线性代数 2-7 第2章7讲-矩阵的逆(2)

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求矩阵的逆矩阵的方法

求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆是一个在线性代数中非常重要的概念。

逆矩阵是一个方阵(A)的伴随矩阵(ad(A))除以该方阵的行列式(det(A))的结果，即逆矩阵(A-1) = ad(A) / det(A)。

要找到一个矩阵的逆矩阵，首先需要确保矩阵是可逆的。

矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等于零，即det(A) ≠0。

只有当行列式不等于零时，才能找到逆矩阵。

如果行列式等于零，该矩阵就被称为奇异矩阵，它没有逆矩阵。

接下来，我将详细介绍两种常见的方法来计算矩阵的逆。

方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接计算矩阵的逆矩阵的方法。

首先，我们计算出原始矩阵的伴随矩阵，然后再除以矩阵的行列式即可得到逆矩阵。

步骤如下：1. 计算原始矩阵的伴随矩阵(ad(A))。

伴随矩阵的每个元素(ad(A)ij)等于原始矩阵(A)的代数余子式(Aij)的代数余子式(Aij)。

其中，代数余子式(Aij)是矩阵中去掉第i行和第j列的部分矩阵的行列式(det(Aij))乘以(-1)^(i+j)。

2. 计算原始矩阵的行列式(det(A))。

3. 计算逆矩阵(A-1)。

逆矩阵的每个元素(A-1)ij等于伴随矩阵(ad(A))的每个元素(ad(A)ij)除以原始矩阵的行列式(det(A))。

伴随矩阵法的优点是直接，可以一步得到逆矩阵。

然而，该方法在求解大型矩阵时计算量较大。

方法二：初等行变换法初等行变换法是通过一系列的初等行变换来得到一个单位矩阵，然后通过对单位矩阵进行相同的初等行变换得到逆矩阵。

步骤如下：1. 将原始矩阵(A)写在左侧，单位矩阵(I)写在右侧，构成一个增广矩阵[A I]。

2. 通过一系列的行变换，将左侧矩阵变成单位矩阵。

在每一步行变换时，同样地对右侧的单位矩阵做相同的变换。

3. 当左侧的矩阵完全变成单位矩阵时，右侧的矩阵就是原始矩阵的逆矩阵。

初等行变换法的优点是对于大型矩阵来说，计算量较小。

然而，该方法需要一定的手工计算和整数运算，可能会产生较大的误差。

线性代数教学课件第二章矩阵第三节逆矩阵

| (3A)1 2 A | 的值. (其中 A 为 A 的伴随矩阵）
解 A | A | A1 1 A1 ,
2
| (3A)1 2A | | 1 A1 A1 | | 2 A1 |
3
3
(
2 )3 3
|
A1
|
8 | 27
A |1
8 2 27
16 27
.
18
(5) 设 A, B,C 为同阶方阵, AB AC .若 A 可逆,则B C .
对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.
(6) 若A可逆,则有 | A1 | | A |1 . 证 AA1 E , | A | | A1 | 1 , 因此 | A1 | | A |1 .
17
例9 设 A 为 3 阶方阵，且| A | 1 , 求行列式 2
14
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
15
三、逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A . (2) 若A可逆,数k 0,则kA可逆,且 (kA)1 1 A1.
可逆时,
求 A1
解 A 可逆的充分必要条件是 A ad bc 0
又
A*
A11 A12
A21 A22
d c
ab
所以当 A ad bc 0 时,
对角元互换位置, 非对角元变号
A1
1 A
A*
ad

