用动力分配法巧解匀加速运动连接体问题(中学物理教学参考2015年第7期)

用动力分配法巧解匀加速运动连接体问题

郑 金

（凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500）

摘 要：通过对有关在水平面和斜面上做匀加速运动的连接体问题进行分析，推导了相互作用力与恒定外力的大小关系的结论，并且从多方面拓展和应用结论.

关键词：连接体；加速运动；动力分配；等效动力

对于在恒定外力作用下做匀加速直线运动的连接体问题，在求相互作用力时，一般先用整体法求加速度，再用隔离法列方程求相互作用力.由于相互作用力的大小与恒定外力和物体质量之间遵循一定的规律，因此可通过对各种情形的连接体进问题进行分析探究，推导和归纳结论，由此来拓展思路，提高解题效率.

一、结论推导

由力的独立作用原理可知，当物体同时受到几个力的作用时，每个力对物体都产生一个加速度，因此，物体实际运动的加速度等于各个力单独作用时产生的加速度的矢量和.

即 n a a a a +++=Λ21m F m F m F n +++=Λ21[1].

如果相互作用的两个物体A 和B 运动的加速度相同，则有

A An A A A A m F m F m F +++Λ21B

Bn B B B B m F m F m F +++=Λ21. 当两个物体与运动轨道接触面的动摩擦因数相同时，各自受到的摩擦力与质量成正比，因此对两个物体分别产生的加速度相同；如果连接体在斜面上加速运动，则各自受到的重力沿斜面向下的分力与质量成正比，因此下滑力对两个物体分别产生的加速度相同.由于在等式两边相同的加速度可抵消，那么在列方程时可不考虑因重力而产生的摩擦力和下滑力.

如图1所示，质量分别为1m 和2m 的木块A 和B 之间用轻绳连接，在大小为F 的拉力作用下沿水平面

做匀加速直线运动，则轻绳张力的大小满足方程

211m m F m T +=，可知211m m F m T +=.

可见，在水平面上加速运动的连接体之间的相互作用力的大小与滑动摩擦力无关.整体受到的动力与相互作用力的大小都跟对应物体的质量成正比.或者说，作用力的大小按物体质量的大小来分配[2].

由此可知，对于加速运动的列车，离车头越远，相邻车厢连接处的作用力就越小；当对两个直接接触的物体施加外力时，受力物体的质量越大，两个物体之间的挤压力就越小，这在实际中有许多应用.

如图2所示，质量分别为m 、M 的物体用细绳连接，放在倾角为θ的斜面上，用平行于斜面向上的力F 拉两个物体一起向上加速运动，根据整体加速度与物体M 加速度相等应用牛顿第二定律列方程，由于两个物体因重力而引起的摩擦力和下滑力所产生的加速度相等，在方程两边相互抵消，因此可不考虑摩擦力和下重力向下的分力，则有m M F +M T =，所以细绳张力为F m

M M T +=.

这表明，连接体之间的相互作用力与斜面的动摩擦因数和倾斜角都无关.因此，在斜面上做匀加速运动的连接体之间的相互作用力，等于在光滑水平面上做匀加速运动的连接体之间的相互作用力.

结论 在外力F 作用下一起做匀加速运动的连接体，无论轨道平面是否光滑，倾斜角多大（包括水平面），物体间的相互作用力大小都与重力和由重力引起的滑动摩擦力无关.即外力与内力的大小与对应物体的质量成正比，各自单独作用时所产生的加速度相同，但不一定是物体运动的加速度.

条件 连接体一起运动的加速度相同；物体与轨道之间的动摩擦因数相同；外力、内力都与加速度平行；只有一个物体受到外力作用.

二、结论拓展

如果动力方向与加速度方向不平行，则需先求出在加速度方向的等效动力，才能应用结论[2].

图2

图

1

如图3所示，质量分别为1m 和2m 的木块A 和B 之间用轻绳连接，在木块B 上施加一斜向下的推力F ，二者一起做匀加速运动.设物体与水平面之间的动摩擦因数为μ，为了求轻绳的张力大小，需分解动力，即将外力F 分解，F 在水平方向的分力为θcos F F x =，在竖直方向的分力为θsin F F y =.

