高中数学 第一章 数列单元质量评估(一)新人教版必修5
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(答案解析)(1)
一、选择题1．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．712,35⎛⎫⎪⎝⎭ C ．167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．167,73⎛⎫⎪⎝⎭ 2．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．43．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，4．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123451111110a a a a a ++++=，则31a =，5S =（ ）A ．10B ．15C ．20D ．256．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－27．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-8．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2110．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．10111．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-12．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题13．已知111,2n n a a a +==，若(1)n n n b a n =+-⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S =______．14．数列1，-2，2，-3，3，-3，4，-4，4，-4，5，-5，5，-5，5，…，的项正负交替，且项的绝对值为1的有1个，2的有2个，…，n 的有n 个，则该数列第2020项是__________．15．已知函数()f x 在()1,∞-+上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________. 16．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，621S =，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=，则数列{}n b 的前100项和为________．17．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．18．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 20．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c 可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.三、解答题21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2n an b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ． 22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足332S a =，8522a a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记121n n n n b a a a ++=⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .23．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，525S =，1a ，2a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}2log n b 的首项为1，公差为1，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设3log n n b a =，nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()122121n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足1340n T >的正整数n 的最小值．26．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，{}n b 的前n 项和为n S ，且22a S =，43a S =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由6n S S ≤可得660a t -≥，770a t -≤，即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+，所以22n a n =+， 所以()22n a tn t n -=-+， 可得数列{}n a tn -是等差数列， 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立， 可得：660a t -≥，770a t -≤， 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤， 解得：16773t ≤≤，所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ，等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥，10n a +≤，2．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．C解析：C 【分析】 先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．4．D解析：D 【分析】 根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果. 【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n aaa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.5．A解析：A 【分析】对已知等式左侧的式子一、五两项，二、四两项分别通分，结合等比数列的性质再和第三项通分化简可得521234531111110S a a a a a a ++++==，结合3a 的值进而可得结果. 【详解】15123455242212345152433311111110a a a a a a a S a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++=++===， 则510S =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，利用性质化简是解题的关键，属于中档题.6．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.7．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.8．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q--+÷==--+，所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.9．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =， 又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=， 又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案．【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．11．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.12．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13．1028【分析】由题可知为等比数列求出的通项公式即可写出的通项公式利用分组求和法即可求出前10项和【详解】是首项为1公比为2的等比数列则故答案为：1028【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的解析：1028 【分析】由题可知{}n a 为等比数列，求出{}n a 的通项公式，即可写出{}n b 的通项公式，利用分组求和法即可求出前10项和. 【详解】111,2n n a a a +==，{}n a ∴是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，121nn nb n ， 则910124212310S1011251102812.故答案为：1028.【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查分组求和法求数列的前n 项和，属于基础题.14．【分析】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列然后计算原第2020项在这个数列的第几项再根据题意可得【详解】将绝对值相同的数字分为一组则每组数字个数构成等差数列因为则2020项前共包含 解析：64-【分析】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =，然后计算原第2020项在这个数列的第几项，再根据题意可得. 【详解】将绝对值相同的数字分为一组，则每组数字个数构成等差数列n a n =， 因为(1)6364202063201622n n n +⨯⇒⇒=， 则2020项前共包含63个完整组，且第63组最后一个数字为第2016项，且第2016项的符号为负，故2020项为第64组第4个数字，由奇偶交替规则，其为64-. 故答案为：64-. 【点睛】本题考查数列创新问题，解题关键是把绝对值相同的数字归为一组，通过组数来讨论原数列中的项，这借助于等差数列就可完成，本题考查了转化思想，属于中档题.15．【分析】根据的图象的对称性利用平移变换的知识得到的图象的对称性结合函数的单调性根据得到的值最后利用等差数列的性质求得所求答案【详解】由函数的图象关于对称则函数的图象关于对称又在上单调且所以因为数列是 解析：2-【分析】根据()2y f x =-的图象的对称性，利用平移变换的知识得到()f x 的图象的对称性，结合函数的单调性，根据()()5051f a f a =得到5051a a +的值，最后利用等差数列的性质求得所求答案. 【详解】由函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称， 又()f x 在()1,∞-+上单调,且()()5051f a f a =，所以5051a a 2+=-，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以11005051a a 2a a +=+=-, 故答案为：2-. 【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，等差数列的性质，涉及函数的图象的平移变换，属中档题，小综合题，难度一般.16．92【分析】设的公差为d 由解得则然后由分和三种情况求解【详解】设的公差为d 所以解得∴记的前n 项和为则当时当时当即时∴故答案为：92【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用还解析：92 【分析】设{}n a 的公差为d ，由11a =，621S =，解得1d =，则n a n =，然后由[]lg n n b a =，分0lg 1n a ≤<， 1lg 2n a ≤<和 lg 2n a =三种情况求解.【详解】设{}n a 的公差为d ，()6166212s a a =+=， 所以167a a +=， 解得1d =， ∴n a n =，记{}n b 的前n 项和为n T ，则[][][]1001210012100lg lg lg T b b b a a a =++⋯+=++⋯+，当0lg 1n a ≤<时，1,2,9n =⋅⋅⋅，0n b =， 当1lg 2n a ≤<时，10,11,99n =⋅⋅⋅，1n b =， 当lg 2n a =，即100n a =时，2n b = ∴10009190292T =⨯+⨯+=． 故答案为：92 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：94【分析】分别求出{}n a 、{}n b 的通项，再构建新数列212n n n c -=，求出{}n c 最大项后可得实数λ的最小值. 【详解】()*1n =∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n =+-⨯=，2*()n a n n N ∴=∈．当2n ≥时，111(2)(2)2nn n n n n b S S m m ---=-=---=，{}n b 是等比数列，112b S m ∴==-也适合12n n b -=，故21m -=即1m =，1*2()n n b n N -∴=∈．又n n b a λ≥恒成立等价于212n n λ-≥恒成立，2max max 1()()2n n n a n b λ-∴≥=，令212n n n c -=，则()2221121142222n n n n n n n n n c c --------=-=， 当23n ≤≤时，10-->n n c c ，当4n ≥时，10n n c c --<， 故max 39()4n c c ==，94λ∴≥． 【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.18．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-19．8【分析】根据可得两式相减可得利用递推关系即可求解【详解】①②②①得当时故答案为：8【点睛】本题主要考查了数列的项与前n 项和的关系考查了利用递推关系求数列的项属于中档题解析：8 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故答案为：8 【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.20．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c =⨯，判断④正确. 【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+， 当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠，故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21nn S =-， 当1n =时，111211a S ==-=，当2n ≥时，111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=， 因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾， 故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列， 所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯， 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.三、解答题21．（Ⅰ）21n a n =-，*n ∈Z ，2n S n =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n n b -=，即可求出{}n b 的前n 项和为n T ，则11131124141n n n n n b T T +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和得出12n A <，再利用放缩法21111n n n <--得到122n B n<-<，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）∵141n n n S a a +=⋅+，11a =， ∴11241S a a =⋅+，∴23a =， 当2n ≥时，有1141n n n S a a --=+，∴11144n n n n n n S S a a a a ++--=-，∴()114n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，2114(1)2(21)1n a n n -=+-=--，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，234(1)221n a n n =+-=⋅-，∴21n a n =-，*n ∈Z ， ∴()21212n n n S n +-==．（Ⅱ）因为2n an b =，所以212n n b -=，()1352122222413n nn T -=+++⋅⋅⋅+=-， ()()()()2111111294311222241414141414133n n n n n n n n n n n b T T ++++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭--，1n =时，125A =，11B =，1152A B +<． 2n ≥时，2231311311311241412414124141n n n A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭113111311234122412n n ++⎛⎫=+=-⋅< ⎪--⎝⎭． 22111111111112222231n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴52n n A B +<∴52n n A B +<，n *∈N ．【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22．（1）n a n =；（2）()()23412n nn n +++.【分析】（1）由已知求得1a 和公差d ，可得通项公式； （2）用裂项相消法求和． 【详解】（1）因为数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，结合332S a =，8522a a =-，()()111133227242a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得：11a d == 所以11n a n n =+-= （2）()()()()()1211111122112n n n n b a a a n n n n n n n ++⎡⎤===-⎢⎥⋅⋅+++++⎣⎦()()()11111111121223223342112n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()()()()211132212412n n nT n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++++⎣⎦． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．23．（1）21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-⨯+.【分析】（1）由等差数列的前n 项和公式，等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组，解方程组后可得通项公式n a ；（2）由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ，然后由错位相减法求得和n T ． 【详解】（1）设{}n a 公差为d ，则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. （2）由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=，2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯，（1） ()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯，（2）（1）－（2）得：2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-，()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．24．（1）3nn a =；（2）3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)先求出n b n =，得到3n n nn b nc a ==，用错位相减法求和.【详解】解：（1）当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴=当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---， 故13n n a a -=，因为110a =≠，故0n a ≠ 给13nn a a -=，∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列. 1333n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知3nn a =，所以3log n n n b a ==，故3n n nn b n c a ==. 即123231233333n n n nT c c c c =++++=++++① 所以231112133333n n n n nT +-=++++② ①-②得2311111121111113311333333323313n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭-所以3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法． 25．(1)22nn a =+；(2)6． 【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)把n b 拆项为1112121n n n b +=-++，然后求和． 【详解】(1)因为124n n S a n +=+-，则()1262n n S a n n -=+-≥，当2n ≥时，112n n n n n a S S a a -+=-=-+，即122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-． ∵122a -=，取1n =，则()21112422a S a a -====-，对()1222n n a a +-=-也成立．所以{}2n a -是首项和公比都为2的等比数列，从而22nn a -=，所以22nn a =+．(2)由题设，()()()()()11112121211212121212121n n n n n n n n n n b +++++-+===-++++++， 则2231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 由1111332140n +->+，得11113121340120n +<-=+，即121120n ++>，即12119n +>，则6n ≥.所以正整数n 的最小值为6．【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法． 26．（1）()1121n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q ；（2）()3232n n T n =+-⋅.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由22a S =，43a S =,求得2,2d q ==，然后利用等差数列和等比数列通项公式求解.（2）由（1）得到()1212n n c n -=-⋅，然后错位相减法求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为22a S =，43a S =,所以11d q +=+，2131d q q +=++，解得2,2d q ==所以()1121n a a n d n =+-=-，1112nn n b b q ；（2）由（1）知：()1212n n c n -=-⋅，所以()0121123252...212n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅， 则()1232123252...212nn T n =⋅+⋅+⋅++-⋅， 两式相减得：()23122...2212n nn T n -=++++--⋅，()()1412121212n n n --=+--⋅-，()3322n n =-+-⋅，所以()3232nn T n =+-⋅.【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。
人教版数学必修五《数列》单元质量评估试题(含解析)
《数列》单元质量评估试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．669 D ．6722．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．343．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．84．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大5.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( )A.n （n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.n 2（n ＋1）D.2nn ＋16．数列{(－1)n ·n }的前2 013项的和S 2 013为( ) A ．－2 013 B ．－1 017 C ．2 013 D ．1 0077．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( ) A ．1或2 B ．1或－2 C ．－1或2 D ．－1或－28．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.15810．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(－∞，4] C ．(－∞，5) D ．(－∞，3] 11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( ) A ．d ＜0 B ．d ＞0 C ．a 1d ＜0 D ．a 1d ＞012．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( ) A ．q B ．12q C ．(1＋q )12 D ．(1＋q )12－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________． 14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．15．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________． 16．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5.a 3＋a 8＝5. (1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.《数列》单元质量评估试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A ．667B ．668C ．669D ．672 解析：由2 014＝1＋3(n －1)解得n ＝672. 答案：D2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．34解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 答案：B3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：因为a 3·a 11＝a 27＝16，所以a 7＝4， 所以a 5＝a 7q 2＝422＝1.答案：A4．数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大解析：a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫910n，a n ＋1＝(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫910n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋3n ＋2·910，令a n ＋1a n ≥1，即n ＋3n ＋2·910≥1，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大． 答案：A5.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n 等于( )A.n （n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.n2（n ＋1）D.2n n ＋1解析：由已知得a n －a n ＋1＋1＝0， 即a n ＋1－a n ＝1.所以数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． 所以S n ＝n ＋n （n －1）2·1＝12n 2＋12n ，所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1.答案：D6．数列{(－1)n·n}的前2 013项的和S2 013为()A．－2 013 B．－1 017C．2 013 D．1 007解析：S2 013＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 012－2 013＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 012－2 013)＝(－1)＋(－1)×1 006＝－1 007.答案：D7．若{a n}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于()A．1或2 B．1或－2C．－1或2 D．－1或－2解析：依题意有2a4＝a6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0，所以q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0.所以q＝－1或q＝2.答案：C8．设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是()A．d＜0B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值解析：由S5＜S6，得a6＝S6－S5＞0.又S6＝S7⇒a7＝0，所以d＜0.由S7＞S8⇒a8＜0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＜0，即S9＜S5.答案：C9．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158和5B.3116和5C.3116D.158 解析：由9S 3＝S 6＝S 3＋q 3S 3， 又S 3≠0，所以q 3＝8，q ＝2. 故a n ＝q ·qn －1＝2n －1，所以1a n ＝12n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案：C10．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2·（－2）≤1，即λ≤4.答案：B11．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列．则( ) A ．d ＜0 B ．d ＞0 C ．a 1d ＜0 D ．a 1d ＞0解析：因为{a n }是等差数列，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以2a 1a n ＝2a 21＋a 1(n －1)d ，又由于{2a 1a n }为递减数列，所以2a 1a n2a 1a n ＋1＝2－a 1d ＞1＝20，所以a 1d ＜0.答案：C12．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A ．qB ．12qC ．(1＋q )12D ．(1＋q )12－1解析：设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q )，该厂一年的生产总值为S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，所以该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1＝(1＋q )12－1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设{a n }是递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．解析：设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，所以d ＞0，即d ＝2，所以a 1＝2. 答案：214．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．解析：由题意知a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝4，所以q 2＝a 3a 1＝4，q ＝2代入等比求和公式得S 6＝63.答案：6315．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝______________．解析：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， 所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2a n－1)－(2a n－1－1)；所以a n＝2a n－1，经检验n＝1也符合．所以{a n}是等比数列．所以a n＝2n－1，n∈N*.答案：2n－1(n∈N*)16．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．解析：设三边为a，aq，aq2(q＞1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，所以q2＝5＋1 2.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q2＝5－12.答案：5－1 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{log2(a n－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n＜1.(1)解：设等差数列{log2(a n－1)}的公差为d.由a1＝3，a3＝9，得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1.所以log2(a n－1)＝1＋(n－1)·1＝n，即a n＝2n＋1.(2)证明：因为1a n＋1－a n＝12n＋1－2n＝12n，所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ·121－12＝1－12n ＜1. 18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38. (1)解：因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n （n －1）2d . 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝70，a 27＝a 2a 22.即⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝70，（a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋21d ）. 解得a 1＝6，d ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2(n ∈N *)．(2)证明：由(1)可得S n ＝2n 2＋4n .所以1S n ＝12n 2＋4n ＝12n （n ＋2）＝14(1n －1n ＋2)． 所以T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n －1＋1S n ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋14· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝ 14⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 因为T n －38＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＜0，所以T n ＜38. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3＞0，所以数列{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16.所以16≤T n ＜38. 19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5.a 3＋a 8＝5.(1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n . 解：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得： ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－20，d ＝5.所以a n ＝5n －25(n ∈N *)．(2)由(1)a n ＝5n －25，所以b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30， 所以b n ＝10n －30(n ∈N *)．20．(本小题满分12分)求数列1，3a ，5a 2，7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．解：当a ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝（1＋2n －1）n 2＝n 2. 当a ≠1时，S n ＝1＋3a ＋5a 2＋…＋(2n －3)a n －2＋(2n －1)a n －1， aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)a n －1＋(2n －1)a n ， 两式相减，有：(1－a )S n ＝1＋2a ＋2a 2＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ＝1＋2a （1－a n －1）1－a－(2n －1)a n ， 此时S n ＝2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n1－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，2a （1－a n －1）（1－a ）2＋a n ＋1－2na n 1－a ，a ≠1.21．(本小题满分12分)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解：设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 1－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ， 故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )． 若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0， 此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )， 解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1(n ∈N *)．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32. 证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，首项为a 1＋12＝32，公比为3， 所以a n ＋12＝32·3n －1， 因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)．(2)由(1)知：a n ＝3n －12，所以1a n ＝23n －1， 因为当n ≥1时，3n －1≥2·3n －1，所以13n －1≤12·3n －1， 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＜32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.。
高中数学第一章数列单元质量评估二新人教版必修5
