广义数学起源与早期发展

广义纳什均衡1.预备知识：1.1 广义纳什均衡（GNEP）形式上NEP包括个玩家，每个玩家控制着变量.　我们用向量表示所有决策变量：＝并且其中表示除玩家以外其他所有玩家的决策变 量。

为了强调在向量中的第个玩家我们用代替。

注意仍然有而不是把变为第一个变量，即不改变向量的次序。

　每个玩家都ｖ有一个目标函数，同时依赖于他自己的决策变量和其他玩家的决策变量，映射称作玩家ｖ的效用函数，也称作补偿函数或损失函数。

并且每个玩家的策略必须属于集合，其中依赖于对手的策略。

称为可行集或玩家ｖ的策略空间。

在其他玩家给定时，玩家ｖ的目标是选择一个策略使得是　ｍｉｎ s.t. ——（1）的解。

对于每一个，问题（1）的解集记为。

GNEP就是寻找向量使得 ,点就称作广义的纳什均衡。

故达到一种均衡，在这种均衡下，没有玩家能够通过单方面改变而减少目标函数值。

令，我们可以说是一个解当且仅当即是点到集合的映射的不动点。

如果可行集并不依赖对手的策略，则= =1,....,N。

假定= ，其中：。

我们介绍一个例子.1 有两个玩家N=2，并且，即每个玩家控制一个变量（简记为）假定玩家的问题为为min s.t. min s.t.易知最优解集为此时我们可以看出对于每一个，都是问题的解。

1.2 变分不等式问题VI()：找一个向量，使得对所有的有]的一个解，其中：1.3 拟变分不等式：寻找一个向量使得对所有的有的一个解。

其中：1.4 拟凸函数：函数是拟凸函数，如果水平集对于每个都是凸的。

1.5 上、下半连续：点到集合的映射（都是矩阵空间）在是上半连续的，如果对于每个收敛到的序列和的每个邻域使得都存在使得当时都有。

在是下半连续的，如果对于每个收敛到的序列和中满足的开集使得都存在使得当时都有。

在中是上半连续的，如果对于每个点都是上半连续的。

1.6 伪连续： 是一个函数1．称在点上伪连续，如果对所有的使得，有。

如果对于所有的都上伪连续则称在整个上上伪连续。

2. 称在点下伪连续，如果在上上伪连续。

3. 称在点伪连续，如果他同时在为上，下伪连续。

1.7 GNEP的 KKT条件：如果是GNEP的一个解，并且对所有的玩家合适的约束条件成立，则乘子存在，并且满足系统：----（2）其中: , ,.则称（1）为GNEP的 KKT条件1.8 凸性假设：对于每一个玩家和每一个，目标函数是凸的，并且集合闭凸的。

1.9 NI函数：映射称为Nikaiko-Isoda函数（简称NI函数）。

NI函数描述了当它行为从改变到而其他玩家坚持选择时目标函数的提高。

显而易见，GNEP均衡的特征就是对任何一个选择，都不可能再有提高。

1.10 GNEP的一个特殊的类-联合凸集：NEP给定，并满足凸性假设，我们成GNEP是联合凸集，如果对一些闭凸集及所有的有应该注意约束条件的联合凸集的这个假设是很强的，可能只有在联合约束是线性条件下（）才能满足。

2. 关于广义纳什均衡的一些结论定理2.1 是GNEP的一个NI函数，定义则下面结论成立：a）对每一个，有b）且当且仅当是GNEP的一个解定理2.1指出GNEP的解集中的每一个点使得对所有的有，可以说是GNEP的一个解当且仅当它是一个全局最小点，并且问题 s.t. 的目标值为0.我们称s.t, ——（3）为约束拟优化问题。

在联合凸集的情形下满足及相对于所有的变量是凸的，并且，在这种情况下，并且（3）变为真正的最小化问题： s.t. --（4） 则有定理2.2 向量是GNEP在联合凸集情况下的一个解当且仅当是最优化问题（4）的一个全局最小点，并且目标函数值为0.定理2.3 GNEP给定，并满足凸性假设，并假定对每个，则点是一个广义的纳什均衡当且仅当是拟变分不等式的一个解。

