数学物理方法期末复习提纲
数学物理方法复习要点13.6.19-24页PPT资料
利用递推公式
P lx P l' 1 x P l' 1 x
上式 u22Pl10Pl10Pl11Pl11
展成广义傅立叶级数。 7、熟练利用连带勒让德多项式给出拉普拉斯方程非轴对称
性定解问题的解。
第十一章 柱函数
1、熟悉三类贝塞尔方程和三类柱函数 2、掌握几类柱函数的自然边界条件 3、熟练掌握贝塞尔函数的递推公式 4、掌握贝塞尔函数的零点与模值 5、能将函数展成贝塞尔级数 6、能熟练解决柱坐标系下的边值问题（波动方程，输运方
第七章 数学物理方程定解问题 1、能导出弦的横振动方程、均匀杆的纵振动方程、扩散
方程、热传导方程、静电场方程 2、能正确写出波动方程、输运方程的初始条件 3、能正确写出数理方程方程的三类边界条件(注意符号的
正负) 固定端、自由端、弹性支撑、绝热、过截面有热量交换
衔接条件：振动问题，两种材料连接，位移连续、连接面上二力相等 静电场：电势相等，点位移矢量连续 4、能正确写出定解问题 5、掌握达朗贝尔公式，熟练运用达朗贝尔公式解无界和半 无界弦波动方程的定解问题 6、明确行波法中波动方程解的物理意义
解格林函数的边值问题。 5、掌握三维无界空间的基本解和二维无界空间极坐
标下的基本解。 6、熟练应用电像法求半空间、球形区域和圆域等的
格林函数 7、运用电像法给出半空间、球形区域和圆域等边值
问题的积分公式。
第十三章 积分变换法
1、掌握傅立叶变换的定义 2、掌握傅立叶变换的基本性质 3、掌握拉普拉斯变换的定义 4、掌握拉普拉斯变换的基本性质 5、熟练运用傅立叶变换法求解无限长杆热传导问
所以
ur,C 0l 1C lrllla l1a rl1P lcos
代入 第二个边界条件，有
数学物理方法总复习
第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
数学物理方法期末复习纲要
第十二章 格林函数 第七章到第十一章的分离变数法得到的解表示为多个的无穷求和 本章将偏
微分方程的解表示为积分形式 格林函数法 1 掌握格林函数是 点源影响函数 的概念 由此可将解表为积分 2 掌握 点源 的数学表达以及第一类边条下格林函数应满足的方程 3 了解格林函数的求法 4 了解方程解的积分表达式
要掌握拉普拉斯方程在球坐标系下的各种定解问题 可以参见附录 以及所附表 1 表 2
第十一章 柱函数 11.1) 理解三类柱函数的定义 J N H 贝塞尔 诺依曼 汉克尔函数
熟悉其渐近行为 特别是 x → 0 的行为
2
11.2) 掌握贝塞尔方程的解 特别注意 µ 本征值通常直接通过贝塞尔函数的
零点来表示 贝塞尔函数也是正交 完备 可归一的 可作为广义傅里叶级数的基 11.4) 掌握虚宗量贝塞尔方程的解 熟悉虚宗量贝塞尔函数 虚宗量汉克尔函 数的渐近行为 11.5) 掌握球贝塞尔方程的解 特别注意球贝塞尔函数 球诺依曼函数的渐近 行为
3 ∆u = 0
4 ∆v + k 2v = 0
它们在 球坐标系 r ,θ,ϕ 和 柱坐标系 ρ,ϕ, z 中分离变数时碰到的
方程包括
P.S.: (记住方程的解 方程本身的形式可看书)
1 欧拉 方程
ρ2
d 2R dρ2
+
ρ
dR dρ
−
m2R
=
0
A + B ln ρ
解为
R(
ρ
)
=
Cρm
+
D
1 ρm
)
八年级上期末复习提纲
一、数学1.小数运算：加减乘除2.分数运算：加减乘除、化简和比较大小3.整数运算：加减乘除、正负数的运算规则4.百分数：转化为小数和分数、百分数的四则运算、利率和利息的计算5.代数式：含有一个或多个未知数的代数式，化简和运算6.等式和方程：如何确定一个数的值、方程求解的基本方法7.数据分析：统计图的制作和解读、平均数的计算二、物理1.光的反射和折射：平面镜和凸透镜的成像原理、折射定律的理解2.声音的传播：机械波的特点和传播方式、声音的反射和回声的产生3.能量与动力学：能量的转化和守恒、力的概念和计算4.电流和电路：电流的基本概念和计算、串联和并联电路的特点和计算5.磁学：磁性物质的特点和分类、磁力的作用及其应用三、化学1.物质与能量：化学反应中物质的变化和能量的变化，化学平衡的概念和条件2.常见元素和化合物：氧气、氮气、水、氢氧化钠等的制备和性质，以及部分常见化合物的化学式和命名3.溶液的制备和性质：浓度的计算、酸碱溶液的鉴别和反应4.物质的组成：原子、元素和化合物的概念，原子结构和元素周期表的基本原理5. 化学方程式：化学反应的表示和平衡，简单红ox反应的认识与应用四、生物1.细胞的组成与功能：原核细胞和真核细胞的结构、细胞器的功能和作用2.生物的五大类：哺乳动物、鱼类、两栖类、爬行类、鸟类的基本特征和适应生活的特点3.生物的周围环境：生物和非生物之间的关系，生物在地球上的分布和演变4.遗传与进化：物种的形成和进化、基因的遗传和变异，遗传规律和遗传的应用5.生命活动与生命体活动调节：呼吸、消化、排泄、运动等生物体的功能和调节机制五、语文1.诗词鉴赏：古诗词的意境和修辞3.阅读与写作：短文的阅读和写作技巧，记叙文、说明文、议论文等文体的特点和写作要求4.语法与修辞：句子成分的识别和分析，修辞手法的运用和鉴赏5.古代文化和文学史：古代文化的传承和影响，古代文学史的时期划分和特点以上是八年级上学期末复习的主要提纲，涵盖到数学、物理、化学、生物和语文的重要知识点。
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
数学物理方法复习提纲