矩阵求逆原理

矩阵求逆原理
矩阵求逆的原理是通过变换矩阵的行列式和逆矩阵的乘积等于单位矩阵的性质。

在数学中，如果一个矩阵A的逆矩阵存在，则称该矩阵为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。

首先，对于一个N阶方阵A，如果其行列式det(A) 不等于0，则矩阵A是可逆的。

行列式 det(A) 是矩阵A的各阶次顺序的
排列组合的乘积。

求矩阵A的逆矩阵可以通过以下的步骤进行计算：
1. 计算矩阵A的伴随矩阵(adjugate matrix)。

伴随矩阵是指将
矩阵A的每个元素与其对应的代数余子式相乘，然后将每个
元素的符号按照“+ - + - ...”的规律确定。

2. 计算矩阵A的行列式 det(A)。

行列式 det(A) 的值可以通过
矩阵A的行列式展开式计算得到。

3. 计算矩阵A的逆矩阵。

矩阵A的逆矩阵可以通过以下公式
得到：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)，其中adj(A)表示矩阵A的
伴随矩阵。

需要注意的是，只有方阵才能有逆矩阵，即行数和列数相等的矩阵。

同时，不是所有矩阵都有逆矩阵，有些矩阵是不可逆的，即行列式为0的矩阵。

求矩阵的逆矩阵在线性代数和计算数学中具有重要的应用，例
如在解线性方程组、计算矩阵的特征值和特征向量等方面起到关键的作用。

线性代数课件第2章矩阵

于乘法中的数1．课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB；（2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则

线性代数第2章矩阵

1 0
0 1
+ 00
2n
0
=
1 0
2n
1
.
2.2.12 转置矩阵
将 m n 矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1 a m2
a1n
a2n
amn
的行、列互换得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A T，即
a11 a21 AT a12 a22
am1
am
2
a1n a 2n
amn
其中 AT的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的
det
A
21
22
2n
a a a
n1
n2
nn
为方阵A的行列式，记为det A。
方阵行列式定理
定理1 设A、B是任意两个n阶方阵，则
det (AB) = det A det B。
这个定理告诉我们： 1. 两个同阶方阵相乘的行列式等于这两个方阵的行列式相乘； 2. 两个同阶行列式相乘也可以先求相应的乘积矩阵，然后求这个乘积矩阵的行列式。一般地： (1) det (A+B)≠det A + det B (2) det( kA)≠k det A，若A为n阶方阵，则有 det( kA) = k n det A。
例如设
A
=
1 1
1 1 ,
B
=
1 1
1
1
,
则
1 1 1 1 0 0
AB = 1
1 1
1
=
0
0 .
称矩阵A是B的左零因子，矩阵B是A的右零因子。
2.2.11 矩阵A的m次幂
设A为n阶方阵，m为正整数，则

线性代数第2章矩阵PPT课件

线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行数和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数和列数的数量。
矩阵的元素通常用方括号括起来，并用逗号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式的方法，它通过递推关系式将n阶行列式转化为低阶行列式进行计算。这种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量组的一个极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩等于列秩。矩阵的秩等于其任何子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。

《线性代数》课件-第二章矩阵及其运算

a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结合 (ab)c a(bc) 律分 (a b) c ac bc 配律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表
第二章矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:

线性代数-逆矩阵

=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1

线性代数-逆矩阵

10 2
可逆,由(2.3.3)式,
X (2E A)1 B (2E A) * B | 2E A |
1 3
0 3 0
2 2 1
11 2 2 1 1 3 0 3 3 1 0 3 1 1
2.3.2 正交矩阵前面所讨论的矩阵都是在任意给定的
一个数域P上进行的,本段将介绍一种在实
其中
A
2
1
0 ,
X y ,
b 1.
，
1 1 0
z
1
由于
111
| A | 2 1 0 1 0,
110
从而A可逆,应用（2.3.5）式,有
x 1 1 1 1 2
y 2 1 0 1
z
1
1
0
1
0 1 1 2 2
0 1 2 1 3 ,
§2.3 逆矩阵 2.3.1 逆矩阵上一节我们定义了矩阵的加法、减法
和乘法,那么对于矩阵是否也能定义除法呢?回答是否定的.但是我们可以换个角度去考虑这个问题.
在代数运算中,如果数a≠0,其倒数a-1 可由等式
a a 1 a 1 a 1
来刻画.在矩阵的乘法运算中,对于任意n阶方阵A,都有
例2.3.2 设方阵A满足A2+3A-2E=O,证明 A+E可逆，并求(A+E)-1.
证由A2+3A-2E=O,有
(A E)(A 2E) 4E O,
即 (A E)(A 2E) 4E,
于是
1
(A E)( (A 2E)) E.
，
4
，根据定理2.3.2的推论,矩阵A+E可逆,且
( A E)1 1 ( A 2E) 4
例2.3.1 求方阵

