形式语言06章有限状态自动机和有限状态语言
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有限状态自动机将输入串扫描结束停 机时，如果有限状态自动机处于某一 个接收状态，则表示接收整个串；
有限状态自动机将输入串扫描结束停机时，如 果有限状态自动机没有处于任何的接收状态， 则表示不接收整个输入串；
有限状态自动机没有扫描完整个输入串就停机， 一定不会接收整个输入串；如果此时有限状态 自动机处于某一个接收状态，则说明已经扫描 过的串（是整个串的子串，而不是整个输入串） 能够被有限状态自动机接收。
有限状态自动机的动作简化为：
FSC根据当前的状态和当前带上的字符， 进行FSC状态的改变。
定义6-1 有限（有穷）状态自动机（接收机） 的定义
字母表∑上的有限状态接收机（FSAM）是 一个五元式，FSAM=（Q，∑，δ，q0，F），
其中： Q是一个有限状态的集合； ∑是字母表，也就是输入带上的字符的集合； q0∈Q是开始状态； FСQ是接收状态（终止状态）集合；
δ*（q， w） =δ*（q， xα） =δ*（δ（q， x），α）
定义6-7 FSAM接收的语言的定义 L(M)表示被FSAM=（Q，∑，δ，q0，
F）接收的语言，它在字母表∑上， 即L(M）С∑*，则 L(M）={w|w∈∑*且δ*（q0， w） ∈F}。
若语言LС∑*，对于某个有限状态自 动机M，有L=L(M)，则称语言L为一个 有限状态语言（FSL）。
定义6-6 扩展的状态转换函数的形式 定义
δ*（q，ε）=q；
δ*（q， x）=δ（q， x）；其中x 是一个字母；
对于串w=αx（x是一个字母，α是一 个字符串）；
δ*（q， w） =δ*（q， αx） =δ（δ*（q， α），x）；
或者：对于串w= xα（x是一个字母， α是一个字符串）；
(4)系统中有一个状态，它是系统的开始状态。 (5)系统中还有一些状态表示它到目前为止所读
入的字符构成的字符串是语言的一个句子 有限状态自动机物理模型如图6-1所示。
一个输入存储带，带被分解为单元，每个单元 存放一个输入符号（字母表上的符号），整个 输入串从带的左端点开始存放，而带的右端可 以无限扩充；
第六章 有限状态自动机和有限状态语言
已经介绍过从产生语言的角度定义语言的 形式；下面从识别语言的角度来定义语言。
有限状态自动机(FSM “finite state machine” 或者FSA “finite state automaton”)是为研究有限内存的计算过 程和某些语言类而抽象出的一种计算模型。
Leabharlann Baidu
有限状态自动机拥有有限数量的状态，每 个状态可以迁移到零个或多个状态，输入 字串决定执行哪个状态的迁移。有限状态 自动机可以表示为一个有向图(称之为状 态转换图)。
有限状态自动机是自动机理论的研究对象。
有多种类型的有限状态自动机：接受器判 断是否接受输入；转换器对给定输入产生 一个输出。常见的转换器有Moore机与 Mealy机。Moore 机对每一个状态都附加 有输出动作，Mealy 机对每一个转移都附 加有输出动作。
标记。
一个圆圈代表一个状态，’→’指向的状 态是开始状态，两个圆圈代表的状态是接 收状态；在比较明确的情况下，可以用状 态图表示一个有限状态自动机，而有向边 的数目就是状态转换函数的个数。
6.2 有限状态自动机识别语言
定义6-3 有限状态自动机接收串的定义 对于有限状态自动机M，给定字母表∑上
注意2:
有限状态自动机的某个状态q，如果对于字母表 上的字母x没有对应的δ函数的定义，可以省略 掉该δ函数；或者定义一个特殊的状态：陷阱 状态qt。
对于陷阱状态，定义δ(q，x)=qt。 陷阱状态qt，仅仅有入口边，没有出口边，一定
不是开始状态。 此时，δ函数的个数 = |Q| * |∑|。
表示为函数形式：
