第一章曲线曲面的数学表示(精简)讲解

1.2 形状数学描述的发展主线
显式标量函数与隐方程描述曲线曲面 1963年，弗格森将曲线曲面表示为参数的矢函数 1964年，孔斯（Coons）提出由封闭的4条边界构造曲面 1971年，雷诺（Renault）公司Bezier提出由控制多边形定 义曲线曲面 1972年，德布尔（de Boor)提出B样条算法，1974年，戈登 （Gordon）和里森弗尔德（Riesenfeld)将B样条理论应用于 曲线曲面的描述 上世纪80年代后期，Piegl、Tiller、Farin等人将非均匀有理 B样条方法用于形状的描述
对非规范基表示的规范化处理
在非规范基表示中加入零矢量，该项的基函 数取为与其它所有基函数和为1则成为规范基表 示；如取为与其它部分基函数和为1则成为部分 规范基表示。
参数化与参数变换
重新参数化 将曲线从表示为参数u的矢函数变成表示为参 数t的矢函数 参数变换后曲线关于新老参数的一阶导矢平行，二阶导如何？ 域变换 u与t间的关系为线性函数，在对老参数的k阶导矢 相比，方向不变，仅模长改变。 曲线经重新参数化后，其形状不变，但对应关系发生变化 （域变换除外） 用不同的方程描述同一条曲线，其间差别在于曲线上的点与 参数域内的点的对应关系不同，仅在方向不变的域变换下， 这种对应关系不变。
曲线的导矢
曲线的导矢 对曲线各分量分别对 参数求导 GADG中曲线的导矢 几何意义 为曲线的切矢，是相对 矢量 正则曲线 曲线的弧长公式 自然参数方程 曲线取自身弧长为 参数
曲线论的基本公式、曲率与挠率
（Frenet）活动标架
Frenet-Serret公式（基本公式）
三个基本矢之间的关系
都是单位矢量 相互垂直 组成的体积为1
曲率与挠率
曲率k的几何意义为曲线的单位切矢对于弧长的转动率，因 单位切矢对于弧长的一阶导矢其模长等于曲率，故称为曲率矢， 与主法矢同向。 挠率的绝对值等于副法线方向对于弧长的转动率，其大于、 等于、小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋 空间曲线。 曲线的弧长、曲率、挠率是几何不变量，三个基矢量是几何 不变矢，与参数选取无关。
曲面的参数化
给定一个具体的曲面方程，称为给定了一个曲面的参数化。 它即决定了所表示曲面的形状，也决定了该曲面上的点与参 数域内的点的对应关系。 曲面的参数化不是唯一的。 如果固定其中一个参数，则曲面退化为单参数的矢函数，表 示曲面上的一条等参数线。
曲面的参数化
曲面上一点的u线与v线 曲面的u向切矢与v向切矢 曲面上一点的单位法矢 曲面的等距面
优良的局部支撑性质 采用相异的切矢模长，相同的切线方向获得一阶几何连续性
参数三次样条曲线
参数三次样条曲线的提出
– 弹性细梁的应变能 – 问题的简化 假定 ，有
三切矢连续性方程：C2分段三次埃尔米特插值即参数三次样 条插值曲线必须满足的连续性条件，由 ，得
边界条件
封闭曲线且整体C2连续则无需边界条件
参数（孔斯）双三次曲面片
差值于四个角点、四个角点处双向偏导矢扭 矢以及混合偏导矢
参数（孔斯）双三次曲面片
弗格森双三次曲面片
定义在任意子矩形域上的参数双参数曲面片
第四章 参数样条曲线曲面
函数曲线的光滑度用对其变量的可微性度量 参数曲线的光滑度
– 参数连续性 与曲线的光顺程度不一致 – 几何连续性 反映曲线的光顺程度不一致 – 参数多项式组合曲线的连续性取决于各段间公共连接点处的连续性
第二章 曲线曲面的基本理论
CAGD的数学基础－微分几何
CAGD中矢量、点与直线
矢量具有长度以及方向 服从相等、相加、反向、相减、数乘 分为绝对矢量（点）与相对矢量（矢量与矢量间的 相互关系） 固定矢量与变矢量 若变矢量随某一参数或变量而变化，则称其为该变 量或参数的矢函数 相对矢量相加减得相对矢量，绝对矢量加或减相对 矢量得绝对矢量，绝对矢量相加减则不能判定
