利用洛必达法则求未定式极限的几种技巧
2.洛必达法则
1 lnabc 3
lim (axbxcx)1x limelny3 abc
x0
3
x0
1
例10 求lim(coxt)lnx. ( 0 ) x0
解
1
y(coxt)lnx.
lnylncotx. lnx
limlny
x0
limln(cox)t x0 lnx
lim
x0
x 2
arctanx
1
解 (1) lim 2 x
1
lim x
1 x2 1
x
x2
xl im1x2x2 1.
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例6 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin x limxsinx x 0 xsin x x0 x2
x 0
x l i0 m xxx l i0 m eln y1
例8 求lim(sinx)tanx. ( 1 ) x 2
解 设 y(sx i)tn ax.n则 ly n ta xln n sixn
lim ln ylim taxlnn six n limlnsin x
f (x) g( x)
例1 求极限 (1)limex ex x0 sinx
(2)lx im 0xxs3inx
解
(1)原式 lim (exex) x 1 (sixn)
limex ex x1 cosx
=2
(2)原 式 lx i0m (x (xs3)ix n)lxim 013cxo2 sx
x a g( x ) “若f(a)=g(a)=0”这个条件应该可以去掉。
洛必达法则1：设
洛必达法则的三个陷阱
洛必达法则的三个陷阱
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
它的三个陷阱分别是：
1、求极限之前，先要检查是否满足0/0或∞／∞型构型，不然滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就无法用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，得从另外途径求极限，例如利用泰勒公式去求解。
2、洛必达法则是求未定式极限的有效工具，如果只用洛必达法则，往往计算比较繁琐，可以与其他方法相结合。
3、洛必达法则常用于求不定式极限，可以通过相应的变换转换成两种基本的不定式形式来求解。
洛必达法则
x 1 2 − 2 1 + x = lim x 解 原式 = lim = 1. x→+∞ x→+∞ 1 + x2 1 − 2 x tan x ∞ .( ) 例5 求 lim π x→ tan 3 x ∞ 2
1 cos2 3x sec x = lim 解 原式 = lim π 3sec2 3 x 3 x→π cos2 x x→ 2 2
lnsin 2x ∞ lim .( ) 例3 求 x→0 lnsin 3x ∞
+
2cos 2x ⋅ sin 3x cos 2x 解 原式 = lim = lim = 1. x→0 3cos 3 x ⋅ sin 2 x x→0 cos 3 x
+
+
π
例4
求 lim 2
x→+∞
− arctan x 1
. (0)
3. 0 , 1 , ∞ 型
0 ∞ 0
步骤: 步骤:
00 0 ⋅ ln 0 ∞ 1 取对数→∞ ⋅ ln1 ⇒ 0 ⋅ ∞. 0 ⋅ ln ∞ ∞0
+
x 0 例9 求 lim x . ( 0 ) x→0
解
ln x 原式 = lime , 而 lim x ln x = lim x→0 x→0 1 x→0 x 1 = lim x = 0. ∴原式 = e0 = 1. x→0 −1 2 x
第二节
洛必达法则
0 ∞ 一、型及 型未定式解法: 洛必达法则 0 ∞
0 二、⋅ ∞, ∞ − ∞,00 ,1∞ , ∞0型未定式解法
0 ∞ 一、型及 型未定式解法: 洛必达法则 0 ∞
定义 如果当x → a(或 x → ∞)时,两个函数 f ( x) 与F( x)都趋于零或都趋于无穷大,那末极 f ( x) 0 ∞ 限 lim 称为 型或 型未定式 . x→a F( x) 0 ∞ ( x→∞)
使用洛必达法则求极限的技巧
使用洛必达法则求极限的技巧【摘要】使用洛必达法则求极限,其特点就是通过求极限号下分式的分子、分母的导数(一次或多次)的方法达到消去未定因素的目的。
本文介绍了在使用洛必达法则求极限时的若干方法和技巧。
【关键词】分离因式变元替换洛比达法则无穷小等价替换1.分离因式并求解其极限。
注意:在使用洛比达法则的时候要注意分离因式,先将具有非零极限的因子提到极限号外面,及时求解其极限,再对余下未定式求极限。
例1.解:原式=2.先作变元替换,再用洛比达法则求解。
注意:当直接就利用洛比达法则求解比较困难时,可以考虑是否可以先利用变量替换后再来利用洛比达法则求解。
例2.求解:分析:可以令,进而简化求解过程。
若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
小结:若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
3.以及型未定式必须先转换成了或者型未定式求解。
例3.求解:小结:当遇到以及型未定式时,一般要进行分子分母有理化才可以构造出或者型未定式,以便直接利用洛比达法则求解。
4.先取对数,再利用洛比达法则求解。
例4.求解注意:对于型未定式,它们为幂指函数的极限,常常利用此方法求解。
解:令,则对于与型的数列极限不能直接利用洛比达法则但是可以间接的使用洛比达法则进行求解。
例5.求解:解:因为:小结:解的是一个数列时,因为数列是没有导数的,不能直接使用洛比达法则。
但是由数列极限和函数极限的关系我们可以知道:离散变量n的极限可以作为连续变量x的极限,其所求的值也就是数列极限的值。
6.多次使用洛比达法则求解。
注意:只要被球函数满足洛比达法则的使用条件,就可以连续多次使用洛比达法则,直到求出极限或者得出不符合洛比达法则条件的情况为止。
第三章第二节洛必达法则
= e x→+0 cos x 2 x = e 2 .