δ(q0，0)=q1；δ(q0，1)=q1； δ(q1，0)= q1；δ(q1，1)= q0；
或者表示为状态矩阵的形式。如图6-2所 示。
Q
01
q0
q1 q1
q1
q1 q0
或者表示为状态图的形式。如图6-3所示。 状态图是一个有向、有循环的图。一个节点
表示一个状态；若有δ(q，x)= q′，则 状态q到状态q′有一条有向边，并用字母x作
定义6-8 有限状态自动机的瞬 时描述（格局）的定义
瞬时描述是一个二元式：qy；y∈∑*， 其中： y是输入带上还没有被扫描到的字符
串，FSC当前状态为q，读头将马上扫 描y串的最左边第1个符号。
格局可以发生转换（改变），格局发生转 换的原因是由于δ函数的一次作用。
如果当前格局为：qar，有δ函数：δ(q， a)= q′，则下一格局为： q′r ；
FSAM′=（Q，∑，δ，q0，Q-F），所以L2也是 FSL语言（右线性语言）。证毕。
注意： 此时的FSAM1的δ函数的个数 = |Q| * |∑|；即
需要陷阱状态。
6.3 有限状态自动机识别语言的例子
例6-12 接收语言L={ab}的有限状态自动机
思考
如果将该自动机的所有状态都设置为接收 状态（包括陷阱状态），那么，自动机接 收的语言是什么？
格局的转换可以记为：qar => q′r；
有限状态自动机初始格局为：q0w；
接收格局为：qαε
其中:
q0是开始状态,qα是某个接收状态；
使用=>*代表格局的多次转换。
也可以使用格局的转换方式定义有限 状态自动机接收的语言。
有限状态自动机接收的语言L(M)={w| q0w =>* qαε；w∈∑*且qα∈F}。
q2: 有限状态自动机在q1后又读到1个0（读到连 续的2个0）；
q续3:的有3个限0状）态；自惟动一机的在接q2收后状又态读。到1个0（读到连
因此，基本的状态转移函数为：
δ(q0，0)=q1 δ(q1，0)=q2 δ(q2，0)=q3
δ是Q×∑→Q的状态转换函数，即δ(q， x)= q′；代表自动机在状态q时，扫描字符 x后到达状态q′。
理论上，有限状态自动机的状态转换函数 的个数应该为|Q|*|∑|。因为对于Q中的每 个状态，都应该定义扫描字母表∑上的每 个字母的状态转换函数。
例6-2 有限状态自动机FSAM=（{ q0，q1}， {0，1}，δ，q0，{q0}），其中δ为：
定义6-4 有限状态自动机接收的语言 的定义
对于字母表∑上的有限状态自动机M， 它能识别的所有串的集合，称为自动 机M能识别的语言。记为L(M)。
定义6-5 扩展的状态转换函数的定义
给定FSAM，定义扩展的状态转换函数 δ*：Q×∑*→Q为：δ*（q，w）=q′
即自动机在一个状态q时，扫描串w后 到达唯一确定的状态q′。
定义6-9 有限状态自动机停机的定义
有限状态自动机在下面两种情况下停机：
（1）有限状态自动机将输入串扫描结束时，或
（2）有限状态自动机的当前格局为：qar，而 有限状态自动机没有对应的δ函数的定义，即 δ(q，a)=？ （此时，一定没有扫描完输入串）
注意1：
有限状态自动机停机时，并不一定接 收扫描过的串（已经读入的符号串）；
U{ q→x|δ（q， x）∈F }
特别地，若开始状态也是接收状态， 则有q0→ε；
对于串w=w1w2…wn： 自动机M： δ（q0， w1）=q1 δ（q1， w2）=q2 …
δ（qn-2，wn-1）=qn-1 δ（qn-1， wn）=qn
则文法有
q0→w1q1； q1→w2q2；
定理6-10 每个FSL都是一个右线性语言。
证明思路：
假设L是字母表∑上的有限状态语言，且 L=L(FSAM ） ， FSAM= （ Q ， ∑ ， δ ， q0 ， F），构造右线性文法G=（∑，Q，q0，P） （将自动机的状态当作是文法的非终结 符），其中P为：
{q→xq′|δ（q， x）=q′}
定理 右线性语言对补运算是封 闭的