【红对勾】 版高中数学 第一章 数列单元质量评估（二）新人教版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π4，则tan(a 4＋a 6)等于( )A.33B. 3 C ．1D ．－1解析：∵a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝π4，∴a 5＝π12.∴a 4＋a 6＝2a 5＝π6，∴tan(a 4＋a 6)＝tan π6＝33.答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( ) A ．9 B ．21 C ．27D ．36解析：由题意可知S n ＝n a 1＋a n2＝18，又由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋a n －1＋a n －2＝3，a 1＋a 2＋a 3＝1，所以3(a 1＋a n )＝4，即a 1＋a n ＝43.所以n ＝36a 1＋a n ＝3643＝27.故选C.答案：C3．下图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”暗示原子，两黑点间的“短线”暗示化学键，按图中结构可推知第n 个图有化学键( )A ．6n 个B ．(4n ＋2)个C ．(5n －1)个D ．(5n ＋1)个解析：各图中的“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，….若视6为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键(5n ＋1)个．故选D.答案：D4．已知等差数列{a n }的通项为a n ＝2n ＋1，前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为( )A ．120B ．100C ．75D ．70解析：由已知得a 1＝3，从而S n ＝n a 1＋a n2＝n (n ＋2)，所以S n n＝n ＋2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，则前10项和为T 10＝3×10＋10×92＝75.答案：C5．已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝S n －12S n －1＋1，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝12n －1B ．a n ＝－22n －12n －3C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，12n －1－12n －3，n ＝1n ≥2D ．a n ＝22n －12n －3解析：∵1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即S n ＝12n －1. ∴a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，12n －1－12n －3，n ＝1n ≥2，注意验证n ＝1的情况是否符合．答案：C6．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时自身分裂为2个，现有一个这样的细菌和100个病毒，则细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：设至少要n 秒钟，则1＋22＋…＋2n －1≥100，即2n－1≥100，所以n ≥7.答案：B7．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10D ．55解析：∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，∴S 1＝1.可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，即S n ＋1－S n ＝1. ∵当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1. 答案：A8．(2021·纲目全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100D.101100解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 5＝5，S 5＝15得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝55a 1＋5×42d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝1，从而a n ＝n ，∴1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，从而S 100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 答案：A9．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列等价于( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：由题意得A 1＝a 1a 2，A 2＝a 2a 3，A 3＝a 3a 4，A 4＝a 4a 5，A 5＝a 5a 6，…，A i ＝a i a i ＋1，…，若{A n }为等比数列，则有A 2A 1＝A 3A 2＝A 4A 3＝A 5A 4＝…＝A i A i －1＝A i ＋1A i ＝…，即a 2a 3a 1a 2＝a 3a 4a 2a 3＝a 4a 5a 3a 4＝a 5a 6a 4a 5＝…＝a i a i ＋1a i －1a i ＝a i ＋1a i ＋2a i a i ＋1＝…，从而a 3a 1＝a 4a 2＝a 5a 3＝a 6a 4＝…＝a i ＋1a i －1＝a i ＋2a i＝…，由等比数列的定义可知a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同．答案：D10．(2021·湖北卷)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④解析：设数列{a n }的公比为q .对于①，f a n ＋1f a n ＝a 2n ＋1a 2n＝q 2，是常数，故①符合“保等比数列函数”的定义；对于②，f a n ＋1f a n ＝2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ，不是常数，故②不符合“保等比数列函数”的定义；对于③，f a n ＋1f a n ＝|a n ＋1||a n |＝a n ＋1a n＝q ，是常数，故③符合“保等比数列函数”的定义；对于④，f a n ＋1f a n ＝ln|a n ＋1|ln|a n |，不是常数，故④不符合“保等比数列函数”的定义．答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上) 11．在等差数列{a n }中，若S n ＝S 29－n (n <29，n ∈N *)，则a 15＝________. 解析：在S n ＝S 29－n 中令n ＝15得S 15＝S 14，从而可知a 15＝0. 答案：012．(2021·天津卷)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10，则数列{a n }与{b n }的通项公式分别为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝278＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3q ＝2，所以a n ＝3n －1，b n ＝2n.答案：a n ＝3n －1，b n ＝2n13．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝________.解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，得a 2n ＝22n ，又a n >0，则a n ＝2n，故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.答案：n 214．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝20，则x 5＋x 16＝________. 解析：由⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列知{x n }为等差数列，于是x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝…＝x 10＋x 11＝2.答案：215．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．解析：设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}，故q 的最小值是33.答案：33三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题12分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则有10＋45d ＝55，q 3＝8，分别可解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }，{b n }的前3项中各抽取一项，获得的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求事件的概率为29.17．(本小题12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.求数列{b n }的通项公式．解：设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意， 得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d ，依题意，有b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13. 当d ＝2时，{b n }的第3项为5，又第4 项为10，故公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54×2n －1＝5×2n －3.当d ＝－13时，b 3＝20，又b 4＝10，故公比为12.由b 3＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，即20＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，解得b 1＝80.所以{b n }是以80为首项，12为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－5.18．(本小题12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＋a 5＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋1a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1an2，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }公比为q (q >0)，则a n ＝a 1q n －1，由已知得a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q3＋a 1q 4＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，分别化简，得a 21q ＝2，a 21q 6＝64，又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2，从而T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝13(4n －41－n)＋2n ＋1.19．(本小题12分)(2021·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1. (2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，所以S n＝2S n －1＋2n －1 ①，所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ②，②－①得a n ＋1＝2a n ＋2，所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)，易得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.20．(本小题13分)(2021·浙江卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S n ＝2n 2＋n 得a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n －[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1，当n ＝1时，a 1＝3也满足．故a n ＝4n －1，n ∈N *.(2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *，所以T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)·2n－1,2T n ＝3×2＋7×22＋11×23＋…＋(4n －1)·2n,2T n －T n ＝(4n －1)·2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n －1)]＝(4n －5)2n＋5，从而T n ＝(4n －5)2n＋5，n ∈N *.21．(本小题14分)(2021·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 暗示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 暗示)．解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d ， a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d ＝…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d . 由题意知a m ＝4 000，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000，解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 0003m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 0003m－2m ＋13m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．。
(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)(3)
一、选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >2．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cos B 的最小值为（ ）A ．12B．2C ．34D4．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2595．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S6．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n7．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（ ） A ．11 B ．12 C ．24D ．368．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏9．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，()22,N x y ，则直线MN 的方程是（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．70x y --=D ．70x y +-=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足28a =-，390n S -=，228n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1311．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n - 12．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．2二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S SS a a a a +++⋅⋅⋅+=___________. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则10S =______.15．数列{}n a 中，11a =，212a =，11211(2)n n n n a a a +-=+≥，则{}1n n a a +⋅的前n 项和n S =__________．16．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 17．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n na a n N a *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2015S 的值为___________．18．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列{}n a 的前4项，则数列{}n a 的一个通项公式为______.19．已知正项等比数列{}n a ，12q =，若存在两项m a 、n a 12m n a a a =，则9m n-的最小值为___________. 20．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.三、解答题21．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．22．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且232n n n T S S =+，*n N ∈.（1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若有111n n b a +=-，求证：231321n b b b +++<23．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式； （2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈. 24．已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.（1）证明：数列1{}1n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n a c n =⋅，记数列{}nc 的前n 项和为n T ，求证：314n T ≤<. 25．在①420S =,②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，______，2138,34b b b =-=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和34k T >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 26．已知数列满足递推关系，且10a =，121n n a a -=+.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列； （2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >， 当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>； 当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<， 当01q <<时，10a >，此时210a a q =>； 当1q >时，10a >，此时210a a q =>； 故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >； 当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.2．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列．所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．3．A解析：A 【解析】分析：用余弦定理推论得222cos 2a c b B ac +-=．由222,,a b c 成等差数列，可得2222a c b += ，所以22222cos 24a c b a c B ac ac+-+==，利用重要不等式可得2221cos 442a c ac B ac ac +=≥=．详解：因为222,,a b c 成等差数列，所以2222a cb += ． 由余弦定理推论得2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥=当且仅当a c =时，上式取等号． 故选A ．点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．4．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.5．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．6．D解析：D由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.7．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =， 所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=， 所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36.【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.8．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线MN 的方程即可. 【详解】解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得1235x x =⎧⎨=⎩，∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得1224y y =⎧⎨=⎩ ∴点()3,2M ，()5,4N ，42153MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.故选：B. 【点睛】本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.10．C解析：C 【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得313n n n S S a ---=，从而求得146n a -=，然后由121()()22n n n n a a n a a S -++==求解. 【详解】由题意得322890138n n S S --=-=， 所以13138n a -=. 所以146n a -=.所以121()()1922822n n n n a a n a a S n -++====， 解得12n =.故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.11．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.12．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】由推得得到数列表示首项为公比为的等比数列求得和进而得到再结合等比数列求和公式即可求解【详解】由数列的前项和且满足当时两式相减可得即令可得解得所以数列表示首项为公比为的等比数列所以则所以所以故 解析：1013【分析】由1n n a S +=，推得11(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n nnS a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=， 当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11(2)2n n a n a -=≥， 令1n =，可得11121a S a +==，解得112a =， 所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则11122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n n a S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n na n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.14．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题【分析】先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出10S . 【详解】 当1n =时，1111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，11112nn n n nS S S S S ，整理可得2211n n S S --=，2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 2111n S n n ，{}n a 是正项数列，n S ∴=1010S .【点睛】本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.15．【分析】根据利用等差中项得到是等差数列然后由利用裂项相消法求和【详解】∵∴是等差数列又∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：1n n + 【分析】根据11211(2)n n n n a a a +-=+≥，利用等差中项得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，然后由 1111(1)1n n a n n a n n +==-++⋅，利用裂项相消法求和.【详解】∵11211(2)n n n n a a a +-=+≥， ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 又11a =，212a =， ∴21111d a a =-=，∴1nn a ，1n a n=，∴1111(1)1n n a n n a n n +==-++⋅∴11111111 (1111)1223341n nS n n n n -+-+-++--=+=+=+． 故答案为：1nn + 【点睛】本题主要等差中项以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.17．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254 【分析】参数a 进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】 由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当02a <<时，48a a=，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=.故答案为：7254． 【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．18．【分析】根据图象的规律得到前后两项的递推关系然后利用迭代法求通项并利用等比数列求和【详解】由图分析可知依次类推数列是首项为1公比为8的等比数列所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通解析：817n n a -= 【分析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】由图分析可知11a =，218181a a =⨯+=+，23281881a a =⨯+=++， 依次类推，1288...1n n n a --=+++，数列{}18n -是首项为1，公比为8的等比数列，所以1881187n n n a --==-， 故答案为：817n n a -=【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.19．【分析】由等比数列的通项公式结合可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】由于则即则由已知可得因此当且仅当时等号成立所以的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的 解析：2【分析】12a =可得出4m n =-，利用基本不等式可求得9m n-的最小值. 【详解】12a =，则214m n a a a =，即221121111124m n m n a a q a q a +---⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭，则22m n +-=， 4m n ∴=-，由已知可得m 、n *∈N ，因此，()9994442m n n n n n -=--=+-≥=， 当且仅当3n =时，等号成立，所以，9m n-的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键解析：()11332n n +-- 【分析】 根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n nn a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.三、解答题21．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23n n n c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23n nn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅，事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明． 22．（1）11a =，12n n a ；（2）证明见解析．【分析】（1）已知等式中令1n =，可求得1a ，在232n n n T S S =+中用1n +代n ，然后两式相减，得出n a 的递推关系，从而可得其通项公式； （2）4n ≥时，由111212(2)2nn n ---=-11528n -≥⋅，用放缩法求出23n b b b +++后可证得不等式成立．【详解】（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =， 又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++，因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④，③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，12n na a +=， 又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又20a >，所以22a =，所以212a a =． 所以12n na a +=，*n N ∈． 所以{}n a 通项公式为12n n a ；（2）由（1）111121n n n b a +==--， 4n ≥时，111112121222(2)22n nn n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅，所以118121152n n -≤⋅-， 所以23341118111()3715222n n b b b -+++<+++++ 11081110210313()2115422115212121n -=+-<+<+=． 【点睛】 关键点点睛：本题考查由n S 的关系式求通项公式，考查数列不等式的证明．已知n S 的关系一般可用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推式，然后求解．与数列和有关的不等式的证明，在和不能直接求出时，可利用放缩法适当放缩后使得和能求出，从而证明不等式成立．23．（1）()*1(1)2nn a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈，化简可得11212222n n n n a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）. （2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-， 综上说述：()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和 （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 24．（1）证明见解析，21n n a n +=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据已知，表示出1111111n n n n a a a a -----=-=，然后代入11111n n a a ----计算可得1，所以证明出数列1{}1n a -是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出1211(1)22(1)2n n n nn c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅，然后利用裂项相消法计算前n 项和n T ，再判断出数列的单调性，即可证明. 【详解】 （1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=，所以1111111111111111n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---， 所以数列1{}1n a -为首项为111a -，公差为1的等差数列. 又132a =，1121a =-，所以111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为21n n a n +=+，所以1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅. 所以121n n n T c c c c -=++⋅⋅⋅++1121111111112222322(1)2(1)2n n nn n n -=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅， 即11(1)2n nT n =-+⋅，显然1n T <，另一方面，111111121(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n nn T T n n n n n n ---+-=---=-=>+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅，故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=，因此，314n T ≤<. 【点睛】常见的数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． （4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.25．选①k 的最小值为4；选②k 的最小值为4；选③k 的最小值为3； 【分析】先由条件求出11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，得出142a b ==，若选①可得2d =，则2n a n =，从而1111n S n n =-+，由裂项相消法求出k T ，可得答案；若选②可得12a d ==，所以2n a n =，一下同选①；若选③可得43d =，从而131142nS n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，由裂项相消法求出k T ，可得答案. 【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由2138,34b b b =-= 所以18b q =，则8384q q -⨯=，解得12q =或23q =-（舍） 则1816b q ==，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭则142a b == 若选① 由4143486202S a d d ⨯=+=+=，则2d = 所以2n a n =， 则212nn a a S n n n +=⨯=+ 所以()111111n S n n n n ==-++ 则1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭由314k k T k =>+，则3k >，由k 为正整数，则k 的最小值为4. 若选② 由332S a =，即()11323222a d a d ⨯+=+ ，可得12a d == 所以2n a n =，一下同选①.若选③ 由3423a a b -=，可得()()113238a d a d +-+=，即43d = 所以()()14222233n n n S n n n -=+⨯=+ ()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭ 12111311111311111432424212n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以93118412n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭所以9311124438k k k T ⎛⎫-+ ⎪++⎭>⎝=，即111122k k +<++，也即240k k --> 解得k >23<<，又k 为正整数，则k 的最小值为3. 【点睛】关键点睛：本题考查等差、等比数列求通项公式和等差数列的前n 项和以及用裂项相消法求和，解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差，即1111n S n n =-+，131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项，属于中档题.26．（1）证明见解析；（2）()12+1nn T n =-⋅.【分析】（1）由121n n a a -=+及等比数列定义得到11121n n a a +-++=即可证明； （2）由（1）知112n n a -+=，所以12n n b n -=⋅，用错位相减法求数列{}n b 的项和n T .【详解】解：（1）由121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+， 所以11121n n a a +-++=， 所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知112n n a -+=，所以()112n n n b a n -=+=⋅.所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，①则12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由①②得0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅()12212112n n n n n -=-⋅=---， 所以()121nn T n =-⋅+.【点睛】方法点睛：根据递推关系求通项公式的三个常见方法：（1）对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +=+的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式；（2）对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列()f n 前n 项的积时，采用累乘法求数列{}n a 的通项公式；（3）对于递推关系式形如1(0,1,0)n n a pa q p q +=+≠≠的数列，采用构造法求数列的通项.。
人教版高中数学高一必修一：第一章单元质量评估1