矩阵的逆与行列式

矩阵的逆与行列式在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。

矩阵的逆和行列式是矩阵运算中的两个基本概念，对于求解线性方程组和计算矩阵的特征值等问题都具有重要意义。

本文将详细介绍矩阵的逆和行列式的定义、性质以及计算方法。

一、矩阵的逆矩阵的逆是指存在一个矩阵B，与给定的矩阵A相乘等于单位矩阵。

即有AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。

只有方阵才有逆矩阵存在。

1. 逆矩阵的存在性若一个n阶矩阵A的行列式不等于零（|A|≠0），则矩阵A是可逆的，存在逆矩阵。

逆矩阵由A的伴随矩阵除以A的行列式得到。

即A的逆矩阵为A^-1 = adj(A)/|A|。

2. 逆矩阵的性质（1）逆矩阵的逆矩阵是它本身，即(A^-1)^-1=A。

（2）逆矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵的转置，即(A^-1)^T=(A^T)^-1。

（3）两个可逆矩阵的乘积的逆矩阵等于它们的逆矩阵的乘积，即(AB)^-1=B^-1*A^-1。

3. 逆矩阵的计算方法（1）对于2阶矩阵A = [a b; c d]，若AD-BC≠0，则A的逆矩阵为1/AD-BC * [d -b; -c a]。

（2）对于高阶矩阵A，计算逆矩阵的一种常用方法是利用初等变换将矩阵A化为一个单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，此时矩阵A就变为了单位矩阵，对应的单位矩阵就是矩阵A的逆矩阵。

二、行列式行列式是矩阵的一个标量值，用于刻画矩阵的性质和计算相关问题。

行列式的取值与矩阵的结构和元素有关。

1. 行列式的定义对于n阶矩阵A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，行列式用|A|表示。

当n=1时，|A|=a_11；当n>1时，行列式的定义如下：|A| = a_11*A_11 + a_12*A_12 + ... + a_1n*A_1n，其中A_ij=(-1)^(i+j)*M_ij，M_ij表示A中除去第i行第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。

