中考数学三角函数应用题练习
2022年中考数学专题练习锐角三角函数的应用题
ABCD中考数学专题 锐角三角函数的应用【题型1】“影子”问题【例1】(影子“上墙”)数学兴趣小组想测量一棵树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,同时另一名同学测量一棵树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),这部分影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米,则树高为________.【变式1】如图,一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m ,同一时刻测量旗杆的影子长时,因旗杆靠近一栋楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影子长为11.2 m ,留在墙上的影子高为1 m ,则旗杆的高度是_________.【例2】(影子“上坡”)小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上,量得CD=8米,BC=20米,CD 与地面成30°角,且此时测得1米杆的影长为2米,则电线杆的高度为( ) A .9米B .28米C .(73)+米D .(143)+米AB C DE【例3】(影子“下坡”)如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB ,B 是CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影DE 留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12 m ,塔影长DE=18 m ,小明和小华的身高都是1.6 m ,同一时刻小明站在点E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2 m 和1 m ,则塔高AB 为( ) A .24 mB .22 mC .20 mD .18 m【变式1】如图,在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB ,B 是CD 的中点,且CD 是水平的.在阳光的照射下,塔影DE 留在坡面上,已知铁塔底座宽CD=14m ,塔影长DE=36m ,小明和小华的身高都是1.6m ,小明站在点E 处,影子也在斜坡面上,小华站在沿DE 方向的坡脚下,影子在平地上,两人的影长分别为4m ,2m ,那么塔高AB=_________.【对应练习】1.某兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m ,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2 m ,一级台阶高为0.3 m ,如图所示,若此时落在地面上的影长为4.4 m ,则树高为_________.D 23°60°C B38°A东港口B D【题型2】一个三角形【例1】如图所示,山坡上有一棵与地面垂直的大树AB ,一场大风过后,大树被刮倾斜后从点C 处折断倒在山坡上,树的顶部D 恰好接触到坡面AE 上.已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得树干倾斜角∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4m . (1)求∠CAE 的度数;(2)求这棵大树折断前的高度.1.4≈1.7≈2.4)【变式1】已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向,且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16 km ,一艘货轮从B 港口以40 km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行,15 min 后到达C 处,现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向,求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长.(精确到0.1 km ,参考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50≈1.41≈2.24)北东【对应练习】1.如图,在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1 km 的飞机跑道MN ,在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A .某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°,且与点A 相距15千米的B 处;经过1分钟,又测得该飞机位于点A 的北偏东60°,且与点A 相距千米的C 处.(1)该飞机航行的速度是多少千米/小时?(结果保留根号)(2)如果该飞机不改变航向继续航行,那么飞机能否降落在跑道MN 之间?请说明理由.【题型3】二个三角形【变式1】如图,某飞机于空中探测某座山的高度,在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米,从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°,飞机继续以相同的高度飞行300米到B处,此时观测目标C的俯角是50°,求这座山的高度CD.(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.20)4. 如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面成57.5°角,在离电线杆6米处安置测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米,求拉线CE的长.(结果精确到0.01米,参考数据:sin57.5°≈0.843,cos57.5°≈0.537,tan57.5°≈1.570,3≈1.732,2≈1.414)【变式1】(2015丹东10分)如图,线段AB ,CD 表示甲、乙两幢居民楼的高,两楼间的距离BD 是60米.某人站在A 处测得C 点的俯角为37°,D 点的俯角为48°(人的身高忽略不计),求乙楼的高度CD.(参考数据:sin37°≈35,tan37°≈34,sin48°≈710,tan48°≈1110)【例1】某数学课外活动小组利用课余时间,测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度.如图,矩形CDEF 为公益广告牌,CD 为公益广告牌的高,DM 为楼房的高,且C 、D 、M 三点共线.在楼房的侧面A 处,测得点C 与点D 的仰角分别为45°和37.3°,BM =15米.根据以上测得的相关数据,求这个广告牌的高(CD 的长).(结果精确到0.1米,参考数据:sin37.3°≈0.6060,cos37.3°≈0.7955,tan37.3°≈0.7618)【对应练习】1.(2014潍坊)如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是45°,然后沿平行于AB 的方向水平飞行41099.1 米到达点D 处,在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是60°,求两海岛间的距离AB (结果保留根号)。
三角函数练习题目初三
三角函数练习题目初三1.已知直角三角形中一条直角边的长度为3cm,另一条直角边的长度为4cm。
求其两条直角边上的正弦、余弦和正切值。
解析:已知直角边 a = 3cm、直角边 b = 4cm。
根据三角函数的定义可知:正弦(sin) = 直角边a / 斜边c余弦(cos) = 直角边b / 斜边c正切(tan) = 直角边a / 直角边b其中,斜边c可以通过勾股定理求得:斜边c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5代入计算得:正弦(sin) = 3 / 5 = 0.6余弦(cos) = 4 / 5 = 0.8正切(tan) = 3 / 4 = 0.75所以,该直角三角形的正弦值为0.6,余弦值为0.8,正切值为0.75。
2.已知角度θ的正弦值为0.5,求角度θ的余弦值和正切值。
解析:已知正弦(sin) = 0.5,要求余弦(cos)和正切(tan)。
根据正弦函数的定义可得:正弦(sin) = 直角边a / 斜边c已知正弦(sin) = 0.5,令直角边a = 0.5,斜边c = 1。
根据勾股定理可得:直角边b = √(c² - a²) = √(1² - 0.5²) = √(1 - 0.25) = √0.75 ≈ 0.866所以,余弦(cos) = 直角边b / 斜边c = 0.866 / 1 = 0.866正切(tan) = 直角边a / 直角边b = 0.5 / 0.866 ≈ 0.577所以,角度θ的余弦值为0.866,正切值为0.577。
3.已知角度α的正切值为2,求角度α的正弦值和余弦值。
解析:已知正切(tan) = 2,要求正弦(sin)和余弦(cos)。
根据正切函数的定义可得:正切(tan) = 直角边a / 直角边b已知正切(tan) = 2,令直角边a = 2,直角边b = 1。
2024中考数学专题5.9三角函数在实际生活中的应用 (全国通用)
考向5.9 三角函数在实际生活中的应用【知识要点】1、在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。
2、如图1,当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角3、 如图2,坡面与水平面的夹角叫做仰角 (或叫做坡比)。
用字母i 表示,即tan h i A l==4、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。
如图3,OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
5、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方位角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是:北偏东30°,南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°,北偏西60°。
7.测量物体高度的方法:(1).利用全等三角形的知识 ;(2)利用相似三角形的对应边成比例 ;(3).利用三角函数的知识例1、如图,某无人机爱好者在一小区外放飞无人机,当无人机飞行到一定高度D 点处时,无人机测得操控者A 的俯角为75︒,测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒.已知操控者A 和小区楼房BC 之间的距离为45米,小区楼房BC的高度为(1)求此时无人机的高度;(2)在(1)条件下,若无人机保持现有高度沿平行于AB 的方向,并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问:经过多少秒时,无人机刚好离开了操控者的视线?(假定点A ,B ,C ,D 都在同一平面内.参考数据:tan 752︒=tan152︒=.计算结果保留根号)图1图2hA图3 图4解:如图1,过D 点作DH ⊥AB ,垂足为点H ,过C 点作CE ⊥DH ,垂足为点E ,可知四边形EHBC 为矩形,∴EH =CB ,CE =HB ,∵无人机测得小区楼房BC 顶端点C 处的俯角为45︒,测得操控者A 的俯角为75︒,DM ∥AB ,∴∠ECD =45°,∠DAB =75°,∴∠CDE =∠ECD =45°,∴CE =DE ,设CE =DE =HB =x ,∴AH =45-x ,DH =DE +EH =x +在Rt △DAH 中,DH =tan75°×AH =(()245x -,即(()245x x +=-,解得:x =30,∴DH = 30+∴此时无人机的高度为()30米;(2)如图2所示,当无人机飞行到图中F 点处时,操控者开始看不见无人机,此时AF 刚好经过点C ,过A 点作AG ⊥DF ,垂足为点G ,此时,由(1)知,AG =30(米),∴°=tan 75AG DG ;∵tan =BC CAB AB ∠=∴°=30CAB ∠∵DF ∥AB ,∴∠DFA =∠CAB =30°,∴°45tan 30GA GF ==,∴=30DF GF DG -=+,因为无人机速度为5米/秒,6+(秒);所以经过()6秒时,无人机刚好离开了操控者的视线.一、单选题1.(2021·广东深圳·二模)“儿童放学归来早,忙趁东风放纸鸢”,小明周末在龙潭公园草坪上放风筝,已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65︒(如图所示,假设拉线是直的,小明身高忽略不计),则风筝离地面的高度可以表示为()A.100sin65︒B.100cos65︒C.100tan65︒D.100 sin65︒2.(2021·浙江温州·一模)如图,小慧的眼睛离地面的距离为1.6m,她用三角尺测量广场上的旗杆高度,仰角恰与三角板60︒角的边重合,量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m,则旗杆AD的高度(单位:m)为()A.6.6B.11.6C.1.6D.1.6+3.(2021·河北唐山·二模)如图,某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置,已知AO 的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′=α,则栏杆A端升高的高度为()A .4sin α米B .4sin α米C .4cos α米D .4cos α米4.(2021·广东云浮·一模)如图,是一水库大坝横断面的一部分,坝高60m h =,迎水斜坡100m AB =,斜坡的坡角为a ,则tan a 的值为( )A .43B .34C .35D .455.(2021·重庆市永川区教育科学研究所一模)鹅岭公园是重庆最早的私家园林,前身为礼园,是国家级AAA 旅游景区,园内有一瞰胜楼,登上高楼能欣赏到重庆的优美景色.周末,李明同学游览鹅岭公园,如图,在点A 观察到瞰胜楼楼底点C 的仰角为12°,楼顶点D 的仰角为13°,测得斜坡BC 的坡面距离BC =510米,斜坡BC 的坡度8:15i =.则瞰胜楼的高度CD 是( )米.(参考数据:tan12°≈0.2,tan13°≈0.23)A .30B .32C .34D .366.(2021·山东·济宁学院附属中学二模)如图,在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处,若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C 处,在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上,则B 、C 之间的距离为( )A .30海里B .C .20海里D .7.(2021·河北唐山·一模)如图,电线杆的高度为CD =m ,两根拉线AC 与BC 互相垂直(A ,D ,B在同一条直线上),若∠CBA =α,则拉线AC 的长度可以表示为( )A .sin mαB .cos mαC .m cosαD .tan mα8.(2021·江苏无锡·一模)如图,胡同左右两侧是竖直的墙,一架BC 斜靠在右侧墙壁上,测得梯子与地面的夹角为45°,此时梯子顶端B 恰巧与墙壁顶端重合.因梯子阻碍交通,故将梯子底端向右移动一段距离到达D 处,此时测得梯子AD 与地面的夹角为60°,则胡同左侧的通道拓宽了( )AB .3米C .(3米D .(3米9.(2021·重庆一中三模)如图,小欢同学为了测量建筑物AB 的高度,从建筑物底端点B 出发,经过一段坡度1:2.4i =的斜坡,到达C 点,测得坡面BC 的长度为15.6米,再沿水平方向行走30米到达点D (A ,B ,C ,D 均在同一平面内).在点D 处测得建筑物顶端A 的仰角为37︒,则建筑物AB 的高度约为(参考数据:sin 370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan 370.75︒≈)( )A .27.3米B .28.4米C .33.3米D .38.4米10.(2021·江苏南通·二模)如图,某大楼DE 楼顶挂着“众志成城,抗击疫情”的大型宣传牌,为了测量宣传牌的高度CD ,小江从楼底点E 向前行走30米到达点A ,在A 处测得宣传牌下端D 的仰角为60°.小江再沿斜坡AB 行走26米到达点B ,在点B 测得宣传牌的上端C 的仰角为43°,已知斜坡AB 的坡度i=1:2.4,点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内,CD ⊥AE ,宣传牌CD 的高度约为( )(参考数据:sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°≈0.93)A .8.3米B .8.5米C .8.7米D .8.9米11.(2021·重庆八中二模)如图,一棵松树AB 挺立在斜坡CB 的顶端,斜坡CB 长为52米,坡度为i =12:5,小张从与点C 相距60米的点D 处向上爬12米到达观景台DE 的顶端点E ,在此测得松树顶端点A 的仰角为39°,则松树的高度AB 约为( )(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81)A .16.8米B .28.8米C .40.8米D .64.2米12.(2021·重庆·字水中学三模)白沙镇有一望夫塔,小明在与塔底中心的D 同一水平线的A 处,测得24AD =米,沿坡度0.75:1i =的斜坡AB 走到B 点,测得塔顶E 仰角为37°,再沿水平方向走22米到C 处,测得塔顶E 的仰角为22°,则塔高DE 为( )米.(结果精确到十分位)(sin 370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan 370.75︒≈,sin 220.37︒≈,cos 220.93︒≈,tan 220.40︒≈,)A .18.3米B .19.7米C .20.7米D .22.3米二、填空题13.