证明： 假 设 L1 是 字 母 表 ∑ 上 的 有 限 状 态 语 言 ， 且
L1=L(FSAM1)，FSAM1=（Q，∑，δ，q0，F），而
FSAM2=（Q，∑，δ，q0，Q）接收的语言是右线
性语言L1的对应的全集。 对 L1 的 补 运 算 得 到 的 语 言 L2=L(FSAM′) ，
(1)系统具有有穷个状态，不同的状态代表不同的 意义。按照实际的需要，系统可以在不同的状态 下完成规定的任务。
(2)我们可以将输入字符串中出现的字符汇集在一 起构成一个字母表。系统处理的所有字符串都是 这个字母表上的字符串。
(3)系统在任何一个状态下，从输入字符串中读 入一个字符，根据当前状态和读入的这个字符 转到新的状态。
的串w=w1w2…wn；初始时，自动机M处于开 始 状 态 q0 ； 从 左 到 右 逐 个 字 符 地 扫 描 串 w ； 在δ(q0，w1)= q1的作用下，自动机M处于 状态q1，在δ(q1，w2)=q2的的作用下，自 动机M处于状态q2，…；
当将串w扫描结束后，若自动机处于某一 个接收状态，则称有限状态自动机能够接 收（识别）串w。对于自动机而言，从开 始状态开始，在扫描串的过程中，状态逐 个地变化，直到某个接收状态，我们把状 态的变化过程称为自动机的一条路径，而 这条路径上所标记的字符的连接，就是自 动机所识别的串。
如果将该自动机的接收状态和非接收 状态对调，即将状态S、M、和陷阱状态qt 都设置为接收状态，而将原来的接收状态 F设置为非接收状态，那么，自动机接收 的语言是什么？
构造有限状态自动机M，识别{0，1}上的 语言L={x000y|x，y∈{0，1}*}。
分析：
语言L={x000y|x，y∈{0∈0∈{0，1}*}， 该语言的特点是语言中的每个串都包含连 续的3个0（即每个串都包含子串000），
…
qn-2→wn-1qn-1 qn-1→wnqn
或 qn-1→wn （qn是接收状态）
所以 对自动机M： δ*（q, α）= q′ δ*（q0， w）∈F
对文法： q=>*αq′
q0=>*w
FSL={（0，1）0*1}*，接收该语言的有限状态自 动机
构造右线性文法产生该语言：
q0→0q1|1q1|ε q1→1q0|0q1|1
有限状态自动机还可以分成确定与非确定 两种。非确定有限状态自动机可以转化为 确定有限状态自动机。
有限状态自动机识别的语言是正则语言 RL。
有限状态自动机除了它在理论上的价值， 还在数字电路设计、词法分析、文本编辑 器程序等领域得到了应用。
6.1 有限状态自动机
有穷状态自动机是具有离散输入和输出的系统的 一种数学模型。其主要特点有以下几个方面：
一个有穷状态控制器（FSC），该控制器的状 态只能是有穷多个；FSC通过一个读头和带上 单元发生耦合，可以读出当前带上单元的字符。 初始时，读头对应带的最左单元，每读出一个 字符，读头向右移动一个单元（读头不允许向 左移动）。
有限状态自动机的一个动作为：
读头读出带上当前单元的字符；FSC根据 当前FSC的状态和读出的字符，改变FSC 的状态；并将读头向右移动一个单元。
因此，对于任何输入串，有限状态自动机 的任务就是要检查该输入串中是否存在子 串000，一旦发现输入串包含有000，则表 示输入串是个合法的句子（是属于语言中 的一个串），因此，在确认输入串包含 000后，就可以逐一地读入输入串的后面 的字符，并接收该输入串。
问题的关键是如何发现子串000。
由于字符是逐一读入的，当从输入串 中读入一个0时，它就有可能是000子 串的第1个0，就需要记住这个0；如 果紧接着读入的是字符1，则刚才读 入的0就不是子串000的第1个0，此时， 需要重新寻找000子串的第1个0；
如果紧接着读入的还是字符0，它就 有可能是000子串的第2个0，也就需 要记住这个0，继续读入字符，如果 还是0，则表明已经发现子串000，否 则，需要重新寻找子串000。
FSC的状态极其意义