数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念：若在空间某一区域上定义了一个物理量，这个空间区域就称为场。
所定义的物理量则称为场函数。
如果场函数是标量，相应的场称为标量场；如果场函数是矢量，相应的场称为矢量场。
如果场函数只与空间变量有关，而与 时间 变量无关时，相应的场称为定常场（或稳定场）。
一个矢量场，如果场矢量始终平行于某一固定平面，且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变，这样的场称为平面场。
平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。
平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。
平面场中的一个区域实际上是指以该区域为横截面的一个相应的柱体。
平面场中的一个重要概念是复位势：),(),()(y x iv y x u z w +=。
其中实部),(y x u 称为力（流）函数；虚部),(y x v 称为势函数。
),()(),(00),(),(00y x u dy E dx E y x u y x y x x y ++-=⎰),()(),(00),(),(00y x v dy E dx E y x u y x y x y x +--=⎰这两个函数的等值线分别称为力线和等势线；力线的方程为1),(C y x u =；等势线的方程为2),(C y x v =。
要求：熟悉以上概念；给了场函数E ，会求复位势)(z w ；给了复位势)(z w ，会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。
典型习题：写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程： (1) z z z w /1)(+=；(2) 2)(-+=z z z w ；(3) z z z w /1)(2+=；(4) 1/(1)w z =+第六章 保角变换概念：如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数，则称该函数为这个区域上的单叶函数。
函数单叶性的充要条件是：(1)函数在相应区域上解析；(2)函数的导数不为零。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
i 1 li n
复通
l
公式 2 if ( )
l
f ( z) dz z
2 if ( )
l
n f ( z) f ( z) d d z k 1 lk z
求路径积分
第一类情形：沿非闭合曲线的积分
在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析 F ( z) 和 G( z) 的；当 z 在上半平面或实轴上 时， 一致地趋于零
0
1 F ( x) cos mxdx F ( x)e imx dx 2 imz
i{F ( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
0
1 G ( x)sin mxdx G ( x)eimx dx 2i imz {G( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
2
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的自由振动问题
u x 0 0
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
奇延拓
一齐
( x)
( x)
u t 0 ( x)
x0
x0
( x)
ut t 0 ( x)
本性奇点 0 z z0 R内的洛朗级数含有无限个 z z0的负幂项
f ( z)
k k a ( z z ) k 0
z z0
lim f ( z )
不存在
如何判断极点的阶
z z0
lim[( z z0 ) f ( z )] 非零有限值
m
数学物理方法复习资料及参考答案(二)
数学物理方法复习资料及参考答案(二)一、选择题:1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ )A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()(20 B !)(0)(k z f C k k =C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)()(2 2。
⎰=-l dz a z )(（ ） （其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。
A i ⋅πB iC i ⋅-πD 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ )A )()(tB x t A + B x t A )(C )(t BD x t B x t A )()(2+ 4。