(2021·广东·深圳市南山区太子湾学校二模)如图,一楼房AB 后有一假山,其斜面坡度为i =1(斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),山坡坡面上点E 处有一休息亭,测得假山坡脚C 与楼房水平距离BC =25米,与亭子距离CE =20米,小丽从楼房顶测得E 点的俯角为45°,则楼房AB的高为_____米.14.(2021·广东·广州市第六十五中学一模)小颖家住在甲楼,她所居住的楼房前面有一座乙楼.冬天,阳光入射角是30°,两楼距离20米,小颖家的阳台距地面7米,乙楼高18米,那么影子的顶端距她家阳台还有_________米.(精确到0.1米)15.(2021·山东·郓城县教学研究室一模)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到海岸线l的距离是__km.16.(2021·吉林长春·二模)如图,在A处看建筑物CD的顶端C的仰角为α,且tanα=0.8,向前行进3米到达B处,从B处看顶端C的仰角为45°(图中各点均在同一平面内,A、B、D三点在同一条直线上,CD⊥AD,则建筑物CD的高度为_____米.17.(2021·广东·佛山市华英学校一模)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC,CD.测得BC=9m,CD=6m,斜坡CD的坡度i=1D处测得电线杆顶端A 的仰角为30°,则电线杆AB的高度为_____.18.(2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模)如图,某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B 处的俯角为30°,荷塘另一端点D与点C,B在同一直线上,已知楼房AC=32米,CD=16米,则荷塘的宽BD为________米.19.(2021·山东·庆云县渤海中学一模)如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A、C、E在同一直线上.则大楼AB的高度_____.(结果保留根号)20.(2021·湖北咸宁·模拟预测)如图,建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB,从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒,观测旗杆底部B 的仰角为45︒,则建筑物BC 的高约为_____m (结果保留小数点后一位).(参考数据sin 530.80︒≈,cos530.60︒≈,tan 53 1.33︒≈)三、解答题21.(2021·贵州六盘水·模拟预测)位于我市的北盘江大桥是世界第一高桥,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如图1),桥长1341.4米,桥面至江面垂直距离565.4米.图2是从图1中抽象出的平面图,测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°,拉索DE 与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BE 为55米,两拉索底端距离AD 为240米.(1)求DC EC的值;(结果保留根号)(2)求立柱BC 的长.(结果精确到0.1≈1.732)22.(2021·贵州·仁怀市教育研究室一模)如图,两座建筑物AD 与BC ,其地面距离CD 为60m ,从AD 的顶点A 测得BC 顶部B 的仰角30α=︒,测得其底部C 的俯角45β=︒,求建筑物BC 的高(结果保留根号).23.(2021·河南商丘·三模)在一次实弹演习中,我国参演红军需轰炸蓝军的一个桥梁,如图,红军飞行员驾驶战机飞到A 处时发现桥梁BC 并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°.已知飞机、桥梁BC 与地面在同一水平面上,其桥梁BC 长度为800m .请求出此时飞机离地面的高度.(结果保留整数.参考数据:sin35°≈712,cos35°≈56,tan35°≈710)一、单选题1.(2021·吉林长春·中考真题)如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图.已知A 、B 两点间的距离为30米,A α∠=,则缆车从A 点到达B 点,上升的高度(BC 的长)为( )A .30sin α米B .30sin α米C .30cos α米D .30cos α米2.(2021·福建·中考真题)如图,某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离,在学校附近选一点C ,利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB 等于( )A .2kmB .3kmC .D .4km3.(2021·湖南衡阳·中考真题)如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB 的倾斜角为37︒,大厅两层之间的距离BC 为6米,则自动扶梯AB 的长约为(sin 370.6,cos370.8,tan 370.75︒≈︒≈︒≈)( ).A .7.5米B .8米C .9米D .10米4.(2021·山东济南·中考真题)无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图,某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒,无人机垂直下降40m 至B 处,又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒,则M ,N 之间的距离为(参考数据:tan 430.9︒≈,sin 430.7︒≈,cos 350.8︒≈,tan 350.7︒≈,结果保留整数)( )A .188mB .269mC .286mD .312m5.(2021·浙江金华·中考真题)如图是一架人字梯,已知2AB AC ==米,AC 与地面BC 的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC 为( )A .4cos α米B .4sin α米C .4tan α米D .4cos α米6.(2021·广东深圳·中考真题)如图,在点F 处,看建筑物顶端D 的仰角为32°,向前走了15米到达点E 即15EF =米,在点E 处看点D 的仰角为64°,则CD 的长用三角函数表示为( )A .15sin 32︒B .15tan 64︒C .15sin 64︒D .15tan 32︒7.(2021·山东日照·中考真题)如图,在一次数学实践活动中,小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度,他从古塔底部点B 处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处,然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处,在点D 处测得塔顶A 的仰角为30 ,已知斜坡的斜面坡度i =A ,B ,C ,D ,E 在同一平面内,小明同学测得古塔AB 的高度是( )A .()20m +B .()10mC .D .40m8.(2021·贵州毕节·中考真题)如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD .其中//AD BC ,45ABC ∠=︒,30DCB ∠=︒,斜坡AB 长8m .则斜坡CD 的长为( )A .B .C .D 9.(2021·湖北十堰·中考真题)如图,小明利用一个锐角是30 的三角板测量操场旗杆的高度,已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ,AB 为1.5m (即小明的眼睛与地面的距离),那么旗杆的高度是( )A .3m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .C .D .3m 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭10.(2021·湖北随州·中考真题)如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点A 处,底端落在水平地面的点B 处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,已知3sin cos 5αβ==,则梯子顶端上升了( )A .1米B .1.5米C .2米D .2.5米11.(2021·重庆·中考真题)如图,在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡,斜坡CD 的坡度(或坡比)为1:2.4i =,坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米(点A ,B ,C ,D ,E 在同一平面内),在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°,则建筑物AB 的高度约为(参考数据:sin 500.77︒≈;cos500.64︒≈;tan 50 1.19︒≈)A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米12.(2021·山东泰安·中考真题)如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°,建筑物底端B的俯角为45°,点A、B、i=.根据小颖的测量数据,计算出建筑物BC的高度约为C、D、E在同一平面内,斜坡AD的坡度1:2.4( 1.732≈)A.136.6米B.86.7米C.186.7米D.86.6米二、填空题13.(2021·广西百色·中考真题)数学活动小组为测量山顶电视塔的高度,在塔的椭圆平台遥控无人机.当无人机飞到点P处时,与平台中心O点的水平距离为15米,测得塔顶A点的仰角为30°,塔底B点的俯角为60°,则电视塔的高度为_________米.14.(2021·广西梧州·中考真题)某市跨江大桥即将竣工,某学生做了一个平面示意图(如图),点A到桥的距离是40米,测得∠A=83°,则大桥BC的长度是___米.(结果精确到1米)(参考数据:sin83°≈0.99,cos83°≈0.12,tan83°≈8.14)15.(2021·江苏无锡·中考真题)一条上山直道的坡度为1:7,沿这条直道上山,则前进100米所上升的高度为________米.16.(2021·四川乐山·中考真题)如图,为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度,佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角为30 ,她朝石碑前行5米到达点D处,又测得石顶A点的仰角为60︒,那么石碑的高度AB的长=________米.(结果保留根号)17.(2021·贵州遵义·中考真题)小明用一块含有60°(∠DAE=60°)的直角三角尺测量校园内某棵树的高度,示意图如图所示,若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m,小明与树之间的水平距离BC为4m,则这棵树的高度约为___m.(结果精确到0.1m≈1.73)18.(2021·内蒙古赤峰·中考真题)某滑雪场用无人机测量雪道长度.如图,通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°,另一端B处的俯角为45°,若无人机镜头C处的高度CD为238米,点A,︒≈,D,B在同一直线上,则通道AB的长度为_________米.(结果保留整数,参考数据sin500.77︒≈)cos500.64︒≈,tan50 1.1919.(2021·广西来宾·中考真题)如图,从楼顶A 处看楼下荷塘C 处的俯角为45︒,看楼下荷塘D 处的俯角为60︒,已知楼高AB 为30米,则荷塘的宽CD 为__________米.(结果保留根号)20.(2021·湖北黄石·中考真题)如图,直立于地面上的电线杆AB ,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ,测得5BC =米,4CD =米,150BCD ∠=︒,在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为45︒,则电线杆AB 的高度约为______米.(参考数据: 1.414≈ 1.732≈,结果按四舍五入保留一位小数)21.(2021·湖北荆州·中考真题)如图1是一台手机支架,图2是其侧面示意图,AB ,BC 可分别绕点A ,B 转动,测量知8cm BC =,16cm AB =.当AB ,BC 转动到60=︒∠BAE ,50ABC ∠=︒时,点C 到AE 的距离为_____________cm .(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 700.94︒≈ 1.73≈)22.(2021·湖北武汉·中考真题)如图,海中有一个小岛A ,一艘轮船由西向东航行,在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上;航行12n mile 到达C 点,这时测得小岛A 在北偏东30︒方向上.小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈,结果用四舍五入法精确到0.1).三、解答题23.(2021·山东青岛·中考真题)某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动,准备测量一栋大楼BC 的高度.如图所示,其中观景平台斜坡DE 的长是20米,坡角为37︒,斜坡DE 底部D 与大楼底端C 的距离CD 为74米,与地面CD 垂直的路灯AE 的高度是3米,从楼顶B 测得路灯AE 项端A 处的俯角是42.6︒.试求大楼BC 的高度.(参考数据:3sin 375︒≈,4cos375≈︒,3tan 374︒≈,17sin 42.625︒≈,34cos 42.645︒≈,9tan 42.610︒≈)24.(2021·广西河池·中考真题)如图,小明同学在民族广场A 处放风筝,风筝位于B 处,风筝线AB 长为100m ,从A 处看风筝的仰角为30︒,小明的父母从C 处看风筝的仰角为50︒.(1)风筝离地面多少m ?(2)AC 相距多少m ?(结果保留小数点后一位,参考数据:sin300.5︒=,cos300.8660︒=,tan300.5774︒=,sin500.7760︒=,cos500.6428︒=,tan50 1.1918︒=)25.(2021·四川巴中·中考真题)学校运动场的四角各有一盏探照灯,其中一盏探照灯B的位置如图所示,已知坡长AC=12m,坡角α为30°,灯光受灯罩的影响,最远端的光线与地面的夹角β为27°,最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处,且与地面的夹角为60°,A、B、C、D在同一平面上.(结果精确到0.1m.参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.50 1.73.)(1)求灯杆AB的高度;(2)求CD的长度.1.A【解析】【分析】过点A 作AC ⊥BC 于C ,根据正弦的定义解答即可.【详解】解:如图,过点A 作AC ⊥BC 于C ,在Rt △ABC 中,sin B =AC AB,则AC =AB •sin B =100sin65°(米),故选:A .【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.2.D【解析】【分析】根据题意可知 1.6BE CD ==米,60ABC ∠=︒.再利用特殊角的三角函数解直角三角形即可求出AC 长,从而求出AD 长.【详解】根据题意可知 1.6BE CD ==米,60ABC ∠=︒.∵60ABC ∠=︒,∴在Rt ABC 中,tan 60AC BC =︒= 米.∴ 1.6)AD AC CD =+=米.故选D .【点拨】本题考查解直角三角形的实际应用.掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键.3.B【解析】【分析】过点A′作A′C ⊥AB 于点C ,根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【详解】解:如答图,过点A′作A′C ⊥AB 于点C .在Rt △OCA′,sinα=A C A O'',所以A′C =A′O·sinα.由题意得A′O =AO =4,所以A′C =4sinα,因此本题选B .【点拨】本题考查解直角三角形,解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义,本题属于基础题型.4.B【解析】【分析】直接利用勾股定理得出BC ,再利用锐角三角函数关系得出答案.【详解】解:过点A 作AC ⊥BD ,垂足为C ,∵坝高h =60m ,迎水斜坡AB =100m ,∴BC ==80(m ),则tanα=603804= .故选:B .【点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确掌握边角关系是解题关键.5.D【解析】【分析】由斜坡BC 的坡度8:15i =,设8CE x =、15BE x =,由勾股定理可知17BC x =,BC =510,求得30x =,据此可知AE 、DE 的长,再根据DC DE CE =-可得答案.【详解】由斜坡BC 的坡度8:15i =,设8CE x =、15BE x =,在Rt BCE 中,17BC x ===,由17510BC x ==求得30x =,∴240CE =米、450BE =米,在Rt ACE △中,2401200tan tan12CE AE CAE ===∠︒(米),在Rt ADE △中,tan 1200tan13276DE AE DAE =∠=⨯︒=(米),则27624036DC DE CE =-=-=(米).故选:D .【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用能力,注意能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形是解决本题的关键.6.D【解析】【分析】根据时间、速度、距离之间的关系求出AC ,根据等腰直角三角形的性质解答即可.【详解】解:如图:由题意得,AC =60×0.5=30海里,∵CD ∥BF ,∴∠CBF =∠DCB =60°,又∠ABF =15°,∴∠ABC =45°,∵AE ∥BF ,∴∠EAB =∠FBA =15°,又∠EAC =75°,∴∠CAB =90°,∴sin 45AC BC ︒=∴BC =海里,故选:D .