x→+0
解二 利用两个重要极限.
lim (cos
π
x ) x = lim (1 + cos
π
x −1) x = lim (1 + cos
1 ⋅cos x −1⋅π
x − 1) cos x −1 x
−π
=e 2.
x→+0
x→+0
x→+0
1
例 20 (E14) 求 lim (cot x)ln x . ( ∞0 型)
= 1 lim tan x = 1 . 3 x→0 x 3
注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用,
效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽
可能应用，以使运算尽可能简捷.
例 9 (E08) 求 lim 3x − sin 3x . x→0 (1 − cos x) ln(1 + 2x)
x→1
1
解
1
lim x1−x
1 ln x
= lim e1−x
lim ln x
= e x→11− x
lim x
= e x→1 −1
= e−1.
x→1
x→1
1
例 18 (E13) 求 lim sin x 1−cos x . (1∞ 型) x→0 x
解
lim(
sin
x
1
)1−cos
x
1 ln sin x
解
lim
(e3x
−
1
5x) x
=
lim
4-2罗必达法则
3、
ln tan 7 x lim =____________. x 0 ln tan 2 x
二、 用洛必达法则求下列极限：
ln sin x 1、 lim ； 2 x ( 2 x )
2
1 ln( 1 ) 2、xlim arctanxx ；
lim 3、 x cot 2 x ；
注意：洛必达法则的使用条件．
例17 求
解
x cos x lim . x x
1 sin x lim(1 sin x ). 原式 lim x x 1 极限不存在
洛必达法则失效.
1 原式 lim(1 cos x ) 1. x x
1 x sin x 例. lim x 0 sin x 1 2 解 1 1 1 x sin ' 2 x sin x 2 cos 2 x x x x 原式 lim lim x 0 x 0 sin x ' cos x
e 1 .
例16 求
lim (cot x )
1 ln x
.
( 0 )
e
1 ln(cot x ) ln x
解 取对数得
(cot x )
1 ln x
,
1 1 2 1 lim ln(cot x ) lim cot x sin x x 0 ln x 1 x 0 x x lim 原式 e 1 . x 0 cos x sin x
f ( x) f ( x ) lim lim . x F ( x ) x F ( x )
5) 当
x a , x 时的未定式 , 也有相应的法则.
6) 如果
0 f ( x ) 仍为 型, 0 F ( x )
洛必达法则在求极限中的应用
记
/% 是" *$*U$& 中任意一个固定点$则当
/* /%
时$ #" /# @" /#
可以改写为!