推论2.4 NEP给定，并满足凸性假设，且假定对所有的。

点是一个均衡当且仅当它是变分不等式VI()的一个解。

在联合凸集情形下推论2.4变为：定理2.5 联合凸集GNEP给定，且，VI()的每一个解（是在联合凸集的情况下定义的集合且）也是GNEP问题的解。

上述定理并没有说联合凸集GNEP问题的解也是的解，不难看出在联合凸集的情况下从GNEP转化为VI丢失了很多解。

例1.1（连续的）中，我们已指出这个游戏有无穷多个解，，现在注意，其中F是严格单调的，故VI有唯一解，但这只是原来GNEP问题的一个解。

故在联合凸集GNEP给定，且情况下，我们称同时是GNEP和的解为变分均衡。

注意到乘以一个正数，GNEP的解集将不受影响。

但对于变分均衡此结论并不成立。

考虑例1.1，如果第二个玩家的目标函数乘以一个因子保持不变）。

结果表明，唯一的变分均衡为。

它不同于例1.1给出的解。

定义2.6是一个闭凸集，在下的第部分是集合，我们定义在下的总体为解集，最后，我们定义在处的内锥为使得包含。

有上述定义，定理2.3变为：定理2.7联合凸集GNEP给定，且。

点是一个均衡当且仅当它也是变分不等式的解。

注意,故（）是在处的通常意义下的切线锥）故.由变分均衡的定义及定理2.6知变分均衡比GNEP的其他均衡更加稳定。

也就是说：给一个均衡，内锥中的的无偏移将被玩家接受，类似，如果是一个变分均衡，在更大的切线锥的无偏移将会被接受。

为了说明变分均衡的一个有用特征，我们引进一个变分函数，他也将在以后的算法发展中很有用，集合，注意到在定义域X下是非负的，和不同之处仅在于sup部分，而且对任何，我们有。

故对任何的。

所以如果对某个有则由定理2.2可知，是GNEP的一个解。

事实上，这个性质完全刻画了变分均衡集合的特征。

故有下述定理。

定理2.8 联合凸集GNEP给定，且，则点是变分均衡当且仅当且定理2.8的目的就是指出任何满足的点都是联合凸集GNEP的变分均衡。

这个定义相对于上面那个定义更加一般，因为它不需要有光滑的性质。

通过不动点定理，我们可以看到GNEP的解集的交替特征。

令仍为NI函数，为相应的价值函数，且（可能为空）为由的定义获得的上确界向量的集合。

注意到是一个点到集合的映射，通过下面的结果我们可知这个映射的不动点就是GNEP的解。

定理2.9 向量是GNEP的一个解当且仅当成立。

在对每个，是个单点集的情况下，是GNEP的解当且仅当是不动点等式的解。

但在一般的情况下，除非类似于效用函数是凸的这种相对强的假设成 立，否则集合不会缩小为单点集。

做到不动点定理这种情况是一个很困难的问题。

注意到广义纳什均衡的定义恰恰是由不动点定理给出的（通过映射）.以上讨论的不动点特征的优点是：在某些情况下，GNEP的解可以用不动点来设计算法。

下面讨论KKT条件与广义纳什均衡的联系定理2.10 假设GNEP给定，假定涉及的所有函数是连续可微的。

a） 假定是GNEP的一个均衡，在此点所有的玩家的子问题满足约束性质。

则，存在并且是系统（2）的解。

b） 假设是系统（2）的解，并且GNEP满足凸性假设。

则是GNEP的一个均衡点。

下面考虑联合凸集GNEP情形，它的可行集有精确的表示对一些凸函数，所以玩家的策略空间为。

类似于以前关于一般的GNEP的讨论，玩家的第个最优化问题的KKT条件为：对乘子 ---（5）另一方面，考虑定理3.9中的，这个VI的KKT条件为：对乘子 ---（6）这两个KKT条件和GNEP的解集的确切关系在下面的结果中被给出，即基本上可以说（6）成立当且仅当（5）满足对所有的玩家有相同的乘子，也就是说，GNEP的解是变分均衡当且仅当对所有的玩家而言公共的约束条件有相同的乘子。