【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题,正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.7.B【解析】【分析】根据同角的余角相等得∠ACD =∠CBD ,由cos ∠ACD =CD AC ,即可求出AC 的长度.【详解】解:∵∠ACD +∠BCD =90°,∠CBD +∠BCD =90°,∴∠ACD =∠CBD ,在Rt △ACD 中,∵cos ∠ACD =CD AC,∴AC =cos cos CD m ACD α=∠.故选:B .【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用,熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键.8.D【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出E C 、EB ,根据正切的定义求出DE ,结合图形计算得到答案.【详解】解:在Rt EBC 中,45BCE ∠=︒,3EC EB ∴====(米),在Rt BDE △中,tan BE BDE DE ∠=,tan BE DE BDE ∴==∠(米),(3CD EC DE ∴=-=米,故选:D .【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题,掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.9.A【解析】【分析】延长AB 与DC 相交与点E ,由题意和三角函数可求得EC 的长度,根据37°角的三角函数求得AE 的长度,进而可求出建筑物AB 的高度.【详解】如图,延长AB 与DC 相交于点E ,∵15.6BC =,斜坡BC 的坡度i =1:2.4=512,∴12cos 13BCE =∠,5sin 13BCE =∠,∴12cos 15.6=14.413EC BC BCE =∙=⨯∠,5sin 15.6613BE BC BCE =∙=⨯=∠,∴==14.430=44.4ED EC CD ++,又∵D ∠=37°,∴=tan 37=44.40.75=33.3AE ED ∙︒⨯,∴33.3627.3AB AE BE =-=-=,故选:A .【点拨】此题考查了三角函数应用题,仰角和坡度的概念,做出辅助线是解答本题的关键.10.A【解析】【分析】过B 分别作AE 、DE 的垂线,设垂足为F 、G .分别在Rt △ABF 和Rt △ADE 中,通过解直角三角形求出BF 、AF 、DE 的长,再求出EF 即BG 的长;在Rt △CBG 中求出CG 的长,根据CD =CG +GE -DE 即可求出宣传牌的高度.【详解】解:过B 作BF ⊥AE ,交EA 的延长线于F ,作BG ⊥DE 于G .Rt △ABF 中,i =tan ∠BAF =BF AF =12.4,AB =26米,∴BF =10(米),AF =24(米),∴BG =AF +AE =54(米),Rt △BGC 中,∠CBG =43°,∴CG =BG •tan43°≈54×0.93=50.22(米),Rt △ADE 中,∠DAE =60°,AE =30米,∴∴CD =CG +GE -DE(米).故选:A .【点拨】此题考查了仰角、坡度的定义,能够正确地构建出直角三角形,将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.11.B【解析】【分析】延长AB交DC的延长线于H,作EF⊥AH于F,根据矩形的性质得到FH=DE=12,EF=DH,根据坡度的概念分别求出CH、BH,根据正切的定义求出AF,结合图形计算即可.【详解】解:延长AB交DC的延长线于H,作EF⊥AH于F,则四边形EDHF为矩形,∴FH=DE=12米,EF=DH,∵斜坡CB的坡度为t=12:5,∴设BH=12x,CH=5x,由勾股定理得,(5x)2+(12x)2=522,解得,x=4,则BH=12x=48米,CH=5x=20米,则EF=DH=DC+CH=60+20=80(米),在Rt△AEF中,tan∠AEF=AF EF,则AF=EF•tan∠AEF≈80×0.81=64.8(米),∴AB=AF+HF﹣BH=64.8+12﹣48=28.8(米),故选:B.【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题,掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.12.B【解析】【分析】连接DE,作BF⊥DE于F,BG⊥DA于G,设BG=3x m,则AG=4x m,BF=DG=24+4x(m),CF=BF+BC=46+4x(m),由三角函数定义得出EF=tan37°(24+4x),EF=tan22°(46+4x),得出0.75(24+4x)=0.40(46+4x ),解得27x =,求出DF 、EF ,即可得出答案.【详解】解:连接DE ,作BF ⊥DE 于F ,BG ⊥DA 于G ,如图:则DF =BG ,BF =DG =AD +AG ,∵AB =斜坡AB 的坡度0.75BG i AG==,∴设BG =3x m ,则AG =4x m ,BF =DG =24+4x (m ),CF =BF +BC =24+4x +22=46+4x (m ),由题意得:∠EBF =37°,∠ECF =22°,∵tan ∠BEF =244EF EF BF x =+,tan ∠ECF =464EF EF CF x=+,∴EF =tan 37°(24+4x ),EF =tan 22°(46+4x ),∴0.75(24+4x )=0.40(46+4x ),解得:27x =,∴DF =BG =3x =67(m ),EF =0.40(46+4x )=1327(m ),∴DE =DF +EF =613213819.7777+=≈;故选:B .【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题,掌握仰角俯角的概念、坡度坡角分概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.13.().【解析】【分析】过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ,EH ⊥AB 于点H ,解直角三角形即可求解.【详解】解:过点E 作EF ⊥BC 的延长线于F ,EH ⊥AB 于点H ,在Rt △CEF 中,∵i =EF CF tan ∠ECF ,∴∠ECF =30°,∴EF =12CE =10米,CF =∴BH =EF =10米,HE =BF =BC +CF =(在Rt △AHE 中,∵∠HAE =45°,∴AH=HE =(∴AB =AH +HB =(答:楼房AB 的高为(故答案为:(【点拨】本题考查了解直角三角形的应用,涉及俯角及坡度的知识,构造直角三角形是解题的关键.14.0.6【解析】【分析】如图,解直角三角形ABC 可以求得AB 的长,求出乙楼的影子在甲楼上的高度CD ,再求影子的顶端距她家阳台的距离.【详解】解:如图,△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,BC=20米,所以AB=BC•tan ∠ACB =20•tan30°=(米),CD=18-11.55=6.45(米),∴影子的顶端距她家阳台还有7-6.45≈0.6(米).故答案为0.6.【点拨】本题考查特殊角的三角函数值,解直角三角形,根据BC 求出AB 的值是解题的关键.15【解析】【分析】根据题意可证得△ABC 为等腰三角形,即可求出BC 的长,然后再解直角三角形CBD 即可求得.【详解】解:如图,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,根据题意得:∠CAD =90°−60°=30°,∠CBD =90°−30°=60°,∴∠ACB =∠CBD −∠CAD =60°-30°=30°,∴∠CAB =∠ACB ,∴BC =AB =2km ,在Rt △CBD 中,sin 602CD BC =⋅︒==,【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质及解直角三角形的应用,解决本题的关键是证出△ABC 是等腰三角形.16.12【解析】【分析】根据∠DBC =45°可得BD CD =,根据tan α=0.8,可得3810CD CD =+,进而即可求得CD 的长.【详解】∵∠DBC =45°,∴BD =CD tan 45⨯︒=CD ,tanα=,3AD AB BD CD =+=+,则3810CD CD =+,解得CD =12.经检验:符合题意故答案为12.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用,掌握正切的意义是解题的关键.17.(6m+【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于F ,作DG ⊥BF 于G ,根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC 、CG 的长,根据正切的定义解答即可.【详解】解:如图,延长AD 交BC 的延长线于F ,作DG ⊥BF 于G ,∵∠ADE =30°,∴∠AFB =30°,∵CD =6m ,斜坡CD 的坡度i =1∴tan ∠DCG =DG CG ∴∠DCG =30°,∴DG =3m ,CG =,∴∠DFC =∠DCF =30°,∴DF =DC ,∵DG ⊥BF ,∴FG =CG =,∴FC=,∴FB =FC +BC =()m ,∴AB =BF ×tan ∠AFB =()m .故答案为:(m .【点拨】本题主要考查了勾股定理,坡比和解直角三角形,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18.16【解析】【分析】根据已知条件转化为直角三角形ABC 中的有关量,由锐角三角函数的定义可求出BC ,根据BD =BC -CD 可得出答案.【详解】解:由题意知,∠ABC =30°,∠ACB =90°,AC =32米,tan tan 30,AC ABC BC ︒∠==tan 30AC BC ︒∴===(米)∵CD =16米,∴BD =BC -CD=16米.故答案为:16.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC 中的有关元素.19.(【解析】【分析】在直角三角形DCE 中,利用锐角三角函数定义求出DE 的长,过D 作DF 垂直于AB ,交AB 于点F ,可得出三角形BDF 为等腰直角三角形,设BF =DF =x (米),表示出BC ,BD ,DC ,由题意得到三角形BCD 为直角三角形,利用勾股定理列出关于x 的方程,求出方程的解得到x 的值,即可确定出AB 的长.【详解】解:在Rt △DCE 中,DC =4米,∠DCE =30°,∠DEC =90°,∴DE 12=DC =2(米),过D 作DF ⊥AB ,交AB 于点F,∵∠BFD =90°,∠BDF =45°,∴∠FBD =45°,即△BFD 为等腰直角三角形,设BF =DF =x 米,∵四边形DEAF 为矩形,∴AF =DE =2米,即AB =(x +2)米,在Rt △ABC 中,∠ABC =30°,∴cos30B AB C ===︒BD =米,DC =4米,∵∠DCE =30°,∠ACB =60°,∴∠DCB =90°,在Rt △BCD 中,根据勾股定理得:22(24)2163x x +=+ ,解得:x =则AB =(故答案为:(【点拨】此题考查了解直角三角形的实际应用--仰角俯角问题,坡度坡角问题,熟练掌握解直角三角形的方法是解本题的关键.20.24.2【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =,设m BC CD x ==,从而可得(8)m AC x =+,再在Rt ACD △中,利用正切三角函数解直角三角形即可得.【详解】解:由题意得:,8m,53,45AC CD AB ADC BDC ⊥=∠=︒∠=︒,Rt BCD ∴ 是等腰直角三角形,BC CD ∴=,设m BC CD x ==,则(8)m AC x =+,在Rt ACD △中,tan AC ADC CD∠=,即8tan 53 1.33x x +=︒≈,解得24.2(m)x ≈,经检验,是所列分式方程的解,且符合题意,即建筑物BC 的高约为24.2m ,故答案为:24.2.【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用,熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键.21.(2)180.3米【解析】【分析】对于(1),由特殊角三角函数值得出答案;对于(2),设DC =x 米,再根据特殊角三角函数值得CE =(米),AC =(3x )(米),再由AC =AD +DC ,得关于x 的方程,求出x 的值,即可解决问题.(1)∵∠ECD =90°,∠EDC =60°,∴∠DEC =90°﹣∠EDC =30°,∴tan tan 30∠==︒=DC DEC EC ,即DC EC (2)设DC =x 米,∵∠EDC =60°,∠ECD =90°,∴tan 60CE DC =⋅︒=(米),∴(55)=+=BC BE CE (米).∵∠A =30°,∴3)==AC x (米).∵AC =AD +DC ,∴3240=+x x ,。
专题22 锐角三角函数及其应用(共30道)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题22锐角三角函数及其应用(30题)一、单选题1.(2023·江苏南通·统考中考真题)如图,从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒,看这栋楼底部C 的俯角β为60︒,无人机与楼的水平距离为120m ,则这栋楼的高度为()A .1403mB .1603mC .1803mD .2003m2.(2023·湖南益阳·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,有三点()0,1A ,()4,1B ,()5,6C ,则sin BAC ∠=()A .12B .135C .22D .323.(2023·山东日照·统考中考真题)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B 处测得灯塔最高点A 的仰角45ABD ∠=︒,再沿BD 方向前进至C 处测得最高点A 的仰角60ACD ∠=︒,15.3m BC =,则灯塔的高度AD 大约是()(结果精确到1m ,参考数据:2 1.41≈,3 1.73≈)A .31mB .36mC .42mD .53mA.32sin25二、解答题5.(2023·辽宁盘锦两点时,一架无人机从空中的6.(2023·辽宁鞍山·统考中考真题)某商店窗前计划安装如图面图中,墙面BC垂直于地面CE∠=∠所在墙面BC垂直,即ABC∠线恰好照射在地面点D处,则ADE7.(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图,小颖家所在居民楼高AB 为46m ,从楼顶A 处测得另一座大厦顶部C 的仰角α是45︒,而大厦底部D 的俯角β是37︒.(1)求两楼之间的距离BD .(2)求大厦的高度CD .(结果精确到0.1m .参考数据:sin 370.6︒≈,cos370.8︒≈,tan 370.75︒≈)8.(2023·陕西·统考中考真题)一天晚上,小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB .如图所示,当小明爸爸站在点D 处时,他在该景观灯照射下的影子长为DF ,测得2.4m DF =;当小明站在爸爸影子的顶端F 处时,测得点A 的仰角α为266︒..已知爸爸的身高 1.8m CD =,小明眼睛到地面的距离 1.6m EF =,点F 、D 、B 在同一条直线上,EF FB ⊥,CD FB ⊥,AB FB ⊥.求该景观灯的高AB .(参考数据:sin 26.60.45︒≈,cos26.60.89︒≈,tan 26.60.50)︒≈10.(2023·山东济南·统考中考真题)图1是某越野车的侧面示意图,BC=,1230.6mAO=.如图2,打开后备箱,车后盖ABC∠=︒,该车的高度 1.7m(1)求打开后备箱后,车后盖最高点B'到地面l的距离;(2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过,有没有碰头的危险?请说明理由.位于码头A北偏东60︒方向.一艘勘测船从海岛C沿北偏西30︒方向往灯塔B行驶,沿线勘测石油资源,勘测发现位于码头A北偏东15︒方向的D处石油资源丰富.若规划修建从D处到海岸线的输油管道,则输油管道的最短长度是多少千米?(结果保留根号)12.(2023·浙江·统考中考真题)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角围内才能OA=,识别的最远水平距被识别),其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15︒,摄像头高度160cm OB=.离150cm(1)身高208cm的小杜,头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130cm的点C处,请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别.(2)身高120cm的小若,头部高度为15cm,踮起脚尖可以增高3cm,但仍无法被识别.社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20︒(如图3),此时小若能被识别吗?请计算说明.(精确到0.1cm,参考数据︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈)sin150.26,cos150.97,tan150.27,sin200.34,cos200.94,tan200.3613.(2023·江苏宿迁·统考中考真题)【问题背景】由光的反射定律知:反射角等于入射角(如图,即【活动探究】观察小军的操作后,小明提出了一个测量广告牌高度的做法(如图)动至1E处,小军恰好通过镜子看到广告牌顶端到广告牌的底端A,测出2DE告牌AG的高度.【应用拓展】小军和小明讨论后,发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔①让小军站在斜坡的底端D处不动(小军眼睛离地面距离面上)位置至E处,让小军恰好能看到塔顶(即8tan15ADG∠=).通过他们给出的方案,请你算出信号塔14.