人教版七年级数学下册期末专题复习讲义

期末复习(一) 相交线与平行线

各个击破

命题点1 命题

【例1】 已知下列命题：

①若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＞0；

②若a ≠b ，则a 2≠b 2

； ③两点之间，线段最短； ④同位角相等，两直线平行． 其中真命题的个数是(C )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【思路点拨】命题①、③、④显然成立，对于命题②，当a ＝2、b ＝－2时，虽然有a ≠b ，但a 2＝b 2

，所以②是假命题．

【方法归纳】要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断命题真假为主要题型．

1．下列语句不是命题的是(C )

A ．两直线平行，同位角相等

B ．锐角都相等

C ．画直线AB 平行于C

D D ．所有质数都是奇数

2．(兴化三模)说明命题“x ＞－4，则x 2

＞16”是假命题的一个反例可以是x ＝－3．

3．(日照期中)命题“同旁内角互补”的题设是两个角是两条直线被第三条直线所截得到的同旁内角，结论是这两个角互补，这是一个假命题(填“真”或“假”)． 命题点2 两直线相交

【例2】 如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，∠DOE ＝∠BOD ，OF 平分∠AOE.

(1)判断OF 与OD 的位置关系；

(2)若∠AOC ∶∠AOD ＝1∶5，求∠EOF 的度数．

【思路点拨】 (1)根据∠DOE ＝∠BOD ，OF 平分∠AOE ，求得∠FOD ＝90°，从而判断OF 与OD 的位置关系． (2)根据∠AOC ，∠AOD 的度数比以及邻补角性质，求得∠AOC.然后利用对顶角性质得∠BOD 的度数，从而得∠EOD 的度数．最后利用∠FOD ＝90°，求得∠EOF 的度数．

【解答】 (1)∵OF 平分∠AOE ，

∴∠AOF ＝∠EOF ＝1

2∠AOE.

又∵∠DOE ＝∠BOD ＝1

2∠BOE ，

∴∠DOE ＋∠EOF ＝1

2(∠BOE ＋∠AOE)

＝1

2×180°＝90°，

∵∠AOC ∶∠AOD ＝1∶5，∴∠AOD ＝5x °.

∵∠AOC ＋∠AOD ＝180°，∴x ＋5x ＝180，解得x ＝30. ∴∠DOE ＝∠BOD ＝∠AOC ＝30°.

又∵∠FOD ＝90°，∴∠EOF ＝90°－30°＝60°.

【方法归纳】 求角的度数问题时，要善于从图形中挖掘隐含条件，如：邻补角、对顶角，然后结合条件给出的角的和、差、倍、分等关系进行计算．

4．(梧州中考)如图，已知直线AB 与CD 交于点O ，ON 平分∠BOD.若∠BOC ＝110°，则∠AON 的度数为145°．

5．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，已知：∠AOC ＝70°，OE 把∠BOD 分成两部分，且∠BOE ∶∠EOD ＝2∶3，求∠AOE 的度数．

解：∵∠AOC ＝70°，∴∠BOD ＝∠AOC ＝70°. ∵∠BOE ∶∠EOD ＝2∶3， ∴∠BOE ＝2

2＋3×70°＝28°.

∴∠AOE ＝180°－28°＝152°.

6．如图所示，O 是直线AB 上一点，∠AOC ＝1

3

∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线．

(1)求∠COD 的度数；

(2)判断OD 与AB 的位置关系，并说出理由．

解：(1)∵∠AOC ＋∠BOC ＝180°，∠AOC ＝ 13∠BOC ，∴1

3∠BOC ＋∠BOC ＝180°.

∴∠BOC ＝135°.∴∠AOC ＝45°.

∵OC 平分∠AOD ，

∴∠COD ＝∠AOC ＝45°.

(2)OD ⊥AB.理由如下：∵∠COD ＝∠AOC ＝45°， ∴∠AOD ＝∠COD ＋∠AOC ＝90°. ∴OD ⊥AB.

命题点3 平行线的性质与判定

【例3】已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝106°－α，∠ABC＝74°＋α，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F.

求证：∠1＝∠2.

【思路点拨】由条件得∠A＋∠ABC＝180°，得AD∥BC，从而∠1＝∠DBC.由BD⊥DC，EF⊥DC，可得BD∥EF，从而∠2＝∠DBC，所以∠1＝∠2，结论得证．

【解答】证明：∵∠A＝106°－α，∠ABC＝74°＋α，

∴∠A＋∠ABC＝180°.

∴AD∥BC.∴∠1＝∠DBC.

∵BD⊥DC，EF⊥DC，

∴∠BDF＝∠EFC＝90°.

∴BD∥EF.

∴∠2＝∠DBC.

∴∠1＝∠2.

【方法归纳】本题既考查了平行线的性质又考查了平行线的判定．题目的证明用到了“平行线迁移等角”．

7．(山亭区期末)如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，那么当∠CDE等于________时，BC ∥DE.(B)

A．40°B．50°

C．70°D．130°

8．(河北中考)如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝(C)

A．120°B．130°

C．140°D．150°

9．(渑池县期中)如图，已知直线AB∥DF，∠D＋∠B＝180°.

(1)求证：DE∥BC；

(2)如果∠AMD＝75°，求∠AGC的度数．

∵∠D ＋∠B ＝180°， ∴∠B ＝∠DHB. ∴DE ∥BC.

(2)∵DE ∥BC ，∠AMD ＝75°， ∴∠AGB ＝∠AMD ＝75°.

∴∠AGC ＝180°－∠AGB ＝180°－75°＝105°. 命题点4 平移

【例4】 (晋江中考)如图，在方格纸中(小正方形的边长为1)，三角形ABC 的三个顶点均为格点，将三角形ABC 沿x 轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系(O 是坐标原点)，解答下列问题：

(1)画出平移后的三角形A ′B ′C ′，并直接写出点A ′，B ′，C ′的坐标； (2)求出在整个平移过程中，三角形ABC 扫过的面积．

【思路点拨】 (1)根据网格结构找出点A ′，B ′，C ′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出坐标即可；

(2)观察图形可得三角形ABC 扫过的面积为四边形AA ′B ′B 的面积与三角形ABC 的面积的和，然后列式进行计算即可．

【解答】 (1)平移后的三角形A ′B ′C ′如图所示；点A ′，B ′，C ′的坐标分别为(－1，5)，(－4，0)，(－1，0)．

(2)由平移的性质可知，四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴S ＝S 四边形AA ′B ′B ＋S 三角形ABC

＝B ′B ·AC ＋1

2BC ·AC

＝5×5＋1

2×3×5

＝652

. 【方法归纳】 熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．

10．(大连中考)在平面直角坐标系中，将点P(3，2)向右平移2个单位，所得到的点的坐标是(D )

A ．(1，2)

B ．(3，0)

C ．(3，4)

D ．(5，2)

11．(泉州中考)如图，三角形ABC 沿着点B 到点E 的方向，平移到三角形DEF ，已知BC ＝5，EC ＝3，那么平移的距离为(A )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．7