《向量的加法运算及其几何意义》(省优质课比赛课件)
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高一数学必修4221向量加法运算及其几何意义市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
成才之路·数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面向量
第二章
2．2 平面向量的线性运算
第二章
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
课前自主预习
温故知新 1．向量的有关概念： (1)所谓向量是___既__有__大__小__又__有__方__向_____的量，其三要素 是___始_点__，__大__小__，__方__向____． (2)相等向量应满足__大__小__相__等__，__方__向__相__同____，所谓共线 向量是指__方__向__相__同__或__相__反_____的向量．
[答案] ①⑤
4．设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量 中，
(1)找出与F→E共线的向量； (2)找出与F→E相等的向量； (3)向量O→A与B→C相等吗？
[解析]
(1)O→A，B→C
→ (2)BC
(3)不相等，方向不同．
新课引入 飞机从北京到上海，再从上海到香港，两次位移的结果与 飞机直接从北京到香港的位移显然是相同的，物理中把后一次 位移称为前两次位移的和，类似地，我们可以获得向量的加法 运算，类比实数的减法运算，还可以得到向量的减法运算．
化简P→B＋O→P＋B→O＝________. [答案] 0 [解析] P→B＋O→P＋B→O＝(O→P＋P→B)＋B→O＝O→B＋B→O＝0.
课堂典例讲练
命题方向 1 向量的三角形法则 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量 a 与 b 的和．
[分析] 依据向量加法的三角形法则，在平面上任取一点 O，以O为起点作出一个向量等于a，再以终点为起点作下一 个向量等于b，可得出a＋b.
若a、b反向，则||O→A|－|A→B||＝|O→B|，即 ||a|－|b||＝|a＋b|，如图(3) 综上知，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面向量
第二章
2．2 平面向量的线性运算
第二章
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
课前自主预习
温故知新 1．向量的有关概念： (1)所谓向量是___既__有__大__小__又__有__方__向_____的量，其三要素 是___始_点__，__大__小__，__方__向____． (2)相等向量应满足__大__小__相__等__，__方__向__相__同____，所谓共线 向量是指__方__向__相__同__或__相__反_____的向量．
[答案] ①⑤
4．设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量 中，
(1)找出与F→E共线的向量； (2)找出与F→E相等的向量； (3)向量O→A与B→C相等吗？
[解析]
(1)O→A，B→C
→ (2)BC
(3)不相等，方向不同．
新课引入 飞机从北京到上海，再从上海到香港，两次位移的结果与 飞机直接从北京到香港的位移显然是相同的，物理中把后一次 位移称为前两次位移的和，类似地，我们可以获得向量的加法 运算，类比实数的减法运算，还可以得到向量的减法运算．
化简P→B＋O→P＋B→O＝________. [答案] 0 [解析] P→B＋O→P＋B→O＝(O→P＋P→B)＋B→O＝O→B＋B→O＝0.
课堂典例讲练
命题方向 1 向量的三角形法则 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量 a 与 b 的和．
[分析] 依据向量加法的三角形法则，在平面上任取一点 O，以O为起点作出一个向量等于a，再以终点为起点作下一 个向量等于b，可得出a＋b.
若a、b反向，则||O→A|－|A→B||＝|O→B|，即 ||a|－|b||＝|a＋b|，如图(3) 综上知，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
人教版高中数学第二章 向量加法运算及其几何意义 (共19张PPT)教育课件
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候Leabharlann 在这样做
时 现 镜 有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
以 的
■ 电 你 是 否 有 这 样 经 历 ， 当 你 在 做 某 一 项 工 作 和 学 习 的 时 候 ， 脑 子 里 经 常 会 蹦 出 各 种 不 同 的 需 求 。 比 如 你 想 安 心 下 来 看 2 小 时 的 书 ， 大 脑 会 蹦 出 口 渴 想 喝 水 ， 然 后 喝 水 的 时 候 自 然 的 打 开 电 视 。 。 。 。 。 。 ， 一 个 小 时 过 去 了 ， 可 能 书 还 没 看 2页 。 很 多 时 候 甚 至 你 自 己 都 没 有 意 思 到 ， 你 的 大 脑 不 停 地 超 控 你 的 注 意 力 ， 你 就 这 么 轻 易 的 被 你 的 大 脑 所 左 右 。 你 已 经 不 知 不 觉 地 变 成 了 大 脑 的 奴 隶 。 尽 管 你 在 用 它 思 考 ， 但 是 你 要 明 白 你 不 应 该 隶 属 于 你 的 大 脑 ， 而 应 该 是 你 拥 有 你 的 大 脑 ， 并 且 应 该 是 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 才 对 。 一 切 从 你 意 识 到 你 可 以 控 制 你 的 大 脑 的 时 候 ， 会 改 变 你 的 很 多 东 西 。 比 如 控 制 你 的 情 绪 ， 无 论 身 处 何 种 境 地 ， 都 要 明 白 自 己 所
向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
自学导引 和 的运算，叫做向量的加法． 1．求两个向量____ → 2．已知两个非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB＝a， → → → 和 ，记作 a＋b. BC＝b，再作向量AC，则向量AC叫做 a 与 b 的____ 这种求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的________ 三角形 法则．对 a 于零向量与任一向量 a，我们规定 a＋0＝0＋a＝____.