(2023·辽宁·统考中考真题)小亮利用所学的知识对大厦的高度大厦底部的俯角是30︒,测得大厦顶部的仰角是37︒,已知他家楼顶B 处距地面的高度BA 为40米(图中点A ,B ,C ,D 均在同一平面内).(1)求两楼之间的距离AC (结果保留根号);(2)求大厦的高度CD (结果取整数).(参考数据:sin 370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan 370.75︒≈,3 1.73≈)15.(2023·江苏泰州·统考中考真题)如图,堤坝AB 长为10m ,坡度i 为1:0.75,底端A 在地面上,堤坝与对面的山之间有一深沟,山顶D 处立有高20m 的铁塔CD .小明欲测量山高DE ,他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上,又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635︒'.求堤坝高及山高DE .(sin 26350.45'︒≈,cos 26350.89'︒≈,tan 26350.50'︒≈,小明身高忽略不计,结果精确到1m )16.(2023·湖南娄底·统考中考真题)几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动,在登山途中发17.(2023·黑龙江大庆·统考中考真题)某风景区观景缆车路线如图所示,缆车从点AB=米,达山顶P,其中400与水平方向的夹角为30︒,求垂直高度︒≈)tan150.26818.(2023·宁夏·统考中考真题)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为成30︒角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转19.(2023·湖北恩施·统考中考真题)小王同学学习了锐角三角函数后,通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置,他认为利用台阶的可测数据与在点A ,B 处测出点D 的仰角度数,可以求出信号塔DE 的高.如图,AB 的长为5m ,高BC 为3m .他在点A 处测得点D 的仰角为45︒,在点B 处测得点D 的仰角为38.7︒,A B C D E ,,,,在同一平面内.你认为小王同学能求出信号塔DE 的高吗?若能,请求出信号塔DE 的高;若不能,请说明理由.(参考数据:sin 38.70.625︒≈,cos38.70.780︒≈,tan 38.70.80︒≈,结果保留整数)20.(2023·辽宁营口·统考中考真题)为了丰富学生的文化生活,学校利用假期组织学生到素质教育基地A 和科技智能馆B 参观学习,学生从学校出发,走到C 处时,发现A 位于C 的北偏西25︒方向上,B 位于C 的北偏西55︒方向上,老师将学生分成甲乙两组,甲组前往A 地,乙组前往B 地,已知B 在A 的南偏西20︒方向上,且相距1000米,请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程(参考数据:2 1.41≈,6 2.45≈)21.(2023·山东·统考中考真题)如图,某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照,计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬.已知苗圃的(南北)宽 6.5AB =米,该地区一(1)求登山缆车上升的高度DE ;(2)若步行速度为30m/min ,登山缆车的速度为60m/min ,求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min )(参考数据:sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈,,)24.(2023·贵州·统考中考真题)贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图①景区内修建观光索道.设计示意图如图②所示,以山脚A 为起点,沿途修建AB 、CD 两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D 处,中途设计了一段与AF 平行的观光平台BC 为50m .索道AB 与AF 的夹角为15︒,CD 与水平线夹角为45︒,A B 、两处的水平距离AE 为576m ,DF AF ⊥,垂足为点F .(图中所有点都在同一平面内,点A E F 、、在同一水平线上)(1)求索道AB 的长(结果精确到1m );(2)求水平距离AF 的长(结果精确到1m ).(参考数据:sin150.25︒≈,cos150.96︒≈,tan150.26︒≈,2 1.41≈)25.(2023·湖北鄂州·统考中考真题)鄂州市莲花山是国家4A 级风景区,元明塔造型独特,是莲花山风景区的核心景点,深受全国各地旅游爱好者的青睐.今年端午节,景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动.如图2,景区工作人员小明准备从元明塔的点G 处挂一条大型竖直条幅到点E 处,挂好后,小明进行实地测(1)求自动扶梯AD的长度;(2)求大型条幅GE的长度.(结果保留根号)甘肃兰州·统考中考真题)如图127.(2023·内蒙古·统考中考真题)为了增强学生体质、图,A点为出发点,途中设置两个检查点,分别为的南偏东25︒方向32km处,C点在A点的北偏东45︒.的度数;(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角BCA(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号).28.(2023·吉林·统考中考真题)某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度,王朵同学带领小组成员进行此项实践活动,记录如下:填写人:王朵综合实践活动报告时间:2023年4月20日活动任务:测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后,画出如图①的测量草图,确定需测的几何量.【步骤二】准备测量工具自制测角仪,把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处,细线的另一端系一个小重物,制成一个简单的测角仪,利用α=________.AB=.1.54mBD=.10m三、填空题m .(精确到1m .参考数据:tan 50 1.2tan 26.60.5︒≈︒≈,)30.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡对A 地和B 地之间的一处垃圾填埋场进行改造,把原来A 地去往B 地需要绕行到C 地的路线,改造成可以直线通行的公路AB .如图,经勘测,6AC =千米,60CAB ∠=︒,37CBA ∠=︒,则改造后公路AB 的长是千米(精确到0.1千米;参考数据:sin 370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan 370.75︒≈,3 1.73≈).。
最新中考数学三角函数应用题-(1)
应用题(三角函数)1. (2008年南京市)23.(6分)如图,山顶建有一座铁塔,塔高30m CD =,某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20,塔顶D 的仰角为23,求此人距CD 的水平距离AB. (参考数据:sin 200.342≈,cos 200.940≈,tan 200.364≈,sin 230.391≈,cos 230.921≈,tan 230.424≈)2. (2008年遵义市)某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示.BC AD ∥,斜坡40AB =米,坡角60BAD ∠=,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过45时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A 不动,从坡顶B 沿BC 削进到E 处,问BE 至少是多少米(结果保留根号)? 3题图.3. 汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P 点,测得A 村的俯角为30︒,B 村的俯角为60︒.求A 、B 两个村庄间的距离.(结果精确到米,参考数据2 1.4143 1.732==,)4 .如图,河流两岸a b ,互相平行,C D ,是河岸a 上间隔50m 的两个电线杆.某人在河岸b 上的A 处测得30DAB ∠=,然后沿河岸走了100m 到达B 处,测得60CBF ∠=,求河流的宽度CF 的值(结果精确到个位).5题图. 7题图5. 如图,山脚下有一棵树AB ,小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ,用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°,已知山坡的坡角为15°,求树AB 的高.(精确到0.1米)(已知sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27.)6. 某旅游区有一个景观奇异的望天洞,D 点是洞的入口,游人从入口进洞游览后,可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景,最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处.在同一平面内,若测得斜坡BD 的长为100米,坡角10DBC ∠=°,在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°,在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°,过D 点作地面BE 的垂线,垂足为C . (1)求ADB ∠的度数; (2)求索道AB 的长.(结果保留根号)7. 如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点A 到航线l 的距离为2km ,点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处.现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处,正沿该航线自西向东航行,5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处.(1)求观测点B 到航线l 的距离;(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h ).(参考数据:3 1.73≈,sin760.97°≈,cos760.24°≈,tan76 4.01°≈)B2题图.ECDA1题图A BC D 2023 QB CP A 45060︒30︒BED CFab A4题AC DE FB 6题图北东C D B E A 60° 76°A B D C E8. 如图,AC 是我市某大楼的高,在地面上B 点处测得楼顶A 的仰角为45º,沿BC 方向前进18米到达D 点,测得tan ∠ADC = 53.现打算从大楼顶端A 点悬挂一幅庆祝建国60周年的大型标语,若标语底端距地面15m ,请你计算标语AE 的长度应为多少?9.(2009年中山)如图所示,A .B 两城市相距100km ,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB ),经测量,森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上,已知森林保护区的范围在以P 点为圆心,50km 为半径的圆形区域内,请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区,为什么?(参考数据:3≈1.732,2≈1.414)8.(2009襄樊市)为打击索马里海盗,保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰(如图9所示),便发出紧急求救信号.我护航舰接警后,立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 2 1.43 1.7,)C。
中考数学专题 初中三角函数应用题10道-含答案
初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度(结果保留根号);(2)游客中心Q 在点A 的正东方向,步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心,小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米,他俩可同时到达游客中心.0.1)(参考数据:2 1.414≈,3 1.732≈,6 2.449≈)2.(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图,该设施上面有一个大圆盘(圆盘的半径是 3.5OA =米),圆盘离地面的高度1 6.5OO =米,且1OO ⊥地面l ,圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子,绳子的另一端系着椅子(将椅子看作一个点,比如图中的点B 和1B ),当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的,如图中的线段AB ,绳长为4.8米固定不变.当旋转飞椅启动时,圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转,旋转速度越大,飞椅转得越高,当圆盘旋转速度达到最大时,飞椅也旋转到最高点,此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒.(参考数据:sin 570.84︒≈,cos570.55︒≈,tan 57 1.54︒≈)(1)求飞椅离地面的最大距离(结果保留一位小数);(2)根据有关部门要求,必须在娱乐设施周围安装安全围栏,而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米.已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ,且EF l ⊥,19.8O E =米,请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规?并说明理由.3.(2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习)如图,某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ,小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒,沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒,已知斜坡DE 的坡度3:4,10DE =米,22DC =米,求宣传牌AB 的高度.(测角器的高度忽略不计,参考数据:sin 310.52︒≈,cos310.86︒≈,tan 310.6)︒≈。
2.中考数学锐角三角函数实际应用
中考复习——锐角三角函数的实际应用1、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN (如图),在码头西端M 的正西19.5 km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A 的北偏东60°,且与A 相距 km 的C 处. (1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸?请说明理由.2、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. (1)求新传送带AC 的长度;(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道,试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走,并说明理由.(说明:⑴⑵的计算结果精确到0.1米,参考数据: ≈1.41, ≈1.73, ≈2.24, ≈2.45)3、如图所示,一幢楼房AB 背后有一台阶CD ,台阶每层高2.0米,且AC =2.17米,设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时,测得楼房在地面上的影长AE =10米,现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.( 取73.1)(1)求楼房的高度约为多少米?(2)过了一会儿,当︒=45α时,问小猫能否还晒到太阳?请说明理由.第25题图DBAC东l4,图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图,已知踏板CD长为1.6m,CD与地面DE的夹角∠CDE 为12°,支架AC长为0.8m,∠ACD为80°,求跑步机手柄的一端A的高度h(精确到0.1m).(参考数据:sin12°=cos78°≈0.21,sin68°=cos22°≈0.93,tan68°≈2.48)5.如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)6.如图,小明在大楼30米高(即PH=30米)的窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1:,点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上,且PH⊥HC.(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于▲度;(2)求A、B两点间的距离(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.732).7.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:≈1.41,≈1.73)8、如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角边保持水平,且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上,测得旗杆顶端M仰角为45°;小红眼睛与地面的距离(CD)是1.5m,用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).