形式语言06章有限状态自动机和有限状态语言

有限状态自动机还可以分成确定与非确定 两种。非确定有限状态自动机可以转化为 确定有限状态自动机。
有限状态自动机识别的语言是正则语言 RL。
有限状态自动机除了它在理论上的价值， 还在数字电路设计、词法分析、文本编辑 器程序等领域得到了应用。
6.1 有限状态自动机
有穷状态自动机是具有离散输入和输出的系统的 一种数学模型。其主要特点有以下几个方面：
定义6-4 有限状态自动机接收的语言 的定义
对于字母表∑上的有限状态自动机M， 它能识别的所有串的集合，称为自动 机M能识别的语言。记为L(M)。
定义6-5 扩展的状态转换函数的定义
给定FSAM，定义扩展的状态转换函数 δ*：Q×∑*→Q为：δ*（q，w）=q′
即自动机在一个状态q时，扫描串w后 到达唯一确定的状态q′。
因此，对于任何输入串，有限状态自动机 的任务就是要检查该输入串中是否存在子 串000，一旦发现输入串包含有000，则表 示输入串是个合法的句子（是属于语言中 的一个串），因此，在确认输入串包含 000后，就可以逐一地读入输入串的后面 的字符，并接收该输入串。
问题的关键是如何发现子串000。
由于字符是逐一读入的，当从输入串 中读入一个0时，它就有可能是000子 串的第1个0，就需要记住这个0；如 果紧接着读入的是字符1，则刚才读 入的0就不是子串000的第1个0，此时， 需要重新寻找000子串的第1个0；
FSAM′=（Q，∑，δ，q0，Q-F），所以L2也是 FSL语言（右线性语言）。证毕。
注意： 此时的FSAM1的δ函数的个数 = |Q| * |∑|；即
需要陷阱状态。
6.3 有限状态自动机识别语言的例子
例6-12 接收语言L={ab}的有限状态自动机
思考
如果将该自动机的所有状态都设置为接收 状态（包括陷阱状态），那么，自动机接 收的语言是什么？
U{ q→x|δ（q， x）∈F }
特别地，若开始状态也是接收状态， 则有q0→ε；
对于串w=w1w2…wn： 自动机M： δ（q0， w1）=q1 δ（q1， w2）=q2 …
δ（qn-2，wn-1）=qn-1 δ（qn-1， wn）=qn
则文法有
q0→w1q1； q1→w2q2；
定义6-8 有限状态自动机的瞬 时描述（格局）的定义
瞬时描述是一个二元式：qy；y∈∑*， 其中： y是输入带上还没有被扫描到的字符
串，FSC当前状态为q，读头将马上扫 描y串的最左边第1个符号。
格局可以发生转换（改变），格局发生转 换的原因是由于δ函数的一次作用。
如果当前格局为：qar，有δ函数：δ(q， a)= q′，则下一格局为： q′r ；
δ*（q， w） =δ*（q， xα） =δ*（δ（q， x），α）
定义6-7 FSAM接收的语言的定义 L(M)表示被FSAM=（Q，∑，δ，q0，
F）接收的语言，它在字母表∑上， 即L(M）С∑*，则 L(M）={w|w∈∑*且δ*（q0， w） ∈F}。
若语言LС∑*，对于某个有限状态自 动机M，有L=L(M)，则称语言L为一个 有限状态语言（FSL）。
注意2:
有限状态自动机的某个状态q，如果对于字母表 上的字母x没有对应的δ函数的定义，可以省略 掉该δ函数；或者定义一个特殊的状态：陷阱 状态qt。
对于陷阱状态，定义δ(q，x)=qt。 陷阱状态qt，仅仅有入口边，没有出口边，一定
不是开始状态。 此时，δ函数的个数 = |Q| * |∑|。
q2: 有限状态自动机在q1后又读到1个0（读到连 续的2个0）；
q续3:的有3个限0状）态；自惟动一机的在接q2收后状又态读。到1个0（读到连
因此，基本的状态转移函数为：
δ(q0，0)=q1 δ(q1，0)=q2 δ(q2，0)=q3
定义6-9 有限状态自动机停机的定义
有限状态自动机在下面两种情况下停机：
（1）有限状态自动机将输入串扫描结束时，或
（2）有限状态自动机的当前格局为：qar，而 有限状态自动机没有对应的δ函数的定义，即 δ(q，a)=？ （此时，一定没有扫描完输入串）
注意1：
有限状态自动机停机时，并不一定接 收扫描过的串（已经读入的符号串）；
δ是Q×∑→Q的状态转换函数，即δ(q， x)= q′；代表自动机在状态q时，扫描字符 x后到达状态q′。
理论上，有限状态自动机的状态转换函数 的个数应该为|Q|*|∑|。因为对于Q中的每 个状态，都应该定义扫描字母表∑上的每 个字母的状态转换函数。
例6-2 有限状态自动机FSAM=（{ q0，q1}， {0，1}，δ，q0，{q0}），其中δ为：
第六章 有限状态自动机和有限状态语言
已经介绍过从产生语言的角度定义语言的 形式；下面从识别语言的角度来定义语言。
有限状态自动机(FSM “finite state machine” 或者FSA “finite state automaton”)是为研究有限内存的计算过 程和某些语言类而抽象出的一种计算模型。