→ 3．已知两个非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB＝a， → AD＝b，若 A，B，D 三点不共线，以 AB，AD 为邻边作平行四边 → 形 ABCD，则向量AC＝a＋b，这种求两个向量和的作图法则，叫 做向量求和的平行四边形 __________法则． 4．当 a，b 不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|，一般地，有|a＋b|≤|a| ＋|b|. 5．向量加法满足： ①交换律，即 a＋b＝________. b＋a (b＋c) ②结合律，即(a＋b)＋c＝a＋________.
→ → → → → → A.AB＋AC＝BC B.AD＋OD＝DA → → → → → → → → C.AO＋OD＝AC＋CD D.AB＋BC＋CD＝DA 思路点拨：用三角法则或平行四边形法则进行计算．
【答案】C
→ → 1.如图所示， O 为正六边形的中心， 化简下列各式： ①OA＋OC； → → → → → ②BC＋FE；③OA＋ED＋FE.
解： 根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则及正六边形的 边角关系可得： → → → ①OA＋OC＝OB； → → → → → ②BC＋FE＝AO＋OD＝AD； → → → → → → → → → ③OA＋ED＋FE＝OA＋AB＋BC＝OB＋BC＝OC.
知识点 2 交换律与结合律 【例 2】 化简下列各式： → → → → → (1)AB＋DF＋CD＋BC＋FA； → → → → (2)OP＋RS＋QR＋PQ. 思路点拨： 运用交换律和结合律把各式化成“首尾相连”的形式．
→ 3．已知两个非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作AB＝a， → AD＝b，若 A，B，D 三点不共线，以 AB，AD 为邻边作平行四边 → 形 ABCD，则向量AC＝a＋b，这种求两个向量和的作图法则，叫 做向量求和的平行四边形 __________法则． 4．当 a，b 不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|，一般地，有|a＋b|≤|a| ＋|b|. 5．向量加法满足： ①交换律，即 a＋b＝________. b＋a (b＋c) ②结合律，即(a＋b)＋c＝a＋________.
→ → → → → → A.AB＋AC＝BC B.AD＋OD＝DA → → → → → → → → C.AO＋OD＝AC＋CD D.AB＋BC＋CD＝DA 思路点拨：用三角法则或平行四边形法则进行计算．
【答案】C
→ → 1.如图所示， O 为正六边形的中心， 化简下列各式： ①OA＋OC； → → → → → ②BC＋FE；③OA＋ED＋FE.
解： 根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则及正六边形的 边角关系可得： → → → ①OA＋OC＝OB； → → → → → ②BC＋FE＝AO＋OD＝AD； → → → → → → → → → ③OA＋ED＋FE＝OA＋AB＋BC＝OB＋BC＝OC.
知识点 2 交换律与结合律 【例 2】 化简下列各式： → → → → → (1)AB＋DF＋CD＋BC＋FA； → → → → (2)OP＋RS＋QR＋PQ. 思路点拨： 运用交换律和结合律把各式化成“首尾相连”的形式．
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b
AB
BC
AC
当向量ar , br同向时，ar
br的方向与ar ,
r b同向.
当ar ,br反向时，ar br的方向与ar、br中模大的向量同向.
思的考大小4：关观系察如下何列？各a图 ，b与aab与b
a
b
的大小
关系如何？
b a a+ b
rr ab ≤
r a
a
b
a
b
2.如图，已知a、b,
用向量加法的平行四边形法则作出a
b.