求出旗杆MN的高度.(参考数据:≈1.4,≈1.7,结果保留整数.)9、如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3米,台阶AC的坡度为1:(即AB:BC=1:),且B、C、E三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE的高度(侧倾器的高度忽略不计).10、如图,两建筑物的水平距离BC为18m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为m(结果不作近似计算).11、如图,小明为了测量小山顶的塔高,他在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处,测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,求塔高.(精确到0.1米,≈1.73)12.如图,小莉的家在锦江河畔的电梯公寓AD内,她家的河对岸新建了一座大厦BC,为了测量大厦的高度,小莉在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°,爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°,已知电梯公寓高82米,请你帮助小莉计算出大厦的高度BC及大厦与电梯公寓间的距离AC.13.如图,一辆摩拜单车放在水平的地面上,车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上,A、B之间的距离约为49cm,现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°,若点C到地面的距离CD 为28cm,坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm,求点E到地面的距离(结果保留一位小数).(参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,cot68°≈0.40)14.某学校为增加体育馆观众坐席数量,决定对体育馆进行施工改造.如图,为体育馆改造的截面示意图.已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米,原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°,原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米.如果按照施工方提供的设计方案施工,新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变,使A、E两点间距离为2米,使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°.若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米(即FD≥2.5),请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢?请说明理由.(参考数据:sin37°≈35,tan37°≈34)15.如图,贵阳市某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后.选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度.他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=10m,然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高.(结果保留整数)16.小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后,双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量.如图,他们在坡度是i=1:2.5的斜坡DE的D处,测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°,斜坡高EF=2米,CE=13米,CH=2米.大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM.亲爱的同学们,相信你也能计算出铁塔AM的高度!请你写出解答过程.(数据≈1.41,≈1.73供选用,结果保留整数)17.随着人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入到各个家庭.某大型超市为缓解停车难问题,建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图.按规定,停车场坡道口上坡要张贴限高标志,以便告知车辆能否安全驶入.如图,地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的,CD的厚度为0.5m,求出汽车通过坡道口的限高DF的长(结果精确到0.1m,sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53).18.为给人们的生活带来方便,2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车免费服务.图1是公共自行车的实物图,图2是公共自行车的车架示意图,点A、D、C、E在同一条直线上,CD=35cm,DF=24cm,AF=30cm,FD⊥AE于点D,座杆CE=15cm,且∠EAB=75°.(1)求AD的长;(2)求点E到AB的距离(结果保留整数).(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)图1 图219.如图2,“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直,展开小桌板使桌面保持水平时如图1,小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米,此时CB⊥AO,∠AOB=∠ACB=37°,且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度.(1)求∠CBO的度数;(2)求小桌板桌面的宽度BC.(参考数据sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)20.如图所示,某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路,需要测量山坡的坡度,即tanα的值.测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔,测得塔尖C的仰角为31°,塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC=40米,塔所在的山高OB=240米,OA=300米,图中的点O、B、C、A、P在同一平面内.求:(1)P到OC的距离.(2)山坡的坡度tanα.(参考数据sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin31°≈0.52,tan31°≈0.60)21.(2017湖南常德第24题)如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.414,≈1.732)22.如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯。
1.5 三角函数的应用(分层练习)(解析版)
第一章 直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用精选练习一、单选题1.(2022·江苏泰州·九年级期中)一条上山直道的坡度为17∶,沿这条直道上山,则前进100米所上升的高度为( )A .700米B.米C.米D.2.(2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习)某书店拿取高处书籍的登高梯如图位置摆放,登高梯AC 的顶端A 恰好放在书架的第七层的顶端.已知登高梯的长度AC 为3米,登高梯与地面的夹角ACB Ð为72o ,则书架第七层顶端离地面的高度AB 为( )A .3sin 72°米B .3sin 72o 米C .3cos 72°米D .3cos 72o米3.(2022·江苏苏州·九年级期中)如图,小王在高台上的点A 处测得塔底点C 的俯角为α,塔顶点D 的仰角为β,已知塔的水平距离AB a =,则此时塔高CD 的长为( )A .sin sin a a a b +B .tan tan a a a b +C .tan tan aa b +D .tan tan tan tan a a b a b+【答案】B【分析】在Rt △ABD 和Rt ABC △中,利用锐角三角函数求出,BD BC ,即可求解.【详解】解:根据题意得:90ABD ABC Ð=Ð=°,在Rt △ABD 中,tan tan BD AB a b b ==,在Rt ABC △中,tan tan BC AB a a a ==,∴tan tan CD BD BC a a a b =+=+.即此时塔高CD 的长为tan tan a a a b +.故选:B【点睛】本题主要考查了解直角三角形,熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.4.(2022·山东济南·模拟预测)小明去爬山,在山脚A 看山顶D 的仰角30CAD Ð=°,小明在坡比为5:12的山坡上走1300米到达B 处,此时小明看山顶的仰角60DBF Ð=°,则山高CD 为( )米A .(600-B .()250C .(350+D .【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,明确题意,准确构造直角三角形是解题的关键.5.(2022·河北石家庄·九年级期中)如图,一块矩形薄木板ABCD 斜靠在墙角MON 处(OM ON ^,点A ,B ,C ,D ,O ,M ,N 在同一平面内),已知AB m =,AD n =,ADO a Ð=,则点B 到ON 的距离等于( )A .cos cos m n a a×+×B .sin cos m n a a ×+×C .cos sin m n a a×+×D .sin sin m n a a×+×过点B 作BH ON ^于H ∴B 到ON 的距离是BH ∵OM ON ^,矩形ABCD ∴BAQ DAO DAO Ð+Ð=Ð∴ADO BAQ a Ð=Ð=,6.(2022·河北·石家庄市第四十二中学九年级期中)如图,沿AB 方向架桥BD ,以桥两端B D 、出发,修公路BC 和DC ,测得150ABC Ð=°,1800BC =m ,105BCD Ð=°,则公路DC 的长为( )A .900mB .mC .mD .1800m【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理,熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键.二、填空题7.(2022·广西贵港·九年级期中)桔棉,亦叫“桔皋”,我国古代井上汲水的工具.它是在井旁架上设一杠杆,杠杆上竹竿一端A 处系绳子,绳子另一端悬绑汲器,竹竿另一端B 处绑石块等重物,用不大的力量即可将灌满水的汲器提起,桔棒的使用体现了我国古代劳动人民的智慧.如图是《天工开物·水利》中的桔棉图,若竹竿A ,B 两处的距离为12m ,当汲器伸到井口时,绳子受重力作用垂直于水平面,此时竹竿AB 与绳子的夹角为53°,则绑重物的B 端与悬绑汲器的绳子之间的距离是_______m.(忽略提水时竹竿产生的形变)(参考数据:sin 530.8cos530.6tan 53 1.3°»°»°»,,)由题意得,在Rt ABC △∴sin BC AB BAC =Ðg ,∵12m AB BAC =Ð=,∴()120.89.6m BC »´=,故答案为:9.6.【点睛】本题考查解直角三角形的应用,熟练掌握解直角三角形相关知识是解题的关键.8.(2022·山东·淄博市张店区第九中学九年级期中)倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态.小明买了一辆自行车作为代步工具,各部件的名称如图1所示,图2是该自行车的车架示意图,上管36cm AC =,且上管AC 与立管AB 互相垂直,下管45cm BC =,座管AE 可以伸缩,点A B E ,,在同一条直线上,且75ABD Ð=°.若座管AE 伸长到18cm ,则座垫E 到后下叉BD 的距离为______cm .(结果精确到1cm ,参考数据sin750.97°»,cos750.26°»,tan75 3.73°»)∵45cm BC =,36cm AC =,∴22245AB BC AC =-=-在Rt FBE V 中,sin EF EB =´故答案为:44.9.(2022·山东济南·九年级期中)如图,太阳光线与地面成30°的角,照射在小木棒AB 上,小木棒在地面上的投影CD 的长是8cm ,则小木棒AB 的长是______cm .10.(2022·江苏苏州·九年级期中)一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光,航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故.一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号,测得事故船在它的北偏东37°方向,马上以40海里每小时的速度前往救援.海警船大约需_____小时到达事故船C 处,(sin 530.8cos530.6°»°»,)【点睛】本题考查了解直角三角形的应用键.三、解答题11.(2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学九年级期中)隋唐洛阳城国家遗址公园里有一地标性建筑物——明堂天堂.现已成为中外游客到洛阳旅游打卡的网红地、如图,天堂外观5层,内部9层,由建筑主体、台基和宝顶三部分组成.为测量天堂AB (左边较高的建筑物)的高度,几名中学生在天堂旁边明堂的台基E 处测得天堂建筑主体顶端C 处的仰角为22°,往前水平行进14米至F 处,测得天堂顶端点A 的仰角为30°,已知天堂宝顶AC 高188.米,明堂台基EF 距地面DB 的高DE 为10米,请计算天堂AB 的高的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 220.37°»,cos 220.93°»,tan 220.40°» 1.73»)12.(2022·江苏苏州·九年级期中)图1是某型号挖掘机,该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成,图2是其侧面结构示意图(MN 是基座的高,MP 是主臂,PQ 是伸展臂).已知基座高度MN 为0.5米,主臂MP长为α的范围是:060a °<£°,伸展臂伸展角β的范围是:45135b °££°.(1)如图3,当45a =°时,伸展臂PQ 恰好垂直并接触地面,伸展臂PQ 长为 米;(2)若(1)中PQ 长度不变,求该挖掘机最远能挖掘到距点N 水平正前方多少米的土石.(结果保留根号)∵45a =°,∴PHM V 为等腰直角三角形,∴sin 3PH PM a ==∴45QPH Ð=°,∴sin 45 3.5QH PH PQ ==°=´∴7232MH MPPH =+=+一、填空题1.(2022·陕西汉中·九年级期末)某区域平面示意图如图所示,AB 和BC 是两条互相垂直的公路,800AB =米,甲勘测员在A 处测得点D 位于北偏东45°,乙勘测员在C 处测得点D 位于南偏东60°,300CD =米,则公路BC 的长为___________米.(结果保留根号)的面积为___________米2【分析】延长BA 交CD 于G 点,在Rt EFB D 中,根据锐角三角函数定义求出EF ,在Rt CGA V 中,根据锐角则3CG BF ==(米),由题意得:30EBF Ð=°,在Rt EFB D 中,tan BF EF =在Rt CGA V 中,AG CG =∴1AB CE EF AG =+-=+3.(2022·江苏苏州·九年级期中)如图是某风车示意图,其相同的四个叶片均匀分布,水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方.某一时刻,太阳光线恰好垂直照射叶片OA OB ,,此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ,设太阳光线与地面的夹角为a ,测得2tan 3a =,8.5m 13m MC CD =,=,风车转动时,叶片外端离地面的最大高度等于 _____m .4.(2022·浙江温州·八年级期中)如图1是某小车侧面示意图,图2是该车后备箱开起侧面示意图,具体数据如图所示(单位:cm)且AF BE ∥,60BAF Ð=°,10BD =,箱盖开起过程中,点A ,C ,F 不随箱盖转动,点B ,D ,E 绕点A 沿逆时针方向转动90°,即90BAB ¢Ð=°分别到点B ¢,D ¢,E ¢的位置,气簧活塞杆CD 随之伸长CD ¢已知直线BE B E ¢¢^,CD CB ¢=,那么AB 的长为______cm ,CD ¢的长为______cm .5.(2022·山东威海·九年级期中)如图,一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α,a=,无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时,被河对岸D处的小明测得其仰角为30°.无tan2MC=米,则河流的宽度CD为人机距地面的垂直高度用AM表示,点M,C,D在同一条直线上,其中100______.\ME AB==,AM BEÐ=,tan由已知可得:BAC a\80Ð==米,ACMME ABAM二、解答题6.(2022·山东东营·九年级期中)如图,台风中心位于点O处,并沿东北方向(北偏东45°),以40千米/小时的速度匀速移动,在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响,在点O的北偏东15°方向,距离80千米的地方有一城市B,问:B市是否会受到此台风的影响?若受到影响,请求出受到影响的时间;若不受到影响,请说明理由.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题以及勾股定理的应用.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键.7.(2022·江苏苏州·九年级期中)一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示,箱体长50cm AB =,拉杆最大伸长距离30cm BC =,(点A 、B 、C 在同一条直线上),在箱体的底端装有一圆形滚轮A e ,A e 与水平地面切于点D ,AE DN ∥,某一时刻,点B 距离水平地面40cm ,点C 距离水平地面61cm .(1)求圆形滚轮的半径AD 的长;(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时,人感觉较为舒服,已知某人的手自然下垂在点C 处且拉杆达到最大延伸距离时,点C 距离水平地面66.6cm ,求此时拉杆箱与水平面AE 所成角CAE Ð的大小(精确到1°,参考数据:sin500.77°»,cos500.64°»,tan50 1.19°»).【答案】(1)5cmAD =(2)50CAE °Ð=【分析】(1)作BH AF ^于点G ,交DM 于点H ,则ABG ACF ∽V V ,设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ,根据相似三角形的对应边的比相等,即可列方程求得x 的值;(2)根据题意求得CF 的长,在Rt ACF V 中,求得sin CAE Ð,即可求得CAE Ð的度数.【详解】(1)解:设圆形滚轮的半径AD 的长是cm x ,作BH AE ^于点G ,交DM 于点H ,则BG CF ∥,∴ABG ACF ∽V V ,∴BG AB CF AC=,即4050615030x x -=-+,8.(2022·江苏苏州·九年级期中)如图,水坝的横截面是梯形()DC AB ABCD ∥,迎水坡BC 的坡角a 为30°,背水坡AD 的坡度i 为1:1.2,坝项宽 2.5DC =米,坝高5米.求:(1)坝底宽AB 的长(结果保留根号);(2)在上题中,为了提高堤坝的防洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD 加宽0.5米,背水坡AD 的坡度改为1:1.4,求横截面增加的面积(结果保留根号)。
