利用洛必达法则求未定式极限的几种技巧

÷ Ｊ ＿ （ ｃ …＋ ｃ ｏ ｓ ５ ｘ ） ＝ ÷ ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ ｓ ＋ ｃ ．
三 、Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ无法 解 出的 不 定 积 分 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ具 有 强 大 的符 号 计 算 能 力 ， 能 够 解 决 很 多 繁 琐 复杂的不定积分问题 ， 这 是 否 意 味 着 我 们 以 后 可 以 不 用 进 行 关 于 不定 积分 计 算 的 训 练 ， 可 以 将 这 些 问 题 完 全 交 给 计
：
÷
＝ 一 ÷ ．
三、 先 作 变 量 代换 ， 后 用 洛 必 达 法 则 求 之
【 关键词 】 洛必达法则； 未定 式； 导数
结 合使 用无 穷小 等 价 代 换 求 未 定 式 极 限
ａ ｒ ｌ ｉ
— …
有 些 题 目若 直 接 用 洛 必 达 法 则 求 算 时 越 求 越 繁 ， 应 及 时调整解题方向 ， 可考虑先用变量代换 等方法处理． 尤 其 是
用 洛 必 达 法 则求 极 限． 根 据 数 列 极 限 与 函 数 极 限 的关 系 ， 数
列极限 ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ） 的特 殊 ｉ ａ ｒ ｆ （ ｎ ） 可 以作 为连 续 变 量 的极 限 ｌ
…
一１
： ｌ — ｌ ｉ （ 二
一１
＝
苎
１—
…
１ ＋ｌ ｉ ａ［ ｒ （ ４ ｘ 一１ ） ｌ ｎ ｘ＋（ ２ ｘ —１ ） ］ ＝２ ．
●
解 题 技 巧 与 方 法
。 ．
柚 …
掰 ； 謦…
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＊
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●
瀣 逡 求泰庶 概隰
◎董 珍 施 雅 亭 （ 河 北 工 业 大 学廊 坊 分 校 ， 河 北 廊 坊 ０ ６ ５ ０ ０ ０ ）
攘
【 摘要 】 洛 必 达 法 则 是 求 解 型或 型 未 定 式 的 一 种 Ｕ ∞
（ 罟 型 ） ．
［ 此处利用 ｅ ” 一１ ～（ 一１ ） ｌ ｎ ｘ ， 否 则 直 接 利 用 洛 必
ｌ ｉ ｍ
：０．
达 法则 将 会 很繁 琐 ］
一
四、 注意洛必达法 则的 适用 条件 ， 当条 件 不 满 足 时 。 及
时 调 整解 题 方 向
— １
解先 求 极 限 ＿ ． ＋ ∞ — Ｉ ｎ （ 、 ÷ ） ， ＝ 一 （ 、 一 ） 』 ＝ 。 ， 所
例２ 求极限 ｌ ｉ ｍ ！
二 ＿ 二
以 ， 极 限 ÷ ㈩
（ ２ ） 只要 符 合 法 则 所 需 的 条 件 ， 可 连 续 多 次 使 用 该 法
．
解原 式 （ 百 ０ ） ＝ ｌ ｉ ａ ｒ
＿ 一１ ｎ
：
则 ． 所 需 条 件中 较易 忽 略 的 是 极限 ｌ ｉ ａ ｒ 厂 ＇ 要 存 在 ， 若 … ｇ Ｌ Ｊ ｌ ｉ ＿ 厂 不 存 在 ， 并 不 能 得 出 原 极 限 不 存 在 的 结 论 ． 一 ｇ （ Ｊ
求 极 限 的函 数 里 含 有 时 ， 可 先 做 变 量 代 换 ： １（ ：１
，
一
、
例 １ 求极限
．
一 ｕ ｌ
２ ， ３ ， ４ …． ） ， 若含有 反三角 函数 ， 则可 以令反 ｌ 一角 函 数 等 于
一
■
新变量等．
一
解原 式 （ 罟 ） ＝ ｌ ｉ ａ ｒ
例５ 设 ）为 可 导 函数 ， （ ０）＝ （ ０）＝１ ， 求 极 限 （
— —一
ｌ ｉ ａ（ ｒ １＋ ） ÷
－～
）
［ 及 Biblioteka Baidu 分 离 出 非
１ ｉ
—
！ 二 ！
Ｓ１ ｎ
＝
ｌ ｉ ｍ（ １＋ ） 了 ・ｌ ｉ ｍ
，
、
土
．
０
＝
例 ３求 极 限 １ ｉ
．
ｌ １ 等 一 十 ｌ ｎ ｘ
一
解
若直接用洛 必达法 则求 的话 ， 分 母 的 幂 指 数 会 越 ， 则 原 式 ： ｌ ｉ ＿ ｔ ５ ＿ ｏ连 续 使 用 法 则 ５ ０次
来越高 ， 得不到结果．
＝
令 ：
＝
ｌ ｉ ａ ｒ
＿ 『 ｃ 。 ｓ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ｘ ｄ ＝ 』 ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ｘ ｄ ｓ ｉ ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ 一 』 ｓ ｉ ｎ ｄ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ 一 ／ ｓ ｅ ｃ ｄ
＝ ｅ ・ｌ ｉ ｍ
非 常广 泛 、 高效的方法 ， 其 通过求 分式 的分 子、 分 母 的 导 数 的 方 法达 到 消 去 未 定 因 素 的 目 的 ， 该 法整 齐划 一 ， 使 用 方 便． 但它也有局限性 ， 解 题 时 需 要 一 定 的 条 件 和 技 巧． 本文
结合学生应用此法则 时容易 忽视 的一些 问题， 给 出 利 用 该 法则 求极 限 的几 种 技 巧．
情 形求 出．
二、 及 时 分 离 因式 并 求 出其 极 限 使 用 洛 必 达 法 则 前 后 应 注 意 及 时 分 离 因式 ， 将 具 有 非 零 极 限 的因 子 提 出极 限 号 外 ， 并及 时求出极限 ， 再 对 余 下 的 未 定 式 求 极 限．
１
例 ４求 极 限 ÷・ …ｎ ｎ （ 、 ÷ ｎ ） Ｊ ．
零 且极 限存 在 的 因子 ］
（ 下转 ９ ８页 ）
数 学 学 习与 研 究 ２ ０ １ ５ ． １ ９
●
解 题 技巧 与 方 法
・ ・
●
● 酶
Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ＋ｃ ｏ ｓ ａ ｘ的 积 分 来解 决．
Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ无法 求 解 该 ， 若 使 用 分 部积 分法 ：
１
．
（ １ ） 对 于 型 或 型 的数 列 极 限 不 能 直 接 用 洛 必 达 法
Ｕ
．
∞
＝
一
ｌ １ ｍ ～
（ ２ ｘ 一 ） ｌ ｎ ＋ （ 一１ ） 一
１一
则， 因为 数 列 是 离 散 型 的 函 数 ， 不 能求 导数 ， 自然 不 能 直 接