#" /#
#" /# P
%#" /% #
U#" /% #
@" /# @" /# @" /#
@" P
/#
%@"
/% #
,
#" /# %#" /% #
U#" /% #
@" /#
@" /# %@" /% # @" /#
或 型进行计算'
具体转化方法如下!% , P% ,
$ %
P% %
$或
者 %, P$ , P '
例 (!求 L/F/C L-/" CR%# ' /#% U
$
解!原式
P/L#/F% UL/-%C/P/L#/F% U%C//%C%$
PL
'
例 3!求L/F"$U,NV/# ,V,)1/' /#,
证!这里仅对 L/F #J" /# P6为有限数时来证明$当 6为无 /#*U @J" /#
穷大时的证明过程是类似的'
先证明 L/F#" /#PL/F@" /#P% 的情况'
/#* U
/#* U
由于函数在 /P* 处的值与 /#*U时的极限无关$因此可以
补充定义 #" /#P@" *#P%$使得 #" /# 和 @" /# 在% *$*U$& 上连续'
洛必达法则(高考题)
洛必达法则(高考题)洛必达法则洛必达法则是微积分中的重要概念之一。
它用于求解未定式的极限，主要包括三个法则。
法则1：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，那么它们的极限相等。
法则2：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在正负无穷处极限存在，那么它们的极限相等。
法则3：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在某一点的去心邻域内极限存在，那么它们的极限相等。
在使用洛必达法则求解极限时，需要注意以下几点：1.检查是否满足前提条件，否则结果可能不正确。
2.可以连续多次使用洛必达法则，直到求出极限为止。
3.若不满足前提条件，不能使用洛必达法则，需要从其他途径求解。
XXX在高考中也经常出现，例如以下题目：1.设函数f(x) = e^(-1-x-ax)/(x^2)，求f(x)的单调区间和a的取值范围。
解：根据洛必达法则，当a = 1时，f(x) = e^(-1-x)，f'(x) = e^(-1)。
当x∈(-∞,0)时，f'(x)。
0.因此，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。
又因为f(x)≥1/x^2，所以当x≥1时，f(x)≥1/e。
因此，a的取值范围为a≤1/2.经过格式修正和改写，文章变得更加清晰易懂。
首先，将文章中的数学符号进行修改，使其符合规范。
然后，删除掉明显有问题的段落，比如第一段中的“于是当x时，f(x).”这句话没有明确的意义。
最后，对每段话进行小幅度的改写，使其更加清晰易懂。
具体修改如下：首先，对于函数 $f(x)$，当 $f'(x) \geq 0$（$x \geq 0$）时，有 $f(0) = 2$。
因此，当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 2$。
由不等式 $e。
1+x$（$x \neq 0$）可得 $e^x - x。
1 -x$（$x \neq 0$）。
因此，当 $a。
1$ 时，有：2f'(x) < e^x - 1 + 2a(e^{-x} - 1) = e^{-x}(e^x - 1)(e^x - 2a)$$因此，当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f'(x) < 0$，而 $f(0) = 2$，因此当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f(x) < 2$。
用洛必达法则求未定式极限的解题技巧
用洛必达法则求未定式极限的解题技巧作者：白云霞马勇乌兰李彩艳来源：《新校园·上旬刊》2015年第01期摘要：本文总结了利用洛必达法则计算未定式极限应该注意的一些问题和解题技巧。
关键词：洛必达法则；极限；解题技巧用洛必达法则求未定式极限，是微分学里面的一个重点，也是一个难点。
如果只是肤浅地知道这一法则，盲目地使用，求出的极限未必正确。
所以使用洛必达法则必须懂得它的使用条件以及应该注意的一些问题。
如果在一个题目中使用洛必达法则之后，发现仍然是未定式极限，并且满足洛必达法则条件，可以再次使用洛必达法则。
也就是说，洛必达法则在一个题目里可以多次使用。
最后，洛必达法则是计算未定式极限的重要方法，但不是唯一的。
不能使用洛必达法则的极限不一定就不存在，可利用别的方法求极限。
本文对洛必达法则求未定式极限的解题技巧总结如下：1.如果对于满足洛必达法则条件的或未定式，可直接使用。
例如：求极限解：[][=]=12.如果对于0·∞未定式，一般要通过取倒数化为或未定式，然后利用洛必达法则求极限。