)(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨⎧<<<=)(0)0()(t T T t ht f在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） Aw h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D wwTh cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00====l x x xu u 的本征值和本征函数：（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλB ),3,2,1(sin )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλC ),3,2,1,0()21(cos )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X ln n n n ππλD ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X l n nn n ππλ6. 若集合是（ ）,则该集合是区域。
A 开集B 连通开集C 连通闭集D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ）Alim ()Z af Z →存在且有限 Blim ()Z af Z →不存在C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项8。
物理期末考试复习提纲
物理期末考试复习提纲物理是理科的重点学科，而且学习起来又有一些难度。
所以必须要做好复习提纲，这样才能学好物理，下面我给大家共享一些高一物理期末考试复习提纲，盼望能够协助大家，欢送阅读!高一物理期末考试复习提纲一、曲线运动(1)曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
(2)曲线运动的特点：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断改变的。
做曲线运动的质点，其所受的合外力必须不为零，必须具有加速度。
(3)曲线运动物体所受合外力方向和速度方向不在始终线上，且必须指向曲线的凹侧。
二、运动的合成与分解1、深刻理解运动的合成与分解(1)物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由确定的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成;由确定的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解根本关系：1分运动的独立性;2运动的等效性(合运动和分运动是等效替代关系，不能并存);3运动的等时性;4运动的矢量性(加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定那么。
)(2)互成角度的两个分运动的合运动的判定合运动的状况取决于两分运动的速度的合速度与两分运动的加速度的合加速度，两者是否在同始终线上，在同始终线上作直线运动，不在同始终线上将作曲线运动。
①两个直线运动的合运动仍旧是匀速直线运动。
②一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动是曲线运动。
③两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍旧是匀加速直线运动。
④两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。
当两个分运动的初速度的合速度的方向与这两个分运动的合加速度方向在同始终线上时，合运动是匀加速直线运动，否那么是曲线运动。
2、怎样确定合运动和分运动①合运动必须是物体的实际运动②假如选择运动的物体作为参照物，那么参照物的运动和物体相对参照物的运动是分运动，物体相对地面的运动是合运动。
数学物理方法期末复习笔记
《热力学统计物理》期末复习一、简答题1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。
2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。
全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。
描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。
3、简述平衡态统计物理的基本假设。
答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。
等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。
4、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。
答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。
这个热力学函数称为特性函数。
简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。
5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。
答：为了形象的描述粒子的运动状态，用rrp p q q ,,,,11；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态()rrp p q q ,,,,11；可用μ空间的一个点表示。