第一章单元质量评估(一)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}2．如图可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )3．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝2－x 2}，则M ∩N ＝() A ．[－1，＋∞) B ．[－1，2]C ．[2，＋∞)D ．∅4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．1或35．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3C.23D.1396．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x7．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f (0)>f (1)的映射有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．若函数y ＝f (x )的定义域是[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域是( )A ．[－4,4]B ．[－2,2]C ．[－4，－2]D ．[2,4]9．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )10．已知函数f (x )＝12x 2－kx －8在区间[2,8]上具有单调性，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[8，＋∞)C ．(－∞，2]∪[8，＋∞)D ．∅11．已知某种产品的购买量y (单位：吨)与单价x (单位：元)之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，若一客户购买400吨，则单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元12．对于任意两个正整数m ，n 定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn .则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是( )A ．10B ．15C ．16D ．18二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x <0，则f (－3)＝________. 15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 的值为________．答案1．C 先求集合A 关于全集U 的补集，再求它与集合B 的并集即可． (∁U A )∪B ＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．D 只有选项D 中对定义域内任意x 都有唯一的y 值与之对应．3．B 根据题意知集合M 是函数y ＝x 2－1，x ∈R 的值域[－1，＋∞)，集合N 是函数y ＝2－x 2的定义域[－2，2]，所以M ∩N ＝[－1，2]．4．B 依据并集的概念及A ∪B ＝A 可知，m ＝3或m ＝m ，由m ＝m 解得m ＝0或m ＝1.当m ＝0或m ＝3时，符合题意；当m ＝1时，不满足集合中元素的互异性，因此应舍去．综上可知m ＝0或m ＝3.5．D 由题意得f (3)＝23，从而f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.6．C 将选项中的函数逐个代入f (2x )＝2f (x )去验证．f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )，故A ，B ，D 满足条件．7．A 当f (0)＝1时，f (1)的值为0或－1都能满足f (0)>f (1)；当f (0)＝0时，只有f (1)＝－1满足f (0)>f (1)；当f (0)＝－1时，没有f (1)的值满足f (0)>f (1)，故有3个．8．B 由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，得－2≤x ≤2. 9．B 取h ＝H 2，由图象可知，此时注水量V 大于容器容积的12，故选B.10．C f (x )＝12x 2－kx －8的单调增区间是[k ，＋∞)，单调减区间是(－∞，k ]，由f (x )在区间[2,8]上具有单调性可知[2,8]⊆[k ，＋∞)或[2,8]⊆(－∞，k ]，所以k ≤2或k ≥8.11．C 设y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝800k ＋b ，2 000＝700k ＋b ，解得k ＝－10，b ＝9 000. ∴y ＝－10x ＋9 000，当y ＝400时，得x ＝860.12．B 当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ＋n ＝12，故对应的元素为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，…，(10,2)，(11,1)，共11个；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn ＝12，故对应的元素为(1,12)，(3,4)，(4,3)，(12,1)，共4个．故集合M 中的元素共15个．13．{x |x ≥－1，且x ≠0}解析：求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，本小题涉及分式，要注意分母不能等于0，偶次根式被开方数是非负数．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0得函数的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠0}．14．2解析：f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2.15．－3或38解析：f (x )的对称轴为x ＝－1，当a >0时，f (x )max ＝f (2)＝4，解得a ＝38；当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝4，解得a ＝－3.————————————————————————————16．若函数f (x )同时满足①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则称函数f (x )为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f (x )＝1x .(2)f (x )＝x 2.(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号)．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{y |y ＝3－x 2，x ∈R ，且x ≠0}，集合B是函数y ＝x －2＋25－x的定义域，集合C ＝{x |5－a <x <a }． (1)求集合A ∪(∁U B )(结果用区间表示)；(2)若C ⊆(A ∩B )，求实数a 的取值范围．(12分)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性和单调区间(不要求证明)．答案16.(3)解析：①要求函数f (x )为奇函数，②要求函数f (x )为减函数，(1)是奇函数但不是定义域上的减函数，(2)是偶函数而且也不是定义域上的减函数，只有(3)既是奇函数又是定义域上的减函数．17．解：(1)由已知得A ＝{x |x <3}，B ＝{x |2≤x <5}，∴∁U B ＝{x |x <2，或x ≥5}，∴A ∪(∁U B )＝{x |x <3，或x ≥5}＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．(2)由(1)知A ∩B ＝{x |2≤x <3}，当C ＝∅时，满足C ⊆(A ∩B )，此时5－a ≥a ，解得a ≤52；当C ≠∅时，要满足C ⊆(A ∩B )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a <a ，5－a ≥2，a ≤3，解得52<a ≤3.综上可得a ≤3.18．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1. (2)图象如图所示：(3)函数f (x )的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，它既不是奇函数也不是偶函数，单调减区间为(－∞，1)，单调增区间为[1，＋∞)．————————————————————————————19．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1，(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．20. (12分)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．答案19.解：(1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数，最大值f (4)＝95，最小值f (1)＝32.20．解：(1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.(2)结合f (x )的图象(图略)可知，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，需⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围为(1,3]．————————————————————————————21．(12分)设f (x )是定义在R 上的函数，对任意x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (0)的值；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若函数f (x )是R 上的增函数，已知f (1)＝1，且f (2a )>f (a －1)＋2，求a 的取值范围．22. (12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．答案21.解：(1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)⇒f (0)＝0.(2)证明：令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )⇒f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为R 上的奇函数．(3)令x ＝y ＝1，则f (1＋1)＝f (2)＝f (1)＋f (1)＝2，∴f (2a )>f (a －1)＋2⇔f (2a )>f (a －1)＋f (2)⇒f (2a )>f (a ＋1)．又因为f (x )是R 上的增函数，所以2a >a ＋1⇒a >1，所以a 的取值范围是(1，＋∞)．22．解：(1)由题意设f (x )＝a (x －1)2＋1，代入(2,3)得a ＝2，所以f (x )＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3.(2)对称轴为x ＝1，所以2a <1<a ＋1，所以0<a <12.(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，则g(x)min＝－1，所以m<－1.。
数学必修五 第一章解三角形 单元质量评估(一)
第一章单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，则此三角形解的情况是()A．一解B．两解C．一解或两解D．无解解析：因为a＝b sin A，故该三角形有一解．答案：A2．边长为2,4,23的三角形的最大角与最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：由已知条件可知，该三角形是直角三角形，而且最小角为30°，所以最大角与最小角的和是120°.故选B.答案：B3．在△ABC中，AB＝3，A＝45°，C＝75°，则BC等于() A．3－ 3 B. 2C．2 D．3＋ 3解析：∵AB＝3，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得a sin A＝csin C⇒BCsin45°＝ABsin75°，即BC22＝36＋24.∴BC＝3－ 3.答案：A4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A ．－32 B ．－23 C.23D.32解析：根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14. 于是，AB →·AC →＝AB ·AC cos A ＝3×2×14＝32. 答案：D 5.某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元解析：草皮的面积为12×20×30×sin150°＝150(m 2)． 答案：C6．在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 的形状是( )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由sin2A＝sin2B＋sin2C及正弦定理可知a2＝b2＋c2⇒A为直角；而由sin A＝2sin B cos C，可得sin(B＋C)＝2sin B cos C，整理得sin B cos C＝cos B sin C，即sin(B－C)＝0，故B＝C.综合上述：B＝C＝π4，A＝π2.答案：D7．在△ABC中，A>B，则以下不等式正确的个数为()①sin A>sin B②cos A<cos B③sin2A>sin2B④cos2A<cos2BA．0个B．1个C．2个D．3个解析：由题意知，sin A>sin B，cos A<cos B均正确，由sin A>sin B>0可知sin2A>sin2B，∴cos2A<cos2B.故正确个数为3个，∴选D.答案：D8.在△ABC中，A＝15°，B＝30°，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且b＝1，则△ABC的面积为()A.3＋12 B.3－12C.3－14 D.3＋14解析：由1sin30°＝csin135°，得c＝2，又sin15°＝sin(45°－30°)＝6－2 4，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×1×2×6－24＝3－14.答案：C9．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为()A．5 000米B．5 0002米C．4 000米D．4 0002米解析：如图，在△ABC中，AB＝10 000米，A＝30°，C＝75°－30°＝45°.根据正弦定理，BC＝AB sin Asin C＝10 000×1222＝5 0002(米)．答案：B10．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟D ．2.15分钟解析：设t 小时后，甲、乙两船相距l 千米，此时甲离B 岛(10－4t )千米，乙离B 岛6t 千米．根据余弦定理，l 2＝(10－4t )2＋(6t )2－2(10－4t )×6t cos120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝202×28＝514小时＝1507分钟时，甲、乙两船相距最近．答案：A11．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析：由已知得AB →2＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →⇒CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，故三角形是以角C 为直角的直角三角形．答案：D 12.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八边形的面积为( )A ．2sin α－2cos α＋2B ．sin α－3cos α＋3C ．3sin α－3cos α＋1D ．2sin α－cos α＋1解析：每个等腰三角形的底边为2sin α2，底边上的高为cos α2，所以该八边形的面积为4×12·2sin α2·cos α2＋4sin 2α2＝2sin α－2cos α＋2.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ＝________. 解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c ＝7.∴由正弦定理有sin A ＝a sin C c ＝5314.答案：531414．若3a ＋b ＝2c,2a ＋3b ＝3c ，则有sin A ∶sin B ∶sin C ＝________.解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝2c 2a ＋3b ＝3c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝37cb ＝57c⇒a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝3∶5∶7. 答案：3∶5∶715．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若B ＝2A ，则ba 的取值范围是________．解析：C ＝π－A －B ＝π－3A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<π－3A <π20<2A <π2⇒π6<A <π4.由正弦定理得b a ＝sin2Asin A ＝2cos A ∈(2，3)． 答案：(2，3)16．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续________小时．解析：设台风中心开始时的位置为P ，移动后(A 码头受到台风影响时或影响结束时)的位置为Q ，记PQ ＝x ，由题意得3502＝4002＋x 2－2x ·400cos60°，解得x ＝150或250，则A 码头从受到台风影响到影响结束时台风中心移动的距离为100千米，需时间2.5小时．答案：2.5三、解答题(共70分)17．(本小题10分)(2010年全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .解：由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2，由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45，从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝45×1213－35×513 ＝3365.由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD ，所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝33×5133365＝25.18．(本小题12分)如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532，求AB 的长．解：在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·AD sin ∠1， ∴sin ∠1＝2S △ACD AC ·AD ＝2×15327×6＝5314， ∴sin ∠2＝5314.在△ABC 中，BC ＝AC sin ∠2sin60°＝5且cos ∠2＝1－sin 2∠2＝1114， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠2，即25＝AB 2＋49－11AB ，(AB －8)·(AB －3)＝0，∴AB ＝8或AB ＝3. 19．(本小题12分)已知：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B ＝45°，b ＝10，cos C ＝255.(1)求边a 的长；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)∵cos C ＝255，sin 2C ＋cos 2C ＝1,0<C <π， ∴sin C ＝1－(255)2＝55.∵B ＝45°，A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×255＋22×55＝31010.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝b sin A sin B ＝10×3101022＝3 2.(2)方法1：在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ＝(10)2＋(32)2－2×10×32×255＝4，即AB ＝c ＝2，∴BD ＝AD ＝1. 在△DBC 中，CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B ＝12＋(32)2－2×1×32×22＝13，∴CD ＝13.方法2：延长CD到E 点，使CD ＝DE ，连接AE ，BE ，则四边形ACBE 为平行四边形．(2CD )2＝BE 2＋BC 2－2BE ·BC cos(π－∠ACB )＝(10)2＋(32)2－2×10×32×(－255)＝52，∴CD ＝13.20．(本小题12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，整理得a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理，sin B ＝2sin A 可转化为b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ， 解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.21．(本小题12分)如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC 中，BC ＝30海里，B ＝30°，∠ACB ＝135°，∴A ＝15°.由正弦定理知，BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝30sin30°sin15°＝15(6＋2)(海里)．于是，A 到BC 所在直线的距离为：AC sin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈40.98(海里)．它大于38海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险．22．(本小题12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，c ＝3b ，求： (1)a c 的值；(2)1tan B ＋1tan C 的值．解：(1)由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(13c )2＋c 2－2·13c ·c ·12＝79c 2， ∴a c ＝73.(2)1tan B ＋1tan C ＝cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C＝sin A sin B sin C ，由正弦定理和(1)知：sin A sin B sin C ＝1sin A ·a 2bc ＝1433＝1439，∴1tan B ＋1tan C ＝1439.。
最新人教版高中数学必修一：第一章单元质量评估1 Word版含答案
最新人教版数学精品教学资料第一章单元质量评估(一)时限：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}2．如图可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )3．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝2－x 2}，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，2]C ．[2，＋∞)D ．∅4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或35．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.1396．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x7．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f (0)>f (1)的映射有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．若函数y ＝f (x )的定义域是[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域是( )A ．[－4,4]B ．[－2,2]C ．[－4，－2]D ．[2,4]9．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )10．已知函数f (x )＝12x 2－kx －8在区间[2,8]上具有单调性，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[8，＋∞)C ．(－∞，2]∪[8，＋∞)D ．∅11．已知某种产品的购买量y (单位：吨)与单价x (单位：元)之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，若一客户购买400吨，则单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元12．对于任意两个正整数m ，n 定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn .则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝12，a ∈N *，b ∈N *}中的元素个数是( )A ．10B ．15C ．16D ．18二、填空题(每小题5分，共20分) 13．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x <0，则f (－3)＝________.15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 的值为________．答案1．C 先求集合A 关于全集U 的补集，再求它与集合B 的并集即可．(∁U A )∪B ＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．D 只有选项D 中对定义域内任意x 都有唯一的y 值与之对应． 3．B 根据题意知集合M 是函数y ＝x 2－1，x ∈R 的值域[－1，＋∞)，集合N 是函数y ＝2－x 2的定义域[－2，2]，所以M ∩N ＝[－1，2]．4．B 依据并集的概念及A ∪B ＝A 可知，m ＝3或m ＝m ，由m ＝m 解得m ＝0或m ＝1.当m ＝0或m ＝3时，符合题意；当m ＝1时，不满足集合中元素的互异性，因此应舍去．综上可知m ＝0或m ＝3.5．D 由题意得f (3)＝23，从而f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139. 6．C 将选项中的函数逐个代入f (2x )＝2f (x )去验证．f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )，故A ，B ，D 满足条件．7．A 当f (0)＝1时，f (1)的值为0或－1都能满足f (0)>f (1)；当f (0)＝0时，只有f (1)＝－1满足f (0)>f (1)；当f (0)＝－1时，没有f (1)的值满足f (0)>f (1)，故有3个．8．B 由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，得－2≤x ≤2.9．B 取h ＝H 2，由图象可知，此时注水量V 大于容器容积的12，故选B.10．C f (x )＝12x 2－kx －8的单调增区间是[k ，＋∞)，单调减区间是(－∞，k ]，由f (x )在区间[2,8]上具有单调性可知[2,8]⊆[k ，＋∞)或[2,8]⊆(－∞，k ]，所以k ≤2或k ≥8.11．C 设y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1 000＝800k ＋b ，2 000＝700k ＋b ，解得k ＝－10，b ＝9 000. ∴y ＝－10x ＋9 000，当y ＝400时，得x ＝860.12．B 当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ＋n ＝12，故对应的元素为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，…，(10,2)，(11,1)，共11个；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn ＝12，故对应的元素为(1,12)，(3,4)，(4,3)，(12,1)，共4个．故集合M 中的元素共15个．13．{x |x ≥－1，且x ≠0}解析：求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，本小题涉及分式，要注意分母不能等于0，偶次根式被开方数是非负数．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0得函数的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠0}．14．2解析：f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2. 15．－3或38解析：f (x )的对称轴为x ＝－1，当a >0时， f (x )max ＝f (2)＝4，解得a ＝38；当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝4，解得a ＝－3.———————————————————————————— 16．若函数f (x )同时满足①对于定义域上的任意x ，恒有f (x )＋f (－x )＝0；②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则称函数f (x )为“理想函数”．给出下列三个函数中：(1)f (x )＝1x .(2)f (x )＝x 2.(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0.能被称为“理想函数”的有________(填相应的序号)．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝3－x2，x∈R，且x≠0}，集合B是函数y＝x－2＋25－x的定义域，集合C＝{x|5－a<x<a}．(1)求集合A∪(∁U B)(结果用区间表示)；(2)若C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．(12分)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性和单调区间(不要求证明)．答案16.(3)解析：①要求函数f (x )为奇函数，②要求函数f (x )为减函数，(1)是奇函数但不是定义域上的减函数，(2)是偶函数而且也不是定义域上的减函数，只有(3)既是奇函数又是定义域上的减函数．17．解：(1)由已知得 A ＝{x |x <3}，B ＝{x |2≤x <5}， ∴∁U B ＝{x |x <2，或x ≥5}，∴A ∪(∁U B )＝{x |x <3，或x ≥5}＝(－∞，3)∪[5，＋∞)． (2)由(1)知A ∩B ＝{x |2≤x <3}，当C ＝∅时，满足C ⊆(A ∩B )，此时5－a ≥a ，解得a ≤52； 当C ≠∅时，要满足C ⊆(A ∩B )， 则⎩⎪⎨⎪⎧5－a <a ，5－a ≥2，a ≤3，解得52<a ≤3.综上可得a ≤3.18．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1.(2)图象如图所示：(3)函数f (x )的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，它既不是奇函数也不是偶函数，单调减区间为(－∞，1)，单调增区间为[1，＋∞)．————————————————————————————19．(12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1，(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．20. (12分)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．答案19.解：(1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数，最大值f (4)＝95，最小值f (1)＝32.20．解：(1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2.(2)结合f (x )的图象(图略)可知，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，需⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围为(1,3]．————————————————————————————21．(12分)设f(x)是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若函数f(x)是R上的增函数，已知f(1)＝1，且f(2a)>f(a－1)＋2，求a的取值范围．22. (12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．答案21.解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)⇒f(0)＝0.(2)证明：令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)⇒f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．(3)令x＝y＝1，则f(1＋1)＝f(2)＝f(1)＋f(1)＝2，∴f(2a)>f(a－1)＋2⇔f(2a)>f(a－1)＋f(2)⇒f(2a)>f(a＋1)．又因为f(x)是R上的增函数，所以2a>a＋1⇒a>1，所以a的取值范围是(1，＋∞)．22．解：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，代入(2,3)得a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.(2)对称轴为x ＝1，所以2a <1<a ＋1，所以0<a <12.(3)f (x )－2x －2m －1＝2x 2－6x －2m ＋2，由题意得2x 2－6x －2m ＋2>0对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 所以x 2－3x ＋1>m 对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]，则g (x )min ＝－1，所以m <－1.。
人教版高中数学必修五单元质量评估(一)含解析.doc
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单元质量评估（一）（第一章）（120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分•在每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 如图,在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45。
,在它的南偏 东60。
的B 处测得塔顶的仰角为30。
，若A,B 的距离是20V7m,则塔 咼为（）A. 24mC. 12v7m 【解析】选B.设塔高CD 二xm, 则 AD=xm, DB=v3xm.4^ A ABD 中，ZADB=150° ,根据余弦定理得，（20 V7） 2=x 2+ （V3x ） 2-2 V3X 2COS 150° , 解得x 二±20 （负值舍去）,故塔高为20m.2. （2016 •鞍山高二检测）在AABC 中，角A, B, C 的对边分別为a, b, c.B. 20m D. 36m已知a=v'2, b=v3, A=45°，则角B 大小为（ ）75°【解析】选C.由正弦定理可得:二二二，sin4□- sinB由此可得sinB=],因为b>a,故B 二60。
或120。