专题22 锐角三角函数及其应用(共60题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题22锐角三角函数及其应用(60题)一、解答题1.(2023·河南·统考中考真题)综合实践活动中,某小组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪ABCD 为正方形,30cm AB =,顶点A 处挂了一个铅锤M .如图是测量树高的示意图,测高仪上的点D ,A 与树顶E 在一条直线上,铅垂线AM 交BC 于点H .经测量,点A 距地面1.8m ,到树EG 的距离11m AF =,20cm BH =.求树EG 的高度(结果精确到0.1m ).2.(2023·四川宜宾·统考中考真题)渝昆高速铁路的建成,将会显著提升宜宾的交通地位.渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥(如图1),桥面采用国内首创的公铁平层设计.为测量左桥墩底到桥面的距离CD ,如图2.在桥面上点A 处,测得A 到左桥墩D 的距离200AD =米,左桥墩所在塔顶B 的仰角45BAD ∠=︒,左桥墩底C 的俯角15CAD ∠=︒,求CD 的长度.(结果精确到1米.参考数据:2 1.41≈,3 1.73≈)3.(2023·辽宁·统考中考真题)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山,需要登顶600m 高的山峰,由山底A 处先步行300m 到达B 处,再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处.已知点A ,B .D ,E ,F 在同一平面内,山坡AB 的坡角为30︒,缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒(换乘登山缆车的时间忽略不计)(1)求登山缆车上升的高度DE ;(2)若步行速度为30m/min ,登山缆车的速度为60m/min ,求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min )(参考数据:sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈,,)4.(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”.“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造,如巨龙腾空,气势如虹,屹立在黄河北岸.某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动.具体过程如下:如图2,“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上,在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒,18m AB =.求“龙”字雕塑CD 的高度.(B ,C ,D 三点共线,BD AB ⊥.结果精确到0.1m )(参考数据:sin 380.62︒≈,cos380.79︒≈,tan 380.78︒≈,sin 530.80︒≈,cos530.60︒≈,tan 53 1.33︒≈)5.(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72︒方向,距离灯塔100nmile 的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东40︒方向上的B 处.这时,B 处距离灯塔P 有多远(结果取整数)?(参考数据:sin 720.95,cos720.31,tan 72 3.08,sin 400.64,c os 400.77,tan 400.84︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈.)6.(2023·湖北·统考中考真题)为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD ,斜面坡度3:4i =是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比.已知斜坡CD 长度为20米,18C ∠=︒,求斜坡AB 的长.(结果精确到米)(参考数据:sin180.31,cos180.95,tan180.32︒≈︒≈︒≈)7.(2023·湖南张家界·统考中考真题)“游张家界山水,逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色.某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB 的高度,测量方案如图:先将无人机垂直上升至距水平地面225m 的P 点,测得奇楼顶端A 的俯角为15︒,再将无人机沿水平方向飞行200m 到达点Q ,测得奇楼底端B 的俯角为45︒,求奇楼AB 的高度.(结果精确到1m ,参考数据:sin150.26︒≈,cos150.97︒≈,tan150.27︒≈)8.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景.已知,,AE BE BC BE CD BE ⊥⊥∥,10.4m, 1.26m AC BC ==,点A 关于点C 的仰角为70︒,则楼AE 的高度为多少m ?(结果保留整数.参考数据:sin700.94,cos700.34,tan70 2.75︒︒≈︒≈≈)9.(2023·广东·统考中考真题)2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站,如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态,当两臂10m AC BC ==,两臂夹角100ACB ∠=︒时,求A ,B 两点间的距离.(结果精确到0.1m ,参考数据sin500.766︒≈,cos500.643︒≈,tan50 1.192︒≈)10.(2023·湖南·统考中考真题)我国航天事业捷报频传,2023年5月30日,被誉为“神箭”的长征二号F 运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功,如图(九),有一枚运载火箭从地面O 处发射,当火箭到达P 处时,地面A 处的雷达站测得AP 距离是5000m ,仰角为23︒.9s ,火箭直线到达Q 处,此时地面A 处雷达站测得Q 处的仰角为45︒.求火箭从P 到Q 处的平均速度(结果精确到1m/s ).(参考数据:sin 230.39,cos230.92,tan 230.42︒≈︒≈︒≈)11.(2023·浙江绍兴·统考中考真题)图1是某款篮球架,图2是其示意图,立柱OA 垂直地面OB ,支架CD 与OA 交于点A ,支架CG CD ⊥交OA 于点G ,支架DE 平行地面OB ,篮筺EF 与支架DE 在同一直线上,2.5OA =米,0.8AD =米,32AGC ∠=︒.(1)求GAC ∠的度数.(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网,如果他站在発子上,最高可以把篮网挂到离地面3米处,那么他能挂上篮网吗?请通过计算说明理由.(参考数据:sin 320.53,cos 320.85,tan 320.62︒≈︒≈︒≈)12.(2023·浙江台州·统考中考真题)教室里的投影仪投影时,可以把投影光线CA ,CB 及在黑板上的投影图像高度AB 抽象成如图所示的ABC ,90BAC ∠=︒.黑板上投影图像的高度120cm AB =,CB 与AB 的夹角33.7B ∠=︒,求AC 的长.(结果精确到1cm .参考数据:sin 33.70.55︒≈,cos33.70.83︒≈,tan 33.70.67︒≈)13.(2023·湖南怀化·统考中考真题)为弘扬革命传统精神,清明期间,某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼,想知道纪念碑的通高CD (碑顶到水平地面的距离),于是师生组成综合实践小组进行测量.他们在地面的A 点用测角仪测得碑顶D 的仰角为30︒,在B 点处测得碑顶D 的仰角为60︒,已知35m AB =,测角仪的高度是1.5m (A 、B 、C 在同一直线上),根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD .(3 1.732≈,结果保留一位小数)14.(2023·新疆·统考中考真题)烽燧即烽火台,是古代军情报警的一种措施,史册记载,夜间举火称“烽”,白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1).某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度,如图2,无人机飞至距地面高度31.5米的A 处,测得烽燧BC 的顶部C 处的俯角为50︒,测得烽燧BC 的底部B 处的俯角为65︒,试根据提供的数据计算烽燧BC 的高度.(参数据:sin500.8︒≈,cos500.6︒≈,tan50 1.2≈,sin650.9︒≈,cos650.4︒≈,tan65 2.1︒≈)15.(2023·四川遂宁·统考中考真题)某实践探究小组想测得湖边两处的距离,数据勘测组通过勘测,得到角的度数边的长度数据处理组得到上面数据以后做了认真分析.距离.于是数据处理组写出了以下过程,请补全内容.已知:如图,在ABC求:线段AB的长.(为减小结果的误差,若有需要,果保留整数.)16.(2023·四川成都·统考中考真题)为建设美好公园社区,增强民众生活幸福感,某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷,便于社区居民休憩.如图,在侧面示意图中,遮阳篷AB 长为5米,与水平面的夹角为16︒,且靠墙端离地高BC 为4米,当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45︒时,求阴影CD 的长.(结果精确到0.1米;参考数据:sin160.28,cos160.96,tan160.29︒≈︒≈︒≈)17.(2023·贵州·统考中考真题)贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图①景区内修建观光索道.设计示意图如图②所示,以山脚A 为起点,沿途修建AB 、CD 两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D 处,中途设计了一段与AF 平行的观光平台BC 为50m .索道AB 与AF 的夹角为15︒,CD 与水平线夹角为45︒,A B 、两处的水平距离AE 为576m ,DF AF ⊥,垂足为点F .(图中所有点都在同一平面内,点A E F 、、在同一水平线上)(1)求索道AB 的长(结果精确到1m );(2)求水平距离AF 的长(结果精确到1m ).(参考数据:sin150.25︒≈,cos150.96︒≈,tan150.26︒≈,2 1.41≈)18.(2023·湖北鄂州·统考中考真题)鄂州市莲花山是国家4A 级风景区,元明塔造型独特,是莲花山风景区(1)求自动扶梯AD的长度;(2)求大型条幅GE的长度.(结果保留根号)19.(2023·山东东营统考中考真题)一艘船由A30°方向航行40km至C港,则A,C两港之间的距离为多少统考中考真题)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A D B F 、、、在同一直线上.点C 、点E 到AB 的距离分别为CD EF 、,且7m,895m CD EF CE ===,在C 处测得A 点的俯角为30︒,在E 处测得B 点的俯角为45︒,小型汽车从点A 行驶到点B 所用时间为45s .(1)求,A B 两点之间的距离(结果精确到1m );(2)若该隧道限速80千米/小时,判断小型汽车从点A 行驶到点B 是否超速?并通过计算说明理由.(参考数据:2 1.4,3 1.7≈≈)21.(2023·内蒙古·统考中考真题)为了增强学生体质、锤炼学生意志,某校组织一次定向越野拉练活动.如图,A 点为出发点,途中设置两个检查点,分别为B 点和C 点,行进路线为A B C A →→→.B 点在A 点的南偏东25︒方向32km 处,C 点在A 点的北偏东80︒方向,行进路线AB 和BC 所在直线的夹角ABC ∠为45︒.(1)求行进路线BC 和CA 所在直线的夹角BCA ∠的度数;(2)求检查点B 和C 之间的距离(结果保留根号).22.(2023·湖南常德·统考中考真题)今年“五一”长假期间,小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩,坐在如图的椅子上休息时,小陈感觉很舒服,激发了她对这把椅子的好奇心,就想出个问题考考同学小余,小陈同学先测量,根据测量结果画出了图1的示意图(图2).在图2中,已知四边形ABCD 是平行四边形,座板CD 与地面MN 平行,EBC 是等腰三角形且BC CE =,114.2FBA ∠=︒,靠背57cm FC =,支架43cm AN =,扶手的一部分16.4cm BE =.这时她问小余同学,你能算出靠背顶端F 点距地面(MN )的高度是多少吗?请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数).(参考数据:sin 65.80.91︒=,cos 65.80.41︒=,tan 65.8 2.23︒=)23.(2023·山东·统考中考真题)无人机在实际生活中的应用广泛,如图所示,某人利用无人机测最大楼的高度BC ,无人机在空中点P 处,测得点P 距地面上A 点80米,点A 处俯角为60︒,楼顶C 点处的俯角为30︒,已知点A 与大楼的距离AB 为70米(点A ,B ,C ,P 在同一平面内),求大楼的高度BC (结果保留根号)24.(2023·重庆·统考中考真题)人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A ,B 养殖场捕捞海产品,经测量,A 在灯塔C 的南偏西60︒方向,B 在灯塔C 的南偏东45︒方向,且在A 的正东方向,3600AC =米.(1)求B 养殖场与灯塔C 的距离(结果精确到个位);(2)甲组完成捕捞后,乙组还未完成捕捞,甲组决定前往B 处协助捕捞,若甲组航行的平均速度为600米/每分钟,请计算说明甲组能否在9分钟内到达B 处?(参考数据:2 1.414≈,3 1.732≈)25.(2023·山东聊城·统考中考真题)东昌湖西岸的明珠大剧院,隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应.如图所示,城门楼B 在角楼A 的正东方向520m 处,南关桥C 在城门楼B 的正南方向1200m 处.在明珠大剧院P 测得角楼A 在北偏东68.2︒方向,南关桥C 在南偏东56.31︒方向(点A ,B ,C ,P 四点在同一平面内).求明珠大剧院到龙堤BC 的距离(结果精确到1m ).(参考数据:sin 68.20.928︒≈,cos68.20.371︒≈,tan 68.2 2.50︒≈,sin 56.310.832︒≈,cos56.310.555︒≈,tan 56.31 1.50︒≈)26.(2023·四川·统考中考真题)“一缕清风银叶转”,某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上,风叶转动,风能就能转换成电能,造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组,为测量风叶的长度进行了实地测量.如图,三片风叶两两所成的角为120︒,当其中一片风叶OB 与塔干OD 叠合时,在与塔底D 水平距离为60米的E 处,测得塔顶部O 的仰角45OED ∠=︒,风叶OA 的视角30OEA ∠=︒.(1)已知α,β两角和的余弦公式为:()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-,请利用公式计算cos 75︒;(2)求风叶OA 的长度.27.(2023·湖北宜昌·统考中考真题)2023年5月30日,“神舟十六号”航天飞船成功发射.如图,飞船在离地球大约330km 的圆形轨道上,当运行到地球表面P 点的正上方F 点时,从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q .