线性代数第二章

课题：矩阵教学目的：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵运算；理解矩阵的初等变换及作用；理解矩阵的秩和逆的概念，熟练掌握矩阵的秩和逆的求解教学重点：矩阵运算、秩和逆的求解教学难点：矩阵的乘法、秩和逆的概念教学时数：10教学设计：§1、§2 矩阵的概念与运算一、矩阵的概念1 矩阵的定义①定义6P def1②矩阵的行、列③行标、列标④元素(元)⑤主对角线、主对角元2 特殊矩阵①矩阵的行、列数目特殊行矩阵(只有一行的矩阵) def列矩阵(只有一列的矩阵) defn阶方阵(行数等于列数) def 注：1阶方阵②矩阵的元素特殊零矩阵 def负矩阵 def单位阵 def3 矩阵的同型 def4 矩阵的相等 def二、矩阵的运算1 矩阵的加、减法①定义9P②性质a)满足交换律与结合律b)A+(-A)=O A+O=Ac)A+(-B)=A-B (减法也可用此式定义)注：可加(减)的条件是两矩阵同型，结果也同型2 矩阵的数乘 ① 定义 10P ② 性质a) ()()A A αβαβ= b) ()A B A B ααα+=+ c) ()A A A αβαβ+=+3 矩阵的乘法 ① 定义 12P注意：可乘条件：左矩阵的列数等于右矩阵的行数相乘结果：为左矩阵的行数右矩阵的列数 ② 乘法举例例1 设21123,13010A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求AB 解：2112322613010153AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦例2 2115003,20141A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦求AB 解 21410115003603201416201AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦③ 性质a) 结合律 ()()A BC AB C = b) 左、右分配律 ()A B CAC BC +=+()A B C AB AC +=+c) 不满足交换律主要有以下三方面的原因1) 若AB 有意义，BA 未必有意义如 2223A B ⨯⨯有意义而2322B A ⨯⨯则没有意义 2) 即使AB 、BA 都有意义，也不一定同型如322333A B C ⨯⨯⨯=， 233222B A C ⨯⨯⨯=3) 即使AB 、BA 都有意义且同型，也不一定相等如24241236A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 16320081600AB BA --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦d) 乘法消去律不满足即当AB AC =一般说来没有B C = 如000110010000A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦虽有0000AB AC ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，但B C ≠ 以如512100603011A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦虽有1100ACBC ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，但A B ≠ ④ 方阵的幂对于方阵A 与自然数k ，称k nA A A A =⋅⋅⋅为方阵A 的k 次幂，具有性质： a) 1212k k k k A A A +=, b) 1212()k k k k A A =例3已知1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA ⑤矩阵的行列式 AB A B=⋅4 矩阵的转置 ① 定义 16P② 性质1) ()T TAA =2) ()T T T A B A B +=+3) ()()T T A A λλ= 4) ()TT T AB B A =作业：P100 2，4,5(2)(3)(6)，10，14((1)(5)，17(1)，18§3、§4 特殊矩阵与分块矩阵一、特殊矩阵 1 对角矩阵如果n 阶方阵()ij A a =中的元素满足：0(,1,2,)ij a i j i j n =≠= ，则称A 为对角矩阵。

线性代数逆矩阵重点精讲

A
a21 a n1
a22 an2
a2n
ann
a11 a1 j1 a1 j a1 j1 a1n
ai11 ai1 j1 ai1 j ai1 j1 ai1n A ai1 aij1 aij aij1 ain
n-1阶 ai11 a a i1 j1 i1 j ai1 j1 ai1n 行列式
0
0
0 a 22 0
0 0
1 a11 0
a nn
0
0
1 a 22
0
0
0 1 a nn
1
0
0
0 1 0
0
0
1
=E
且
1
a11 0
0
0
1 a 22
0
0 a 11
0
1
a nn
0 0
所以，A可逆，且
0 a 22 0
0 0 a nn
A1 A A1AE AA1 E 10
又因为 AA1 AA1
A 0
充分性：已知 A 0 ，由关系式AA*A*A A E
A(1 A*)(1 A*)AE
A
A
即A可逆，且
A 1
1 A
A*
例：判断矩阵 Ascinos csions 是否可逆，若可逆，求其逆。
解
因为
A
sin cos
csions si2n co2s=1≠0
A
且
A*A
A12 A1n
A22 A2n
An2 a 21
Ann
a n1
a 22 an2
a2n
a nn
0
0
0 A 0
0
0
AE

《线性代数》第二章矩阵(2)

