第2章逻辑代数基础课案

第2章逻辑代数基础
一、学习目的
逻辑代数是分析和研究数字逻辑电路的基本工具。

通过本章的学习要掌握逻辑代数的各种表示
二、内容概要
本章在介绍基本逻辑运算和常用的导出运算后，
三、学习指导
本章重点：
本章难点：
方法提示
2、1概述
理解逻辑值
理解逻辑体制的含义。

逻辑代数又称为布尔代数。

它是由英国数学家乔治·布尔于19世纪中叶首先提出并用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，后来将其应用于继电器开关电路的分析和设计上，从而形成了二值开关代数。

之后便更为广泛地被用于数字逻辑电路和数字系统中，成为逻辑电路分析和设计的有力工具，这就是现在的逻辑代数。

逻辑代数与普通代数相似之处在于它们都是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。

但不同的是，逻辑代数是描述客观事物间的逻辑关系，逻辑函数表达式中的逻辑变量的取值和逻辑函数值都只有两个值，即0和1。

这两个值不具有数量大小的意义，仅表示客观事物的两种相反的状态，如开关的闭合与断开；晶体管的饱和导通与截止；电位的高与低；真与假等。

因此，逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，而不同于普通代数。

数字电路在早期又称为开关电路，因为它主要是由一系列开关元件组成，具有相反的二状态特征，所以特别适于用逻辑代数来进行分析和研究，这就是逻辑代数广泛应用于数字电路的原因。

本章主要介绍逻辑代数的基本运算、基本定律和基本运算规则，然后介绍逻辑函数的表示方法及逻辑函数的代数化简法和卡诺图化简法。

2、2 逻辑函数及其表示方法
掌握逻辑代数的常用运算。

理解并初步掌握逻辑函数的的建立和化简方
掌握真值表、
一、基本逻辑函数及运算
基本的逻辑关系有与逻辑、或逻辑和非逻辑三种。

与之对应的逻辑运算为与运算(逻辑乘)、或运算(逻
辑加)、和非运算(逻辑非)。

1、与逻辑
这种关系可简单表述为：决定某个事件的全部条件都具备时，这件事才会发生。

这种因果关系称为与逻辑。

与逻辑真值表
逻辑表达式: Y=A .B
A
B Y 输出特点
0 0 0 有
0出0
0 1 0 1 0 0 1
1
1
全1出1
与逻辑最为常见的实际应用是控制楼道照明的开关电路。

开关A 、B 的状态（闭合或断开）与灯Y 的状态（亮和灭）之间存在着确定的因果关系。

如果规定开关闭合、灯亮为逻辑1态，开关断开、灯灭为逻辑0态，则开关A 、B 的全部状态组合与灯Y 状态之间的关系如上表所示。

它真实反映了这个开关电路中开关A 、B 的状态取值与灯Y 状态之间的对应关系。

2、或逻辑
这种关系可简单表述为：如果决定某个事件的全部条件中有一个具备时，这件事就会发生。

这种因果关系称为或逻辑。

或逻辑真值表
A B Y 输出特点 0 0 0 全0出0
0 1 1 有1出1
1 0 1 1
1
1
逻辑表达式: Y=A + B
3、非逻辑
二、几种异出的逻辑运算
1、与非运算、或非运算、与或非运算
2、异或运算和同或运算
异或运算和同或运算都是二变量逻辑运算。

这两种运算在数字信号处理中经常用到。

异或运算同或运算
异或运算的逻辑式：同或运算的逻辑式：
真值表逻辑图真值表逻辑图
A B Y A B Y
000001
011010
101100
110111
相同为0、不同为1相同为1、不同为0
三、逻辑逻辑函数及其表达方法
1、逻辑函数的建立
逻辑表达式描述了逻辑变量与逻辑函数之间的逻辑关系，它是实际逻辑问题的抽象表达。

这种抽象表达抓住了逻辑问题的本质，并且用简练的形式表达出来。

下面举例说明。

楼道照明开关控制电路逻辑函数的抽象分析实例
2、逻辑函数的表示方法
把任意一组变量取值中的把逻辑函数值为
2、3逻辑代数的基本定律和规则
理解和掌握逻辑代数的基
理解和掌握逻辑代数的基
理解逻辑代数的演变规则。