对域变换的依赖性：基与系数矢量都有变化 由部分规范性需对几何变换进行特殊处理
双线性插值曲面
张量积曲面
方程
准线不一定位于曲面上，母线运动形成曲面的一族 等参数线，同时形成了曲面
曲面数据点的参数化
曲面数据点的参数化是给每一数据点赋予一 对参数值 一般采用双向平均规范积累弦长参数化
曲线曲面的几何不变性
概念
– 曲线曲面的数学表示及其所表达的形状不依赖于坐标系
规范基表示具有几何不变性，仅需将原表示中的系 数矢量作相同的坐标变换即可获得变换后的曲线与 曲面 部分规范基表示具有几何不变性，需将原表示中的 绝对系数矢量作相同的坐标变换，而相对矢量仅作 旋转变换 非规范基不具有几何不变性
数据点的参数化方法
均匀参数化法 积累弦长参数化法 向心参数化法 修正弦长参数化法 规范化处理
多项式插值曲线及其特点
曲线方程的待定系数矢量个数等于给定的插值条件 即数据点的数目 幂基多项式插值曲线及插值条件
拉格朗日(Lagrange)多项式插值曲线及插值条件
最小二乘逼近
曲线曲面的几何不变性
基表示的曲线曲面的规范性划分
– 规范基表示 – 部分规范基表示 – 非规范基表示
基表示中系数矢量的类型判定：凡与规范基或部分 规范基表示中具有规范性的那些基函数相联系的系 数矢量为绝对矢量，否则为相对矢量。非规范基表 示中的系数矢量不能判定究竟是绝对矢量还是相对 矢量。
曲面上的曲Fra Baidu bibliotek及曲率性质
曲面上的曲线
切矢 曲率矢 法曲率
曲面的曲率性质
曲面上过一点具有相同切线方向的曲线有 无数条，但这些曲线的曲率矢都位于该点 处的法平面内 过曲面上一点具有相同切线方向的所有曲 线在该点都具有相同的法曲率（非曲率矢） 曲面上一点的法曲率总是沿着某一方向的 法曲率，曲面上一点有无数个方向，就有 无数个法曲率，其中的最值为主曲率 高斯曲率（两主曲率的乘积，决定双曲点、 抛物点、椭圆点）与平均曲率（两主曲率 的均值）
对于形状数学描述的要求
唯一性 由已给有限信息决定的形状唯一 几何不变性 数学表示与形状不随坐标系的改变而改变 易于定界
统一性 能统一表示各种形状及处理各种情况，如平面与空 间曲线，无穷大斜率
易于实现光滑连接 易于实现对形状的控制，不仅要有整体控制的能力，且要有 局部控制的能力
矢函数形式曲线方程：p=p(u) 点动成线，如果将u视为时间，则p(u)可看作一质点随时间的 变化运动的轨迹。其关于u的一阶导矢与二阶导矢分别就是 质点的速度矢量和加速度矢量。 有可能质点的运动轨迹即曲线相同，但速度矢量和加速度矢 量不同。
曲线与曲面的参数表示
在微分几何里，把曲面表示成双参数u和v的矢函数：
曲面论
公式 范围 奇点 曲面的参数化 u线与v线 u向切矢与v向切矢 曲面的单位法矢
曲面表示
曲面方程：p=p(u,v) 曲面范围：用两个参数的变化区间所表示的uv参数 平面上的矩形区域u1≤u≤u2， v1≤u≤v2给出。 奇点：一一对应关系不成立的点，以及切平面法矢 为零的点
两点连线的数学表示
两点之间的线性插值
一般形式
曲线与曲面的参数表示
解析几何的参数表示
微分几何的参数矢函数表示 CAGD的基表示的参数矢函数形式
– 基函数决定了曲线的整体性质，当基函数确定后，就决 定了系数矢量是绝对矢量还是相对矢量，也就决定了所 表示曲线的形状。
矢函数形式曲线方程的物理意义
曲面的重新参数化
给定一正则曲面p=p(u,v)，其中(u,v)єR，令：
满足Jacobi行列式不为零的条件： 则得到参数曲面： 此过程称之为曲面的重新参数化。Jacobi行列式不 为零的条件保证变换后的曲面也是正则的。
第三章 参数多项式 插值与逼近
3.1 基本概念
插值（interpolation） 插值曲线 被插曲线 曲线插值法 插值曲面 被插曲面 曲面插值法 逼近（approximation） 逼近曲线 被逼曲 线 曲线逼近法 逼近曲面 被逼曲面 曲面逼近法 插值与逼近统称为拟合（fitting）
