实验一 解线性方程组的直接法(1)

0 0 0 5.0800
>> b=[8 5.900001 5 1]'
b =
8.0000
5.9000
5.0000
1.0000
>> y=l\b
y =
8.0000
1.0000
8.3000
5.0800
>> x1=U\x
x1 =
0.0000
-1.0000
1.0000
1.0000
>>det1= det(a)
det1 =-762.0001
end
在命令框中输入下列命令：
>> a=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2]
a =
10.0000 -7.0000 0 1.0000
-3.0000 2.1000 6.0000 2.0000
5.0000 -1.0000 5.0000 -1.0000
2.0000 1.0000 0 2.0000
A =
3.0000 6.0300 1.9900
1.2700 4.1600 -1.2300
0.9900 -4.8100 9.3400
>> b=[1 1 1]'
b =
1
1
1
>>[x2,det2,index]=Gauss5555(A,b)
x2 =
119.5273
-47.1426
-36.8403
det2 =
-1.11E-16
4
1.00030715
0.000307149
0
4
0.99983898
-0.000161019
0
4
1.00003537
3.54E-05
0
5
n=11时：
Δx
rn
（1）分别对 计算 ，分析条件数作为 的函数如何变化。（2）令 ，计算 ，然后用高斯消去法解线性方程组 求出 ，计算剩余向量 以及 。分析当 增加时解 分量的有效位数如何随 变化，它与条件数有何关系？当 多大时 连一位有效数字也没有了？
将每种情形的两个结果进行表格对比，如：
n=6时：
GAUSS列主消去法求得的
index = find(A(:,k)==-ak);
end
%交换列主元
temp = A(index,:);
A(index,:) = A(k,:);
A(k,:) = temp;
temp = b(index);b(index) = b(k); b(k) = temp;
%消元过程
for i=k+1:n
m=A(i,k)/A(k,k);
-0.4070
index =
1
3、在MATLAB窗口：
A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];
b=[32 23 33 31]';
x=A\b
b1=[32.1 22.9 33.1 30.9]';
x1=A\b1
A1=[10 7 8.1 7.2;7.08 5.04 6 5;8 5.98 9.89 9;6.99 5 9 9.98];
for i=1:n
L(i,i)=1;
end
for k=1:n
for j=k:n
U(k,j)=A(k,j)-sum(L(k,1:k-1).*U(1:k-1,j)');
end
for i=k+1:n
L(i,k)=(A(i,k)-sum(L(i,1:k-1).*U(1:k-1,k)'))/U(k,k);
end
>> [l,u]=lu(a)
l =
1.0000 0 0 0
-0.3000 -0.0000 1.0000 0
0.5000 1.0000 0 0
0.2000 0.9600 -0.8000 1.0000
u =
10.0000 -7.0000 0 1.0000
0 2.5000 5.0000 -1.5000
0 0 6.0000 2.3000
x1 =
9.2000
-12.6000
4.5000
-1.1000
x2 =
-9.5863
18.3741
-3.2258
3.5240
delta_b =
0.0033
delta_A =
0.0076
delta_x1 =
8.1985
delta_x2 =
10.4661
cond_A =
2.9841e+03
3、在MATLAB窗口：
%高斯列主元消去法，要求系数矩阵非奇异的，%
n = size(A,1);
if abs(det(A))<= 1e-8
error('系数矩阵是奇异的');
return;
end
%
for k=1:n
ak = max(abs(A(k:n,k)));
index = find(A(:,k)==ak);
if length(index) == 0
的有效数字
四、实验结果
五、讨论分析
（对上述算例的计算结果进行比较分析，主要说清matlab的算符与消去法的适用范围不同，自己补充）
六、改进实验建议
（自己补充）
1.列主元的高斯消去法
利用列主元的高斯消去法matlab程序源代码：
首先建立一个gaussMethod.m的文件，用来实现列主元的消去方法。
function x=gaussMethod(A,b)
然后调用gaussMethod函数，来实现列主元的高斯消去法。在命令框中输入下列命令：
输出结果如下：
利用LU分解法及matlab程序源代码：
function [L,U]=myLU(A) %实现对矩阵A的LU分解，L为下三角矩阵
A[n,n]=size(A);
L=zeros(n,n);
U=zeros(n,n);
1.00000228
2.28E-06
4.44E-16
6
0.99999164
-8.36E-06
0
5
1.00001706
1.71E-05
0
5
0.99998042
-1.96E-05
-1.11E-16
5
1.00001182
1.18E-05
0
5
0.99999708
-2.92E-06
0
6
n=10时：
Δx
rn
有效数字
x2=A1\b
delta_b=norm(b-b1)/norm(b)
delta_A=norm(A-A1)/norm(A)
delta_x1=norm(x-x1)/norm(x)
delta_x2=norm(x-x2)/norm(x)
cond_A=cond(A)
x =
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
%消除列元素
A(i,k+1:n)=A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n);
b(i)=b(i)-m*b(k);
end
end
%回代过程
x(n)=b(n)/A(n,n);
for k=n-1:-1:1;
x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n)')/A(k,k);
end
x=x';
end
x1=gauss2(H,b0);
r(1:i,(i-1))=b0-H*x1;
x11(1:i,(i-1))=x1;
end
dx=x11-x0;
结果如下：
co=[0,27, 748,28375,943656, 29070279]可见，条件数随着n的增大，急剧增加，如图1所示。
将（2）求得的结果（dx，x11）整理得
3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)；
4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。
5、写出实验报告。
三.实验步骤
1、用 分解及列主元高斯消去法解线性方程组
a) ，
输出 中系数 分解的矩阵 和 ，解向量 和 ;用列主元法的行交换次序解向量 和求 ；比较两种方法所得结果。
2、用列主高斯消元法解线性方程组 。
实验报告
课程名称数值分析
实验项目解线性方程组的直接法
专业班级姓名学号
指导教师成绩日期月日
一.实验目的
1、掌握程序的录入和matlab的使用和操作；
2、了解影响线性方程组解的精度的因素——方法与问题的性态。
3、学会Matlab提供的“\”的求解线性方程组。
二.实验要求
1、按照题目要求完成实验内容；
2、写出相应的Matlab程序；
2、（1）在MATLAB窗口：
>>A=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34]
A =
3.0100 6.0300 1.9900
1.2700 4.1600 -1.2300
0.9870 -4.8100 9.3400
>> b=[1 1 1]'
b =
1
12
1
3.96E-13
0
13
n=5时：
Δx
rn
有效数字
1
-1.21E-14
4.44E-16
14
1
6.97E-14
0
13
1
1.18E-13
2.22E-16