选修2-2推理与证明练习题及答案

选修2-2第二章推理与证明练习题及答案
一、选择题 1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．特殊推理
2． 在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( )
A ．三角形的中位线平行于第三边
B ．三角形的中位线等于第三边的一半
C ．EF 为中位线
D ．EF ∥BC
3． 用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是 ( ) A.假设2是有理数B.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2＋3是有理数
4． 用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1
时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是
( ) A.2k (k ＋2) B.1k (k ＋1) C.1(k ＋1)(k ＋2) D.2(k ＋1)(k ＋2)
5． 已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2
，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为 ( ) A.42x ＋2 B.2x ＋1 C.1x ＋1 D.22x ＋1
6． 已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于 ( )
A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)
B ．f (n (n ＋1)2)
C ．n (n ＋1) D.n (n ＋1)2
f (1) 7． 对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
8． 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有 ( ) ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9． 数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n
，则a 2 013等于 ( ) A.12 B ．－1 C ．2 D ．3
10．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且f (x )在(2，＋∞)上为增函数．已知x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值
( ) A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能等于0
D ．可正也可负
二、填空题
11．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为___________________．
12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，
推测当n ≥2时，有____________．
13．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n
＋1与a n (n ≥2)之间的关系是______．
14．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．
三、解答题
15．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
16．1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
17．设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥
22
(a ＋b )．
18．设a ，b ，c 为一个三角形的三边，s ＝12
(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .
19．数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2
a n .(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．
20．设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)
，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1) ＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．
答案
1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C 9．C 10．A
11．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2) ＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
12．f (2n )>2＋n 2(n ≥2) 13．a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥1) 14.AE EB ＝S △ACD S △BCD 15．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，
则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，
又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．
16．解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .
∵m 为有理数，(3＋1) n 为无理数，∴m ≠(3＋1)n .∴假设不成立．
即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项．
17．证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥
22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥
22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦
⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab ) ，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥
22(a ＋b )成立． 综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立．
18．证明 要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2
b
，即证b <s . 因为s ＝12
(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c . 由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．
19．解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×(2＋1)2
a 2， 即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112. 令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2
a 3， 即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120. 令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2
a 4， 即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130
. (2)猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)
，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)
，结论成立．
②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k 2(k ＋2)
， S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴k 2(k ＋2)
＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1. ∴a k ＋1＝k
2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2
－1＝k k (k ＋3)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3). 当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)
. 20．解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]，得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1(1＋12
)－1＝2， 当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]，得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋(1＋12)(1＋12＋13
)－1＝3， 猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：
当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立．
①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．
②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)
＝k [f (k )－1](k ≥2)成立，那么当n ＝k ＋1时，
f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1) f (k )－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1k ＋1
]－k ＝(k ＋1)[ f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．。