例如：求极限x（-arctanx）解：x（-arctanx）[0·∞][=][·]===13.对于未定式00，1∞，∞0的极限，一般要通过取对数化为0·∞未定式来做，再通过2中的方法化成或未定式，然后利用洛必达法则求极限。
例如：求极限xsinx解：xsinx[00][=]e=e[0·∞][=][·]e[][=]e=e=e=e0=14.对于∞-∞未定式的极限通过取倒数，化成-的形式，再通分化为或未定式，然后求极限。
例如：求极限（-）解：（-）[∞-∞][=][][=]=-15.也有一些极限存在，但不能使用洛必达法则求解。
例如：求极限解：[=][]，故极限不存在，这样的解法是错误的。
正确的解法：=（1+）=1+0=16.洛必达法则与等价无穷小代换相结合求极限。
例如：求极限（-）解：（-）==[][=]==·=本文主要从以上几个方面探讨了利用罗必塔法则求未定式极限的解题技巧，旨在帮助学生在学习过程中避免盲目地套用公式，导致出现解题错误。
3-2 洛必达法则(高等数学)
§3.2 洛必达法则教学内容：一．“”型未定式 1.定理:（洛必达法则I ）设)(x f 、()g x 在0x 的某一去心邻域内有定义，如果 (1)0lim ()0→=x x f x ，0lim ()0→=x x g x ；(2))(x f 、()g x 在0x 的某邻域内可导，且()0g x '≠； (3)0()lim()x x f x g x →''存在(或无穷大)，那么00()()lim =lim ()()→→''x x x x f x f x g x g x .2.如果0()lim()→''x x f x g x 还是“0”型未定式，且函数()f x '与()g x '满足洛必达法则I 中应满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即有000()()()limlim lim ()()()x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，依此类推，直到求出所要求的极限．3．洛必达法则I 中，极限过程0x x →若换成0x x +→，0x x -→以及x →∞，x →+∞，x →-∞情形的0型未定式，结论仍然成立．二．“∞∞”型未定式 1.定理：（洛必达法则II ）设)(x f 、()g x 在0x 的某一去心邻域内有定义，如果)1(0lim ()→=∞x x f x ，0lim ()→=∞x x g x ；)2()(x f 、()g x 在0x 的某邻域内可导，且()0g x '≠；)3(0()lim()x x f x g x →''存在(或无穷大)，那么00()()lim =lim ()()x x x x f x f x g x g x →→''.2.如果0()lim()→''x x f x g x 还是“∞∞”型未定式，且函数()f x '与()g x '满足洛必达法则II 中应满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即有000()()()limlim lim ()()()→→→'''=='''x x x x x x f x f x f x g x g x g x ，依此类推，直到求出所要求的极限．3.洛必达法则II 中，极限过程0x x →若换成0x x +→，0x x -→以及x →∞，x →+∞，x →-∞情形的“∞∞”型未定式，结论仍然成立．三．其它类型的未定式1．“0⋅∞”型未定式设0lim ()0→=x x f x ，0lim ()→=∞x x g x ，则0()lim ()()=lim1()→→⋅x x x x f x f x g x g x （00型）, 或00()lim ()()=lim 1()→→⋅x x x x g x f x g x f x （∞∞型）.2．“∞-∞”型未定式：可以通过通分化简等方式转化为“00”型或“∞∞”型未定式．3．“000 , 1, ∞∞”型未定式：可以通过取对数进行转化,()()ln ()lim ()ln ()lim[()]lim e e g x g x f x g x f x f x ==，无论()[()]g x f x 是上述三种类型中的哪一种，lim ()ln ()g x f x 均为“0⋅∞”型未定式.四．小结利用洛必达法则求未定式的极限，总结如下： 1.洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则．2.只要条件具备，可以连续使用洛必达法则．3.洛必达法则可以和其它求未定式的方法结合使用．4.洛必达法则的条件是充分的，但不必要．在某些特殊情况下洛必达法则可能失效，此时应寻求其他解法.五．例题讲解例1.计算20e 1lim x x x x →--． 例2.计算33221216lim 248x x x x x x →-+--+．例3.计算20tan lim sin →-x x x x x ． 例4.计算0ln cot limln x xx+→．例5.计算sin lim 1x x xx →∞++． 例6.计算0limln x x x +→．例7.设()f x ''在x a =点附近连续，求极限2()()2()lim→++--h f a h f a h f a h．例8.计算 (1) ln lim (0)a x xa x→+∞>; (2) lim (0)e n xx x n →+∞>.。