在Rt OQF △中,6400km OP OQ =≈.(参考数据:cos160.96cos180.95cos 200.94cos 220.93π 3.14︒≈︒≈︒≈︒≈≈,,,,)(1)求cos α的值(精确到0.01);(2)在O 中,求 PQ 的长(结果取整数).28.(2023·四川泸州·统考中考真题)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE 的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D 在同一水平线上的点A 出发,沿斜面坡度为2:3i =的斜坡AB 前进207m 到达点B ,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C .在点C 处测得古树DE 的顶端E 的俯角为37︒,底部D 的俯角为60︒,求古树DE 的高度(参考数据:3sin 375︒≈,4cos375≈︒,3tan 374︒≈,计算结果用根号表示,不取近似值).29.(2023·山西·统考中考真题)2023年3月,水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》,我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选.在推进实施母亲河复苏行动中,需要砌筑各种驳岸(也叫护坡).某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动,利用课余时间完成了实践调查,并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC 和AB 的长度(结果精确到0.1m .参考数据:3 1.73≈,2 1.41≈).课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸,阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图相关数据及说明,图中,点A ,B ,C ,D ,E 在同一竖直平面内,AE 与CD 均与地面平行,岸墙AB AE ⊥于点A ,135BCD ∠=︒,60EDC ∠=︒,6m ED =, 1.5m AE =, 3.5mCD =计(1)求COD∠的大小;(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上,其中tan现点A处的货车?(当该轿车行驶至点D处时,正好发现点米,在坡顶B 处测得教学楼CF 的楼顶C 的仰角45CBF ∠=︒,离B 点4米远的E 处有一个花台,在E 处测得C 的仰角60CEF ∠=︒,CF 的延长线交水平线AM 于点D ,求DC 的长(结果保留根号).32.(2023·湖北随州·统考中考真题)某校学生开展综合实践活动,测量某建筑物的高度AB ,在建筑物附近有一斜坡,坡长10CD =米,坡角30α=︒,小华在C 处测得建筑物顶端A 的仰角为60︒,在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为30︒.(已知点A ,B ,C ,D 在同一平面内,B ,C 在同一水平线上)(1)求点D 到地面BC 的距离;(2)求该建筑物的高度AB .33.(2023·天津·统考中考真题)综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度.某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B (1)求DE 的长;(2)设塔AB 的高度为h (单位:m ).①用含有h 的式子表示线段EA 的长(结果保留根号)②求塔AB 的高度(tan 27︒取0.5,3取34.(2023·山东临沂·统考中考真题)如图,灯塔得灯塔A 在北偏西58°方向上,继续航行航线继续向西航行,有没有触礁的危险?(参考数据:sin 320.530,cos 320.848,︒︒≈≈35.(2023·湖南永州·统考中考真题)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁.如图2,以线段AB 代表陈树湘雕像,一参观者在水平地面BN 上D 处为陈树湘雕拍照,相机支架CD 高0.9米,在相机C 处观测雕像顶端A 的仰角为45︒,然后将相机架移到MN 处拍照,在相机M 处观测雕像顶端A 的仰角为30︒,求D 、N 两点间的距离(结果精确到0.1米,参考数据:3 1.732≈)36.(2023·重庆·统考中考真题)为了满足市民的需求,我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路,如图;①A D C B ---;②A E B --.经勘测,点B 在点A 的正东方,点C 在点B 的正北方10千米处,点D 在点C 的正西方14千米处,点D 在点A 的北偏东45︒方向,点E 在点A 的正南方,点E 在点B 的南偏西60︒方向.(参考数据:2 1.41,3 1.73)≈≈(1)求AD 的长度.(结果精确到1千米)(2)由于时间原因,小明决定选择一条较短线路进行锻炼,请计算说明他应该选择线路①还是线路②?37.(2023·江苏苏州·统考中考真题)四边形不具有稳定性,工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图,,,BE CD GF 为长度固定的支架,支架在,,A D G 处与立柱AH 连接(AH 垂直于MN ,38.(2023·湖南·统考中考真题)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产生活,如代替人们在高空测量距离和高度.圆圆要测量教学楼243米的C处,遥控无人机旋停在点长为49.6米.已知目高CE为1.6(1)求教学楼AB的高度.(2)若无人机保持现有高度沿平行于无人机刚好离开圆圆的视线EB39.(2023·山东烟台·统考中考真题)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在一处坡角为30︒的坡地新安装了一架风力发电机,如图力发电机的塔杆高度进行了测量,图2为测量示意图.已知斜坡CD 长16米,在地面点A 处测得风力发电机塔杆顶端P 点的仰角为45︒,利用无人机在点A 的正上方53米的点B 处测得P 点的俯角为18︒,求该风力发电机塔杆PD 的高度.(参考数据:sin180.309≈︒,cos180.951≈︒,tan180.325≈︒)40.(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1,某人的一器官后面A 处长了一个新生物,现需检测到皮肤的距离(图1).为避免伤害器官,可利用一种新型检测技术,检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案,通过医疗仪器的测量获得相关数据,并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下:课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2,新生物在A 处,先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物,检测射线与皮肤MN 的夹角为DBN ∠;再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物,检测射线与皮肤MN 的夹角为ECN ∠.测量数据35DBN ∠=︒,22ECN ∠=︒,9cmBC =请你根据上表中的测量数据,计算新生物A 处到皮肤的距离.(结果精确到0.1cm )(参考数据:sin 350.57︒≈,cos350.82︒≈,tan 350.70︒≈,sin 220.37︒≈,cos 220.93︒≈,tan 220.40︒≈)41.(2023·四川达州·统考中考真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,秋千链子的长度为3m ,当摆角BOC ∠恰为26︒时,座板离地面的高度BM 为0.9m ,当摆动至最高位置时,摆角AOC ∠为50︒,求座板距地面的最大高度为多少m ?(结果精确到0.1m ;参考数据:sin260.44︒≈,cos260.9︒≈,tan260.49︒≈,sin500.77︒≈,cos500.64︒≈,tan50 1.2︒≈)42.(2023·江西·统考中考真题)如图1是某红色文化主题公园内的雕塑,将其抽象成加如图2所示的示意图,已知点B ,A ,D ,E 均在同一直线上,AB AC AD ==,测得55 1.8m 2m B BC DE ∠=︒==,,.(结果保小数点后一位)(1)连接CD ,求证:DC BC ⊥;(2)求雕塑的高(即点E 到直线BC 的距离).(参考数据:sin 550.82cos550.57tan 55 1.43︒≈︒≈︒≈,,)43.(2023·浙江宁波·统考中考真题)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角,利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪,如图1所示.(1)如图2,在P 点观察所测物体最高点C ,当量角器零刻度线上A B ,两点均在视线PC 上时,测得视线与铅垂线所夹的锐角为α,设仰角为β,请直接用含α的代数式示β.(2)如图3,为了测量广场上空气球A 离地面的高度,该小组利用自制简易测角仪在点B C ,分别测得气球A 的仰角ABD ∠为37︒,ACD ∠为45︒,地面上点B C D ,,在同一水平直线上,20m BC =,求气球A 离地面的高度AD .(参考数据:sin 370.60,cos 370.80︒≈︒≈,tan 370.75︒≈)44.(2023·江苏连云港·统考中考真题)渔湾是国家“AAAA ”级风景区,图1是景区游览的部分示意图.如图2,小卓从九孔桥A 处出发,沿着坡角为48︒的山坡向上走了92m 到达B 处的三龙潭瀑布,再沿坡角为37︒的山坡向上走了30m 到达C 处的二龙潭瀑布.求小卓从A 处的九孔桥到C 处的二龙潭瀑布上升的高度DC 为多少米?(结果精确到0.1m )(参考数据:sin480.74cos480.67sin370.60cos370.80︒≈︒≈︒≈︒≈,,,)45.(2023·四川广安·统考中考真题)为了美化环境,提高民众的生活质量,市政府在三角形花园ABC 边上修建一个四边形人工湖泊ABDE ,并沿湖泊修建了人行步道.如图,点C 在点A 的正东方向170米处,点E在点A 的正北方向,点B D 、都在点C 的正北方向,BD 长为100米,点B 在点A 的北偏东30︒方向,点D 在(1)求步道DE 的长度.(2)点D 处有一个小商店,某人从点达点D ,请通过计算说明他走哪条路较近.结果精确到个位)(参考数据:sin 580.85,cos58︒≈46.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)图才能被识别),其示意图如图平距离150cm OB =.(1)身高208cm 的小杜,头部高度为26cm ,他站在离摄像头水平距离130cm 的点C 处,请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别.(2)身高120cm 的小若,头部高度为15cm ,踮起脚尖可以增高3cm ,但仍无法被识别.社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20︒(如图3),此时小若能被识别吗?请计算说明.(精确到0.1cm ,参考数据sin150.26,cos150.97,tan150.27,sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈)47.(2023·安徽·统考中考真题)如图,,O R 是同一水平线上的两点,无人机从O 点竖直上升到得A 到R 点的距离为40m,R 点的俯角为24.2︒,无人机继续竖直上升到B 点,测得R 点的俯角为人机从A 点到B 点的上升高度AB (精确到0.1m ).参考数据:sin24.20.41,cos24.20.91,tan24.2≈≈︒︒sin36.90.60,cos36.90.80,tan36.90.75≈≈≈︒︒︒.48.(2023·浙江·统考中考真题)如图,某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率,需在气体净化设备上增加一条管道A D C --,已知DC BC ⊥,,60,11m,4m AB BC A AB CD ⊥∠=︒==,求管道A D C --的总长.49.(2023·浙江温州·统考中考真题)根据背景素材,探索解决问题.测算发射塔的高度经讨论,只需选择其中两个合适的位置,通过测量、换算就能计算发射塔的高度.问题解决分析规划选择两个观测位置:点_________和点_________写出所选位置观测角的正切值,并量出观测点之获取数据间的图上距离.推理计算计算发射塔的图上高度MN.楼房实际宽度DE为12米,请通过测量换算发射塔的实际高度..(1)测量坡角如图1,后山一侧有三段相对平直的山坡AB BC CD ,,,山的高度即为三段坡面的铅直高度BH CQ DR ,,之和,坡面的长度可以直接测量得到,要求山坡高度还需要知道坡角大小.如图2,同学们将两根直杆MN MP ,的一端放在坡面起始端A 处,直杆MP 沿坡面AB 方向放置,在直杆MN 另一端N 用细线系小重物G ,当直杆MN 与铅垂线NG 重合时,测得两杆夹角α的度数,由此可得山坡AB 坡角β的度数.请直接写出αβ,之间的数量关系.(2)测量山高同学们测得山坡AB BC CD ,,的坡长依次为40米,50米,40米,坡角依次为243045︒︒︒,,;为求BH ,小熠同学在作业本上画了一个含24︒角的Rt TKS △(如图3),量得5cm 2cm KT TS ≈≈,.求山高DF .(2 1.41≈,结果精确到1米)(3)测量改进由于测量工作量较大,同学们围绕如何优化测量进行了深入探究,有了以下新的测量方法.如图4,5,在学校操场上,将直杆NP 置于MN 的顶端,当MN 与铅垂线NG 重合时,转动直杆NP ,使点N ,P ,D 共线,测得MNP ∠的度数,从而得到山顶仰角1β,向后山方向前进40米,采用相同方式,测得山顶仰角2β;画一个含1β的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为1a 厘米,1b 厘米,再画一个含2β的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为2a 厘米,2b 厘米.已知杆高MN 为1.6米,求山高DF .(结果用不含12ββ,的字母表示)二、填空题51.(2023·广西·统考中考真题)如图,焊接一个钢架,包括底角为37︒的等腰三角形外框和3m 高的支柱,52.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图,将端点重合,OA与尺下沿重合,OB放置在该尺上,则OC与尺上沿的交点(结果精确到0.1cm,参考数据:53.(2023·湖南·统考中考真题)《意思是:“……直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘=︒),问题:图(1)为中国古代一种强弩图,矩90∠=______度.∠=欘,则CB154.(2023·湖南岳阳·统考中考真题)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8︒,仪器与气球的水平距离且距地面高度AB为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC是_________米(结果精确到sin21.80.3714,cos21.80.9285,tan21.80.4000︒≈︒≈︒≈).55.(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)为发展城乡经济,建设美丽乡村,某乡对圾填埋场进行改造,把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线,改造成可以直线通行的公路经勘测,6AC =千米,60CAB ∠=︒,37CBA ∠=︒,则改造后公路AB 的长是___________千米(精确到0.1千米;参考数据:sin 370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan 370.75︒≈,3 1.73≈).56.(2023·山东·统考中考真题)某数学活动小组要测量一建筑物的高度,如图,他们在建筑物前的平地上选择一点A ,在点A 和建筑物之间选择一点B ,测得30m AB =.用高()1m 1m AC =的测角仪在A 处测得建筑物顶部E 的仰角为30︒,在B 处测得仰角为60︒,则该建筑物的高是_________m .57.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图,无人机在空中A 处测得某校旗杆顶部B 的仰角为30 ,底部C 的俯角为60 ,无人机与旗杆的水平距离AD 为6m ,则该校的旗杆高约为___________m .(3 1.73≈,结果精确到0.1)58.(2023·湖北黄冈·统考中考真题)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处,测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒,尚美楼顶部F 的俯角为30︒,己知博雅楼高度CE 为15米,则尚美楼高度DF 为_____________米.(结果保留根号)59.(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图所示,桔棒是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆6AB =米,:2:1AO OB =,支架3OM EF OM ⊥=,米,AB 可以绕着点O 自由旋转,当点A 旋转到如图所示位置时45AOM ∠=︒,此时点B 到水平地面EF 的距离为___________米.(结果保留根号)60.(2023·四川眉山·统考中考真题)一渔船在海上A 处测得灯塔C 在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B 处,测得灯塔C 在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C 的最短距离是____________海里.。
三角函数中考数学题
