连接ED，过D 作D F⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形A B CD的周长．（2）求证：E D=B E+F C．28、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH， ∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM⊥AD 于M ，如图，在Rt△ABC 中，AB=6，sin∠ACB==， ∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM 中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，∵∠D=45°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又 AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得 x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC 的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△AB F是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）（2）∵AD=CE，∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D 作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，=3×2+6+3﹣3=9+3，∴C梯形ABCD答：梯形A B CD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使M N=BE，∴C N=CE，可证∠N C D=∠DCE，∵CD=CD，∴△D E C≌△D N C，∴E D=EN，∴E D=B E+F C．28、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴A D=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C=DF+FE+DE=6，△DFE∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．=（AD+BC）•DG∴S梯形ABCD=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC， DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，=．∴OB=OD，∴S梯形ABCD又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。

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