浅析洛必达法则求函数极限.docx
浅析洛必达法则求函数极限.docx⽤洛必达法则求未定式极限的⽅法⼀、洛必达法则求函数极限的条件及适⽤范围(⼀) 洛必达法则定理定理1⑴若函数/(X )与函数g(x)满⾜下列条件： (1)在。
的某去⼼邻域讥兀)内可导,且g?)HO (2) lim /(x) = 0 XTG+0 lim g(x) = 0 XTO+0 v f\x) A(3) lim ------ ------ = A兀T"+0 g\x)则lim /⑴⼆lim f = A (包括A 为⽆穷⼤的情形)XT"+0 g(x)g'(x)定理2若函数/(兀)和g(x)满⾜下列条件+ ⼀, X -> X o ，兀 TOO,兀⼀>+00,X —>—00。
定理证明：作辅助函数于是函数F(x)及G(x)在［d,d +》)连续，在(d,G + /)可导，并且G (%)丰0?今对(G ,G + /) 内任意⼀点x,利⽤柯西中值定理得(1) 在d 的某去⼼邻域Mr)内可导，且g3 H 0(2) lim /(x) = oolim p(x) = ooX->X ()(3) r⼴(x)⼈ lim = A则lim = lim 以卫=5+o 0(x) 5+() g(x) 5+0 g\x)A (包括A 为⽆穷⼈的怙:形)此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适⽤：F (兀)=0, 当兀=aG(x) =0, 当兀=a空n(叽空丄G(x) G(x)-G(G ) G\X Q )由F(Q 及G (劝的定义，上式B |jZW =ZW g(x) gUo)所以当XTQ + 0时（这时显然有兀oTG + O ）,对上式两端取极限，即证毕。
关于定理⼆的证明⽅法也同定理1类似，这⾥就不点出。
当然，还有其他不同的证明⽅法。
（-）洛必达法则使⽤条件只有在分⼦、分母同时趋于零或者同时趋于⽆穷⼤时，才能使⽤洛必达法则。
连续多次使⽤法则时，每次都要检査是否满⾜定理条件，只有未定式⽅可使⽤，若是检查结果满⾜法则使⽤条件，才可连续使⽤洛必达法则，直到求出函数极限或者为⽆穷⼤，否则就会得出错谋的结果，下⾯举个例⼦来说明。
关于利用洛必达法则求极限的几点探讨
高校理科研究
关于利用洛必达法则求极限的几点探讨
渤海船舶职业学院 王 悦
［摘 要］《高等数学》是大学中的基础课程，极限是学生一开始就要接触的最基本的知识。其中有一类未定式的极限不能用“商的极 限等于极限的商”这一法则，而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单，使用起来也方便，但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就可 能出错。对于初学者来讲，若盲目使用此法则，会导致错误。本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨，并举例说明。 ［关键词］洛必达法则 极限未定式 等价无穷小代换
成ｌｉｍ
ｘ
ｘ ，此极限式的极限不存在（振荡），故洛必达法则
ｘ→０
ｃｏｓｘ
失效。但原极限是存在的，可用如下方法求得：
ｘ２ｓｉｎ １
ｌｉｍ ｘｓｉｎ １
ｌｉｍ
ｘ ＝ｌｉｍ （ ｘ ·ｘｓｉｎ １ ）＝ ｘ→０ ｘ ＝ ０ ＝０
ｘ→０ ｓｉｎｘ ｘ→０ ｓｉｎｘ
ｘ ｌｉｍ ｓｉｎｘ １
ｘ→０ ｘ
三、未定式的其它类型： 0.∞，∞-∞，0°，∞°，1∞ 型的求解
参考文献 ［１］《高等数学》第五版上册［Ｍ］．高等教育出版社，２００７．２ 第 ５ 版 １３３－１３７ 页 ［２］刘书田等编《． 微积分学习辅导与解题方法》［Ｍ］．高等教育出版 社，２００５ ［３］华东师范大学《． 数学分析》［Ｍ］．人民教育出版社，１９８０
，∞∞
型可直接利用洛必达法则定理求解；
未定式的其它类型： ０．∞，∞－∞，０°，∞°，１∞ 型
⑴对于
０．∞
型，可将乘积化为除的形式，即化为
０ ０
或
∞ ∞
型的未Leabharlann 定式来计算。⑵对于
∞－
∞
型，
使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)
本文主要通过一些典型例题介绍利用洛必达法则求极限的方法与技巧,从而更好地解决未定式问题.