（1）
b
a
本题能用三角形法则
求向量和吗？
（2）
b
a
C
D
b
a
b
A
a
B
Aa
D
b
ab
B
C
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1规：定零：向a量与任0一向0量aa可以a相.加吗？
2.用有向线段表示向量，向量的大 小和方向是如何反映的？什么叫零 向量和单位向量？
向量的加法运算及其几何意义
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按
原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向
量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
CA
B
思考3：
如图，运送淡水的船只，先从A岛到B岛，再从B岛到 C岛，这两次的位移之和可以用哪一个向量表示？由 此可得什么结论？
C
A
AB BC AC
B
思考4：
上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的 和还是一个向量.
一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的 加法.上述求两个向量和的方法，称为向量加 法的三角形法则.
a
b
A
a b c OA AB BC OB BC OC,
所a以b , (caObA)AcB BaC(ObAcA（)C 结 O合C, 律）.
巩固练习
１.化简
(1)AB CD BC ___A__D___.
任意给出两个向量a与b,
如何求a
b.
a
b
向 三 角 形 法 则:
量 加
B
法
b
的
C
法
则Oห้องสมุดไป่ตู้
a
平行四边形法则: C
B
b
O
b
A
a
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之们有联系吗?
平行四边形法则
通过利用平行四边形法则作向量的和，你能总 结出作图的特点吗？
同起点的对角线.
力的合成可以看作向量加法平行四边形法 则的物理模型.
思考2：若向量
a与
b
为相反向量，a
b
等于什么？反之成立吗？
a与 b为相反向量
a
b
0.
思的量考方a向3：b如若的何向方？量向若如a向与何量b？r a同与向，br 反则向向，量则a向 b
r a
r a
r
r
b
b
A
B
C
a
b
AB
BC
AC
C
A
B
a
同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点.
分析:由物理知识知,F为F1与F2的合力
E
O
F1+F2=F.
F以为F1与F2为邻边所形成平行四边形
的对角 线
E
O
F
这也是向量的加法吗？
任意给出两个向量a与b,
如何求a
b.
a
b
向
量
三角形法则:
加
B
法
平行四边形法则: C
的
b
B
法
C
A
则
O
a
O
作 作 邻法边法：做：在在平平O面面A内内C任B任取,取 连一一接点点OOO,C作,,作O则OACOuuaCu,raO,BCOBuubAur.以b.O则OuAuO、BurBOBaa为r bb.r.
如图，对于下列两个向量，如何用三角形法则求其 和向量？
b
a
任意给出两个向量a与b,
如何求a
b.
向
a
b
量 加
三 角 形 法 则:
法
B
的
法 则
C
O
作法：在平面内任取一点O, 作OC
a,
CB
b.则OB
a
b.
三角形法则
观察向量 a 、b、a b 的连接方式，你能总结三 角形法则的作图特点吗？
归纳小结
加法
连接
指向
三角形法则 起终相连 平行四边形法则 起点重合
起→终
同起点的 对角线
巩固练习 教材P84练习
1.如图，已知a、b，用向量加法的三角形法则
作出a
b.
(1) ab
b
(3)
a b
a
(2)
b
a
a
a
b
b
a
b
(4)
本题能用平行四边 形法则求向量和 吗？
r a
r
r
b
b
r a
r b
r a
ar b
b (当且仅当
a
b
a与
b 同向时取等号)
rr ab
≥
rr
a b (当且仅当 a与 b 反向时取等号)
思考5：实数的加法运算满足交换律，即
对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么
向量的加法也满足交换律吗？如何检验？
a
B
b
起点、终点顺次相连
起→终
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
思考5：
例如:橡皮条在两个力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也是从E点伸长到了O点. 分析:由物理知识知F为F1与F2的合力 F1+F2=F.
E
O
E
O
F
思考5: 例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.
There is no elevator to success
——only stairs. 成功没有电梯， 只有一步一个脚印的楼梯.
引例
• 1+1在什么情况下不等于2？
• 例如右图，两个小孩分别用1牛 顿的力提起水桶，则水桶的重 力是2牛顿吗？
问题提出
1.向量、平行向量、相等向量的含 义分别是什么？
a
b
C
b
O
a A
a
b
OA
AC
OC .
b
所以,
aab
ObBaB（C交 换OC律. ）.
思考6：实数的加法运算满足结合律，即对
任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋c=a＋（b
＋据c图）形.那验么证向a量 b的加c 法a也 满b足acO结.b合ac律b吗bCc？ c根B
(2) MA BN AC CB ___M__N___.
(3)AB BD CA DC _____0___.
２.根据图示填空
Ee D
gf
d
c