求解“电场强度”十法

求解“电场强度”十法史献计（南京沿江工业开发区教研室 江苏南京201144）高中学生在学习电场内容时对“电场强度”的理解比较困难，同时对求解电场强度的方法也相对机械与单调，多数学生往往只是套用公式。

许多学生在遇到相对复杂的情境时，就会陷入困境，不知道如何下手。

现通过具体的案例分析帮助学生在解决电场强度问题的过程中学会处理“场强”的思维方法。

1．运用电场强度定义式求解电场强度是描述电场强弱的物理量，表示了电场力的性质，与外界因素无关，仅有电场本质性质有关。

无论是匀强电场还是非匀强电场，电场强度可以用检测电荷在电场中某点所受电场F 与检验电荷量q 的比值来表示，这就是电场强度的定义式。

例1质量为m 、电荷量为q 的质点，在静电力作用下以恒定速率v 沿圆弧从A 点运动到B 点,，其速度方向改变的角度为θ（弧度），AB 弧长为s ，求AB 弧中点的场强E 。

析与解：质点在静电力作用下做匀速圆周运动，则其所需的向心力由位于圆心处的点电荷产生电场力提供。

由牛顿第二定律可得电场力F = F 向 = m r v 2。

由几何关系有r = θs ，所以F = m sv θ2，根据电场强度的定义有 E = q F = qs mv θ2。

方向沿半径方向，指向由场源电荷的电性来决定。

2．运用电场强度与电场差关系求解在匀强电场中电场中两点间的电势差U = Ed ，其中E 为场强，d 为两点沿电场强度方向的距离。

在一些非强电场中可以通过取元或等效的方法来进行求解。

例2 空间某一静电场的电势φ在x 轴上分布如图1所示，x 轴上两点B 、C 点电场强度在x 方向上的分量分别是E Bx 、E Cx ，下列说法中正确的有（ ）A ．E Bx 的大小大于E Cx 的大小B ．E Bx 的方向沿x 轴正方向C ．电荷在 O 点受到的电场力在x 方向上的分量最大D ．负电荷沿x 轴从 B 移到 C 的过程中，电场力先做正功，后做负功析与解：根据匀强电场中电场强度与电势差的关系E =d U ，在非匀强电场中对于某点附近一个极小的距离Δd 内的电势差Δφ有E =d∆∆ϕ，可以理解为距离Δd 内的“平均电场强度”。

由数学知识可以知道，当Δd 取无穷小时，比值d∆∆ϕ为该点的电场强度,对应于φ – x 图象的切线斜率。

作出图象B 、C 处切线，比较其斜率不难得出E Bx > E Cx ，A 项正确。

同理可知 O 点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C 项错误。

沿电场方向电势降低，在 O 点左侧，E Bx 的方向沿x 轴负方向，在 O 点右侧，E Cx 的方向沿x 轴正方向，所以 B 项错误，D 项正确。

综合可知AD 选项正确。

图13．运用静电平衡条件求解处于静电场中的导体在达到静止平衡时，导体内部的电场强度为零。

其本质是感应电荷的电场强度与外加电场的电场强度合成后为零，即有E 感 + E 外 = 0。

例3 一金属球原来不带电，现沿球的直径的延长线放置一均匀带电的细杆MN ，如图2所示。

金属球上感应电荷产生的电场在球内直径上a 、b 、c 三点的场强大小分别为E a 、E b 、E c ，三者相比（ ）A ．E a 最大B ．E b 最大C ．E c 最大D ．E a = E b = E c 析与解：导体处于静电平衡时，其内部的电场强度处处为零，故在球内任意点，感应电荷所产生的电场强度应与带电细杆MN 在该点产生的电场强度大小相等，方向相反。

均匀带电细杆M N 可看成是由无数点电荷组成的。

a 、b 、c 三点中，c 点到各个点电荷的距离最近，即细杆在c 点产生的场强最大，因此，球上感应电荷产生电场的场强c 点最大。

故正确选项为C 。

4．综合运用力学规律求解带电粒子或带电体在复合电场中的运动时，受到电场力作用与其他力的作用而运动，运动过程复杂，因此解题过程中要综合分析物体的受力状况与初始条件，然后选择相应的物理规律进行求解。

例4 在水平方向的匀强电场中，有一带电微粒质量为m ，电量为q ，从A 点以初速v 0竖直向上射入电场，到达最高点B 时的速度大小为2v 0，如图3所示。

不计空气阻力。

试求该电场的场强E 。

析与解：从习题描述的情境来看，带电微粒能达到最高点，隐含微粒的重力不能忽略的条件。

因此，微粒在运动过程中受到竖直向下的重力mg 和水平向右的电场力qE 。

微粒在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动。

到达最高点B 点时，竖直分速度v y = 0，设所用的时间为t ，运用动量定理的分量式：水平方向上qEt = m (2v 0) – 0、竖直方向上 mgt = 0 – (– mv 0)，解得E =2mg /q 。

本题所述情境下的物体运动应当是一个斜抛运动，运动轨迹是抛物线，可以用运动的合成与分解、牛顿运动定律进行求解，也可运用动能定理，等，可以通过种方法的求进行比较与分析，帮助学生归纳出求解这类问题的思维入口。