6.期刊论文汤茂林. TANG Mao-lin用洛必达法则求不定式极限的技巧-职大学报2007,""(2
本文介绍用洛必达法则求不定式极限的技巧.
极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具. 2.期刊论文王悦关于利用洛必达法则求极限的几点探讨-科技信息2009,""(2
本文链接:/Periodical_kjwh200825228.aspx
授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw,授权号:5f25c964-4f43-42c0-ab3f-9dcd008aa8c4
下载时间:2010年8月9日
【2L￡茂南薜国民主编.高等数学习题课教程苏州大学出版社.2004.10.
【3l蔡燧林湖金德。陈兰祥主编顾士研究生入学考试数学辅导讲义.理工
类北京学苑}}l版社,2002.
267
万方数据
使用洛必达法则求极限的几点注意
作者:杨黎霞
作者单位:江南大学,江苏·无锡,214122
刊名:
科教文汇
英文刊名:THE SCIENCE EDUCATION ARTICLE COLLECTS
‘::,
必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。
极限相关(三步教学)
洛必达法则1.原理:洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法。
两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算，洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
2.具体使用步骤:零比零型limx→a f(x) g(x)第一步: 先看一下分子, 分母在这个a点的极限, 如果limx→af(x)=0而且limx→ag(x)=0，那么可以考虑用洛必达法则，如果分子趋于0，分母趋于常数则极限为0；分子趋于常数，分母趋于0则极限不存在。
第二步: 同时对分子分母求导, 得到f′(x)和g′(x), 如果满足limx→a f′(x)g′(x)=A，则有lim x→a f(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=A无穷比无穷型limx→af(x)g(x)第一步: 先看一下分子, 分母在这个a点的极限, 如果limx→af(x)=∞而且limx→ag(x)=∞, 那么可以考虑用洛必达法则第二步: 同时对分子分母求导, 得到f′(x)和g′(x), 如果满足limx→a f′(x)g′(x)=A，则有lim x→a f(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=A学3.具体例题分析1.limx→0+xlnx化简：可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上,将原式变为limx→0+lnx 1 x按步骤解题：步骤一：分子分母的极限都趋于无穷, 可以考虑洛必达法则步骤二：同时对分子分母进行求导, 即lim x→0+lnx1x=limx→0+1/x−1/x2=limx→0+(−x)=0注释：洛必达法则的使用时要求分子和分母在去心邻域内可导即可，不过做极限计算题时一般不用考虑概念性的问题。
2.limx→0+√cosx−√cosx3sin2(x)化简：对分子分母求导并不好算,所以先尝试换元变形, 令t=√cosx6则sin2x=1−t12, 故原式变limt→1t3−t2 1−t12按步骤解题：步骤一：分子分母的极限都趋于零, 可以考虑洛必达法则步骤二：同时对分子分母进行求导，即lim t→1t3−t21−t12= limt→13t2−2t−12t11= −1123.limx→0+∫√x−t e t dt x√x3化简：考虑到分子是变上限积分的形式, 对它求导后可以去掉外面的积分号,而根式√x−t并不好直接变换, 可以考虑先进行换元.令x−t=u, 则t=x−u, dt=−du,故limx→0+∫√x−t e t dtx√x3=limx→0+e x∫√ue−u dux√x3=limx→0+∫√ue−u dux√x3按步骤解题：步骤一：满足分子分母的极限都趋于零,步骤二：limx→0+∫√ue−u dux√x3= limx→0+√xe−x32√x=23学指数型求极限方法1.原理：本质上是使用等价无穷小的代换，等价无穷小是指：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。
利用洛必达法则解决导数问题(解析版)—2025年新高考数学一轮复习
0
一、 型及 型未定式
0 1、定义：如果当 x ® a （或 x ® ）时，两个函数 f (x) 与 g(x) 都趋于零（或都趋于无
f (x)
f (x)
.通常把这种极限
x®a g(x)
x® g(x)
0
称为 型及 型未定式.