一、逻辑代数的基本公式
逻辑代数的基本公式是一些不需证明的、直观的、可以看出的恒等式。

它们
是逻辑代数的基础，利用这些基本公式可以化简逻辑函数，还可以用来推证一些
逻辑代数的基本定律。

1、逻辑常量运算公式
逻辑常量只有0和1两个。

对于常量间的与、或、非三种基本逻辑运算公式
列于下表。

2、逻辑变量、常量运算公式
设A为逻辑变量，逻辑变量既可以自身、也可以与逻辑常量进行逻辑运算，
逻辑变量与常量间的运算公式列下表。

由于变量A的取值只能为0或1，因此当A≠0时，必有A=1。

二、逻辑代数的基本定律
逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。

这些定律有其独自具有的特性，但也有一些与普通代数相似的定律，因此要严格区分，不能混淆。

1、与普通代数相似的定律
与普通代数相似的定律有交换律、结合律、分配律。

这些定律是进行逻辑代数化简时最常用的。

它们列于下表。

2、吸收律\摩根定律
吸收律可以利用上面的一些基本公式推导出来，摩根定律只能用真值表证明。

这两个定律也是逻辑函数化简中常用的基本定律。

见下表。

二、逻辑代数的三个重要原则
1、代入规则
对于任一个含有变量A的逻辑等式，可以将等式两边的所有变量A用同
一个逻辑函数替代，替代后等式仍然成立。

这个规则称为代入规则。

代入规则的
正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的。

因为逻辑变量只有0和1
种取值，无论A=0或A=1代入逻辑等式，等式都一定成立，而逻辑函数值也只有
0和1两种取值，所以用它替代逻辑等式中的变量A后，等式当然仍成立。

已知，
=
=
2、反演规则
对任何一个逻辑函数式Y，如果将式中所有的“·”换成“+”，“+”
换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换
成原变量，则得到原来逻辑函数Y的反函数Y。

这种变换规则称为反演规则。

在应用反演规则时必须注意下面两点：
(1)变换后的运算顺序要保持变换前的运算优先顺序，必要时可加括号表明运算的顺序。

(2)反变量换成原变量只对单个变量有效，对于与非、或非等运算的长非号则保持不变。

反演规则常用于求一个已知逻辑函数的反函数。

已知逻辑函数，
已知逻辑函数
3、对偶规则
对任何一个逻辑函数式Y，如把式中所有的“·”换成“+”，“+”换
成“·”，1换成0，0换成1，这样就得到一个新的逻辑函数式Y′，则Y和Y′
是互为对偶式。

这种变换规则称为对偶规则。

对偶变换要注意保持变换前运算的
优先顺序不变。

对偶规则的意义在于：若两个函数式相等，则它们的对偶式也一
定相等。

因此，对偶规则也适用于逻辑等式，如将逻辑等式两边同时进行对偶变
换，得到的对偶式仍然相等。

利用对偶规则，可以把基本逻辑定律和公式扩大一倍。

2、4 逻辑函数的公式化简法
了解逻辑函数的常见形式及相互转
理解最简与
了解逻辑函数的公式化简法。

一、化简逻辑的意义与标准
1、化简逻辑函数的意义
进行逻辑设计时，根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，并且可以有不同的形式。

因此，实现这些逻辑函数就会有不同的逻辑电路。

对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。

这对于节省元器件，优化生产工艺，降低成本和提高系统的可靠性，提高产品在市场的竞争力是非常重要的。

二、逻辑函数式的几种常见形式和变换
2、逻辑函数式的几种常见形式和变换
逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能相互变换。

这种变换在逻辑分析和设计中经常用到。

常见的逻辑式主要有5种形式。

3、逻辑逻辑函数的最简与－或式
不同形式的逻辑函数式有不同的最简形式，而这些逻辑表达式的繁简程度又相差很大，但大多都可以根据最简与－或式变换得到。

因此，这里只介绍最简与－或式的标准和化简方法。

最简与－或式的标准是：
逻辑函数式中的乘积项（与项）的个数最少，每个乘积项中的变量数最少。

二、逻辑函数的代数化简法
运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑函数式化简的方法称为代数化简法。

基本的化简方法有以下几种。

1、并项法
）
）
2、吸收法
）
）
3、消去法
运用吸收律
4、配项法
在不能直接运用公式、定律化简时，可通过乘化简。

三、逻辑代数化简举例
代数法化简逻辑函数的优点是简单方便，对逻辑函数式中的变量个数没有限
制，它适用于变量较多、较复杂的逻辑函数式的化简。

它的缺点是需要熟练掌握
和灵活运用逻辑代数的基本定律和基本公式，而且还需要有一定的化简技巧。

代
数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。

只有通过多做练
习。

2、5 逻辑函数的卡诺图化简法
掌握最小项的概念与编号方法，了解其主要性质。

理解卡诺图的意义和构成原则。

掌握用卡诺图表示和化简逻辑函数的方法。

掌握无关项的含义和在卡诺图化简中的使用方法。

卡诺图是逻辑函数式的图解化简方法。

它克服了代数化简法对最终化简结果难以确定等缺点。

卡诺图化简法具有确定的化简步骤，能比较方便地获得逻辑函数的最简与－或表达式。

特别是在实际工程设计中，卡诺图是把抽象逻辑描述的真值表转化为最简表达式的常用方法。

一、最小项与卡诺图
1、最小项的定义和性质
（1）最小项的定义
在n个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或
以反变量只出现一次，则该乘积项就定义为逻辑函数的最小项。

n个变量的全部最小项共有个。

如三变量A、B、C共有个最小项：：。

（1）最小项的性质
下面以三变量的全部最小项数值排列表为例说明它的性质。

三便量最小项真值表
A B C
0 0 010000000
0 0 101000000
0 1 000100000
0 1 100010000
1 0 000001000
1 0 100000100
1 1 000000010
1 1 100000001
任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为
不同的最小项，使它的值为
对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为０。