5．运用“叠加法”求解电场强度是矢量，矢量的运算满足叠加原理，即空间某点的电场强度等于所有场源在该点形成的场强的矢量和，满足矢量运算法则。

通过叠加法可以解决一些较为困难的问题。

例5 如图4所示，有一带电量为 + q 的点电荷与均匀带电圆形薄板相距为2d ，电荷到带电薄板的垂线通过板的圆心。

若图中a 点处的电场强度为零，求图中b 点的电场强度大小。

析与解：点电荷+q 在a 点场强为E 1、薄板在a 点场强为E 2，a 点场强为零是E 1与E 2叠加引起的，且两者在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，大小E 1 = E 2 = 2d kq 。

根据对称性可知，均匀薄板在b 处所形成的电场强度大小也为E 2，方向水平向左；点电荷在b 点场强E 3 = 2)3(d kq ，方向水平向左。

根据叠加原理可知，b 点场 E b = E 2 + E 3 = 2910dkq 。

图4 图2图3等效替代法是指在效果一致的前提下，从某个事实A 出发，用另外的事实B 来代替，必要时再由B 到C ，……，直至实现所给问题的条件，从而建立与之相对应的联系，从而运用有关规律解决问题。

例6如图5（a ）所示，距无限大金属板正前方l 处，有正点电荷q ，金属板接地。

求距金属板d 处a 点的场强E （点电荷q 与a 连线垂直于金属板）。

析与解：a 点场强E 是点电荷q 与带电金属板产生的场强的矢量和。

画出点电荷与平行金属板间的电场线并分析其的疏密程度及弯曲特征，会发现其形状与等量异种点电荷电场中的电场线分布相似，金属板位于连线中垂线上，其电势为零，设想金属板左侧与 +q 对称处放点电荷 -q ，其效果与+q 及金属板间的电场效果相同。

因此，在+q 左侧对称地用 –q 等效替代金属板，如图5（b ）所示。

所以，a 点电场强度E a = kq [22)(1)(1d l d l ++-]。

7．运用“对称法”求解对称法是利用带电体产生的电场具有对称性的特点来求电场强度的方法。

通常有中心对称、轴对称等。

例7 如图6所示，在一个接地均匀导体球的右侧P点距球心的距离为d ，球半径为R .。

在P 点放置一个电荷量为 +q 的点电荷。

试求导体球感应电荷在P 点的电场强度大小。

析与解：如图6所示，感应电荷在球上分布不均匀，靠近P 一侧较密，关于OP 对称，因此感应电荷的等效分布点在OP 连线上一点P ′。

设P ′ 距离O 为r ，导体球接地，故球心O 处电势为零。

根据电势叠加原理可知，导体表面感应电荷总电荷量Q 在O 点引起的电势与点电荷q 在O 点引导起的电势之和为零，即dkq +R kQ = 0，即感应电荷量Q = q d R -。

同理，Q 与q 在球面上任意点引起的电势叠加之后也为零，即22cos 2r Rr R kQ+-α=22cos 2d Rd R kq +-α，其中α为球面上任意一点与O 连线和OP 的夹角，具有任意性。

将Q 代入上式并进行数学变换后得 d 2r 2 – R 4 = (2Rrd 2 – 2R 3d )cos α，由于对于任意α角，该式都成立，因此，r 满足的关系是r = dR 2。

根据库仑定律可知感应电荷与电荷q 间的相互作用力F = 2)(r d kqQ -=2222)(R d kdRq -。

根据电场强度定义可知感应电荷在P 点所产生的电场强度E = q F =222)(R d kdRq -。

（a ） +q d a l 图5+q - q a （b ）图6微元法就是将研究对象分割成许多微小的单位，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，找出每一个微元的性质与规律，然后通过累积求和的方式求出整体的性质与规律。

例8 如图7（a ）所示，一个半径为R 的均匀带电细圆环，总量为Q 。

求圆环在其轴线上与环心O 距离为r 处的P 产生的场强。

析与解：圆环上的每一部分电荷在P 点都产生电场，整个圆环在P 所建立电场的场强等于各部分电荷所产生场强的叠加。

如图7（b ）在圆环上取微元Δl ，其所带电荷量Δq = R Q π2Δl ，在P 点产生的场强： ΔE = 22R r q k +∆=)(222R r R l kQ +∆π 整个圆环在P 点产生的电场强度为所有微元产生的场强矢量和。

根据对称性原理可，所有微元在P 点产生场强沿垂直于轴线方向的分量相互抵消，所以整个圆环在P 点产生场中各微元产生的场强沿轴线方向分量之和，即E P = ΣΔE cos θ = Σ2222)(2R r r R r R l kQ +⋅+∆π=322)(R r kQr +。

9．运用“补偿法”求解电场强度问题有时所给出的条件而建立的模型不是一个完整的标准模型，这时就需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一个容易求解的模型。

通过这种“补偿”的方法将一个不完整的模型转换为一个完整的标准模型。

例9 如图8（a ）所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电。

试比较A ′点与 A ″点电场强度的大小。

析与解：如图8（b ）所示，球冠上正电荷在A ′点产生的电场强度为E 1、球层面上正电荷在A ″点产生电场强度为E 2。

球冠与球层两部分不规则带电体产生的电场强度，无法用所学公式直接进行计算或比较。

于是，需要通过补偿创造出一个可以运用已知规律进行比较的条件。

在球层表面附着一个与原来完全相同的带正电半球体，如图8（c ）所示，显然由叠加原理可知，在A ″点产生电场强度E 3 > E 2。

若将球冠与补偿后的球缺组成一个完整球体，则则均匀带电球体内电场强度处处为零可知，E 1与E 3大小相等，方向相反。

由此可以判断，球冠面电荷在A ′点产生的电场强度为E 1大于球层面电荷在A ″点产生电场强度E 2。