x®1
ln x x2 1
=
（）
A． 3
8
B．
1 2
C．1
D．2
【答案】B
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【分析】
根据题意利用洛必达法则求解即可
【详解】由题意得
lim
x®1
ln x x2 1
=
lim
x®1
ln x
x2 1
1
=
lim
x®1
x 2x
=
lim
x®1
1 2x2
=1， 2
故选：B 2．（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在， 也可能不存在，为此，洛必达在 1696 年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母
【详解】由题意可得： lim ex ex = lim ex ex = lim ex + ex = 2 ．
x®0 sin x x®0 sin x x®0 cos x
故答案为： 2 . 2．（23-24 高二下·四川成都·期中）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造 了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通
lim ex + ex 2 = lim ex + ex 2 = lim ex ex = lim ex ex = lim ex + ex = 2 ,
32洛必达法则81703-精品文档
( 00 ) ( 1 ) ( 0 )
例12 求limxcoxs. 注意：洛必达法则的使用条件． x x
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
1. 0型
步骤:
01,
或00 10. 00
例7 求limx2ex. x
sec2 lim
x0 1
x
1.
例2 求lx i1m x3x 3x23 x x 21.
(0) 0
解
原式 lx i1m 3x32x22x31(
0 0
)
lim 6x x1 6x2
3. 2
arctanx
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
例7 求limx2ex. x
(0)
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
例9 求limxx. x0
1
例10 求 limx1x . x1
1
例11 求lim(coxt)lnx. x0
3x0
x
3
技巧： 0,,00,1,0型未定式解法
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
01,
或00 10. 00
11 00
00 00
0. 0
00
0 ln0
e e 1
取 对数
0
lim1coxs x 0sin xxcoxs
0 0
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非 常广 泛 、 高效的方法 ， 其 通过求 分式 的分 子、 分 母 的 导 数 的 方 法达 到 消 去 未 定 因 素 的 目 的 ， 该 法整 齐划 一 ， 使 用 方 便． 但它也有局限性 ， 解 题 时 需 要 一 定 的 条 件 和 技 巧． 本文
结合学生应用此法则 时容易 忽视 的一些 问题， 给 出 利 用 该 法则 求极 限 的几 种 技 巧．
＿ 『 ｃ 。 ｓ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ｘ ｄ ＝ 』 ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ｘ ｄ ｓ ｉ ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ 一 』 ｓ ｉ ｎ ｄ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ ＝ ｓ ｉ ｎ ｌ ｎ ｔ ａ ｎ 一 ／ ｓ ｅ ｃ ｄ
．
解原 式 （ 百 ０ ） ＝ ｌ ｉ ａ ｒ
＿ 一１ ｎ
：
则 ． 所 需 条 件中 较易 忽 略 的 是 极限 ｌ ｉ ａ ｒ 厂 ＇ 要 存 在 ， 若 … ｇ Ｌ Ｊ ｌ ｉ ＿ 厂 不 存 在 ， 并 不 能 得 出 原 极 限 不 存 在 的 结 论 ． 一 ｇ （ Ｊ
解先 求 极 限 ＿ ． ＋ ∞ — Ｉ ｎ （ 、 ÷ ） ， ＝ 一 （ 、 一 ） 』 ＝ 。 ， 所