q0: 有限状态自动机的开始状态；也是重新寻找 子串000时的状态
q1: 有限状态自动机读到第1个0，有可能是子 串000的第1个0；；
有限状态自动机将输入串扫描结束停机时，如 果有限状态自动机没有处于任何的接收状态， 则表示不接收整个输入串；
有限状态自动机没有扫描完整个输入串就停机， 一定不会接收整个输入串；如果此时有限状态 自动机处于某一个接收状态，则说明已经扫描 过的串（是整个串的子串，而不是整个输入串） 能够被有限状态自动机接收。
有限状态自动机的动作简化为：
FSC根据当前的状态和当前带上的字符， 进行FSC状态的改变。
定义6-1 有限（有穷）状态自动机（接收机） 的定义
字母表∑上的有限状态接收机（FSAM）是 一个五元式，FSAM=（Q，∑，δ，q0，F），
其中： Q是一个有限状态的集合； ∑是字母表，也就是输入带上的字符的集合； q0∈Q是开始状态； FСQ是接收状态（终止状态）集合；
δ*（q， w） =δ*（q， xα） =δ*（δ（q， x），α）
定义6-7 FSAM接收的语言的定义 L(M)表示被FSAM=（Q，∑，δ，q0，
F）接收的语言，它在字母表∑上， 即L(M）С∑*，则 L(M）={w|w∈∑*且δ*（q0， w） ∈F}。
若语言LС∑*，对于某个有限状态自 动机M，有L=L(M)，则称语言L为一个 有限状态语言（FSL）。
定义6-6 扩展的状态转换函数的形式 定义
δ*（q，ε）=q；
δ*（q， x）=δ（q， x）；其中x 是一个字母；
对于串w=αx（x是一个字母，α是一 个字符串）；
δ*（q， w） =δ*（q， αx） =δ（δ*（q， α），x）；
或者：对于串w= xα（x是一个字母， α是一个字符串）；
(4)系统中有一个状态，它是系统的开始状态。 (5)系统中还有一些状态表示它到目前为止所读
入的字符构成的字符串是语言的一个句子 有限状态自动机物理模型如图6-1所示。
一个输入存储带，带被分解为单元，每个单元 存放一个输入符号（字母表上的符号），整个 输入串从带的左端点开始存放，而带的右端可 以无限扩充；
第六章 有限状态自动机和有限状态语言
已经介绍过从产生语言的角度定义语言的 形式；下面从识别语言的角度来定义语言。
有限状态自动机(FSM “finite state machine” 或者FSA “finite state automaton”)是为研究有限内存的计算过 程和某些语言类而抽象出的一种计算模型。
Leabharlann Baidu
有限状态自动机拥有有限数量的状态，每 个状态可以迁移到零个或多个状态，输入 字串决定执行哪个状态的迁移。有限状态 自动机可以表示为一个有向图(称之为状 态转换图)。
有限状态自动机是自动机理论的研究对象。
有多种类型的有限状态自动机：接受器判 断是否接受输入；转换器对给定输入产生 一个输出。常见的转换器有Moore机与 Mealy机。Moore 机对每一个状态都附加 有输出动作，Mealy 机对每一个转移都附 加有输出动作。
标记。
一个圆圈代表一个状态，’→’指向的状 态是开始状态，两个圆圈代表的状态是接 收状态；在比较明确的情况下，可以用状 态图表示一个有限状态自动机，而有向边 的数目就是状态转换函数的个数。
6.2 有限状态自动机识别语言
定义6-3 有限状态自动机接收串的定义 对于有限状态自动机M，给定字母表∑上
注意2:
有限状态自动机的某个状态q，如果对于字母表 上的字母x没有对应的δ函数的定义，可以省略 掉该δ函数；或者定义一个特殊的状态：陷阱 状态qt。
对于陷阱状态，定义δ(q，x)=qt。 陷阱状态qt，仅仅有入口边，没有出口边，一定
不是开始状态。 此时，δ函数的个数 = |Q| * |∑|。
表示为函数形式：
δ(q0，0)=q1；δ(q0，1)=q1； δ(q1，0)= q1；δ(q1，1)= q0；
或者表示为状态矩阵的形式。如图6-2所 示。