・3. 在AABC 中，若 a=5, c=13, sinA 二*,则ZXABC 的面积为（） A ・t B. 30 C. 35 D. 782 【解析】选B.由正弦定理可求得sinOl,所以三角形为直角三角形， 其中c 为斜边，所以b=Vc 2 -a 2=12,则三角形面积S=4b=30,故选B.4. （2016 •杭州高二检测）在AABC 中，若 1 ga-lgc=lgsinB=-1 g v'2且 B 岂财）,则AABC 的形状是（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】选 D.因为 lga-lgc=lgsinB=lg （\'2）T,所以 又因为 b 2=a 2+c 2-2ac •cosB=a 2+2a 2-2a • \2a • -^=a 2,即 a 二b,■所以AABC 为等腰直角三角形.5. 已知AABC 中,AB=1, BC=2,则角C 的取值范围是A. 60°B. 120°C. 60° 或 120°D. 15 ° 或 a v'2A. 0〈CW ；6 B. 0〈C 〈二 即c・?<C<-D. 7<c^7【解析】选人•因为益益所以盧血'所以s i nC=-s i nA,因为0<s i nAW1,21所以O〈sinCW-.2因为AB<BC,所以C〈A,所以C为锐角, 所以（KCW：6【一题多解】选A.A\如图所示，以B为圆心，以1为半径画圆，则圆上除了直线BC上的点外, 都可作为A点.从点C向圆B作切线，设切点为片和A?,当A与人或A? 重合时，角C最大，易知此时:BC二2, AB=1, AC 丄AB,TT II所以C二-，所以CKCW-.6.在AABC 中,AB=2, AC=3, AB • AC二5,则BO （）A. V3B. V7C. 2\;2D. V23【解析】选 A.因为AB • AC二| AB11 AC |cos〈AB, AC>=I AB | | AC | cosA二6cosA二5,所以cosA二由余弦定理可得：6BC2二AC2+AB2-2AC • ABcosA二9+4-2X2X3X、3,所以BC=V3.67.（2016 •黄冈高二检测）设a, b, c为AABC的三边长，若c2=a2+b2,且V-3sinA+cosA=y l；2,则角B 的大小为（）B.-【解析】选D. c2=a2+bMC=-,■V3s i n A+cosA 二*V2=>s i n（A + 扌）二二。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．某大楼共有12层，有11人在第一层上了电梯，他们分别要去第2至12层，每层1人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余10人都要步行到所要去的楼层，假设初始的“不满意度”为0，每位乘客每向下步行一层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，要使得10人“不满意度”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S S S =-，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若点(),n n a S ，在直线60x y +-=上，则4S =（ ） A ．92B ．254C ．458D ．4094．已知等差数列{}n a 满足3434a a =，则该数列中一定为零的项为（ ）A ．6aB ．7aC ．8aD ．9a5．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列 6．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212 C ．2155D ．23667．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( ) A．3B．2C ．14 D ．128．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（ ） A ．0d <B ．110S >C ．120S <D ．67a a >9．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－210．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-11．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-12．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．1024二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2(2)n a n n =+，则4S =___________.14．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n n S n a =+，则数列()2121*1n n a n N a -+⎧⎫⎨⎬⎭∈⋅⎩的前n 项和n T =______. 15．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 16．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______.17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若112a =，且122n n a a +=-，则100S =________. 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441x y x =-的图像上，11a =，数列{}n a 通项为__________.19．若数列{}n a 满足12a =，141n n a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n S n n =+，数列{}n b 是公比为正数的等比数列，满足14b =，351024b b =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，121n n S S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得2021n T =?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由. 23．已知数列{}n a 的首项为4． （1）若数列{}2nn a -是等差数列，且公差为2，求{}na 的通项公式．（2）在①3248a a -=且20a >，②364a =且40a >，③20212201716a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题，若{}n a 是等比数列，__________，求数列(){}31nn a -的前n 项和nS．24．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b满足2n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知正项等比数列{}n a ，24a =， 1232a a a +=；数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.（Ⅰ）求n a ，n b ； （Ⅱ）证明：312412233412n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<. 26．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达出“不满意度”之和，利用等差数列的求和公式即可求得结论．【详解】解：设电梯所停的楼层是(212)n n ，则12(2)2[12(12)]S n n =++⋯+-+++⋯+- (2)(1)(12)(13)222n n n n ----=+⨯ 22235335353()157()157232624n n n =-+=--+ 开口向上，对称轴为5396x =≈， 故S 在9n =时取最小值239539314402min S ⨯-⨯+==．故选：C ． 【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求得“不满意度”之和是关键．2．B解析：B 【分析】首先根据题中所给的条件4331S S S =-，11a >利用等比数列求和公式求出0q <，分情况讨论求得10q -<<，从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 由4331S S S =-可得431a S =-， 若1q =，则1113a a =-显然不成立，所以1q ≠， 所以()312111q a a q q -++=，即()232111q q a q +=-+， 因为22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，210a >，所以30q <，所以0q <，当1q ≤-时，31q ≤-，211q q ++≥，因为11a >，则()232111q q a q +=-+不可能成立，所以10q -<<，()213110a a a q -=->，()224110a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到()232111q q a q +=-+，结合11a >求出q 的范围.3．C解析：C 【分析】由题可得，S 60n na +-=，根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求得{}n a 为等比数列，进而可求得本题答案. 【详解】因为点(),n n a S 在直线60x y +-=上，所以S 60n n a +-=. 当1n =时，1160a S +-=，得13a =；当2n ≥时，S 60n n a +-=①，1160n n a S --+-=②，①-②得，112n n a a -=， 所以数列{}n a 为等比数列，且公比12q =，首项13a =， 则()4414131124511812a q S q⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据,n n a S 的关系式求通项公式n a 的方法.4．B解析：B 【分析】由条件可得34a d =-,进而得n a (7)n d =-,从而得解. 【详解】33a 44a =,33a ∴()33444a d a d =+=+, 34d a ∴=-n a ∴3(3)a n d =+-⋅4(3)d n d =-+- (7)n d =- 70a ∴=,故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.5．C解析：C 【分析】根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】解：13n n a S +=，13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，若10S =，则数列{}n a 为等差数列；若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，114n n S S -∴=⋅，此时21134n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.6．C解析：C 【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 7．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =， ∴22ac c =，∴12c e a ==．选D ． 8．C解析：C 【分析】根据{}n a 是等差数列，且675S S S >>，变形为7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.【详解】数列{}n a 是等差数列675S S S >>，7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>， 76670,0,0a a a a <>+>，所以0d <，()111116111102a a S a +==>， ()()11267121212022a S a a a ++==>，67a a >，故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.9．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.10．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.11．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立， 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.12．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.二、填空题13．【分析】先化简再进行相加求解即可【详解】由知故答案为：【点睛】思路点睛：当数列的通项公式中分母是乘积形式求前n 项和时可以考虑裂项相消法即将数列拆分成两项的差的形式再进行求和 解析：1715【分析】 先化简112n a n n =-+，再进行相加求解即可. 【详解】 由21(2)12n a n n n n ==-++知，41234S a a a a =+++11111111111132435462561715⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1715. 【点睛】思路点睛：当数列的通项公式中，分母是乘积形式，求前n 项和n S 时，可以考虑裂项相消法，即将数列拆分成两项的差的形式，再进行求和.14．【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和【详解】∵∴∴∴即∴即故则故故答案为：【点睛】本题主要考查了利用 解析：21nn + 【分析】根据n S 求数列通项，分析2n ≥时求解数列通项得到()121n n n a n a na -=+-，整理可得()121n n a a n n n -=≥-，即可求出通项公式，代入数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项中进行列项整理，最后利用裂项相消法即可求出数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.【详解】∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S na n --=≥， ∴()()112212n n n n S S n a na n ---=+-≥，∴()121n n n a n a na -=+-，即()11n n n a na --=， ∴()121n n a a n n n -=≥-， 即11111n n a a a n n -====-，故n a n =， 则()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题.15．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.16．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项得出数列是周期数列从而可求和【详解】由题意∴数列是周期数列且周期为4故答案为：【点睛】本题考查数列的周期性考查求周期数列的和解题时可根据递推公式依次计算数列的解析：4256【分析】 由递推公式依次计算出数列的前几项，得出数列是周期数列，从而可求和． 【详解】 由题意2241322a ==-，33a =，42a =-，512a =， ∴数列{}n a 是周期数列，且周期为4.10012341442525()2532236S a a a a ⎛⎫=+++=⨯++-= ⎪⎝⎭．故答案为：4256． 【点睛】本题考查数列的周期性，考查求周期数列的和，解题时可根据递推公式依次计算数列的项，然后归纳出周期性．18．【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得：∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为：【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析：()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩【分析】把数列递推式中n a 换为1n n s s --，整理得到1{}nS 是等差数列，公差2d =，然后由等差数列的通项公式得答案．【详解】由题意可得：()24,241nn n S a n S =≥- ∴()214,241nn n n S S S n S --=≥-， ∴1140n n n n s s s s ---+=．两边除以1n n s s -，并移向得出1114,(2)n n n S S --=， 1{}nS ∴是等差数列，公差4d =， 11111S a ==． ∴114(1)43nn n S =+-=-， 故143n S n =-． ∴当2n 时，()()111443474347n n n a S S n n n n --=-=-=----． 当1n =时，11a =不符合上式．()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪∴=-⎨∈≥⎪--⎩． 故答案为：()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩． 【点睛】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了运算求解能力，属于中档题．19．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关 解析：11【分析】根据递推关系式可证得数列}1，代入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】()21411n n a a +=+=，1=，)121=，∴数列}111=为首项，2为公比的等比数列， )1112n -+=⨯，)1121n -=⨯-，由22020n a ≥2020≥，即)1220211837n -≥=⨯≈，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.20．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=， 将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+， 由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.三、解答题21．（1）2n a n =，12n n b +=；（2）()41n nT n =+.【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，由已知条件计算出等比数列{}n b 的公比，进而可求得等比数列{}n b 的通项公式；（2）计算得出11141n c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和法可求得n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.12a =满足2n a n =，所以，对任意的n *∈N ，2n a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >，262635141024b b b q q ∴==⨯=，解得2q，1111422n n n n b b q --+∴==⨯=；（2）()()111111112214141n n n c a a n n n n n n +⎛⎫===⋅=- ⎪⨯+++⎝⎭， ()121111111111422314141n n n T c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和. 22．（1）12n n a ；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-以及等比数列的通项公式可求得结果；（2）利用错位相减法求出n T ，分别对1,2n n ==和3n ≥讨论等式是否成立可得答案. 【详解】（1）由121n n S S +=+①,知2n ≥时，121n n S S -=+②, ①-②得()122n n a a n +=≥，在①式中令12121212n a a a a =⇒+=+⇒=，212a a =， ∴对任意*n ∈N ，均有12n na a +=，∴{}n a 为等比数列，11122n n n a --=⨯=， （2）由（1）得12n n b n -=⋅，所以()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，所以()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅，所以()12111212222221212nn n nn n nT n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=--⋅-，所以(1)21nn T n =-⋅+，令()()1212021122020nnn n -⋅+=⇒-⋅=，当1n =和2n =时，等式显然不成立；当3n ≥时，方程化为()212505n n --⋅=，左边为偶数，右边等于505为奇数，等式也不成立，故不存在正整数n ，使得2021n T =成立. 【点睛】关键点点睛：利用11n n n a S S ++=-求出通项公式，根据错位相减法求出n T 是解题关键. 23．（1）22nn a n =+；（2）()132483n n n S +-+=【分析】 （1）求出{}2nn a -首项，即可求出{}2n na-通项公式，得出{}n a 的通项公式；（2）设出公比，建立关系求出公比，再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】解：（1）因为14a =，所以122a -=， 因为数列{}2nn a -是等差数列，且公差为2，所以()22212nn a n n -=+-=，则22n n a n =+.（2）选①：设公比为q ，由3248a a -=，得24448qq -=，解得4q =或3-，因为20a >，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 选②：设公比为q ，由364a =，得2464q=，解得4q =±，因为20a >，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 选③：设公比为q ，由20212201716a a a =，得20211201820181664a a a a ==，则364q =，所以4q =. 故4nn a =.()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()231383444314n n nS n +-=++++--，即()2114438313414n n n S n ++--=+⨯+--()12348n n +=--，故()132483n nn S +-+=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 24．（1）21n a n =-，2n s n =；（2）21n nT n =+. 【分析】（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则3171+25767+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，()21+212n n n S n -==； （2）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，1111122122311n n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-=⎪++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 25．（Ⅰ）2nn a =；()112n n b n -=+⋅；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题设求出数列{}n a 的基本量，即可确定n a ；再由1n n n b S S -=-确定n b ； （2）用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由1232a a a +=，得22q q += 解得2q或1q =-（舍）又242nn a a =⇒=由n n S na =，得12b =2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅则()112n n b n -=+⋅（2）()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：当数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列时，数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法. 26．（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【分析】（1）根据59a =，13169S =，利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求解. （2）由（1）得到2133n n n n a n b -==，利用数列求和的错位相减法求解. 【详解】 （1）因为()11313713131692a a S a +===，所以77513,24a d a a ==-=， 解得2d =，所以9(5)221n a n n =+-⋅=-. （2）由（1）得213n nn b -=， 则()231111135213333n nT n =⋅+⋅+⋅++-⋅， ()()23411111111352321333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-， 两式相减得：()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭， 1111112193213313n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--，122233n n ++=-， 所以113n nn T +=-. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40422．已知数列{}n a 是等比数列，满足51184a a a =，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则79b b +等于（ ）A ．24B ．16C ．8D ．43．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞4．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 5．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（ ） A ．33B ．72C ．84D ．1896．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．47．在等差数列{}n a 中，0n a ≠，()21102n n n a a a n -+-+=≥，若2138n S -=，则n =( )．A ．38B ．20C ．10D ．98．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13299．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．910．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（ ） A ．0d <B ．110S >C ．120S <D ．67a a >11．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -二、填空题13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______. 14．已知111,2n n a a a +==，若(1)n n n b a n =+-⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S =______．15．已知等差数列{}n a 中，48a =，84a =，则其通项公式n a =__________16．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.17．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．18．在数列{}n a 中，121a a ==，32a =，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则n a =__________．19．111112123123100++++=+++++++________.20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．在①119n n a a +-=-，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 22．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．23．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，②数列{}n a 满足122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2221log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．从①()*123(1)2n n n b b b b n +++++=∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n bn a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T . 25．已知数列{}n a 的前n 项和()2*N n S nn =∈，{}n b 是递增等比数列，且11b a =，35b a =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若()*N n n n c a b n =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .26．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a-成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()222221log log +=n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23n m T >恒成立，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2．C解析：C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴2511884a a a a ==，又80a ，∴84a =，又{}n b 是等差数列，∴7988228b b b a +===． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数,,,m n p l ，若m n p l +=+，{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =，特别地若2m n p +=，{}n a 是等差数列，则2m n p a a a +=，若{}n a 是等比数列，则2m n p a a a =．3．D解析：D 【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321n λ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.4．B【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+， 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-， ()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．5．C解析：C 【分析】根据341a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.【详解】因为341a a q =，即3243q =，所以2q，所以22313212a a q ==⨯=，44513248a a q ==⨯=，所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.6．B解析：B利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．C解析：C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=，可得2112n n n n a a a a -++==，得到2n a =，再根据等差数列的求和公式，得到2138(21)n n n S a --==，代入即可求解，得到答案． 【详解】由题意，等差数列{}n a 中，()21102n n n a a a n -+-+=≥，可得2112n n n n a a a a -++==，又0,n a ≠解得2n a =， 又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=，即(21)823n -⨯=，解得10n =，故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质，求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 9．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.10．C解析：C 【分析】根据{}n a 是等差数列，且675S S S >>，变形为7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.【详解】数列{}n a 是等差数列675S S S >>，7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>， 76670,0,0a a a a <>+>，所以0d <，()111116111102a a S a +==>，()()11267121212022a S a a a ++==>，67a a >，故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q--+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.12．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31， 则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n nS nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．1028【分析】由题可知为等比数列求出的通项公式即可写出的通项公式利用分组求和法即可求出前10项和【详解】是首项为1公比为2的等比数列则故答案为：1028【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的解析：1028 【分析】由题可知{}n a 为等比数列，求出{}n a 的通项公式，即可写出{}n b 的通项公式，利用分组求和法即可求出前10项和. 【详解】111,2n n a a a +==，{}n a ∴是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，121nn nb n ， 则910124212310S1011251102812.故答案为：1028.【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查分组求和法求数列的前n 项和，属于基础题.15．【解析】∵等差数列{an}中a4=8a8=4∴解得a1=11d=−1∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n 解析：12n -【解析】∵等差数列{a n }中,a 4=8,a 8=4，∴41813874a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得a 1=11，d =−1，∴通项公式a n =11+(n −1)×(−1)=12−n .16．34【分析】当为奇数时可得当为偶数时利用等差数列的通项公式及前项和公式即可得出【详解】当为奇数时当为偶数时则数列是以为首项的等差数列故答案为:34【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式解析：34 【分析】当n 为奇数时，20n na a +-=，可得135792a a a a a =====，当n 为偶数时，22n n a a +-=，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式即可得出. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴ 当n 为奇数时，20n n a a +-= ，135792a a a a a ∴=====，当n 为偶数时，22n n a a +-=，则数列{}2n a 是以23a =为首项，2的等差数列，()()12913924843253422a a a a a a a a a ⨯⎛⎫∴+++=+++++++=⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭34=.故答案为: 34 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，分类讨论、分组求和的方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++， 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由等比数列通项公式求出然后由累乘法求得【详解】∵为等比数列由已知∴∴时也适合此式∴故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式考查累乘法求数列通项公式如果已知则用累加法求通项公式如果已知则用 解析：()()2122n n --【分析】由等比数列通项公式求出1n na a +，然后由累乘法求得n a ．【详解】∵1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，由已知211a a =，322a a =，32212a a q a a ==， ∴112n n na a -+=，∴2n ≥时，(2)(1)2212(2)3242112311122222n n n n n n n a aa aa a a a a a ---+++--=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==，1n =也适合此式， ∴(2)(1)22n n na --=．故答案为：(2)(1)22n n --．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式．如果已知1()n n a a f n --=，则用累加法求通项公式，如果已知1()nn a f n a -=，则用连乘法求通项公式． 19．【分析】将分母利用等差数列求和公式化简然后利用裂项相消法求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和属于中档题 解析：200101【分析】将分母利用等差数列求和公式化简，然后利用裂项相消法求解即可. 【详解】111112123123100+++++++++++11112(12)3(13)100(1100)222=++++++⨯+2222122334100101=++++⨯⨯⨯⨯11111112(1)22334100101=⨯-+-+-++- 12(1)101=⨯- 200101= 故答案为：200101【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和，属于中档题.20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故解析：②③④ 【分析】由题意可得，存在x ∈R ，使244x x -，求得x 值，可得14n na a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案． 【详解】解：由存在x ∈R ，使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立， 得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．∴14n na a +=． 则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确； 若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n 项和的求法，属于中档题．三、解答题21．答案见解析 【分析】选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值. 【详解】 选①因为119n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭.由182099n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =； 2︒当n 为偶数的，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==， 因为19a =，所以()2173422n n n a n -+=≥，又19a =也满足上式，所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大．22．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.23．（1）选①②③均有2nn a =，*n N ∈；（2）32342(1)(2)n n T n n +=-++． 【分析】（1）选①，运用等比数列的通项公式解方程可得公比，可得所求通项公式；选②，运用构造等比数列，以及数列的递推式，可得所求通项公式；选③，将n 换为1n -，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式； （2）求得22211111()(2)22n n n b log a log a n n n n +===-⋅++，由数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和． 【详解】（1）选①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，则1(1)2(1)12a q q q q +=+=，解得2(3q =-舍去），所以2nn a =；选②数列{}n a 满足122n n S S +-=，可得122(2)n n S S ++=+，数列{2}n S +是首项为124S +=，公比为2的等比数列，则122n n S ++=，即为122n n S +=-，当2n 时，1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=，12a =也满足上式，所以2nn a =，*n N ∈；选③1121222n n n n a a a na -+++⋯+=（1），当2n 时，12121222(1)n n n n a a a n a ---++⋯+=-（2），由（2）2⨯-（1）可得122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=， 又因为12a =，2124a a ==，也满足上式，故数列{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =，*n N ∈； （2）由（Ⅰ）可得2nn a =，22211111()(2)22n n n b log a log a n n n n +===-⋅++，所以1111111111(1)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++． 【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．24．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122m m T m +=--.【分析】（1）选择①，可得(1)(1),22n n n n n b n +-=-=从而可得2,nn a =进而利用等比数列的定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2nn a =，进而利用等比数列的定义可得结论；（2）若选择①，则2nn a =，可得21m m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2nn a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案； 【详解】（1）选择①，因为()*123(1)2n n n b b b b n N +++++=∈， 当1n =时，11b =， 当2n ≥时，(1)(1),122n n n n n b n n +-=-==时也成立，故n b n =. 所以1122,22n nn n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. 若选择②，设数列{}n b 公差为d ， 由题意1112247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，，得n b n =，即2log n a n =，得2nn a =，所以11222n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件①，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m m m mT m m +-=-+-+-=-=---.若选择条件②，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m m m m T m m +-=-+-+-=-=---.【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法. 25．（1）()*21n a n n N =-∈，()1*3n nbn N -=∈；（2）()*(1)31n n T n n N =-⨯+∈.【分析】（1）首先根据n S 与n a 的关系求数列{}n a 的通项公式，再根据条件求等比数列{}n b 的基本量，求数列{}n b 的通项公式；（2）()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，利用错位相减法求和. 【详解】（1）当1n =时，111a S ==；当1n >时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-；当n=1时符合上式， ∴()*21n a n n N=-∈；∴111b a ==，359==b a ， ∴数列{}n b 的公比3q =， ∴()1*3n n b n N -=∈；（2）由（1）可得()1*(21)3n n n n c a b n n N -=⋅=-⋅∈，∴2211231113353(23)3(21)3n n n n n T c c c c c n n ---=+++++=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，①2313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，②①-②，整理得()*(1)31nn T n n N =-⨯+∈.【点睛】本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.26．（1）12n n a ；（2）233m <. 【分析】（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项. （2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围. 【详解】（1）因为()*224n n S a a n N=-∈，故11224n n Sa a --=-，所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =， 因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且10a ≠，故0n a ≠，故12nn a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n na .（2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m>即233m <. 【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.。