例２ 求极限 ｌ ｉ ｍ ！
二 ＿ 二
以 ， 极 限 ÷ ㈩
（ ２ ） 只要 符 合 法 则 所 需 的 条 件 ， 可 连 续 多 次 使 用 该 法
用 洛 必 达 法 则求 极 限． 根 据 数 列 极 限 与 函 数 极 限 的关 系 ， 数
列极限 ｌ ｉ ａ ｒ ｆ （ ） 的特 殊 ｉ ａ ｒ ｆ （ ｎ ） 可 以作 为连 续 变 量 的极 限 ｌ
…
一１
： ｌ — ｌ ｉ （ 二
一１
＝
苎
１—
…
１ ＋ｌ ｉ ａ［ ｒ （ ４ ｘ 一１ ） ｌ ｎ ｘ＋（ ２ ｘ —１ ） ］ ＝２ ．
：
÷
＝ 一 ÷ ．
三、 先 作 变 量 代换 ， 后 用 洛 必 达 法 则 求 之
【 关键词 】 洛必达法则； 未定 式； 导数
结 合使 用无 穷小பைடு நூலகம்等 价 代 换 求 未 定 式 极 限
ａ ｒ ｌ ｉ
— …
有 些 题 目若 直 接 用 洛 必 达 法 则 求 算 时 越 求 越 繁 ， 应 及 时调整解题方向 ， 可考虑先用变量代换 等方法处理． 尤 其 是
１
．
（ １ ） 对 于 型 或 型 的数 列 极 限 不 能 直 接 用 洛 必 达 法
Ｕ
．
∞
＝
一
ｌ １ ｍ ～
（ ２ ｘ 一 ） ｌ ｎ ＋ （ 一１ ） 一
１一
则， 因为 数 列 是 离 散 型 的 函 数 ， 不 能求 导数 ， 自然 不 能 直 接
例５ 设 ）为 可 导 函数 ， （ ０）＝ （ ０）＝１ ， 求 极 限 （
— —一
ｌ ｉ ａ（ ｒ １＋ ） ÷
－～
）
［ 及 时 分 离 出 非
１ ｉ
—
！ 二 ！
Ｓ１ ｎ
＝
ｌ ｉ ｍ（ １＋ ） 了 ・ｌ ｉ ｍ
，
、
土
．
０
÷ Ｊ ＿ （ ｃ …＋ ｃ ｏ ｓ ５ ｘ ） ＝ ÷ ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ ｓ ＋ ｃ ．
三 、Ｍａ ｔ ｌ ａ ｂ无法 解 出的 不 定 积 分 Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ具 有 强 大 的符 号 计 算 能 力 ， 能 够 解 决 很 多 繁 琐 复杂的不定积分问题 ， 这 是 否 意 味 着 我 们 以 后 可 以 不 用 进 行 关 于 不定 积分 计 算 的 训 练 ， 可 以 将 这 些 问 题 完 全 交 给 计
●
解 题 技 巧 与 方 法
。 ．
柚 …
掰 ； 謦…
淼 删
酶
＊
●． － Ｉ ． 一 －●
●
瀣 逡 求泰庶 概隰
◎董 珍 施 雅 亭 （ 河 北 工 业 大 学廊 坊 分 校 ， 河 北 廊 坊 ０ ６ ５ ０ ０ ０ ）
攘
【 摘要 】 洛 必 达 法 则 是 求 解 型或 型 未 定 式 的 一 种 Ｕ ∞
求 极 限 的函 数 里 含 有 时 ， 可 先 做 变 量 代 换 ： １（ ：１
，
一
、
例 １ 求极限
．
一 ｕ ｌ
２ ， ３ ， ４ …． ） ， 若含有 反三角 函数 ， 则可 以令反 ｌ 一角 函 数 等 于
一
■
新变量等．
一
解原 式 （ 罟 ） ＝ ｌ ｉ ａ ｒ
情 形求 出．
二、 及 时 分 离 因式 并 求 出其 极 限 使 用 洛 必 达 法 则 前 后 应 注 意 及 时 分 离 因式 ， 将 具 有 非 零 极 限 的因 子 提 出极 限 号 外 ， 并及 时求出极限 ， 再 对 余 下 的 未 定 式 求 极 限．
１
例 ４求 极 限 ÷・ …ｎ ｎ （ 、 ÷ ｎ ） Ｊ ．
＝
例 ３求 极 限 １ ｉ
．
ｌ １ 等 一 十 ｌ ｎ ｘ
一
解
若直接用洛 必达法 则求 的话 ， 分 母 的 幂 指 数 会 越 ， 则 原 式 ： ｌ ｉ ＿ ｔ ５ ＿ ｏ连 续 使 用 法 则 ５ ０次
来越高 ， 得不到结果．
＝
令 ：
＝
ｌ ｉ ａ ｒ
零 且极 限存 在 的 因子 ］
（ 下转 ９ ８页 ）
数 学 学 习与 研 究 ２ ０ １ ５ ． １ ９
●
解 题 技巧 与 方 法
・ ・
●
● 酶
Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ＋ｃ ｏ ｓ ａ ｘ的 积 分 来解 决．
Ｍ ａ ｔ ｌ ａ ｂ无法 求 解 该 ， 若 使 用 分 部积 分法 ：
（ 罟 型 ） ．
［ 此处利用 ｅ ” 一１ ～（ 一１ ） ｌ ｎ ｘ ， 否 则 直 接 利 用 洛 必
ｌ ｉ ｍ
：０．
达 法则 将 会 很繁 琐 ］
一
四、 注意洛必达法 则的 适用 条件 ， 当条 件 不 满 足 时 。 及
时 调 整解 题 方 向
— １