Q
01
q0
q1 q1
q1
q1 q0
或者表示为状态图的形式。如图6-3所示。 状态图是一个有向、有循环的图。一个节点
表示一个状态；若有δ(q，x)= q′，则 状态q到状态q′有一条有向边，并用字母x作
定义6-8 有限状态自动机的瞬 时描述（格局）的定义
瞬时描述是一个二元式：qy；y∈∑*， 其中： y是输入带上还没有被扫描到的字符
串，FSC当前状态为q，读头将马上扫 描y串的最左边第1个符号。
格局可以发生转换（改变），格局发生转 换的原因是由于δ函数的一次作用。
如果当前格局为：qar，有δ函数：δ(q， a)= q′，则下一格局为： q′r ；
FSAM′=（Q，∑，δ，q0，Q-F），所以L2也是 FSL语言（右线性语言）。证毕。
注意： 此时的FSAM1的δ函数的个数 = |Q| * |∑|；即
需要陷阱状态。
6.3 有限状态自动机识别语言的例子
例6-12 接收语言L={ab}的有限状态自动机
思考
如果将该自动机的所有状态都设置为接收 状态（包括陷阱状态），那么，自动机接 收的语言是什么？
格局的转换可以记为：qar => q′r；
有限状态自动机初始格局为：q0w；
接收格局为：qαε
其中:
q0是开始状态,qα是某个接收状态；
使用=>*代表格局的多次转换。
也可以使用格局的转换方式定义有限 状态自动机接收的语言。
有限状态自动机接收的语言L(M)={w| q0w =>* qαε；w∈∑*且qα∈F}。
q2: 有限状态自动机在q1后又读到1个0（读到连 续的2个0）；
q续3:的有3个限0状）态；自惟动一机的在接q2收后状又态读。到1个0（读到连
因此，基本的状态转移函数为：
δ(q0，0)=q1 δ(q1，0)=q2 δ(q2，0)=q3
δ是Q×∑→Q的状态转换函数，即δ(q， x)= q′；代表自动机在状态q时，扫描字符 x后到达状态q′。
理论上，有限状态自动机的状态转换函数 的个数应该为|Q|*|∑|。因为对于Q中的每 个状态，都应该定义扫描字母表∑上的每 个字母的状态转换函数。
例6-2 有限状态自动机FSAM=（{ q0，q1}， {0，1}，δ，q0，{q0}），其中δ为：
定义6-4 有限状态自动机接收的语言 的定义
对于字母表∑上的有限状态自动机M， 它能识别的所有串的集合，称为自动 机M能识别的语言。记为L(M)。
定义6-5 扩展的状态转换函数的定义
给定FSAM，定义扩展的状态转换函数 δ*：Q×∑*→Q为：δ*（q，w）=q′
即自动机在一个状态q时，扫描串w后 到达唯一确定的状态q′。
定义6-9 有限状态自动机停机的定义
有限状态自动机在下面两种情况下停机：
（1）有限状态自动机将输入串扫描结束时，或
（2）有限状态自动机的当前格局为：qar，而 有限状态自动机没有对应的δ函数的定义，即 δ(q，a)=？ （此时，一定没有扫描完输入串）
注意1：
有限状态自动机停机时，并不一定接 收扫描过的串（已经读入的符号串）；
U{ q→x|δ（q， x）∈F }
特别地，若开始状态也是接收状态， 则有q0→ε；
对于串w=w1w2…wn： 自动机M： δ（q0， w1）=q1 δ（q1， w2）=q2 …
δ（qn-2，wn-1）=qn-1 δ（qn-1， wn）=qn
则文法有
q0→w1q1； q1→w2q2；
定理6-10 每个FSL都是一个右线性语言。
证明思路：
假设L是字母表∑上的有限状态语言，且 L=L(FSAM ） ， FSAM= （ Q ， ∑ ， δ ， q0 ， F），构造右线性文法G=（∑，Q，q0，P） （将自动机的状态当作是文法的非终结 符），其中P为：
{q→xq′|δ（q， x）=q′}
定理 右线性语言对补运算是封 闭的
证明： 假 设 L1 是 字 母 表 ∑ 上 的 有 限 状 态 语 言 ， 且
L1=L(FSAM1)，FSAM1=（Q，∑，δ，q0，F），而