(好题)高中数学必修五第一章《数列》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知数列{}n a 是等比数列，满足51184a a a =，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则79b b +等于（ ）A ．24B ．16C ．8D ．43．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．544．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．13λ≥B ．15λ>C ．15λ≥D ．0λ>5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．66．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2597．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212C ．2155D ．23668．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()*2n n S a n n N =+∈，则{}na 的通项公式为na=（ ）A ．23n -B ．23n -C ．12n -D ．12n -9．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--10．设{}n a 为等差数列，122a =，n S 为其前n 项和，若1013S S =，则公差d =( ) A ．-2B ．-1C ．1D ．211．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50B ．51C ．100D ．10112．根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2(2)n a n n =+，则4S =___________.14．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________．15．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n T 为______.16．已知111,2n n a a a +==，若(1)n n n b a n =+-⋅，则数列{}n b 的前10项的和10S =______．17．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 18．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且________（①1a ，2a ，4a 成等比数列；②(3)2n n n S +=；③926a =任选一个条件填入上空）.设3nn a b =，n n n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小. 19．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）．从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______．20．已知数列{}n a 的通项公式为()12n n a n =+⋅，若不等式()2235n n n a λ--<-对任意*n N ∈恒成立，则整数λ的最大值为_____.三、解答题21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，141n n n S a a +=⋅+，11a =． （Ⅰ）求n a 和n S ；（Ⅱ）若2n an b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．记23411223341n n n n b b b bA TT T T T T T T ++=+++⋅⋅⋅+，1231111n n B S S S S =+++⋅⋅⋅+，求证：52n n A B +<，*n ∈N ．22．已知公差为2的等差数列{}n a ，且1a ，7a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 23．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S .若214,n n n a S S a +==+ （1）求证：数列是等差数列；（2）设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 24．已知数列{}n a ，11a =，121n n a a +=+. （1）求证数列{}1n a +是等比数列；（2）令()2log 1n nb a =+，求数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 25．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．26．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为2132123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=, ()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n nS n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=⎪++⎝⎭， 由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭的n 的最大值为5.故选：C. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.2．C解析：C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴2511884a a a a ==，又80a ，∴84a =，又{}n b 是等差数列，∴7988228b b b a +===． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数,,,m n p l ，若m n p l +=+，{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =，特别地若2m n p +=，{}n a 是等差数列，则2m n p a a a +=，若{}n a 是等比数列，则2m n p a a a =．3．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果.【详解】 因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =，【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.4．A解析：A 【分析】根据1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅，根据d =2，即可求得1a 的值，即可求得n a ，进而可得211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法即可求得n T 的表达式，分析即可得答案. 【详解】因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =⋅ 所以2141214()()[]2a a a a a ++=⋅，整理可得2111(22)2(26)a a a +=⋅+ 解得11a =，所以*12(1)21,n a n n n N =+-=-∈，所以211111()(21)(23)42123n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111111(1+++)45375923212123n T n n n n =-+-+-⋅⋅⋅---+-+=11111111(1)()432123342123n n n n +--=-+++++， 因为对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立， 所以111()042123n n +>++，即13n T <， 所以13λ≥. 故选：A【点睛】解题的关键是熟练掌握等差数列、等比数列的性质，并灵活应用，易错点为：在利用裂项相消法求和时，需注意是相邻项相消还是间隔项相消，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.5．A解析：A利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-， 可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123n n n S ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以211(2)123k k S ⎡⎤<=---<⎣⎦， 所以5(219)2k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C.本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，……101110112221,,101155a a a a ==+=. 8．C解析：C 【分析】由()*2n n S a n n N=+∈结合11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出1a 和121n n a a -=-，通过构造法即可求出通项公式. 【详解】当1n =时，11121a S a ==+，解得1 1a =-；当2n ≥时，122(1)n n n a a n a n -=+---．∴121n n a a -=-，∴()1121n n a a --=-．∵112a -=-，∴12nn a -=-， ∴12nn a =-．故选:C ． 【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了,n n a S 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.10．A解析：A 【分析】由题意结合等差数列的性质和前n 项和的定义求解公差即可. 【详解】由题意可得：12111213131030a a a a S S =++=-=， 则120a =，等差数列的公差121022212111a a d --===--. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查数列的前n 项和与通项公式的关系，等差数列公差的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．A解析：A 【分析】由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()10050()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；又由110110151()10110102a a S a +⨯==<，则有510a <；则有500a >，若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．12．A解析：A 【分析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+，第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=， 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列， 故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==， 所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.二、填空题13．【分析】先化简再进行相加求解即可【详解】由知故答案为：【点睛】思路点睛：当数列的通项公式中分母是乘积形式求前n 项和时可以考虑裂项相消法即将数列拆分成两项的差的形式再进行求和 解析：1715【分析】 先化简112n a n n =-+，再进行相加求解即可. 【详解】 由21(2)12n a n n n n ==-++知，41234S a a a a =+++11111111111132435462561715⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-=+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1715. 【点睛】思路点睛：当数列的通项公式中，分母是乘积形式，求前n 项和n S 时，可以考虑裂项相消法，即将数列拆分成两项的差的形式，再进行求和.14．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn n n na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn=时取等号， 又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．15．【分析】首先利用方程组求出数列的通项公式进一步求出数列的通项公式进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和【详解】解：各项均为正数的等比数列中若所以由于公比解得所以解得所以由于所以则当时当时所以故答案解析：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【分析】首先利用方程组求出数列{}n a 的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】解：各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352654a a a a a a +=⎧⎨==⎩，由于公比()0,1q ∈，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =. 所以55512n n n a a q--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.由于5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==， 则()9292n n n n S n c nn--===， 当9n ≤时，()212171744n n n n n n T c c c --=+++==. 当9n >时，()()212910*********24n n n n n T c c c c c c c c c c -+=+++---=++-+++=. 所以()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩. 故答案为：()()2217941714494n n n n T n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.16．1028【分析】由题可知为等比数列求出的通项公式即可写出的通项公式利用分组求和法即可求出前10项和【详解】是首项为1公比为2的等比数列则故答案为：1028【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的解析：1028 【分析】由题可知{}n a 为等比数列，求出{}n a 的通项公式，即可写出{}n b 的通项公式，利用分组求和法即可求出前10项和. 【详解】111,2n n a a a +==，{}n a ∴是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，121nn nb n ， 则910124212310S1011251102812.故答案为：1028.【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查分组求和法求数列的前n 项和，属于基础题.17．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.18．选①：；选②：当时；当时；当时；选③：【分析】任选一个条件求出数列公差及通项利用错位相减法求和再比较大小可得解【详解】若选①设公差为因为成等比数列所以解得或0（不合舍去）所以所以利用错位相减可得；若解析：选①：13n T <；选②：当1n =时，12193T =<；当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>；选③：13n T <.【分析】任选一个条件，求出数列{}n a 公差及n b ，n c 通项，利用错位相减法求和，再比较大小可得解. 【详解】若选①，设公差为d ，因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2(2)2(23)d d +=+，解得2d =或0（不合，舍去），所以2n a n =，9n n b =所以29n n nc =，利用错位相减可得1991213232993n n n n T +=-⨯-<； 若选②，因为(3)2n n n S +=，所以公差1d =，所以1n a n =+，13n n b +=所以113n n n c ++=，利用错位相减可得11515()()24312n n T n +=--⨯+当1n =时，12193T =<； 当2n =时，21133T ==；当3n ≥时，3311813n T T ≥=>； 若选③，因为926a =，所以公差3d =，所以31n a n =-，所以31313n n n c --=， 利用错位相减可得1652346911676676273n n n T -=-⨯<. 【定睛】本题考查等差数列通项及错位相减法求和，属于基础题.19．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.20．4【分析】根据题意等价变形得对任意恒成立再求数列的最大值即可得答案【详解】解：∵∴不等式等价于记∴时即时数列单调递减又∵∴∴即∴整数的最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数解析：4 【分析】根据题意等价变形得2352nn λ-->对任意*n N ∈恒成立，再求数列232nn n b -=的最大值即可得答案. 【详解】解：∵()102nn a n =+⋅>，∴不等式()2235n n n a λ--<-等价于2352nn λ-->， 记232n nn b -=，112121223462n n n nn b n n b n ++--==--，∴3n ≥时，11n nb b +<，即3n ≥时数列单调递减， 又∵ 1211,24b b =-=， ∴ ()3max 38n b b ==， ∴358λ->，即337588λ<-=，∴整数λ的最大值为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查根据数列不等式恒成立求参数，考查化归转化思想，是中档题.三、解答题21．（Ⅰ）21n a n =-，*n ∈Z ，2n S n =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】 （Ⅰ）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可得{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得212n n b -=，即可求出{}n b 的前n 项和为n T ，则11131124141n n n n n b T T +++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再利用裂项相消法求和得出12n A <，再利用放缩法21111n n n <--得到122n B n<-<，即可得证； 【详解】解：（Ⅰ）∵141n n n S a a +=⋅+，11a =， ∴11241S a a =⋅+，∴23a =， 当2n ≥时，有1141n n n S a a --=+，∴11144n n n n n n S S a a a a ++--=-，∴()114n n n n a a a a +-=-， ∵0n a ≠，∴114n n a a +--=∴数列{}n a 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，2114(1)2(21)1n a n n -=+-=--，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，234(1)221n a n n =+-=⋅-，∴21n a n =-，*n ∈Z ， ∴()21212n n n S n +-==．（Ⅱ）因为2n an b =，所以212n n b -=，()1352122222413n nn T -=+++⋅⋅⋅+=-， ()()()()2111111294311222241414141414133n n n n n n n n n n n b T T ++++++⎛⎫===- ⎪----⎝⎭--，1n =时，125A =，11B =，1152A B +<． 2n ≥时，2231311311311241412414124141n n n A +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭113111311234122412n n ++⎛⎫=+=-⋅< ⎪--⎝⎭． 22111111111112222231n B n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴52n n A B +<∴52n n A B +<，n *∈N ．【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 22．（1）211n a n =-；（2）最小项为第7项为297. 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）当5n ≤时，由112n a n =-得出n S ，由二次函数的性质得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项，当6n >时，由211n a n =-得出n S 结合导数数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 【详解】（1）由题知：2715a a a =⋅，则()()2111128a a a +=⋅+得：19a =-即1(1)211n a a n d n =+-=-（2）当5n ≤时，112n a n =-，29112102n nS n n n +-=⨯=- 则21010n S n n n n n-==-，即5n =时，min 5n S n ⎛⎫= ⎪⎝⎭当6n ≥时，211n a n =-，251211(5)10502n n S S n n n +-=+⨯-=-+，则5010n S n n n=+- 令50()10,6f x x x x =+-≥，2225050()1x f x x x-'=-=当6x <<()0f x '<，当x >时，()0f x '>即函数()f x在(上单调递减，在()+∞上单调递增即7n =时，min 297n S n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 最小项为第7项为297【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于先讨论211n a n =-的正负，从而确定{}n a 的通项公式，进而得出n S ，最后由二次函数的性质以及导数得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，由此得出最小值. 23．（1）证明见解析；（2）21n nT n =+. 【分析】(1)利用+1+1n n n a S S =-，消去n S，因式分解后得到数列为等差数列，求通项公式； (2)先根据n b =求出2(1)n b n n =+，再拆项为2112()(1)1n b n n n n ==-++，然后求和． 【详解】解：（1）由题意得，1n n n S S a +-=1n n a a +-=∴1=2=1=，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1n =，∴2n a n =，依题意，()211211n b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴11111212231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．24．（1）证明见解析；（2）()()235412n n nT n n +=++【分析】（1）利用等比数列的定义变形为()1121n n a a ++=+，证明数列{}1n a +是等比数列；（2）首先求数列{}n b 的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】 （1）121n n a a +=+，()1121n n a a +∴+=+，即1121n n a a ++=+，且112a +=， 所以数列{}1n a +是公比为2的等比数列；（2）由（1）可知11222n nn a -+=⋅=， 所以2log 2nn b n ==，()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则11111111111...232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()235412n n n n +=++ 【点睛】关键点点睛：本题第二问考查裂项相消法求和，这样的形式不是连续相消，如果前面剩下两个正数项，那么最后一定剩下两个负数项.25．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出； （2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】 （1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212ab a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，nn nA bB =， 若n k B ≤，则+1nn n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1nn nn A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A kb b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥， 当1q =时，1nnA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n nn n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.26．（1）21n a n =-；（2）113n n n T +=-. 【分析】（1）根据59a =，13169S =，利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求解. （2）由（1）得到2133n n n n a n b -==，利用数列求和的错位相减法求解. 【详解】（1）因为()11313713131692a a S a +===， 所以77513,24a d a a ==-=，解得2d =，所以9(5)221n a n n =+-⋅=-.（2）由（1）得213n n n b -= ， 则()231111135213333n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅， ()()23411111111352321333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-， 两式相减得：()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭， 1111112193213313n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--， 122233n n ++=-， 所以113n n n T +=-. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．。
高中数学 第一章 数列单元质量评估(一)新人教版必修5
【红对勾】 版高中数学 第一章 数列单元质量评估（一）新人教版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，则下列说法正确的是( ) A ．0是该数列的一项 B ．4是该数列的一项 C ．6是该数列的一项D ．9不是该数列的一项解析：令a n ＝0,4,6,9，分别解出n ，若n ∈N *，则相应数为数列的一项． 答案：B2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k 等于( ) A ．22 B ．23 C ．24D ．25解析：由等差数列的通项公式得a k ＝(k －1)d ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)d ，∴k ＝22. 答案：A3．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：由等比数列的性质易得a 2·a 6＝a 24＝16. 答案：C4．在等差数列{a n }中，有3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10a 13)＝48，则这个数列的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．52D ．104解析：由3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，利用等差数列的性质化简，得6(a 4＋a 10)＝48，∴a 1＋a 13＝a 4＋a 10＝8，∴S 13＝13 a 1＋a 13 2＝52.答案：C5．等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100等于( )A.b 9a 8 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 8 C.b 10a9 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a10解析：∵{a n }为等比数列，且a 9＋a 10≠0，∴a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋a 100可构成新的等比数列，且公比为b a ，a 99＋a 100是新数列的第10项，故a 99＋a 100＝(a 10＋a 9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9＝b 9a8.答案：A6．一个等比数列的前4项之和为前2项之和的2倍，则这个数列的公比是( ) A.12或－12 B ．1 C ．1或－1D ．2或－2解析：设这个等比数列首项为a 1，公比为q ，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝2(a 1＋a 1q )， ∴q 2＋q 3＝1＋q ，即(1＋q )·(1－q 2)＝0，∴q ＝±1，故选C. 答案：C7．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝15， ∴a 6＝3.故选A. 答案：A8．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n .若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：由于数列{S n ＋2}是等比数列，则(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，化简得q 2－3q ＝0，又q ≠0，故q ＝3.答案：C9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．20B ．17C ．19D ．21解析：由a 9＋3a 11<0得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，又S n 有最大值，所以数列{a n }是递减数列，于是a 10>0，a 11<0，且S 19＝19a 10>0，S 20＝10(a 10＋a 11)<0，所以n ＝19.答案：C10．(2012·四川卷)设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．21解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋a 1－1＋(a 2－3)3＋a 2－1＋…＋(a 7－3)3＋a 7－1＝14，即(a 1－3)3＋a 1－3＋(a 2－3)3＋a 2－3＋…＋(a 7－3)3＋a 7－3＝0，根据等差数列的性质得(a 4－3－3d )3＋(a 4－3－2d )3＋…＋(a 4－3＋3d )3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3－3d )3＋(a 4－3＋3d )3＋(a 4－3－2d )3＋(a 4－3＋2d )3＋…＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，∴2(a 4－3)[(a 4－3)2＋27d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋12d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋3d 2]＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3)[7(a 4－3)2＋84d 2＋7]＝0，∴a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21，故选D. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上) 11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝36a 1＋15d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1d ＝2，所以a 9＝15.答案：1512．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________. 解析：∵S 12＝21， ∴a 1＋a 122×12＝21， ∴a 1＋a 12＝72.又∵a 2＋a 11＝a 5＋a 8＝a 1＋a 12＝72，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝7，故填7. 答案：713．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－…＋(－1)n ＋1·n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.解析：当n 为偶数时，S n ＝－n 2；当n 为奇数时，S n ＝n ＋12.∴S 17＋S 33＋S 50＝17＋12＋33＋12－502＝1.答案：114．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝1－a n (n ∈N ＋)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2006－2S 2007＋S 2008＝________.解析：由a n ＋2＝1－a n ＋1＝1－(1－a n )＝a n ，可得数列{a n }的周期为2，且a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－1，…，∴S 2 006＝1 003×(2－1)＝1 003，S 2 007＝2＋1 003×(2－1)＝1 005，S 2 008＝1 004×(2－1)＝1 004，∴S 2 006－2S 2 007＋S 2 008＝1 003－2 010＋1 004＝－3. 答案：－315．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)表示的数字为________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…解析：由图形观察得第一行有1项，第二行有3项，第三行有5项，……，每一行的项数成等差数列{b n }，则前9行的项数之和S 9＝(1＋3＋5＋…＋17)＝9× 1＋172＝81，即第10行的第1项为a 82，则第12项为a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1393三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n . (1)求a 1及a n ；(2)判断这个数列是否是等差数列．解：(1)当n ＝1时，由S n ＝2n 2－30n ，得a 1＝S 1＝2－30＝－28；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 ①. 因为a 1＝－28也满足①式，所以a n ＝4n －32.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －a n －1＝4n －32－[4(n －1)－32]＝4，是一个与n 无关的常数，依据等差数列的概念可知数列{a n }是等差数列．17．(本小题12分)已知等差数列{a n }的第2项为8，前10项和为185，从数列{a n }中取出第2项，第4项，第8项……，第2n 项，……，依原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式和前n 项和公式．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝8，得a 1＋d ＝8. 由S 10＝185，得2a 1＋9d 2×10＝185.解得a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，∴b n ＝3×2n＋2， 其前n 项和S n ＝3(2＋22＋…＋2n )＋2n ＝3×2n ＋1＋2n －6.18．(本小题12分)已知{a n }是首项为a 1，公比为q (q ≠1)的正项等比数列，前n 项和为S n ，且5S 2＝4S 4，设b n ＝q －S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若能，求出a 1的值；否则，请说明理由．解：(1)由已知得，5×a 11－q (1－q 2)＝4×a 11－q (1－q 4)，又a 1>0，q >0且q ≠1，解得q ＝12. (2)由(1)得S n ＝a 1[1－ 12 n ]1－12＝2a 1－a 1·(12)n －1，b n ＝q －S n ＝12－2a 1＋a 1·(12)n －1.若{b n }是等比数列，则12－2a 1＝0，即a 1＝14，此时，b n ＝(12)n ＋1是等比数列，所以存在实数a 1＝14，使数列{b n }是等比数列．19．(本小题12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 3＋a 7＝18，且a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)． (1)求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝2n －1·a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，设公差为d .由2a 5＝a 3＋a 7＝18，得a 5＝9，又a 1＝1，故d ＝2，所以a n ＝2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)c n ＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n＝－(2n －3)·2n －3，所以T n ＝(2n －3)·2n＋3.20．(本小题13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型公交车和混合动力型公交车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后每年电力型公交车的投入比上一年增加50%，混合动力型公交车比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设今年为第1年，a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合型公交车的数量，则数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列；数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝256[(32)n－1]；设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝400n ＋12n (n －1)a .经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋12n (n －1)a .(2)若用7年时间完成全部更换，则S (7)≥10 000，即256[(32)7－1]＋400×7＋21a ≥10000，解得a ≥3 08221，又a ∈N *，所以a 的最小值为147.21．(本小题14分)已知数列{a n }，设S n 是数列的前n 项和，并且满足a 1＝1，对任意正整数n ，有S n ＋1＝4a n ＋2.(1)令b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2,3，…)，证明{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求c n ＝b n3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2) ＝4(a n －a n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)．① 由题意知b n ＝a n ＋1－2a n ， ∴b n ＋1＝a n ＋2－2a n ＋1.∴b n ＋1＝4(a n ＋1－a n )－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n )， ∴b n ＋1b n ＝2 a n ＋1－2a na n ＋1－2a n＝2(n ∈N ＋)， ∴{b n }是等比数列，公比q ＝2. 又∵S 2＝4a 1＋2，∴a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴1＋a 2＝4＋2，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝5－2＝3， ∴b n ＝b 1·qn －1＝3·2n －1.(2)∵c n ＝b n3＝2n －1，∴1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1＝1 n ＋1 n ＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(答案解析)(1)