6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。
陈普春数学物理方法重点_总复习
总复习
递推公式：
2l 1 Pl x Pl 1 ' x Pl 1 ' x 2l 1 xPl x l 1 Pl 1 x lPl 1 x 正交性： 1 2 1 Pl x Pk x dx 2l 1 lk 广义傅里叶级数：
u v x y 充要条件：C-R条件 u v y x
二、柯西定理和柯西公式 1、柯西定理：
单连通区域： f z dz 0
l
复连通区域： f z dz f z dz
l外 i 1 li 内
2、球坐标系下的分离变量法：
m 1
总复习
(1)轴对称：
1 2 u 1 u r 2 sin 0 2 r r r r sin 1 u r , Cl r l Dl l 1 Pl cos r l 0
双曲型 抛物型 椭圆型
总复习
3、定解问题：
泛定方程 初始条件 第一类：u |s 定解条件 边界条件 第二类：u | n s 第三类：u+hu | n s
八、分离变量法： 1、齐次方程的分离变量法：
utt x, t a 2uxx x, t 0 x l , t 0 u 0, t 0 , u l , t 0 u x, 0 x , ut x, 0 x
z z
f 1 k f z 在环域R2 z b R1内解析 f z d z b l b k 1 k 2 i
中南大学数学物理方法复习提纲
m 1
m 1
非齐次方程（包括泊松方程）和非齐次边界 条件的处理 找特解，同时将非齐次方程和非齐次边界条件齐 次化，重在解的过程。
第九章
二阶常微分方程级数解法
球坐标的拉普拉斯方程：
' ' m 2 0 2 d R dR 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr 2 d d m [(1 x 2 ) ] [l (l 1) ] 0 2 dx dx 1 x
( p)
f (t ) L[ ] f ( )d p t d 2p L[t sin t ] [ 2 ] 2 2 2 2 dp p (p ) 1 1 1 sht )d L[ ] L[ sht ]d ( p 2 1 1 p t 1 p 1 1 1 ln (Re p 1) ln 2 1 p 2 p 1
( x ) m ( x x0 )
( x) q ( x x0 )
F (t ) K (t t0 )
f ( ) ( t0 )d f (t0 )
第六章 拉普拉斯变换
f ( p) f (t )e
0
pt
dt
pt
f (t )
2 i
1 z 2 1 1 1 ( z 1)( z 2) z 2 z 1
1 1 1 1 1 (1 / z ) k k 1 z 1 z 1 1 / z z k 0 k 0 z
1 1 1 1 k ( z / 2) z2 2 (1 z / 2) 2 k 0
数学物理方法期末复习提纲
eiz eiz sin z , 2i
周期为2
7
4、双曲函数 e z ez shz 2 5、根式函数
e z ez chz 2
周期为2i
z e i
w n e
i
2 k
n
k 0,1,2,(n 1)
6、对数函数
w ln z ln
z iArgz
1 ak
23
例1 求幂级数 k ( z i) 的收敛圆.
k k 0
解
ak k
ak k R lim lim 1 k k 1 k a k 1
收敛圆: z i 1
24
例2 幂级数
zk e k 0 k !
z
的收敛域。
解:
1 ak lim k ! R lim k 1 k a k 1 (k 1)!
f (0) 0
v 2 y x, x v 2x y y
C 0
1 2 z 2
13
f ( z) z 2 i
例4：已知解析函数 f (z)的虚部 v( x, y ) 求实部 u ( x, y ) 和这个解析函数 f (z) 。
x x2 y2 ，
x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2
4
(2)、乘法和除法 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1ei
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
9
三、解析函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y)
1、柯西-黎曼方程
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辐角：Argz arg z 2k (k 0,1,2,)
共轭复数: z x iy z* x iy
3
2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
(2)、乘法和除法
x y
y x
v
v x
dx
(
y)
(2
y
x)dx
பைடு நூலகம்
(
y)
2
xy
1 2
x2
(
y)
12
v
v x
dx
(
y)
(2
y
x)dx
(
y)
2
xy
1 2
x
2
(
y)
v 2x ( y)
y
( y) y
( y) 1 y2 C
2 v 2xy 1 ( y2 x2 ) C
2
f (z) u iv x2 y2 xy i[2xy 1 ( y2 x2 )] iC 2
8
例1：已知 z 2 3i ，则 zz 13
。
zz 2 x2 y2 13
例2：复数ez 的模为 ex ，辐角为 y 2k , k 0, 1, 2,
.