2 1 0 0 ③+②(-2) 1 2 0 3 6 2 1 0 0 6 3 2 0 1 2 1 0 0 1 2 0 3 6 2 1 0 0 0 9 2 2 1
第三步，再用初等行变换将上面矩阵的前面部分B变成单位矩阵： I D
－ 1
1若A可逆，则 A 也可逆，且 A 2若A, B都可逆，则 AB也可逆，且 1 1 1 AB B A .
1 1
A.
ABC C B A 同理：
1 1 1
1
3若A可逆，则 AT 也可逆，且
A A .
T 1 1 T
转置和逆可交换。
2 2 1 即A的逆矩阵为： 9 9 9 2 9 19 2 9 2 2 1 9 9 9
2 1 2 1 1 记为： A 2 1 2 9 2 2 1
注意：阶梯形矩阵化为单位矩阵的方法
1、首先从最后一行的首非0元开始，将首非0元化为1；然后将其所在的列的其余元素化为0。 2、再把倒数第二行的首非0元化为1，将其所在的列的其余元素化为0。
经济数学基础
《线性代数》
第二章
矩阵(2)
本章重点：
•矩阵的运算、矩阵的初等行变换、矩阵的秩和逆矩阵
本章难点：
•求逆矩阵
五、逆矩阵
为了讨论矩阵的除法，数学家引进了逆矩阵的概念。先看看实数中的“倒数” 1 1 【例如】2的倒数是 ;同样地，的倒数是 2。 2 2
1 1 2 2 2 1 2 2 2
4 1 1 ③+①(－2) 0 1 2 ③+②×3 0 3 8
（二）求逆矩阵。

(优选)线性代数第二章矩阵及其运算

A) A=E
B)A=-3E
C) A-E可逆 D) A+3E不可逆
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得：
A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E，根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
四、可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai , (i = 1, 2, …, m), 为 n 阶可逆方阵， k 为非零常数，则
（6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数.
证明我们证只明证（我３们）只和证（（４３））和（４）
（３） (AB（)(３B-）1A-(1A) B=)A(B(B-1BA-1)A=-1A=(ABEBA-1)-1A=-1A=AA-1EA-1 =
= E.
= E.
（４） AT（(A４-1)T）=A(AT(-1AA-1))TT==((EA)-T1A=)TE,= (E)T = E,
练习：
设
A
1
3
2 4
,
则A*=
, A-1=
。
解答：
A*
4 3
2
1
,
A1
1 2
4 3
2 1
2 3 2
1
1
,
2
例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
2 2 3 (1) A1 1 1 0
3 1 2
1 2 3 (2) A2 1 2 1
5 2 3
1 3 1 4
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
所以 (AT所)-1以= (A(-1A)T).-1 = (A-1)T .

线性代数第二章矩阵及其运算

ann 0
0
5. 形如下面两个矩阵的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix)．
a11 0 a21 a22
an1
an2
0 0
0
0
ann
an1
0 a1n
a2n1
a2n
ann1 ann
6. 若方阵 A (aij )n 中 aij a ji , 则称为对称矩阵 (symmetric matrix)．即
一、线性方程组
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方
程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 L LLL
a2n xn L
b2 ,
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm .
（1）
其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,…，m， j =1,2,…, n.
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
L
L
L
L
称为单位阵(unit
matrix),
记作 En ． 0 0 L 1
4. 形如下面两个矩阵的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix)．
a11a12 0 a22
0 0
a1n
a2n
ann
a11 a1n1 a1n
a21
a2n1
0
a11 a12 L a1n

矩阵逆运算公式

矩阵逆运算公式
矩阵逆运算公式是在线性代数中常见的数学工具，它用于计算一个矩阵的逆矩阵。

逆矩阵是一个重要的概念，它可以帮助我们解决许多实际问题。

在本文中，我们将探讨矩阵逆运算公式的应用，并介绍它在现实生活中的一些例子。

让我们回顾一下矩阵逆运算公式的定义。

给定一个矩阵A，如果存在另一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B 就是矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。