对于变量的任一组取值，全体最小项的和为１。

（2）最小项的编号
为了书写方便，用m表示最小项，其下标为最小项的编号。

编号的方法是：最小项中的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，对应
的十进制数便为该最小项的编号。

如三变量最小项ABC对应的变量取值为101，
它对应的十进制数为5，因此，最小项ABC的编号为。

2、表示最小项的卡诺图
(1)相邻最小项
如两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同时，则这两个最小项为逻辑相它们称为相邻最小项，简称相邻项。

例如，三变量最小项ABC和A B C，其中的C和C为互反变量量（AB）都相同，所以它们是相邻最小项。

显然两个相邻最小项可以相加合并为一项，同时消去合并结果为这两个最小项的共有变量。

(2)最小项的卡诺图表示
最小项卡诺图又称为最小项方格图。

用个小方格表示个变量的个
二变量卡诺图：
三变量卡诺图：
四变量卡诺图：
二、用卡诺图表示逻辑函数
1、
逻辑函数的标准与－或式
如一个与或逻辑表达式中的每一个与项都是最小项，则该逻辑表达式称做标准与－或式，又称为最小项表达式。

任何一种形式的逻辑表达式都可以利用基本定律和配项法变换为标准与－或式，并且标准与－或式是惟一的。

例、试将逻辑函数式
变换为标准与－或式。

解：（1）利用摩根定律把逻辑函数式展开为与－或式。

（2）利用配项法变换为标准与－或式。

（3）利用A+A=A 的逻辑基本原则，合并相同的最小项。

上述标准与－或式又可简记为Y=m0+m1+m12+m13+m15=∑m(0，1，12，13，15)
2、用卡诺图表示逻辑函数
（1）已知逻辑函数式为标准与－或式，画逻辑函数的卡诺图方法。

逻辑函数式
（2）已知逻辑真值表，画卡诺图方法。

逻辑函数真值表和逻辑函数的标准“与－或式”是一一对应的关系，所以可以直接根据真值表填卡诺图。

（3）逻辑函数为一般表达式时，画逻辑函数的卡诺图
当已知逻辑函数为一般表达式时，可先将其化成标准与－或表达式，再画出卡诺图。

但这样做往往很麻烦，实际上只需把逻辑函数式展开成与－或式就行了，再根据与－或式每个与项的特征直接填卡诺图。

具体方法是：把卡诺图中含有某个与项各变量的方格均填入1，直到填完逻辑式的全部与项。

例：
把逻辑式展开成与－或式：
意味着
意味着：
意味着：
三、用卡诺图化简逻辑函数
用卡诺图化简逻辑函数式，其原理是利用卡诺图的相邻性，对相邻最小项进行合并，消去互反变量，以达到化简的目的。

2个相邻最小项合并，可以消去1个变量；4个相邻最小项合并，可以消去2个变量；把个相邻最小项合并，
可以消去n 个变量。

化简依据如下：
2个相邻的最小项有1个变量相异，相加可以消去这1个变量，化简结果为相同量相与。

4个相邻的最小项有2个变量相异，相加可以消去这2个变量，化简结果为相同量相与。

8个相邻的最小项有3个变量相异，相加可以消去这3个变量，化简结果为相同量相与。

依次类推- - - - 。

卡诺图化简法的步骤：
对填“1”的相邻最小项画“包围圈”。

将各圈分别化简。

将各圈化简结果相加。

包围圈必须包围个相邻的“
为了充分化简，
包围圈的个数尽量少，这样逻辑函数的与项就少。

包围圈尽量大，这样消去的变量就多，与门输入端的数目就少。

15)=
四、具有无关项的逻辑函数的化简
1、逻辑函数中的无关项
一种是某些变量取值组合不允许出现，如8421BCD编码中，1010～1111这6种代码是不的，是受到约束的，故称为约束项。

另一种是某些变量取值组合在客观上不会出现，如在连动互锁开关系统中，几个开关的状排斥的，每次只闭合一个开关。

其中一个开关闭合时，其余开关必须断开，因此在这种系统中，2关同时闭合的情况是客观上不存在的，这样的开关组合称为随意项。

约束项和随意项都是一种不会在逻辑函数中出现的最小项，所以对应于这些最小项的变合视为1或视为0都可以(因为实际上不存这些变量取值)，这样的最小项统称为无关项。

2、利用无关项化简逻辑函数
2、6 逻辑符号的等效变换
了解正、负逻辑的概念。

理解基本逻辑门之间的等效转换关系。

在现代数字电路系统中，为了简化逻辑图，往往采用正逻辑和负逻辑混合使
用的系统。

下面以与门为例，说明等效变换。

基本逻辑门符号的等效变换表
现在进一步给出逻辑图中的非运算符号“○”（简称非号“○”）在逻辑图中的变换规则，这对于熟悉读图是很有帮助的。

本章小结。