一、选择题1．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40422．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．353．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（ ）（lg 20.3≈，lg3.80.6≈） A ．40B ．41C ．42D ．434．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2B ．3C ．269D ．2597．记数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列，且数列()()11211n n n a a a +++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T 对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，则λ的取值范围为（ ） A ．1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,6D ．(],1-∞8．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．89．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ）A ．12-B ．4-C ．4D ．1210．正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则（ ） A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项 B ．n a 的最小值必定为1 C ．当n a 是奇数时，2n n a a +≥D ．n a 的最小值可能为211．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．27612．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n n S n a =+，则数列()2121*1n n a n N a -+⎧⎫⎨⎬⎭∈⋅⎩的前n 项和n T =______. 14．已知数列{}n a ，11a =，12n n a a n +=+，则4a ＝_____．15．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列（x 、y 均不为0），则a cx y+=______. 16．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.18．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．19．等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若634S S =，则96S S =______. 20．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____． 三、解答题21．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2232S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和. 22．若数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题). （1）求n a ﹔ （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 25．在数列{}n a ，{}n b 和{}n c 中，{}n a 为等差数列，设{}n a 前n 项的和为n S ，{}n c 的前n 项和为n T ，11a =，410S a =，12b =，n n n c a b =⋅，22n n T c =-. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.26．已知数列满足递推关系，且10a =，121n n a a -=+. （1）求证：数列{}1n a +为等比数列； （2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由等差数列的10a >，及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列，因此可确定202020210,0a a ><，然后利用等差数列的性质求前n 项和，确定和n S 的正负．【详解】∵202020210a a ⋅<，∴2020a 和2021a 异号，又数列{}n a 是等差数列，首项10a >，∴{}n a 是递减的数列，202020210,0a a ><， 由202020210a a +>，所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>，14041404120214041()404102a a S a +==<，∴满足0n S >的最大自然数n 为4040． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题求满足0n S >的最大正整数n 的值，关键就是求出100n n S S +><，，时成立的n 的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.2．B解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.3．C解析：C 【分析】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=， 所以至少对折的次数n 是42，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.4．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+， 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-， ()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．5．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n n n n n n n S S λ+++++---<===----， 所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．6．C解析：C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，111a S ==适合上式，故43n a n =-，因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269k = 故选：C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和分离参数法及函数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围. 【详解】数列{}n a 前n 项和为n S ，若1，n a ，n S 成等差数列， 所以21n n a S =+①， 当1n =时，11a =.当2n ≥时，1121n n a S --=+②， ①﹣②得122n n n a a a --=，整理得12nn a a -=（常数）， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列. 所以12n na .所以()()()()111122111121212121n n n n n n n n a a a +++++==-------，则1111111111337212121n n n n T ++=-+-++-=----. 由于对任意的*n N ∈都有210n T λ-+≥恒成立，所以12n T λ+≥恒成立. 即()min 12n T λ+≥，当1n =时，()1min 5113n T T +=+=， 所以523λ≥，解得56λ≥， 所以5,6λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式，考查了裂项求和以及恒成立问题，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.10．A解析：A 【分析】根据题意知，数列{}n a 中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论. 【详解】对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A. 【点睛】本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.11．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和【详解】∵∴∴∴即∴即故则故故答案为：【点睛】本题主要考查了利用 解析：21nn + 【分析】根据n S 求数列通项，分析2n ≥时求解数列通项得到()121n n n a n a na -=+-，整理可得()121n n a a n n n -=≥-，即可求出通项公式，代入数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项中进行列项整理，最后利用裂项相消法即可求出数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和.【详解】∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S na n --=≥， ∴()()112212n n n n S S n a na n ---=+-≥， ∴()121n n n a n a na -=+-，即()11n n n a na --=， ∴()121n n a a n n n -=≥-， 即11111n n a a a n n -====-，故n a n =， 则()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题.14．【分析】由已知递推关系式利用累加法和等差数列前项和公式可求出通项即可得【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前项和公式求通项公式求数列中的项属于中档题 解析：13【分析】由已知递推关系式12n n a a n +-=，利用累加法和等差数列前n 项和公式，可求出{}n a 通项，即可得4a . 【详解】12n n a a n +-=，∴2121a a -=⨯ ，3222a a -=⨯，4323a a -=⨯，12(1)n n a a n --=⨯-， ∴ []1(11)(1)2123(1)2(1)2n n n a a n n n +---=++++-=⨯=- ，∴ 21n a n n =-+ ，2444113a ∴=-+= ，故答案为：13 【点睛】本题主要考查了累加法以及等差数列前n 项和公式求通项公式，求数列中的项，属于中档题.15．【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为：【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析：2【分析】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=，代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =，2a bx +=，2b c y +=， ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】 因为()*2142n n S n n N T n +=∈-，所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++， 191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=， 将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+， 由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.18．【解析】试题分析：因为所以因为数列是等比数列所以即设①又＋…＋②①+②得所以考点：1等比数列的性质；2对数的运算；3数列求和【知识点睛】如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等 解析：992【解析】试题分析：因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．19．【分析】根据等比数列的性质得到成等比从而列出关系式又接着用表示代入到关系式中可求出的值【详解】因为等比数列的前n 项和为则成等比且所以又因为即所以整理得故答案为：【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的 解析：134【分析】根据等比数列的性质得到232,,n n n n n S S S S S --成等比，从而列出关系式，又634S S =，接着用6S 表示3S ，代入到关系式中，可求出96S S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n n S S S S S --成等比，且0n S ≠，所以6396363--=-S S S S S S S ，又因为634S S =，即3614=S S ，所以6696666141144--=-S S S S S S S ，整理得96134=S S . 故答案为：134. 【点睛】本题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道基础题。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测(答案解析)(1)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ）A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010113．2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n 是（ ）（lg 20.3≈，lg3.80.6≈） A ．40B ．41C ．42D ．434．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9005．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年6．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )A B C ．14 D ．127．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏8．已知数列{}n a 的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（ ） A ．42B ．43C ．44D ．459．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如果数列{}n a 的前n 项和21()n n S a n N +=-∈，则5a =( ) A ．8B ．16C ．32D ．6411．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-12．已知数列{}n a 满足123n n a a +-=，11a =，3n n b a =+，则10b =（ ） A ．92B ．103C ．2048D ．1024二、填空题13．设数列{}n a 是等比数列，公比2q，n S 为{}n a 的前n 项和，记219n nn n S S T a +-=（*n N ∈），则数列{}n T 最大项的值为__________．14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈.若355a a +=，264a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则当1212nS S S n+++取最大值时n 的值为______.15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 16．数列{}n a 的通项()sin2n n a n n N π*=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=______17．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()2*324n n n a a S n N +=+∈，则5a =______.18．已知数列{}n a 的前n 项和()2*32n n n S n +=∈N ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为______．19．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.20．数列{}n a 满足11a =，()*132n n a a n n N ++=+∈，则{}n a 的通项公式为n a =________．三、解答题21．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比； （2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200nS >，求n 的最小值． 22．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0d <，93n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 23．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和； 24．从①()*123(1)2n n n b b b b n +++++=∈N ，②{}n b 为等差数列且215227b b b =+=，，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.问题：已知数列{}{},n n a b 满足2n bn a =，且___________. （1）证明：数列{}n a 为等比数列；（2）若m c 表示数列{}n b 在区间()0,m a 内的项数，求数列{}m c 前m 项的和m T . 25．已知正项数列{}n a 、{}n b ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1143a b +=，21n n S a +=，2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和n T ．26．已知数列满足递推关系，且10a =，121n n a a -=+. （1）求证：数列{}1n a +为等比数列； （2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．C解析：C 【分析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】 数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=． 故选：C 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.3．C解析：C 【分析】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，则{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，求出{}n a 的通项，解不等式460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯即可求解【详解】设对折n 次时，纸的厚度为n a ，每次对折厚度变为原来的2倍， 由题意知{}n a 是以10.12a =⨯为首项，公比为2的等比数列，所以10.1220.12n nn a -=⨯⨯=⨯，令460.12381010n n a =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯，所以lg 2lg 3.812n≥+，即lg 20.612n ≥+，解得：12.6420.3n ≥=， 所以至少对折的次数n 是42，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.4．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 5．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元． 故选：C ． 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．6．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =， ∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 7．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．B解析：B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数． 【详解】解：由题意，可知：n a ===1n n =-+． 12n n S a a a ∴=++⋯+1=11n =-+． 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．9．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q--+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.10．B解析：B 【分析】根据题意得到()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥），两式做差得到12n n a a -=，可得到数列的通项，进而得到结果.【详解】数列{}n a 的前n 项和()21n n S a n N +=-∈，1121n n S a --=-（n 2≥）,两式做差得到12n n a a -=（n 2≥），由此可得到数列是等比数列，令n=1代入得到1121S a =-=1a ，解得1a =1，故得到数列通项为12n n a ，令n=5得到516.a =故答案为B. 【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用.11．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立，故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.12．C解析：C 【分析】根据题意得到12n n b b +=，计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=，()1323n n a a +∴+=+，即12n n b b +=， 14b =，910422048b ∴=⨯=.故选：C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式，确定12n n b b +=是解题的关键.二、填空题13．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为 解析：3【解析】数列{}n a 是等比数列，公比q 2=，n S 为{}n a 的前n 项和，219()n n n n S S T n N a *+-=∈ ，2111(12)(12)9812129222n nn nn na a T a --⋅---∴==--⋅822n n +≥=， 当且仅当822nn =时取等号， 又,1n N n *∈=或2 时，n T 取最大值19243T =--= ．∴ 数列{}n T 最大项的值为3 ．故答案为3 ．14．8或9【分析】根据等差等比数列的通项公式先求出数列和的通项公式再结合等差数列的求和公式求得进而得到再结合数列取值即可求解【详解】各项均为正数的等比数列中若所以解得所以解得或因为所以所以又由所以则当时解析：8或9 【分析】根据等差、等比数列的通项公式，先求出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，再结合等差数列的求和公式，求得()92n n n S -=，进而得到92n nc -=，再结合数列{}n c 取值，即可求解.【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若355a a +=，264a a =，所以35352656a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩，所以253a a q =，解得12q =或12q =-，因为()0,1q ∈，所以12q =， 所以55512n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭.又由5221log log 52n n n b a n -⎛⎫===- ⎪⎝⎭.所以()()45922n n n n n S +--==，则92n n S nc n -==， 当9,n n N +<∈时，902n nc -=>；当9n =时，0n c =；当10,n n N +>∈时，0n c <，故当8n =或9n =时，1212nS S S n+++取最大值. 故答案为：8或9. 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，准确计算是解答解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②，②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.16．5【分析】利用的周期性求解即可【详解】的周期当时的值为10-10则前10项的和故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和属于基础题解析：5 【分析】利用()sin2n n N π*∈的周期性求解即可. 【详解】()sin 2n n N π*∈的周期2=42T ππ=，当1,2,3,4n =时sin 2n π的值为1,0，-1,0,则前10项的和123101+0305070905a a a a ++++=-+++-+++=，故答案为：5 【点睛】本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.17．【分析】在已知递推关系中件中令n=1解得在n≥2时根据递推关系利用可得判定数列为公差为1的等差数列进而利用等差数列的通项公式计算【详解】在中令n=1得解得或（舍去）；在n≥2时得到结合得到即因为数列 解析：112【分析】在已知递推关系中件中令n =1,解得132a =,在n ≥2时根据递推关系，利用1n n n S S a --=,可得11n n a a +-=，判定数列{}n a 为公差为1的等差数列，进而利用等差数列的通项公式计算. 【详解】 在()2*324n n n a a S n N +=+∈中令n=1,得21111332244a a S a +=+=+，解得132a =或112a =-（舍去）；在n ≥2时，得到2111324n n n a a S ---+=+，结合1n n n S S a --=, 得到22112n n n n n a a a a a ---+-=,即2211n n n n a a a a ---=+,因为数列{}n a 的各项均为正数，∴10n n a a -+≠，∴11n n a a --=，∴数列{}n a 为公差为1d =的等差数列，又∵132a =，∴513114422a a d =+=+=, 故答案为：112.【点睛】本题考查由数列的递推关系判定数列为的等差数列，并利用等差数列的通项公式求特定项，属中档题.18．【分析】根据可求得的通项公式经检验满足上式所以可得代入所求利用裂项相消法求和即可得答案【详解】因为所以所以又满足上式所以所以所以数列的前10项和为故答案为：【点睛】解题的关键是根据求得的通项公式易错解析：532【分析】根据1(2)n n n a S S n -=-≥可求得n a 的通项公式，经检验，112a S ==满足上式，所以可得n a ，代入所求，利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】因为()2*32n n n S n +=∈N ，所以2213(1)1352(2)22n n n n n S n --+--+==≥， 所以221335231,(2)22n n n n n n n a S S n n -+-+=---≥==，又1131122a S ⨯+===满足上式， 所以()*31,n a n n N=-∈，所以111111(31)(32)3313+2n n a a n n n n +⎛⎫== ⎪-+-⎝⎭-， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为11111111115325582932323232⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：532【点睛】解题的关键是根据1(2)n n n a S S n -=-≥，求得n a 的通项公式，易错点为，若11a S =满足上式，则写成一个通项公式的形式，若11a S =不满足上式，则需写成分段函数形式，考查计算化简的能力，属中档题.19．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键解析：()11332n n +--【分析】根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n nn a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.20．【分析】先根据条件得隔项成等差数列再根据等差数列通项公式得结果【详解】相减得所以当为奇数时当为偶数时因此故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式根据递推关系求通项公式考查基本分析求解能力属中档题解析：()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【分析】先根据条件得隔项成等差数列，再根据等差数列通项公式得结果. 【详解】1+12323(1)2n n n n a a n a a n +++=+∴+=++相减得23n n a a +-=所以当n 为奇数时，111313(1)13(1)222n n n n a a ++-=+-=+-= 当n 为偶数时，2323(1)513(1)222n n nn a a +=+-=-+-=因此n a =()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 故答案为：()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【点睛】本题考查等差数列通项公式、根据递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）5；（2）50. 【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比； （2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭， 111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．22．（1） 11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈；（2）51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【分析】（1）由123,22,5a a a +成等比数列求得公差后可得通项公式n a ； （2）对23n b b b +++用错位相减法求和．【详解】解：（1）∵123,22,5a a a +成等比数列，∴()2231225a a a +=⋅，整理得2340d d --=，解得1d =-或4d =，当1d =-时，10(1)11n a n n =--=-+； 当4d =时，104(1)46n a n n =+-=+．所以11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈．（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ， ∵0d <，∴1d =-，11n a n =-+23n nnb -=当1n =时，13n S =， 当2n ≥时，2341012233333n n n S -=++++⋅⋅⋅+ 令34122333n n T -=+++，则45111223333n n T +-=+++ 两式相减可得32345111112111122331333333313n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++⋯+-=-- 整理可得11112423n n T ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭， 则511,212423n n n S n ⎛⎫=+-⨯≥ ⎪⎝⎭ 且113S =满足上式， 综上所述：51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．23．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.24．条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）122m m T m +=--.【分析】（1）选择①，可得(1)(1),22n n n n n b n +-=-=从而可得2,nn a =进而利用等比数列的定义可得结论；选择②，列出首项与公差的方程可得n b n =，从而可得2nn a =，进而利用等比数列的定义可得结论；（2）若选择①，则2nn a =，可得21m m c =-，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案；选择②，则2nn a =，利用分组求和法，结合等比数列的求和公式可得答案； 【详解】（1）选择①，因为()*123(1)2n n n b b b b n N +++++=∈， 当1n =时，11b =， 当2n ≥时，(1)(1),122n n n n n b n n +-=-==时也成立，故n b n =.所以1122,22n nn n n n a a a ++===， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列. 若选择②，设数列{}n b 公差为d ， 由题意1112247b d b b d +=⎧⎨++=⎩，，得111b d =⎧⎨=⎩，，得n b n =，即2log n a n =，得2nn a =，所以11222n n n n a a ++==. 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）若选择条件①，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m m m mT m m +-=-+-+-=-=---.若选择条件②，则2nn a =，所以1c 对应的区间为(0,2)，则121c c =；对应的区间为(0,4)，则23c =；3c 对应的区间为(0,8)，则37c =；m c 对应的区间为()0,2m ，则21m m c =-；所以()1212122121212212m m m m T m m +-=-+-+-=-=---.【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、公式法；2、错位相减法；3、裂项相消法；4、分组求和法；5、倒序相加法. 25．（1）13n n a =，12n n b +=；（2）151144323n n n n T -+=--⋅⋅ 【分析】（1）由1n =求得1a ，再風1b ，然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系，知其为等比数列，从而得通项公式，由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+，用累乘的方法求得n b ；（2）用错位相减法求和n T ． 【详解】（1）由题意知：1111221S a a a +=+=,113a =，∴11413b a =-=， ∵1121,21n n n n S a S a +++=+=∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-（1b 也适合）， （2）∵123n n nn a b += ∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n n n T -+=--⋅⋅． 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，累乘法求通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 26．（1）证明见解析；（2）()12+1nn T n =-⋅.【分析】（1）由121n n a a -=+及等比数列定义得到11121n n a a +-++=即可证明； （2）由（1）知112n n a -+=，所以12n n b n -=⋅，用错位相减法求数列{}n b 的项和n T .【详解】解：（1）由121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+， 所以11121n n a a +-++=， 所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知112n n a -+=，所以()112n n n b a n -=+=⋅.所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，① 则12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，②由①②得0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅ ()12212112nn n n n -=-⋅=---， 所以()121nn T n =-⋅+. 【点睛】方法点睛：根据递推关系求通项公式的三个常见方法：（1）对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +=+的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式；（2）对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列()f n 前n 项的积时，采用累乘法求数列{}n a 的通项公式；（3）对于递推关系式形如1(0,1,0)n n a pa q p q +=+≠≠的数列，采用构造法求数列的通项.。
(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》检测(答案解析)(1)
时，
．
．
当 时， ．
.
故选：B．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．B
解析：B
【分析】
由条件可得 ,进而得 ,从而得解.
【详解】
,
,
,
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.
5．A
①﹣②得 ，整理得 （常数），
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.
所以 .
所以 ，