逆矩阵具有许多重要的性质，例如，对于任意一个非零向量x，都有A^-1Ax=x。

因此，矩阵逆运算是线性代数中一个非常重要且有用的概念。

矩阵逆运算的应用非常广泛。

在工程领域，矩阵逆运算被广泛用于解决线性方程组。

通过将线性方程组表示为矩阵形式，我们可以使用矩阵逆运算来计算方程组的解。

这在电路设计、结构力学以及通信系统等领域中都有重要的应用。

在金融领域，矩阵逆运算可以用于投资组合优化。

通过将资产收益率表示为矩阵形式，我们可以使用矩阵逆运算来计算最优的投资组合权重。

这有助于投资者在选择投资组合时降低风险并提高收益。

矩阵逆运算还在计算机图形学中得到广泛应用。

通过将图像表示为矩阵形式，我们可以使用矩阵逆运算来实现图像的旋转、缩放和变形等操作。

这在游戏开发和动画制作中非常常见。

总结来说，矩阵逆运算公式是一种重要的数学工具，它在许多领域中都有广泛的应用。

通过理解矩阵逆运算的定义和应用，我们可以更好地解决实际问题，并提高工作效率。

希望本文能够帮助读者更好地理解矩阵逆运算，并在实际应用中发挥作用。

矩阵的逆_精品文档

矩阵的逆前言在线性代数中，矩阵的逆是一个重要的概念。

对于一个可逆矩阵来说，它的逆矩阵可以帮助我们求解线性方程组、计算矩阵的行列式、特征值等等。

本文将介绍矩阵的逆的定义、性质以及如何求解逆矩阵。

定义给定一个 n n 的方阵 A。

如果存在一个 n n 的方阵 B，使得 AB = BA = I，那么我们称 B 是矩阵 A 的逆。

其中 I 是单位矩阵，满足对任意矩阵 M，有 MI = IM = M。

注意：如果矩阵 A 没有逆矩阵，我们称 A 为奇异矩阵，如果矩阵 A 有逆矩阵，我们称 A 为非奇异矩阵。

性质1.如果 A 有逆矩阵 B，则 B 的逆矩阵也是 A，即 (A-1)-1 = A。

2.如果 A 和 B 都是可逆矩阵，则 AB 也是可逆矩阵，并且 (AB)^-1 = B^-1 * A^-1。

3.如果 A 是可逆矩阵，则 A 的转置矩阵 A^T 也是可逆矩阵，并且 (A T)-1 = (A-1)T。

4.如果 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵也是唯一的。

求解逆矩阵方法一：伴随矩阵法对于一个 n n 的可逆矩阵 A，我们可以使用伴随矩阵法来求解其逆矩阵。

伴随矩阵是指将矩阵 A 的每个元素的代数余子式转置得到的矩阵。

假设 A 的余子式矩阵为 C，则伴随矩阵定义为 A^ = C^T。

步骤如下： 1. 求解 A 的余子式矩阵 C，即将 A 的每个元素的代数余子式组成的矩阵。

2. 将 C 转置得到 A 的伴随矩阵 A^。

3. 计算 A 的行列式 |A|。

4. 如果|A| ≠ 0，则 A 的逆矩阵 A^-1 = A^ / |A|。

方法二：高斯-约当消元法另一种常用的求解逆矩阵的方法是高斯-约当消元法。

这种方法通过将矩阵 A和单位矩阵进行拼接并进行行变换，将矩阵 A 变换为单位矩阵，同时得到 A 的逆矩阵。

步骤如下： 1. 将矩阵 A 和单位矩阵 I 进行拼接，得到增广矩阵 [A | I]。

2. 对增广矩阵 [A | I] 进行高斯-约当消元，将矩阵 A 变换为单位矩阵，同时得到 [I | B]，其中 B 是 A 的逆矩阵。

(2021年整理)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法。

1。

利用定义求逆矩阵定义：设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E ，则称A 为可逆矩阵，而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证：如果方阵A 满足A k= 0，那么EA 是可逆矩阵，且（E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明因为E 与A 可以交换，所以(E — A ）(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E —A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ，同理可得(E + A + A 2+…+A 1-K ）（E —A ）=E ，因此E-A 是可逆矩阵，且(E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明（E+ A)也可逆，且（E+ A ）1-= E —A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K 。

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