ez exiy exeiy
9
三、解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 1、柯西-黎曼方程
直角坐标系：
u x u
提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情 况下采用极坐标处理比较方便，即令 2 x2 y 2 。
解： v cos 2
cos
(1 cos)
2 sin 2
2
2 sin
2
14
v 2 sin
2
v
2
sin
1
1 2
1 sin
22
2 2
v 2 cos 1 cos
2
)]
e 1 i(12 ) 2
两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
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(3) 复数的乘方和开方
z n (ei )n
n ein
( n为正整数的情况)
或 n (cos n i sin n )
棣莫弗公式： (cos i sin)n cos n i sin n
n
z
1
n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
i
2k
n e n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
6
二、六种初等复变函数：
1. 幂函数 w z n
2 .指数函数 w e z
周期为2i，
3. 三角函数
cos z eiz eiz , 2
第二篇 数学物理方程
2
第一章 复变函数
一、复数
1、复数的定义
z x iy ——代数式
z (cos i sin) ——三角式
z ei ——指数式
*复数三种表示式之间的转换
实部：x Re z 虚部：y Im z
模： z x2 y2
主辐角：arg
z
arctg(
y x
)
0 arg z 2 ,
v y v
y x
2、解析函数性质
：
u
极坐标系：
1
v
1
u
v
(1)、若 f (z) u(x, y) iv(x, y) 是解析函数，则u v 0 。
(2)、若函数 f (z) u iv 在区域 B上解析，则 u和v
必为B上的相互共轭调和函数。
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3、构建解析函数：
给出一个二元调和函数作为解析函数的实部 或虚部，通过C—R条件求出该解析函数的虚部或 实部，从而写出这个解析函数。
试卷类型：开卷 试卷题型：
一、填空题（每小题2分，共12分） 二、单项选择题（每小题3分，共12分） 三、名词解释（每小题4分，共8分） 四、证明题（每小题8分，共32分） 五、计算题（每小题12分，共36分）
1
数学物理方法
教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版]
第一篇 复变函数论 内 容
4
(2)、乘法和除法
z1 1(cos1 i sin1) 1ei1 z2 2 (cos2 i sin2 ) 2ei2
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
ei(12 ) 12
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z1 z2
1 2
[cos(1
2
)
i
sin(1
(x iy)2 i 1 (x iy)2 iC 2
z2 i 1 z2 iC 2
v 2 y x, x v 2x y y
f (0) 0 C 0
f (z) z2 i 1 z2
2
13
例4：已知解析函数 f (z)的虚部 v(x, y) x x 2 y 2 ，
求实部 u(x, y)和这个解析函数 f (z) 。
)
2 cos R()
2
其中 R( ) 为 的任意函数。 将上式两边对 求导，
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
16
u 1 cos R() 2 2
1 cos 2 2
R() 0 R() C
周期为2
eiz eiz
sin z
,
2i
7
4、双曲函数
shz e z ez 2
5、根式函数
chz e z ez 2
z ei
2k i
w n e n
k 0,1,2,(n 1)
周期为2i
6、对数函数
w ln z ln z iArgz
Argz arg z 2k k 0,1,
22 2 2
u
1
v
1
u
v
u 1 v 1
cos
22
1 cos 2 2
u v 1 sin sin
2 2
22
15
u
1
cos
2 2
u sin 2 2
将上面第二式对 积分， 视作参数，有
u
u
d
R(
)
sin d R()
22
2
sin
2
d
R(
① 算偏导
③ 求积分
② u或v 的全微分
④ 表成 f (z)
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例 3：已知解析函数 f (z) 的实部u(x, y) x2 y2 xy, f (0) 0 ， 求虚部和这个解析函数。
解：
u 2x y, u x 2 y
x
y
根据C-R条件，
v u 2 y x, v u 2x y
z1z2 (x1 iy1 )( x2 iy2 )
(x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 )
z1 z2
z1
z
* 2
z2
z
* 2
(x1 iy1 )( x2 iy2 )
x
2 2
y
2 2
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
x
2 2
y
2 2
x
2 2
y
2 2