Frenet活动标架
将曲线在一点处的三个单位矢量用 来作为坐标轴方向的基矢量，则在 该点处构成一个局部坐标系。当参 数连续变化时，该坐标系就连续发 生平移和旋转，成为曲线上的一个 活动坐标系，称为Frenet活动标架。 有了活动标架，则曲线在任一点处 临近的几何行为或几何性质就可以 在该点处的活动标架内考察，该点 处的任一个矢量就可表示成活动标 架上三个基矢量的线性组合。
插值条件（数据点）多于待定系数矢量 插值条件
矩阵形式
解（法方程，Gaussian正交方程组）
参数三次曲线
能表示空间曲线的次数最低的多项式曲线，方程：
三次埃尔米特基及其性质
参数三次曲线的几何特征
两数据点分别是曲线段的两端点，首末端切 矢决定曲线段的形状
三次埃尔米特插值的域变换
在CAGD里，曲面大都采用基表示的一种特殊矢函 数形式：
基表示的矢函数形式的优点
总是能够获取几何不变性 易于界定形状的范围 易于表示空间曲线 易于计算形状上的点 易于处理无穷大斜率 提供对曲线、曲面形状控制的较多的自由度
曲线的表示
给定一个具体的单参数的矢函数，即给定一个具体的参数曲 线方程，称之为给定了一个曲线的参数化(parametrization)， 它即决定了所表示曲线的形状，也决定了该曲线上的点与其参 数域内的点(即参数值)间的一种对应关系。 当曲线取任意参数时，参数域内线段长度之比即不等于曲线 上对应线段长度之比，也不等于对应曲线段的弦长之比。仅在 曲线取自身弧长的线性函数为参数时，参数域内线段长度之比 即才等于曲线上对应线段长度之比。 曲线上的点与参数域上的点一一对应关系不成立的点为奇点， 如自交点。
参数曲面的连续性（跨界切矢）
– 参数连续性 – 几何连续性 – 分片为双参数多项式的张量积组合曲面，其参数连续性取决于公共边界处的 连续性
C1分段三次埃尔米特插值
给定数据点、切矢及参数分割，构造一条C1分段三次多项式 曲线，其分段表达式：
切矢的确定方法
弗密尔法（FMILL） 贝塞尔法（Bessel） 秋间法（Akima）
CAGD概述
Computer Aided Geometric Design(CAGD) 1974 年，Barnhill与Riesenfeld首先提出 GAGD的研究对象与核心问题
– 研究对象：工业产品的几何形状（解析曲面、自由曲面） 的数学表示 – 核心问题：研究适合计算机表示，且满足形状表示与几 何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形 状数学描述方法。 – 需要解决的问题：用于工业产品形状数学描述的标准形 式，曲线曲面的形状控制，曲线曲面的光滑连接与统一 表示
多项式基
采用多项式函数作为基函数即为多项式基，得到的 曲面为参数多项式曲线、曲面 多项式基的优点：无穷次可微，易计算函数值及各 阶导数值 n次多项式的全体构成n次多项式空间，其中任意一 组n+1个线性无关的多项式都可作为一组基 采用幂基的参数多项式曲线
数据点的参数化
给每个数据点赋予相应的参数值，使其形成 一个严格递增的序列，该序列称为关于参数 的一个分割，每个参数值称为节点，以上过 程称为对数据点实行参数化，它规定了这些 数据点与参数域相应点的对应关系 同一组数据点，采用同样的插值法，而数据 点的参数化不同，将获得不同的插值曲线
曲线两端点处的附加方程－边界条件的确定方法
– 切矢条件 – 自由端点条件
4.3.7 参数三次样条曲线的性质
唯一性 由数据点、边界条件、参数分割唯一决定 收敛性 插值曲线随所取数据点增多将收敛被插曲 线 计算稳定 改动一点或端点处边界条件对曲线的影 响将随与该点距离的增大而迅速衰减 整体性 改动一点或端点处边界条件对整条曲线产 生影响 灵活性差 由唯一性决定 不易控制 由整体性造成