应用牛顿第二定律列式，可求得张力为)sin (cos 2

11θμθ-+=F m m m T . 式中)sin (cos θμθ-='F F 称为等效动力，表示动力F 在运动方向上产生的作用效果.其中θcos F 是系统外力F 在运动方向上的分力，由于垂直于运动方向的分力θsin F 竖直向下，使摩擦力增大了，则动力减小了θμsin F .

如图4所示，动力向上倾斜，则垂直于运动方向的分力θsin F 竖直向上，使摩擦力减小了，则动力增大了θμsin F ，因此等效动力应为)sin (cos θμθ+='F F .

如果连接体之间的细绳是倾斜的，那么等效动力也与细绳倾斜角有关.

总之，在水平面上做匀加速运动的连接体之间的相互作用力的大小与重力引起的滑动摩擦力无关，只与等效动力有关.作用于整体的等效动力与相互作用力提供的等效动力跟对应的质量成正比[4].

此外，对于连接体两侧受到外力的情形，若两个外力方向相反，可使相互作用力加强，则相互作用力等于两个外力分别作用时提供的作用力之和；若两个外力方向相同，可使相互作用力减弱，则相互作用力等于两个外力分别作用时提供的作用力之差[5].

三、结论应用

例1 在光滑水平面上从左到右依次并排放着n 个相同的小木块，在水平恒力F 作用下向右做匀加速运动，求从左侧数第m 个木块对第)1(+m 个木块的作用力大小[3].

解析 将n 个木块视为二体连接体，即左面m 个木块与右面)(m n -个木块相互作用，则整体与右面)(m n -个木块的质量之比为)(:m n n -，由连接体动力分配结论得m

n n F F N -=，故所求作用力大小为图4

图

3

F n

m n F N -=. 例2 如图5所示，在光滑水平地面上有三个木块a 、b 、c ，质量均为m ，a 、c 之间由细绳连接.用一水平恒力F 作用在b 上，三者开始一起做匀加速运动，在运动过程中把一块橡皮泥粘在某一木块上面，系统仍加速运动，且始终没有相对滑动.则在粘上橡皮泥并达到稳定后，下列说法正确的是（ ）

A.无论粘在哪个木块上，系统的加速度一定减小

B.若粘在a 木块上，则绳的张力减小，a 、b 间摩擦力不变

C.若粘在b 木块上，则绳的张力和a 、b 间摩擦力一定都减小

D.若粘在c 木块上，则绳的张力和a 、b 间摩擦力一定都增大

解析 在粘上橡皮泥并达到稳定后，系统的质量变大了，而合外力大小不变，因此加速度变小了，故选项A 正确. 由加速运动连接体动力的分配公式可知，轻绳的张力为F m m T c 3=，摩擦力为F m m m f c a 3+=. 若橡皮泥粘在a 木块上，则绳的张力为F m

m m T c ∆+='3，比原来变小了；a 、b 间的摩擦力为F m

m m m m f c a ∆++∆+='3，由浓度不等式可知摩擦力比原来变大了，故选项B 错误.同理可知选项C 、D 正确. 例3 如图6所示，在光滑水平面上A 、B 两物体左右分别受到水平推力1F 、2F 的作用，设1F ＞2F ，求A 、B 间的压力N 的大小.若1m ＞2m ，则压力N 的取值范围如何？

解析 外力1F 提供的弹力大小为21121m m F m N +=，外力2F 提供的弹力大小为2

1212m m F m N +=，由于二者方向相反，使得总压力加强，所以A 、B 间的作用力大小为21212112m m F m m m F m N +++=

. 由于1m ＞2m ，则当02=m 时，压力最小值为2F ；当2m 取最大值时，即12m m =时，压力最大值为221max F F N +=.所以压力的取值范围是2F ＜N ＜2

21F F +. 图6

图

5