则 .
由于对任意的 都有 恒成立，
所以 恒成立.
即 ，
当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了由递推关系式求数列的通项公式，考查了裂项求和以及恒成立问题，属于中档题.
7．C
解析：C
【解析】
（2）当 时，求证数列 是等比数列，并求 .
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用累加法求出通项 ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解 即可
【详解】
由已知得， ， ，而 是等比数列，故 ，
，
，化简得 ，
故选：C
【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.
【详解】
易得第 行最后一项为 ，则第 行第一项为 ，
第 行最后一项为 ，
故第 行为第一项 ，最后一项为 ，项数为 的等差数列，
故 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n项和的求法，属于中档题.
人教A版高中数学必修五综合质量评估(第一至第三章).docx
综合质量评估(第一至第三章)(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2015·太原高二检测)两数√2+1与√2-1的等比中项是( ) A.1 B.-1 C.-1或1 D.12【解析】选C.设两数的等比中项为x ，则x 2=(√2+1)(√2−1)=1，解得x=±1，故等比中项为-1或1.2.在平面直角坐标系中，不等式x 2-y 2>0表示的平面区域是( )【解析】选B.由x 2-y 2>0可得{x −y >0,x +y >0,或{x −y <0,x +y <0,两个不等式组对应的平面区域如图B 所示. 3.(2015·衡水高二检测)不等式-x 2+3x+4<0的解集为( )A.{x|-1<x<4}B.{x|x>4或x<-1}C.{x|x>1或x<-4}D.{x|-4<x<1}【解析】选B.一元二次方程-x2+3x+4=0的两个根为x=-1或x=4，由于函数y=-x2+3x+4的图象开口向下，因此不等式-x2+3x+4<0的解集为{x|x>4或x<-1}.4.下列不等式中成立的是( )A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a>b，c>d，则a-c>b-dD.若a<b<0，则1a >1 b【解析】选D.A选项，若c=0，则ac2=bc2，A不正确；B选项，若a=1，b=-3，a2=1<b2=9，B不正确；C选项，若a=2，b=1，c=2，d=-3，则a-c=0，b-d=4，a-c<b-d，C不正确；D选项，若a<b<0，则1a >1b，故选D.5.(2015·营口高二检测)符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )A.a=1，b=2，c=3B.a=1，b=√2，A=30°C.a=1，b=2，A=100°D.b=c=1，B=45°【解析】选 D.A中三条边长无法构成三角形；B中由正弦定理可得sinB=bsinA a =√2×121=√22，由于a<b ，因此A<B ，B=45°或135°，且两个角度都满足要求，因此符合B 条件的三角形有两个；C 中由于a<b ，因此A<B ，而A=100°，所以三角形中有两个角为钝角，因此C 中的条件不能构成三角形；而D 构成的三角形为等腰直角三角形.6.设变量x ，y 满足约束条件{x −y ≥0,x +y ≤1,x +2y ≥1,则目标函数z=5x+y 的最大值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选 D.求出约束条件对应的三条直线之间的交点坐标依次是(12,12)，(13,13)，(1，0)，代入z=5x+y 分别计算得最大值为5.7.(2015·通化高二检测)若不等式(a-2)x 2+2(a-2)x-4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值范围( )A.a ≤2B.-2<a ≤2C.-2<a<2D.a ≤-2【解析】选B.当a-2=0即a=2时，原不等式变形为-4<0恒成立，符合题意； 当a-2≠0时，依题意可得{a −2<0,Δ=[2(a −2)]2−4(a −2)×(−4)<0⇒ {a <2,−2<a <2⇒-2<a<2. 综上可得-2<a ≤2.【补偿训练】若关于x 的不等式x 2+ax-2>0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.(−235,+∞) B.[−235,1]C.(1，+∞)D.(−∞,−235)【解析】选A.因为x ∈[1,5]，则不等式x 2+ax-2>0可化为：a>2−x 2x=2x-x ，设f (x )=2x -x ，x ∈[1,5]，由题意得只需a>[f (x )]min ，因为函数f (x )为区间[1，5]上的减函数， 所以[f (x )]min =f (5)=25-5=-235.8.已知函数f(x)=ax 2-x-c ，且不等式ax 2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y=f(-x)的图象为( )【解析】选B.因为函数f(x)=ax 2-x-c ，且不等式ax 2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}， 所以a<0，方程ax 2-x-c=0的两个根为-2和1， -2+1=1a，-2×1=-ca，所以a=-1，c=-2，所以f(x)=ax 2-x-c=-x 2-x+2，所以f(-x)=-x 2+x+2，其图象开口向下，与x 交点(-1，0)，(2，0).9.(2015·大庆高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若A=π6，a=3，b=4，则a+bsinA+sinB=( )A.3√3B.6C.6D.18【解析】选 C.由正弦定理a sinA=b sinB可得sinB=bsinA a=4×sin π63=23，所以a+b sinA+sinB=3+412+23=6.10.在△ABC 中，∠A=120°，AB →·AC →=-2，则|BC →|的最小值是( ) A.2 B.4 C.2√3 D.12 【解析】选C.因为∠A=120°，AB →·AC →=-2， 所以|AB →|·|AC →|cos120°=-2， 解得|AB →|·|AC →|=4，设|AB →|=c ，|AC →|=b ，|BC →|=a ，则bc=4， 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bccos120°=b 2+c 2+bc. 因为b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b=c 时取得最小值， 所以a 2=b 2+c 2+bc ≥3bc=12，可得a 的最小值为2√3， 即|BC →|的最小值为2√3.11.(2015·济南高二检测)在△ABC 中，若cosA cosB =b a =43，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形 【解析】选A.根据题意得b a =sinB sinA =cosA cosB，因此sinBcosB=sinAcosA ，即sin2B=sin2A ，所以B=A 或2B+2A=π，由于b a =43，所以2B+2A=π成立，即B+A=π2.12.等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *).有下列命题 ①若S 3=S 11，则必有S 14=0；②若S 3=S 11，则必有S 7是S n 中最大的项； ③若S 7>S 8，则必有S 8>S 9；④若S 7>S 8，则必有S 6>S 9. 其中正确的命题的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个 【解析】选D.S 11-S 3=a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11=0，根据等差数列的性质，S 11-S 3=4(a 7+a 8)=0，所以a 7+a 8=0，S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)=0，根据等差数列前n 项和S n 的图象，S 3=S 11，那么对称轴是n=3+112=7，那么S 7是最大值；若S 7>S 8，则a 8<0，那么d<0，所以a 9<0，所以S 9-S 8<0，即S 8>S 9；S 9-S 6=a 7+a 8+a 9 =3a 8<0，即S 6>S 9.【补偿训练】已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为( )A.15B.17C.19D.21 【解析】选B.由已知条件可得S 4=1，公比q=2，而S 8−S 4S 4=a 5+a 6+a 7+a 8a 1+a 2+a 3+a 4=q 4=24=16，所以S 8=17.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.设z=x+y ，其中x ，y 满足{x +2y ≥0,x −y ≤0,0≤y ≤k,若z 的最大值为6，则z 的最小值为________.【解析】如图，x+y=6过点A(k ，k)，k=3，z=x+y 在点B 处取得最小值，B点在直线x+2y=0上，所以B(-6，3)，所以z min=-6+3=-3.答案：-3【变式训练】若x，y满足约束条件{x≥0,x+2y≥3,2x+y≤3,则x-y的取值范围是________.【解析】记z=x-y，则y=x-z，所以z为直线y=x-z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示.结合图形可知，当直线经过点B(1，1)时，x-y取得最大值0，当直线经过点C(0，3)时，x-y取得最小值-3.答案：[-3，0]14.(2015·上饶高二检测)等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n =3n−1 2n+3，则a10b10=__________.【解析】在等差数列中S19=19a10，T19=19b10，因此a10b10=S19T19=3×19−12×19+3=5641.答案：5641【补偿训练】正项等比数列{a n}中，若log2(a2a98)=4，则a40a60=__________. 【解析】因为log2(a2a98)=4，所以a2a98=16，因为数列{a n}为等比数列，所以a40a60=a2a98=16.答案：1615.已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围为__________.【解析】因为x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4+xy+4yx≥8，当且仅当x=4，y=2时取等号，由题意得：m2+2m<8，解得-4<m<2.答案：(-4，2)16.(2015·福安高二检测)甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的√3倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ=__________.【解析】设追上时，乙船走了x海里，甲船走了√3x海里，根据余弦定理，(√32=x2+a2-2xacos120°，解得：x=a，所以此三角形是等腰三角形，所以底角是30°，并且此时θ=30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足√3acosC-csin Α=0.(1)求角C的大小.(2)已知b=4，△ΑΒC的面积为6√3c的值. 【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得：√3sinAcosC-sinCsinA=0.因为0<A<π，所以sinA>0，从而√3cosC=sinC，又cosC≠0，所以tanC=√3所以C=π3.(2)在△ABC中，S△ABC=12×4a×sinπ3=6√3，得a=6，由余弦定理得：c2=62+42-2×6×4cosπ3=28，所以c=2√7.18.(12分)(2015·娄底高二检测)已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a1，a4，a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)令b n=1a n2−1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.【解题指南】(1)只需确定首项和公差就能得到答案.根据题目中给的条件，建立关于首项和公差的关系式，解方程就可以求出首项和公差，从而得到{a n}的通项公式.(2)用裂项相消法求数列的前n项和，然后再通过化简就可以得到数列的前n项和.【解析】(1)设数列{a n}的公差为d.因为{a3=7,a1·a13=a42,所以{a1+2d=7,a1(a1+12d)=(a1+3d)2,解得：d=2或d=0(舍)，所以a 1=3， 所以a n =2n+1(n ∈N *). (2)b n =1(2n+1)2−1=14n(n+1)=14(1n−1n+1).所以S n =1[(1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)] =14(1−1n+1)=n4(n+1)(n ∈N *).【补偿训练】已知等差数列{a n }中a 2=9，a 5=21. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)若b n =2a n −1，求数列{log 2b n }的前n 项和S n . 【解析】(1)设等差数列的公差为d ， 因为a 2=9，a 5=21，a 5-a 2=3d ，所以d=4， 所以a n =4n+1.(2)由(1)得b n =2a n −1=24n ， 所以log 2b n =log 224n =4n ，所以{log 2b n }是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以S n =n(4+4n)2=2n 2+2n.19.(12分)(2015·武汉高二检测)已知函数y=2+2ax +1的定义域为R. (1)求a 的取值范围.(2)若函数的最小值为√22，解关于x 的不等式x 2-x-a 2-a<0.【解题指南】(1)定义域为R ，指被开方数恒大于等于0，讨论两种情况：a=0，a>0两种情况.(2)先根据函数的最小值，求参数a ，然后将参数代入二次不等式，解不等式.【解析】(1)因为函数y=√ax 2+2ax +1的定义域为R ，所以当a=0时，满足题意；当a>0时，Δ=4a 2-4a ≤0，解得0<a ≤1；所以a 的取值范围是{a|0≤a ≤1}. (2)因为函数y的最小值为√22，所以√ax 2+2ax +1≥√22，a ∈[0，1]， 所以ax 2+2ax+1≥12. 当a=0时，不满足条件；当0<a ≤1时，ax 2+2ax+1的最小值是4a−4a 24a=12，所以a=12；所以不等式x 2-x-a 2-a<0可化为x 2-x-34<0，解得-12<x<32. 所以不等式的解集是{x|−12<x <32}.20.(12分)(2015·东胜高二检测)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年的总收入为50万美元.设f(n)表示前n 年的纯收入.(f(n)=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额) (1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案更合算？【解析】由题意，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列. f(n)=50n-[12n +n (n−1)2×4]-72=-2n 2+40n-72.(1)获取纯利润就是要求f(n)>0， 则-2n 2+40n-72>0⇒2<n<18. 又n ∈N *，所以从第三年开始获取纯利润. (2)①年平均利润为f (n )n=40-2(n +36n)≤16，当且仅当n=6时取等号，故此方案获利6×16+48=144(万美元)，此时n=6. ②f(n)=-2n 2+40n-72=-2(n-10)2+128， 当n=10时，f(n)max =128.故此方案获利128+16=144(万美元)，此时n=10.比较两方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案. 21.(12分)已知b 2+c 2=a 2+bc. (1)求角A 的大小.(2)如果cosB=√63，b=2，求△ABC 的面积.【解题指南】(1)利用余弦定理表示出cosA ，将已知等式变形后代入求出cosA 的值，即可确定出A 的大小.(2)由cosB 的值，求出sinB 的值，利用正弦定理求出a 的值，将a 与b 的值代入已知等式中求出c 的值，由b ，c ，sinA 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积.【解析】(1)因为b 2+c 2=a 2+bc ， 所以cosA=b 2+c 2−a 22bc=12，又因为A ∈(0，π)，所以A=π3.(2)因为cosB=√63，B ∈(0，π)，所以sinB=√1−cos 2B =√33，由正弦定理，得asinA =bsinB，得a=bsinA sinB=3.因为b 2+c 2=a 2+bc ， 所以c 2-2c-5=0， 解得c=1±√6，因为c>0，所以c=√6+1， 故△ABC 的面积S=12bcsinA=3√2+√32.22.(12分)(2015·深圳高二检测)已知数列{a n }满足4a n =a n-1-3(n ≥2，且n ∈N *)，且a 1=-34，设b n +2=3，n ∈N *，数列{c n }满足c n =(a n +1)b n .(1)求证：数列{a n +1}是等比数列并求出数列{a n }的通项公式. (2)求数列{c n }的前n 项和S n .(3)对于任意n ∈N *，t ∈[0，1]，c n ≤tm 2-m-12恒成立，求实数m 的取值范围.【解题指南】(1)等比数列的证明，一般采用定义法或者等比中项法，本题中根据题目所给条件得到a n +1=14(a n-1+1)，即可证明{a n +1}是等比数列.然后求出新数列的通项公式，从而求出数列{a n }的通项公式.(2)根据(1)求出的数列{a n }的通项公式，求出b n ，继而求出{c n }的通项公式，然后通过错位相减法求出{c n }的前n 项和.(3)根据c n 的单调性，求出c n 的最大值，然后由含参不等式恒成立，求出参数的取值范围.【解析】(1)因为4a n =a n-1-3， 所以4a n +4=a n-1+1，a n +1=14(a n-1+1)，所以{a n +1}是等比数列，其中首项是a 1+1=14，公比为14， 所以a n +1=(14)n ，a n =(14)n-1.(2)b n+2=3lo g14(a n+1)(n∈N*)，所以b n=3n-2，由(1)知，a n+1=(14)n，又b n=3n-2，所以c n=(3n-2)×(14)n(n∈N*).所以S n=1×14+4×(14)2+7×(14)3+…+(3n-5)×(14)n−1+(3n-2)×(14)n，所以14S n=1×(14)2+4×(14)3+7×(14)4+…+(3n-5)×(14)n+(3n-2)×(14)n+1，两式相减得3 4S n=14+3[(14)2+(14)3+⋯+(14)n]-(3n-2)×(14)n+1=1 2-(3n+2)×(14)n+1.所以S n=23-(3n+2)3(14)n.(3)c n+1-c n=(3n+1)(14)n+1-(3n-2)(14)n=9(1-n)(14)n+1(n∈N*)，所以当n=1时，c2=c1=14，当n≥2时，c n+1<c n，即c1=c2<c3<c4<…<c n，所以当n=1或n=2时，c n取最大值是14.只需14≤tm2-m-12，即tm2-m-34≥0对于任意t∈[0，1]恒成立，即{m2−m−3≥0, m+3≤0,所以m≤-34.关闭Word文档返回原板块。
(典型题)高中数学必修五第一章《数列》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4331S S S =-，若11a >，则（ ） A ．13a a <，24a a < B ．13a a >，24a a < C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．544．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年5．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ）A ．1011B ．910C ．89D ．26．若数列{}n a 满足*111(n nd n N a a +-=∈，d 为常数)，则称数列{}n a 为调和数列，已知数列21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列，且222212320184036x x x x +++⋯+=，则92010x x +的最大值为（ ） AB ．2C．D ．47．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，81335a a =，则n S 中最大的是( ). A ．10SB ．11SC ．20SD ．21S8．已知等差数列{}n a 中， 23a =，59a =，则数列{}n a 的前6项之和等于（ ） A ．11 B ．12 C ．24D ．369．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ） A ．0B ．1C ．2019D ．202010．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏11．根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+12．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．给定*1log (2)()n n a n n N +=+∈，则使乘积12k a a a 为整数的()*k k ∈N 称为“和谐数”，则在区间内[1,2020]的所有“和谐数”的和为_______.14．在数列{}n a 中，11a =，0n a ≠，曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线经过点()1,0n a +，下列四个结论：①223a =；②313a =；③416527i i a ==∑；④数列{}n a 是等比数列；其中所有正确结论的编号是______.15．已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________．16．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2414a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=___________.17．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()n N *∈，且11a =，则n a =_____．18．在数列{}n a 中，121a a ==，32a =，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则n a =__________．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，当0n S >时，n 的最大值为______.20．对于数列{}n a ，存在x ∈R ，使得不等式()2*144n na x x n N a +≤≤-∈成立，则下列说法正确的有______.（请写出所有正确说法的序号）. ①数列{}n a 为等差数列； ②数列{}n a 为等比数列； ③若12a =，则212n na -=；④若12a =，则数列{}n a 的前n 项和21223n n S +-=.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 满足2n S n n =+，数列{}n b 是公比为正数的等比数列，满足14b =，351024b b =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若11n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 22．已知数列{}n a 为等差数列，23a =，前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，公比为2，且2354b S =，3216b S +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，121n n S S +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使得2021n T =?若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.24．已知等比数列{}n a 的公比不为1，且11a =，32a 是23a 与4a 的等差中项. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足()()1211nn n n a b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．已知数列{}n a 满足132a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.（1）证明：数列1{}1n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n a c n =⋅，记数列{}nc 的前n 项和为n T ，求证：314n T ≤<. 26．已知正项等比数列{}n a ，24a =， 1232a a a +=；数列{}n b 的前n 项和n S 满足n n S na =.（Ⅰ）求n a ，n b ；（Ⅱ）证明：312412233412n n n b b b b a a a a a a a a ++++++<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．B解析：B 【分析】首先根据题中所给的条件4331S S S =-，11a >利用等比数列求和公式求出0q <，分情况讨论求得10q -<<，从而可以得到项之间的大小关系. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 由4331S S S =-可得431a S =-， 若1q =，则1113a a =-显然不成立，所以1q ≠， 所以()312111q a a q q -++=，即()232111q q a q +=-+， 因为22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，210a >，所以30q <，所以0q <，当1q ≤-时，31q ≤-，211q q ++≥，因为11a >，则()232111q q a q +=-+不可能成立，所以10q -<<，()213110a a a q -=->，()224110a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等比数列求和公式将已知条件化简得到()232111q q a q +=-+，结合11a >求出q 的范围.3．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.4．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg 6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元． 故选：C ．本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．5．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】先由题设21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为调和数列{}2n x ⇒是等差数列，进而利用等差数列的前n 项和公式及性质求得2292010x x +的值，再利用基本不等式求得92010x x +的最大值即可.解：由题设知：2212211111n n n n x x d x x ++-=-=*(n N ∈，d 为常数)， {}2n x ∴是等差数列， 2222221201812320182018()40362x x x x x x++++⋯+==， 222212018920104x x x x ∴+==+，2292010920102x x x x +(当且仅当92010x x =时取“等号“)， 2229201092010()2()8x x x x ∴++=，9201022x x ∴+(当且仅当92010x x =“等号“)，92010x x∴+的最大值为故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、性质、前n 项和公式及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题.7．C解析：C 【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><，即可作出判定．详解：在等差数列{}n a 中，18130,35a a a >=，则113(7)5(12)a d a d +=+，整理得12390a d +=，即()()1119200a d a d +++=， 所以20210a a +=，又由10a >，所以20210,0a a ><，所以前n 项和n S 中最大是20S ，故选C ．点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前n 项和n S 的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得20210a a +=，进而得到20210,0a a ><是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．8．D解析：D 【分析】根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=，再根据等差数列前n 项和公式计算即可得答案. 【详解】解：因为等差数列{}n a 中， 23a =，59a =， 所以根据等差数列的性质得162512a a a a +=+=， 所以根据等差数列前n 项和公式()12n n n a a S +=得()16666123622a a S +⨯===. 故数列{}n a 的前6项之和等于36. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和公式，考查运算能力，是中档题.9．A解析：A 【分析】 由1n nb b +用递推式可得到值为-1，{}n b 是等比数列，再求前2020项和. 【详解】 由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---， 又212131b a a a =-=-，因此()1nn b =-，故()()()20201111110S =-++-+++-+=，故选：A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列，还考查了数列求和，属于中档题.10．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11．A解析：A 【分析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+，第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=， 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列， 故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==， 所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．2026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式：得为整数∴分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为：2026【点睛】考查数列的综解析：2026 【分析】根据换底公式把1log (2)n n a n +=+代入12k a a a ⋯并且化简，转化为lg(2)lg 2k +为整数，即22n k +=，n *∈N ，可求得区间[1,2020]内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式：log log log b a b NN a=， 得()231241log 3log 4log 5log 2k k a a a k +=⋯+122lg3lg 4lg5lg(2)lg(2)log (2)lg 2lg3lg 4lg(1)lg 2==++⋯⋅⋅⋅⋅=++k k k a a a k k 为整数，∴22n k +=，n *∈N ，k 分别可取23422,22,22---，最大值222020n -≤，则n 最大可取10， 故所有“和谐数”的和为()923104122221818202612-++⋅⋅⋅+-=-=-.故答案为：2026. 【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式，把12k a a a ⋯化简并且转化为对数的运算，体现了转化的思想，属中档题.14．①③④【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详解】∵∴曲线在点处的切线方程为则∵∴则是首项为1公比为的等比数列从而解析：①③④ 【分析】先利用导数求得曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程，由此求得1n a +与n a 的递推关系式，进而证得数列{}n a 是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编号.∵2'3y x =，∴曲线3y x =在点()3,n n a a 处的切线方程为()323n n n y a a x a -=-，则()3213n n n n a a a a +-=-.∵0n a ≠，∴123n n a a +=， 则{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列， 从而223a =，349a =，4412165322713i i a =⎛⎫- ⎪⎝⎭==-∑. 故所有正确结论的编号是①③④. 故答案为：①③④ 【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系式证明等比数列，考查等比数列通项公式和前n 项和公式，属于基础题.15．【解析】因为已知等比数列中所以则故答案为【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式属于中档题等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型数列中的五个基本量一般可以知二求三通过列方程组所求问题可以迎刃 解析：212【解析】因为已知等比数列{}n a 中，所以21a =，58a =-，3528,2a q q a ==-=-，则()()()66121611211212,21122a q a a S q q⎡⎤----⎣⎦==-===---，故答案为212. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16．【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得结果【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数且∴则故答案为：【点睛】本题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析：5-【分析】由题意利用等比数列的性质求得3a 的值，再利用对数的运算性质，求得结果.解：等比数列{a n }的各项均为正数， 且224314a a a ==，∴312a =， 则2122232425log log log log log a a a a a ++++523231og 5log 5(1)5a a ===⋅-=-，故答案为：5-. 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.17．【分析】由两本同除以可构造是等差数列由此可求出再利用即可求得【详解】由得是以为首相1为公差的等差数列当时故答案为：【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式求数列的通项公式是常考题型属于中档题解析：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【分析】由11n n n n S S S S ++=⋅-，两本同除以1n n S S +⋅，可构造1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此可求出a 1n S n =，再利用1n n n a S S -=-，即可求得n a 【详解】 由11n n n n S S S S ++=⋅-，得1111n nS S +-= ()n N *∈ 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭ 是以11111S a ==为首相，1为公差的等差数列，11(1)1nn n S ∴=+-⨯=， 1n S n∴=， 当2n ≥ 时，11111(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---， 1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩故答案为：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题.18．【分析】由等比数列通项公式求出然后由累乘法求得【详解】∵为等比数列由已知∴∴时也适合此式∴故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式考查累乘法求数列通项公式如果已知则用累加法求通项公式如果已知则用 解析：()()2122n n --【分析】由等比数列通项公式求出1n na a +，然后由累乘法求得n a ．【详解】∵1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，由已知211a a =，322a a =，32212a aq a a ==， ∴112n n na a -+=，∴2n ≥时， (2)(1)2212(2)3242112311122222n n n n n n n a aa aa a a a a a ---+++--=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==，1n =也适合此式， ∴(2)(1)22n n na --=．故答案为：(2)(1)22n n --．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式．如果已知1()n n a a f n --=，则用累加法求通项公式，如果已知1()nn a f n a -=，则用连乘法求通项公式． 19．【分析】根据是与的等比中项求出和再根据等差数列的求和公式求出解不等式即可得解【详解】因为是与的等比中项所以所以化简得因为所以因为所以即将代入得解得所以所以由得即解得所以正整数的最大值为故答案为：20解析：【分析】根据690S =，7a 是3a 与9a 的等比中项求出1a 和d ，再根据等差数列的求和公式求出n S ，解不等式0n S >即可得解.【详解】因为7a 是3a 与9a 的等比中项，所以2739a a a =⋅，所以()()()2111628a d a d a d +=++，化简得21100a d d +=，因为0d ≠，所以110a d =-， 因为690S =，所以1656902a d ⨯+=，即15152a d +=， 将110a d =-代入得510152d d -+=，解得2d =-，所以120a =， 所以2(1)20(2)212n n n S n n n -=+⨯-=-+， 由0n S >得2210n n -+>，即2210n n -<，解得021n <<， 所以正整数n 的最大值为20. 故答案为：20 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式和求和公式以及等比中项的应用是解题关键.20．②③④【分析】由题意可得存在使求得值可得再由等比数列的定义通项公式及前项和逐一核对四个命题得答案【详解】解：由存在使得不等式成立得即则则数列为等比数列故①错误②正确；若则故③正确；若则数列的前项和故解析：②③④ 【分析】由题意可得，存在x ∈R ，使244x x -，求得x 值，可得14n na a +=，再由等比数列的定义、通项公式及前n 项和逐一核对四个命题得答案． 【详解】解：由存在x ∈R ，使得不等式2*144()n na xx n N a +-∈成立， 得244x x -，即2440x x -+，则2(2)0x -，2x ∴=．∴14n na a +=． 则数列{}n a 为等比数列，故①错误，②正确； 若12a =，则121242n n n a --==，故③正确；若12a =，则数列{}n a 的前n 项和212(14)22143n n n S +⨯--==-，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查等比数列的判定，训练了等比数列通项公式与前n 项和的求法，属于中档题．三、解答题21．（1）2n a n =，12n n b +=；（2）()41n nT n =+.【分析】 （1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，由已知条件计算出等比数列{}n b 的公比，进而可求得等比数列{}n b 的通项公式；（2）计算得出11141n c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项求和法可求得n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.12a =满足2n a n =，所以，对任意的n *∈N ，2n a n =.