定理2.11考虑连通凸集GNEP，且，则下面的结论成立：a)假定是的一个解使得，对乘子 KKT条件（4）成立。

则是GNEP的一个解，相应的KKT条件（3）满足。

b）反之，假定是GNEP的一个解使得相应的KKT条件（3）满足。

则，是的一个KKT点，且是的一个解。

3. GNEP解得三大问题—解的存在性、唯一性、稳定性3.1 解的存在性定理3.1 GNEP给定，并假设a） 存在个非空凸的紧集使得对每个（其中对每个），是一个非空凸的闭集，，作为点到集合的映射是上，下半连续的。

b） 对于每个玩家，函数在作为定义域下是拟凸的。

则一般的纳什均衡存在。

在上面这个定理中假设的放松是正常严格研究的对象，条件的放松有a）连续性假设的放松，b)紧性假设的放松和c）拟凸性假设的放松。

a）放松为：定理3.1的假设中的连续换为伪连续，则广义的纳什均衡存在。

b）放松为：目标函数的合适的强制性假设可以弥补可行集缺少紧性假设的可能性。

c） 拟凸假设的放松也是很有趣的。

例如，如果我们参考经济应用，当无竞争市场放入到一般的纳什均衡框架中，拟凸性假设作为人工添加的条件相对于模型中的基本性质而言很突出，但是关于这个复杂的问题的结果并不多。

3.2 解的唯一性在一些应用中，很可能会声明只有GNEP模型有唯一解的情况下才有意义。

例如，这是关于GNEP并被许多经济学家坚持的观点。

不幸的是，GNEP有解不唯一并且是解的流形的趋势。

例1.1就是该问题的说明。

这个事实是GNEP性质的一部分。

现在假定一种简单的情况：GNEP在联合凸集（即对所有的），是一个解，使相应的拉格朗日乘子。

进一步假定，积极约束的梯度是线性独立的且严格的互补性(对所有的玩家，如果约束是积极的，相应的乘子是正的)成立。

注意，很难想到一个“行为更好”的GNEP：我们考虑一个简单特殊的的联合凸集，并所有希望的性质都成立。

现在假设，为了防止第三种情况，设在中，至少一个约束对两个玩家（我们称玩家1，2）来说是积极的，（这意味着，GNEP和NEP的“行为”不同）。

直观的结论指出，在这种情况下在处是可微的，并且由于存在两列相对于玩家1，2的约束的梯度等价，故它的Jacob是奇异的。

更进一步，基于精确函数的部分努力使我们很容易发现下面结果。

定理3.2 在上面描述的条件下，解是GNEP的一个不孤立的解，且是系统（2）一个不孤立的解。

对联合凸集GNEP，有希望得到一个变分均衡的全局唯一性。

例1.1（连续的）说明了这种情况。

关于VI的理论表明达到唯一性的一个简单条件是要求F是严格单调的。

3.3 解的稳定性当数据改变时，解的稳定性是数学规划另外一个经典论题。

这个论点对NEP，显然，可以把NEP转化为VI，然后应用关于VI问题的成熟理论. 然而，当完全变为GNEP，现存的结果很少。

假定GENP被参数参数化，也就是说对于合适集合中的每个值我们得到一个GNEP()。

集合被函数和定义。

用表示GNEP()的解集。

定理3.3 假设一族GNEP()给出，并对每个及满足下面的假设：a)在是伪连续的，对每个使得的 。

b）是在处为上，下半连续的，对每个。

假定是一个使得对每个，的序列及，并假定，对每个有。

则是GNEP()的一个解。

注意到即使我们假定，上面的定理也既不能说明当时GNEP()的可解性，也不能给出任何关于扰动和非扰动问题的解的有价值的结果。