…
qn-2→wn-1qn-1 qn-1→wnqn
或 qn-1→wn （qn是接收状态）
所以 对自动机M： δ*（q, α）= q′ δ*（q0， w）∈F
对文法： q=>*αq′
q0=>*w
FSL={（0，1）0*1}*，接收该语言的有限状态自 动机
构造右线性文法产生该语言：
q0→0q1|1q1|ε q1→1q0|0q1|1
定义6-6 扩展的状态转换函数的形式 定义
δ*（q，ε）=q；
δ*（q， x）=δ（q， x）；其中x 是一个字母；
对于串w=αx（x是一个字母，α是一 个字符串）；
δ*（q， w） =δ*（q， αx） =δ（δ*（q， α），x）；
或者：对于串w= xα（x是一个字母， α是一个字符串）；
有限状态自动机拥有有限数量的状态，每 个状态可以迁移到零个或多个状态，输入 字串决定执行哪个状态的迁移。有限状态 自动机可以表示为一个有向图(称之为状 态转换图)。
有限状态自动机是自动机理论的研究对象。
有多种类型的有限状态自动机：接受器判 断是否接受输入；转换器对给定输入产生 一个输出。常见的转换器有Moore机与 Mealy机。Moore 机对每一个状态都附加 有输出动作，Mealy 机对每一个转移都附 加有输出动作。
表示为函数形式：
δ(q0，0)=q1；δ(q0，1)=q1； δ(q1，0)= q1；δ(q1，1)= q0；
或者表示为状态矩阵的形式。如图6-2所 示。
Q
01
q0
q1 q1
q1

q1 q0
或者表示为状态图的形式。如图6-3所示。 状态图是一个有向、有循环的图。一个节点
表示一个状态；若有δ(q，x)= q′，则 状态q到状态q′有一条有向边，并用字母x作
有限状态自动机的动作简化为：
FSC根据当前的状态和当前带上的字符， 进行FSC状态的改变。
定义6-1 有限（有穷）状态自动机（接收机） 的定义
字母表∑上的有限状态接收机（FSAM）是 一个五元式，FSAM=（Q，∑，δ，q0，F），
其中： Q是一个有限状态的集合； ∑是字母表，也就是输入带上的字符的集合； q0∈Q是开始状态； FСQ是接收状态（终止状态）集合；
如果紧接着读入的还是字符0，它就 有可能是000子串的第2个0，也就需 要记住这个0，继续读入字符，如果 还是0，则表明已经发现子串000，否 则，需要重新寻找子串000。
FSC的状态极其意义
q0: 有限状态自动机的开始状态；也是重新寻找 子串000时的状态
q1: 有限状态自动机读到第1个0，有可能是子 串000的第1个0；；
定理 右线性语言对补运算是封 闭的
证明： 假 设 L1 是 字 母 表 ∑ 上 的 有 限 状 态 语 言 ， 且
L1=L(FSAM1)，FSAM1=（Q，∑，δ，q0，F），而
FSAM2=（Q，∑，δ，q0，Q）接收的语言是右线
性语言L1的对应的全集。 对 L1 的 补 运 算 得 到 的 语 言 L2=L(FSAM′) ，
如果将该自动机的接收状态和非接收 状态对调，即将状态S、M、和陷阱状态qt 都设置为接收状态，而将原来的接收状态 F设置为非接收状态，那么，自动机接收 的语言是什么？
构造有限状态自动机M，识别{0，1}上的 语言L={x000y|x，y∈{0，1}*}。
分析：
语言L={x000y|x，y∈{0∈0∈{0，1}*}， 该语言的特点是语言中的每个串都包含连 续的3个0（即每个串都包含子串000），
格局的转换可以记为：qar => q′r；
有限状态自动机初始格局为：q0w；
接收格局为：qαε
其中:
q0是开始状态,qα是某个接收状态；
使用=>*代表格局的多次转换。
也可以使用格局的转换方式定义有限 状态自动机接收的语言。
有限状态自动机接收的语言L(M)={w| q0w =>* qαε；w∈∑*且qα∈F}。
的串w=w1w2…wn；初始时，自动机M处于开 始 状 态 q0 ； 从 左 到 右 逐 个 字 符 地 扫 描 串 w ； 在δ(q0，w1)= q1的作用下，自动机M处于 状态q1，在δ(q1，w2)=q2的的作用下，自 动机M处于状态q2，…；
当将串w扫描结束后，若自动机处于某一 个接收状态，则称有限状态自动机能够接 收（识别）串w。对于自动机而言，从开 始状态开始，在扫描串的过程中，状态逐 个地变化，直到某个接收状态，我们把状 态的变化过程称为自动机的一条路径，而 这条路径上所标记的字符的连接，就是自 动机所识别的串。
定理6-10 每个FSL都是一个右线性语言。
证明思路：
假设L是字母表∑上的有限状态语言，且 L=L(FSAM ） ， FSAM= （ Q ， ∑ ， δ ， q0 ， F），构造右线性文法G=（∑，Q，q0，P） （将自动机的状态当作是文法的非终结 符），其中P为：