设等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >，262635141024b b b q q ∴==⨯=，解得2q，1111422n n n n b b q --+∴==⨯=；（2）()()111111112214141n n n c a a n n n n n n +⎛⎫===⋅=- ⎪⨯+++⎝⎭， ()121111111111422314141n n n T c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.22．（1）21n a n =-，132n n b -=⋅；（2）2323n n T n =⨯+-.【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出d 、2b 的值，进而可求得数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()13323392a a S a +===，23546b S ∴==，则32212b b ==， 由3216b S +=可得2122264S a a a d d =+=-=-=，2d ∴=，因此，()()2232221n a a n d n n =+-=+-=-，221226232n n n n b b ---=⨯=⨯=⋅；（2）12132n n n n c a b n -=+=-+⋅，()()()()01211323325322132n n T n -⎡⎤∴=+⋅++⨯++⨯++-+⨯⎣⎦()()121135213323232n n -=++++-++⨯+⨯++⨯⎡⎤⎣⎦()()2312121323212nn n n n ⨯-+-=+=⨯+--.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和. 23．（1）12n n a ；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-以及等比数列的通项公式可求得结果；（2）利用错位相减法求出n T ，分别对1,2n n ==和3n ≥讨论等式是否成立可得答案. 【详解】（1）由121n n S S +=+①,知2n ≥时，121n n S S -=+②, ①-②得()122n n a a n +=≥，在①式中令12121212n a a a a =⇒+=+⇒=，212a a =， ∴对任意*n ∈N ，均有12n na a +=，∴{}n a 为等比数列，11122n n n a --=⨯=， （2）由（1）得12n n b n -=⋅，所以()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，所以()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅，所以()12111212222221212nn nnn n nT n n n -⋅--=++++-⋅=-⋅=--⋅-，所以(1)21nn T n =-⋅+，令()()1212021122020nnn n -⋅+=⇒-⋅=，当1n =和2n =时，等式显然不成立；当3n ≥时，方程化为()212505n n --⋅=，左边为偶数，右边等于505为奇数，等式也不成立，故不存在正整数n ，使得2021n T =成立. 【点睛】关键点点睛：利用11n n n a S S ++=-求出通项公式，根据错位相减法求出n T 是解题关键. 24．（Ⅰ）13-=n n a ；（Ⅱ）11231n n T =-+. 【分析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由32a 是23a 与4a 的等差中项.求出q 后可得通项公式； （Ⅱ）求出n b ，用裂项相消法求和n T ． 【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件知32443a a a =+，即2311143a q a q a q =+，整理可得2430q q -+=，解得3q =（1q =舍去），所以11133n n n a a --=⋅=.（Ⅱ）()()()()1111223111131313131n n nn n n n n n a b a a ---+⋅===-++++++，所以01121111111313131313131n n nT -⎫⎫⎫⎛⎛⎛=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎝⎝⎭⎭⎭011113131231n n =-=-+++. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 25．（1）证明见解析，21n n a n +=+；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据已知，表示出1111111n n n n a a a a -----=-=，然后代入11111n n a a ----计算可得1，所以证明出数列1{}1n a -是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅，然后利用裂项相消法计算前n 项和n T ，再判断出数列的单调性，即可证明. 【详解】 （1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=，所以1111111111111111n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---， 所以数列1{}1n a -为首项为111a -，公差为1的等差数列. 又132a =，1121a =-，所以111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为21n n a n +=+，所以1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅. 所以121n n n T c c c c -=++⋅⋅⋅++1121111111112222322(1)2(1)2n n nn n n -=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅， 即11(1)2n nT n =-+⋅，显然1n T <，另一方面，111111121(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n nn T T n n n n n n ---+-=---=-=>+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅，故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=，因此，314n T ≤<. 【点睛】常见的数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． （4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.26．（Ⅰ）2nn a =；()112n n b n -=+⋅；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题设求出数列{}n a 的基本量，即可确定n a ；再由1n n n b S S -=-确定n b ； （2）用错位相减法整理不等式左侧即可证明. 【详解】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，由1232a a a +=，得22q q +=解得2q 或1q =-（舍）又242nn a a =⇒=由n n S na =，得12b =2n ≥时，()()11121212n n n n n n b S S n n n ---=-=⋅--⋅=+⋅则()112n n b n -=+⋅（2）()()11112212222n n n n n n n n b n a a +++++⎛⎫==+ ⎪⋅⎝⎭设31241223341n n n n b b b bT a a a a a a a a ++=++++则()2341111134522222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()341211111341222222n n n T n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得()2341211111131112222222n n n T n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()2111422n n T n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭得()112422n n T n +⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：当数列{}n c 满足n n n c a b =，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列时，数列{}n c 的前n 项求和可用错位相减法.。
2020_2021学年高中数学第一章数列质量评估1含解析北师大版必修5
第一章单元质量评估(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为( A ) A ．4 B.32 C.169D ．2解析：在等比数列{a n }中，a 3，a 6，a 9成等比数列，a 26＝a 3·a 9，∴a 3＝4. 2．下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( C ) A ．a n ＝1B ．a n ＝－1n＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－1n －1＋32解析：由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinn π2，可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…. 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝( B ) A ．n B ．2n C ．2n ＋1 D ．n ＋1解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，当n ＝1时也符合，故a n ＝2n .4．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( B ) A ．16 B ．11 C ．－11 D ．±11解析：根据等差和等比数列的性质知x ＋y ＝5，mn ＝6，所以x ＋y ＋mn ＝11，故选B. 5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( C ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42解析：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，∴2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)，整理得S 6＝3S 4－3S 2＝3×10－3×2＝24.6．已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20a 50a 80的值为( B )A ．32B ．64C ．256D ．±64解析：由韦达定理，得a 1·a 99＝16.而a 1·a 99＝a 20·a 80＝a 250＝16，且a n >0， ∴a 50＝4，a 20·a 80＝16.∴a 20·a 50·a 80＝4×16＝64. 7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N ＋)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( B )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值32解析：∵S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋log 245＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×45×…×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2<－5， ∴2n ＋2<132，∴n ＋2>64，∴n >62，∴n 的最小值为63. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( B ) A.13n －1B.2n n ＋1C.2n ＋1n ＋2 D.5－2n 3解析：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1，则S 1＋1×a 1＝2，由{S n ＋na n }为常数列，得S n ＋na n ＝2，S n －1＋(n －1)a n －1＝2(n ≥2)．两式相减，得当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，即a n a n －1＝n －1n ＋1，则a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 3a 2×a 2a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×…×24×13，即a n a 1＝2×1n ＋1n ，故a n ＝2n n ＋1(n ≥2)．又a 1＝1，满足上式，所以a n ＝2n n ＋1(n ∈N ＋)．9．在数列{a n }中，对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( D ) A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n－1 D.13(4n －1)解析：当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，①a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1，②①－②得a n ＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1.则a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．所以a 2n ＝(2n －1)2＝4n －1，即{a 2n }是以a 21＝1为首项，4为公比的等比数列．所以S n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．10．设等差数列{a n }的公差为2，前10项和为490，等差数列{b n }的公差为4，前10项和为240.以a k ，b k 为邻边的矩形内的最大圆的面积记为S k ，若k ≤18，则S k ＝( A )A ．π(2k ＋1)2B ．π(2k ＋3)2C ．π(k ＋1)2D ．π(k ＋18)2解析：由10a 1＋10×10－12×2＝490，得a 1＝40，∴a n ＝40＋2(n －1)＝2n ＋38.由10b 1＋10×10－12×4＝240，得b 1＝6，∴b n ＝6＋4(n －1)＝4n ＋2.∵a k －b k ＝(2k ＋38)－(4k ＋2)＝36－2k ，∴当k ≤18时，36－2k ≥0，即2k ＋38≥4k ＋2，∴以a k 和b k 为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k ＋1，则该最大圆的面积S k ＝π(2k ＋1)2.11．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( C )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项解析：162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 12．设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( D )A ．0B ．7C ．14D ．21解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋a 1－1＋(a 2－3)3＋a 2－1＋…＋(a 7－3)3＋a 7－1＝14，即(a 1－3)3＋a 1－3＋(a 2－3)3＋a 2－3＋…＋(a 7－3)3＋a 7－3＝0，根据等差数列的性质得(a 4－3－3d )3＋(a 4－3－2d )3＋…＋(a 4－3＋3d )3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3－3d )3＋(a 4－3＋3d )3＋(a 4－3－2d )3＋(a 4－3＋2d )3＋…＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，∴2(a 4－3)[(a 4－3)2＋27d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋12d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋3d 2]＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3)[7(a 4－3)2＋84d 2＋7]＝0，∴a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝10.解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.14．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 解析：由数列{a n }首项为1，公比q ＝－2，则a n ＝(－2)n －1，a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋2＋4＋8＝15.15．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 11＝2，则a 1＝12.解析：由a 11＝2及a n ＋1＝11－a n ，得a 10＝12.同理a 9＝－1，a 8＝2，a 7＝12，…所以数列{a n }是周期为3的数列．所以a 1＝a 10＝12.16．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝64.解析：依题意，有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，所以a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32.又a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n b 1＋b n2＝n 2－n2.18．(本小题12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)求S n 和a n .解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，①∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N ＋)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2.(2)由(1)知1S n ＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12nn －1，n ≥2.19．(本小题12分)已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝2. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)设b n ＝2×3na n a n ＋1，判断数列{b n }的前n 项和T n 与12的大小关系，并说明理由． 解：(1)证明：由题意，可得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．又a 1＋1＝3≠0，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，知a n ＋1＝3n，即a n ＝3n－1，所以b n ＝2×3na n a n ＋1＝2×3n3n －13n ＋1－1＝13n －1－13n ＋1－1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫13－1－132－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－133－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1<12.20．(本小题12分)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和． 解：(1)∵数列{a n }是等差数列，∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝14，a 2a 3＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 3＝5.∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9，∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1. ∴a n ＝1＋4(n －1)＝4n －3.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c .∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2×6c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－nn －12＝2n .显然{b n }成等差数列，符合题意，∴c ＝－12.(3)由(2)可得f (n )＝2n2n ＋25n ＋1＝nn 2＋26n ＋25＝1n ＋25n＋26≤12n ·25n＋26＝136，当且仅当n ＝25n，即n ＝5时等号成立， ∴f (n )的最大值为136.21．(本小题12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游业收入400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计以后每年的旅游业收入将比上一年增加14.(1)设n 年内(本年度为第1年)总投入a n 万元，旅游业总收入b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 解：(1)由题意知第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元， ……第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元，所以a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝800×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45n －1＝4000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n .又第1年旅游业收入400万元，第2年旅游业收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元， ……第n 年旅游业收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元，所以b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝400×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1＝1600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.(2)设经过n 年旅游业的总收入超过总投入，因此b n －a n >0，即1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1－4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n >0，化简得5×⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n >52或⎝ ⎛⎭⎪⎫54n<1(舍去)，因为n ∈N ＋，所以n ≥5，所以至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入． 22．(本小题12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N ＋)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；(2)数列{b n }满足b n ＝(3n－1)·n2n ·a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)nλ<T n＋n2n －1对一切n ∈N ＋恒成立，求λ的取值范围．解：(1)由a n ＋1＝a na n ＋3，得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝1＋3a n ，即1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝32， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，∴1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，即a n ＝23n －1.(2)b n ＝n2n －1，T n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，T n 2＝1×121＋2×122＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ，两式相减得T n 2＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n ×12n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1，∴(－1)nλ<4－22n －1.若n 为偶数，则λ<4－22n －1，∴λ<3；若n 为奇数，则－λ<4－22n －1，∴－λ<2，∴λ>－2.∴－2<λ<3.。
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【红对勾】2015版高中数学 第一章 数列单元质量评估（一）新人教版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，则下列说法正确的是( ) A ．0是该数列的一项 B ．4是该数列的一项 C ．6是该数列的一项D ．9不是该数列的一项解析：令a n ＝0,4,6,9，分别解出n ，若n ∈N *，则相应数为数列的一项． 答案：B2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k 等于( ) A ．22 B ．23 C ．24D ．25解析：由等差数列的通项公式得a k ＝(k －1)d ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)d ，∴k ＝22. 答案：A3．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：由等比数列的性质易得a 2·a 6＝a 24＝16. 答案：C4．在等差数列{a n }中，有3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10a 13)＝48，则这个数列的前13项之和为( )A ．24B ．39C ．52D ．104解析：由3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，利用等差数列的性质化简，得6(a 4＋a 10)＝48，∴a 1＋a 13＝a 4＋a 10＝8，∴S 13＝13a 1＋a 132＝52.答案：C5．等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100等于( )A.b 9a 8 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 8 C.b 10a9 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a10解析：∵{a n }为等比数列，且a 9＋a 10≠0，∴a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋a 100可构成新的等比数列，且公比为b a ，a 99＋a 100是新数列的第10项，故a 99＋a 100＝(a 10＋a 9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 9＝b 9a8.答案：A6．一个等比数列的前4项之和为前2项之和的2倍，则这个数列的公比是( ) A.12或－12 B ．1 C ．1或－1D ．2或－2解析：设这个等比数列首项为a 1，公比为q ，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝2(a 1＋a 1q )， ∴q 2＋q 3＝1＋q ，即(1＋q )·(1－q 2)＝0，∴q ＝±1，故选C. 答案：C7．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝15， ∴a 6＝3.故选A. 答案：A8．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n .若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：由于数列{S n ＋2}是等比数列，则(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，化简得q 2－3q ＝0，又q ≠0，故q ＝3.答案：C9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．20B ．17C ．19D ．21解析：由a 9＋3a 11<0得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，又S n 有最大值，所以数列{a n }是递减数列，于是a 10>0，a 11<0，且S 19＝19a 10>0，S 20＝10(a 10＋a 11)<0，所以n ＝19.答案：C10．(2012·四川卷)设函数f (x )＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．0B ．7C ．14D ．21解析：f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝(a 1－3)3＋a 1－1＋(a 2－3)3＋a 2－1＋…＋(a 7－3)3＋a 7－1＝14，即(a 1－3)3＋a 1－3＋(a 2－3)3＋a 2－3＋…＋(a 7－3)3＋a 7－3＝0，根据等差数列的性质得(a 4－3－3d )3＋(a 4－3－2d )3＋…＋(a 4－3＋3d )3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3－3d )3＋(a 4－3＋3d )3＋(a 4－3－2d )3＋(a 4－3＋2d )3＋…＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，∴2(a 4－3)[(a 4－3)2＋27d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋12d 2]＋2(a 4－3)[(a 4－3)2＋3d 2]＋(a 4－3)3＋7(a 4－3)＝0，即(a 4－3)[7(a 4－3)2＋84d 2＋7]＝0，∴a 4－3＝0，即a 4＝3，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝21，故选D. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上) 11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝36a 1＋15d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1d ＝2，所以a 9＝15.答案：1512．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________. 解析：∵S 12＝21， ∴a 1＋a 122×12＝21，∴a 1＋a 12＝72.又∵a 2＋a 11＝a 5＋a 8＝a 1＋a 12＝72，∴a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝7，故填7. 答案：713．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－…＋(－1)n ＋1·n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.解析：当n 为偶数时，S n ＝－n 2；当n 为奇数时，S n ＝n ＋12.∴S 17＋S 33＋S 50＝17＋12＋33＋12－502＝1.答案：114．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝1－a n (n ∈N ＋)，设S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2006－2S 2007＋S 2008＝________.解析：由a n ＋2＝1－a n ＋1＝1－(1－a n )＝a n ，可得数列{a n }的周期为2，且a 1＝2，a 2＝－1，a 3＝2，a 4＝－1，…，∴S 2 006＝1 003×(2－1)＝1 003，S 2 007＝2＋1 003×(2－1)＝1 005，S 2 008＝1 004×(2－1)＝1 004，∴S 2 006－2S 2 007＋S 2 008＝1 003－2 010＋1 004＝－3. 答案：－315．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }中的各项排成如图所示的三角形形状，记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10,12)表示的数字为________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…解析：由图形观察得第一行有1项，第二行有3项，第三行有5项，……，每一行的项数成等差数列{b n }，则前9行的项数之和S 9＝(1＋3＋5＋…＋17)＝9×1＋172＝81，即第10行的第1项为a 82，则第12项为a 93＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1393.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1393三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n . (1)求a 1及a n ；(2)判断这个数列是否是等差数列．解：(1)当n ＝1时，由S n ＝2n 2－30n ，得a 1＝S 1＝2－30＝－28；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 ①. 因为a 1＝－28也满足①式，所以a n ＝4n －32.(2)由(1)知当n ≥2时，a n －a n －1＝4n －32－[4(n －1)－32]＝4，是一个与n 无关的常数，依据等差数列的概念可知数列{a n }是等差数列．17．(本小题12分)已知等差数列{a n }的第2项为8，前10项和为185，从数列{a n }中取出第2项，第4项，第8项……，第2n 项，……，依原来的顺序排成一个新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式和前n 项和公式．解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 2＝8，得a 1＋d ＝8. 由S 10＝185，得2a 1＋9d 2×10＝185.解得a 1＝5，d ＝3.∴a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，∴b n ＝3×2n＋2， 其前n 项和S n ＝3(2＋22＋…＋2n )＋2n ＝3×2n ＋1＋2n －6.18．(本小题12分)已知{a n }是首项为a 1，公比为q (q ≠1)的正项等比数列，前n 项和为S n ，且5S 2＝4S 4，设b n ＝q －S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若能，求出a 1的值；否则，请说明理由．解：(1)由已知得，5×a 11－q (1－q 2)＝4×a 11－q (1－q 4)，又a 1>0，q >0且q ≠1，解得q ＝12. (2)由(1)得S n ＝a 1[1－12n]1－12＝2a 1－a 1·(12)n －1，b n ＝q －S n ＝12－2a 1＋a 1·(12)n －1.若{b n }是等比数列，则12－2a 1＝0，即a 1＝14，此时，b n ＝(12)n ＋1是等比数列，所以存在实数a 1＝14，使数列{b n }是等比数列．19．(本小题12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 3＋a 7＝18，且a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)． (1)求{a n }的通项公式； (2)若c n ＝2n －1·a n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，设公差为d .由2a 5＝a 3＋a 7＝18，得a 5＝9，又a 1＝1，故d ＝2，所以a n ＝2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)c n ＝(2n －1)·2n －1，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，2T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)×2n＝－(2n －3)·2n －3，所以T n ＝(2n －3)·2n＋3.20．(本小题13分)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型公交车和混合动力型公交车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后每年电力型公交车的投入比上一年增加50%，混合动力型公交车比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值．解：(1)设今年为第1年，a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合型公交车的数量，则数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列；数列{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝256[(32)n－1]；设数列{b n }的前n项和为T n ，则T n ＝400n ＋12n (n －1)a .经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋12n (n －1)a .(2)若用7年时间完成全部更换，则S (7)≥10 000，即256[(32)7－1]＋400×7＋21a ≥10000，解得a ≥3 08221，又a ∈N *，所以a 的最小值为147.21．(本小题14分)已知数列{a n }，设S n 是数列的前n 项和，并且满足a 1＝1，对任意正整数n ，有S n ＋1＝4a n ＋2.(1)令b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2,3，…)，证明{b n }是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)求c n ＝b n3，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1的前n 项和T n . 解：(1)a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(4a n ＋2)－(4a n －1＋2) ＝4(a n －a n －1)(n ∈N ＋，n ≥2)．① 由题意知b n ＝a n ＋1－2a n ， ∴b n ＋1＝a n ＋2－2a n ＋1.∴b n ＋1＝4(a n ＋1－a n )－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n )， ∴b n ＋1b n ＝2a n ＋1－2a na n ＋1－2a n＝2(n ∈N ＋)， ∴{b n }是等比数列，公比q ＝2. 又∵S 2＝4a 1＋2，∴a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴1＋a 2＝4＋2，∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝5－2＝3， ∴b n ＝b 1·qn －1＝3·2n －1.(2)∵c n ＝b n3＝2n －1，∴1log 2c n ＋2·log 2c n ＋1＝1n ＋1n ＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。