FSAM2=（Q，∑，δ，q0，Q）接收的语言是右线
性语言L1的对应的全集。 对 L1 的 补 运 算 得 到 的 语 言 L2=L(FSAM′) ，
(1)系统具有有穷个状态，不同的状态代表不同的 意义。按照实际的需要，系统可以在不同的状态 下完成规定的任务。
(2)我们可以将输入字符串中出现的字符汇集在一 起构成一个字母表。系统处理的所有字符串都是 这个字母表上的字符串。
(3)系统在任何一个状态下，从输入字符串中读 入一个字符，根据当前状态和读入的这个字符 转到新的状态。
的串w=w1w2…wn；初始时，自动机M处于开 始 状 态 q0 ； 从 左 到 右 逐 个 字 符 地 扫 描 串 w ； 在δ(q0，w1)= q1的作用下，自动机M处于 状态q1，在δ(q1，w2)=q2的的作用下，自 动机M处于状态q2，…；
当将串w扫描结束后，若自动机处于某一 个接收状态，则称有限状态自动机能够接 收（识别）串w。对于自动机而言，从开 始状态开始，在扫描串的过程中，状态逐 个地变化，直到某个接收状态，我们把状 态的变化过程称为自动机的一条路径，而 这条路径上所标记的字符的连接，就是自 动机所识别的串。
如果将该自动机的接收状态和非接收 状态对调，即将状态S、M、和陷阱状态qt 都设置为接收状态，而将原来的接收状态 F设置为非接收状态，那么，自动机接收 的语言是什么？
构造有限状态自动机M，识别{0，1}上的 语言L={x000y|x，y∈{0，1}*}。
分析：
语言L={x000y|x，y∈{0∈0∈{0，1}*}， 该语言的特点是语言中的每个串都包含连 续的3个0（即每个串都包含子串000），
…
qn-2→wn-1qn-1 qn-1→wnqn
或 qn-1→wn （qn是接收状态）
所以 对自动机M： δ*（q, α）= q′ δ*（q0， w）∈F
对文法： q=>*αq′
q0=>*w
FSL={（0，1）0*1}*，接收该语言的有限状态自 动机
构造右线性文法产生该语言：
q0→0q1|1q1|ε q1→1q0|0q1|1
有限状态自动机还可以分成确定与非确定 两种。非确定有限状态自动机可以转化为 确定有限状态自动机。
有限状态自动机识别的语言是正则语言 RL。
有限状态自动机除了它在理论上的价值， 还在数字电路设计、词法分析、文本编辑 器程序等领域得到了应用。
6.1 有限状态自动机
有穷状态自动机是具有离散输入和输出的系统的 一种数学模型。其主要特点有以下几个方面：
一个有穷状态控制器（FSC），该控制器的状 态只能是有穷多个；FSC通过一个读头和带上 单元发生耦合，可以读出当前带上单元的字符。 初始时，读头对应带的最左单元，每读出一个 字符，读头向右移动一个单元（读头不允许向 左移动）。
有限状态自动机的一个动作为：
读头读出带上当前单元的字符；FSC根据 当前FSC的状态和读出的字符，改变FSC 的状态；并将读头向右移动一个单元。
因此，对于任何输入串，有限状态自动机 的任务就是要检查该输入串中是否存在子 串000，一旦发现输入串包含有000，则表 示输入串是个合法的句子（是属于语言中 的一个串），因此，在确认输入串包含 000后，就可以逐一地读入输入串的后面 的字符，并接收该输入串。
问题的关键是如何发现子串000。
由于字符是逐一读入的，当从输入串 中读入一个0时，它就有可能是000子 串的第1个0，就需要记住这个0；如 果紧接着读入的是字符1，则刚才读 入的0就不是子串000的第1个0，此时， 需要重新寻找000子串的第1个0；
如果紧接着读入的还是字符0，它就 有可能是000子串的第2个0，也就需 要记住这个0，继续读入字符，如果 还是0，则表明已经发现子串000，否 则，需要重新寻找子串000。
FSC的状态极其意义
q0: 有限状态自动机的开始状态；也是重新寻找 子串000时的状态
q1: 有限状态自动机读到第1个0，有可能是子 串000的第1个0；；