三角函数中考数学题1.如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,F 是AD 延长线上一点,连接CD ,CF ,且CF 是⊙O 的切线.(1)求证:∠DCF =∠CAD ;(2)sin B 45=,AD =10,求FD 的长.2.如图,AB 是O 的直径,点C 是O 上一点(与点A ,B 不重合),过点C 作直线PQ ,使得∠ACQ =∠ABC .(1)求证:直线PQ 是O 的切线.(2)过点A 作AD ⊥PQ 于点D ,交O 于点E ,若O 的半径为4,1sin 2DAC ∠=,求图中阴影部分的面积.3.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,点F 在弧BC 上,AF 与CD 交于点G ,点H 在DC 的延长线上,且HG =HF ,延长HF 交AB 的延长线于点M .(1)求证:HF是⊙O的切线;(2)若4sin5M ,BM=1,求AF的长.4.已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,BD平分∠ABC交⊙O于D,交AC于F.(1)求证:OD∥BC.(2)延长AC到点P,使PB与⊙O相切,求证:PF=PB.(3)如果AB=20,sin∠BAC=35,求AD.5.如图, ABC内接于⊙O,AB=AC,sin∠BAC=35,BC=6,连接BO并延长交AC于点D.(1)求⊙O 的半径;(2)求OD 的长.6.如图,AB =AC ,⊙O 是△ABC 的内切圆,切点为D 、E 、F ,连接DE 、CD 交⊙O 于G ,连接EG 并延长交BC 于H .(1)求证:DE ∥BC(2)连接AG ,若EH ⊥BC 求sin DAG ∠的值;7.如图,O 上有A ,B ,C 三点,AC 是直径,点D 是 AB 的中点,连接CD 交AB 于点E ,点F 在AB 延长线上且FC FE =.(1)求证:CF 是O 的切线;(2)若6BF =,4sin 5F =,求O 的半径.8.如图,AB 为O 的直径,C 为O 上一点,AD 和过点C 的切线互相垂直,垂足为D .(1)求证:AC 平分DAB ∠;(2)若4cos 5CAD ∠=,5AB =,求CD 的长.9.如图,在△ABC 中,AC =BC ,CD 平分∠ACB 交AB 于点D ,BF 平分∠ABC 交CD 于点F ,AB =6,过B 、F 两点的⊙O 交BA 于点G ,交BC 于点E ,EB 恰为⊙O 的直径.(1)判断CD 和⊙O 的位置关系并说明理由;(2)若1cos 3A ∠=,求⊙O 的半径.10.如图,AC 是⊙O 直径,D 是 AB 的中点,连接CD 交AB 于点E ,点F 在AB 延长线上且FC =FE .(1)求证:CF 是⊙O 的切线;(2)若BF =2cos3F =,求⊙O 的半径.11.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为BA 延长线上一点,CD 是⊙O 的切线,D 为切点,OF ⊥AD 于点E ,交CD 于点F .(1)求证:∠ADC =∠AOF ;(2)若cos ∠DCB =45,BD =24,求EF 的长.12.如图,O 是ABC 的外接圆,AB 是O 的直径,点D 为 AC 的中点,O 的切线DE 交OC 延长线于点E .(1)求证:DE ;(2)连接BD 交AC 于点P ,若8AC =,4cos 5A =,求DE 和BP 的长.13.如图,AB 是⊙O 的直径,⊙O 过BC 的中点D ,DE ⊥AC ,垂足为E(1)求证:直线DE 是⊙O 的切线;(2)若BC =6,⊙O 的直径为5,求DE 的长及cos C 的值.14.如图,△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,∠ACB 的平分线交AD 于点E ,以AC 上一点O 为圆心的圆经过C 、E 两点,⊙O 与AC 的另一个交点为F .(1)求证:AD 是⊙O 的切线;(2)若BC =8,cos ∠BCE =63,求⊙O 的半径长.15.如图,在ABC ∆中,AB AC =,以AB 为直径的O 交BC 于D ,过D 点作O 的切线DE 交AC 于E .(1)求证:DE AC ⊥;(2)若10AB =,3cos 5ABC ∠=,求DE 的长;(3)在(2)的条件下,若P 为线段BD 上一动点,过P 点作BC 的垂线交AB 于N ,交CA 的延长线于M ,求证:PN PM +是定值,并求出定值是多少?16.如图,点C 是以AB 为直径的半圆O 上一动点,作半径OA 的垂直平分线交OA 于点F ,交AC 于点E ,交切线CD 于点D .(1)判断CDE △的形状,并说明理由;(2)若O 的半径是2,1cos 4B =,求CE 的长.17.如图,AB 是O 的直径,点C 在O 上,ABC ∠的平分线与AC 相交于点D ,交 AC 于点F ,且经过圆外一点E ,连EA ,测得EA AD =.(1)求证:EA 是O 的切线.(2)若2cos 3E =,2BD =,求O 的半径.18.如图,点P 是O 外一点,点C 是O 上一点,连接PC ,交O 于点B ,PA 与O 相切于点A ,连接OB ,AC ,OBC P ∠=∠.(1)求证:45BCA P ∠+∠=︒;(2)已知5tan 12OBC ∠=,7PA =,求O 的半径.19.如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ,过点D 作MN ⊥AC ,垂足为M ,交AB 的延长线于点N ,过点B 作BG ⊥MN ,垂足为G ,连接CM .(1)求证:直线MN 是⊙O 的切线;(2)求证:BD 2=AC •BG ;(3)若BN =OB ,⊙O 的半径为1,求tan ∠ANC 的值.20.如图,点C ,D 在以AB 为直径的半圆上,AC ,BD 相交于点P ,点E 在BD 上,CE ⊥CD ,AC =2BC .(1)求证:△ACD∽△BCE;(2)若P是AC中点,求tan∠ACD的值;(3)求证:2DB=DA+5。
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容:主要考查 30°,45°,60°角的正弦,余弦,正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式:①三类特殊角的三角函数值识记;②与非负性结合,通过三角函数值求角度;③正弦余弦、正切余切之间的相互转化,判断关系式是否成立;④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分).【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大,而单独考查也会出现.1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误..的是( ) A . cos 40°=sin 50° B . tan 15°·tan 75°=1 C . sin 225°+cos 225°=1 D . sin 60°=2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下:选项 逐项分析正误 A cos40°=sin(90°-40°)=sin50° √ B tan15°·tan75°=1tan75°×tan75°=1√ C sin 2A +cos 2A =1√ D∵sin60°=32,2sin30°=2×12=1,∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α,β均为锐角,且满足|sin α-12|+(tan β-1)2=0,则α+β=________.3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数,而这两个数的和又为零,于是它们都为零.根据题意,得|sin α-12|=0,(tan β-1)2=0,则sin α =12,tan β =1,又因为α、β均为锐角,则α=30°,β=45°,所以α+β=30°+45°=75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容:在直角三角形中,三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式:已知一边及某锐角的三角函数值,求其他量,或结合直角坐标系求锐角三角函数值.【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础,值得关注.4. 如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(4,3),那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,∵A (4,3),∴OB =4,AB =3,∴OA =32+42=5,∴cos α=OB OA =45.5. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =45,AC =6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A =BC AB =45,∴设BC =4a ,则AB =5a ,AC =(5a )2-(4a )2=3a ,∴3a =6,即a =2,故BC =4a =8 cm.6. 已知:如图,在锐角△ABC 中,AB =c ,BC =a ,AC =b ,AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中,sin ∠B =ADc ,则AD =c sin ∠B ;在Rt △ACD 中,sin ∠C =________,则AD =________. 所以c sin ∠B =b sin ∠C ,即bsin B =csin C , 进一步即得正弦定理:asin A =b sin B =c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题:在△ABC 中,∠B =75°,∠C =45°,BC =2,求AB 的长.6. 解:∵sin C =AD AC =ADb ,∴AD =b sin C ,由正弦定理得:BC sin A =ABsin C ,∵∠B =75°, ∠C =45°, ∴∠A =60°, ∴2sin 60°=ABsin 45°,∴AB =2×22÷32=263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容:主要考查利用几何建模思想,将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题,并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式:①仰角、俯角问题;②方位角问题;③坡度、坡角问题;④测量问题等.【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型,是全国命题的趋势.7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等,小明将PB 拉到PB′的位置,测得∠PB′C=α(B′C 为水平线),测角仪B′D 的高度为1米,则旗杆PA 的高度为( )A .11-sin α B . 11+sin α C . 11-cos α D . 11+cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中,sin α=PCPB ′,∴PC =PB ′·sin α,又∵B ′D =AC =1,则PB ′·sin α+1=P A ,而PB ′=P A ,∴P A =11-sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图②所示的几何图形,已知BC =BD =15 cm ,∠CBD =40°,则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据:sin 20°≈0.342,cos 20°≈0.940,sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ,可用科学计算器).8. 14.1 【解析】如解图 ,过点B 作BE ⊥CD 于点E ,∵BC =BD =15 cm ,∠CBD =40°,∴∠CBE =20°,在Rt △CBE 中,BE =BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940=14.1(cm).第8题图 第9题图 第10题图9. 如图,一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向,距离灯塔18海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处,此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里.(结果取整数.参考数据:sin 55°≈0.8,cos 55°≈0.6,tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A =30°,∴PM =12PA =9海里.∵∠B =55°, sin B =PM PB ,∴0.8=9PB ,∴PB ≈11海里.10. 如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°,测角仪高AD 为1 m ,则旗杆高BC 为__________m .(结果保留根号)10. 103+1 【解析】如解图,过点A 作AE ⊥BC ,垂足为点E ,则AE =CD =10 m ,在Rt △AEB 中,BE =AE·tan 60°=10×3=10 3 m ,∴BC =BE +EC =BE +AD =(103+1)m . 11. 如图,大楼AB 右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE ,在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°,测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上),已知AB =80 m ,DE =10 m ,求障碍物B 、C 两点间的距离.(结果精确到0.1 m ,参考数据:2≈1.414,3≈1.732)11. 解:如解图,过点D 作DF ⊥AB ,垂足为点F ,则四边形FBED 为矩形,∴FD =BE ,BF =DE =10,FD ∥BE ,由题意得:∠FDC =30°,∠ADF =45°,∵FD ∥BE , ∴∠DCE =∠FDC =30°, 在Rt △DEC 中,∠DEC =90°,DE =10,∠DCE =30°, ∵tan ∠DCE =DE CE ,∴CE =10tan 30°=103,在Rt △AFD 中,∠AFD =90°,∠ADF =∠FAD =45°, ∴FD =AF ,又∵AB =80,BF =10,∴FD =AF =AB -BF =80-10=70,∴BC =BE -CE =FD -CE =70-103≈52.7(m ). 答:障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m .12.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为6米,坡面BC 的坡度为1∶1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α;(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除?请说明理由.12. 解:(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3,∴tan α=13=33, ∴α=30°.答:新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除. 理由如下:如解图所示,过点C 作CD ⊥AB ,垂足为点D , ∵坡面BC 的坡度为1∶1, ∴BD =CD =6米,∵新坡面AC 的坡度为1∶3, ∴CD ∶AD =1∶3, ∴AD =63米,∴AB =AD -BD =(63-6)米<8米,故正前方的文化墙PM 不需拆除. 答:原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除.13.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B ,D ,从无人机A 上看目标B ,D 的俯角分别为30°,60°,此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ,随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处. (1)求A ,B 之间的距离;(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值.13. 解:(1)如解图,过点D 作DE ⊥AA′于点E ,由题意得,AA ′∥BC ,∴∠B =∠FAB =30°, 又∵AC =60 m ,在Rt △ABC 中,sin B =AC AB ,即12=60AB,∴AB =120 m .答:A ,B 之间的距离为120 m .(2)如解图,连接A′D ,作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E , ∵AA ′∥BC ,∠ACB =90°, ∴∠A ′AC =90°,∴四边形AA′EC 为矩形, ∴A ′E =AC =60 m , 又∵∠ADC =∠FAD =60°, 在Rt △ADC 中,tan ∠ADC =AC CD ,即5=60CD,∴CD =20 3 m ,∴DE =DC +CE =AA′+DC =303+203=50 3 m , ∴tan ∠AA ′D =tan ∠A ′DE =A′E DE =60503=235,答:从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC =1.2tan 10° 米D . AB = 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图,以O 为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A ,B 两点,P 是AB ︵上一点(不与A ,B 重合),连接OP ,设∠POB=α,则点P 的坐标是( )A . (sin α,sin α)B . (cos α,cos α)C . (cos α,sin α)D . (sin α,cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示,BC 是铅垂线,CA 是水平线,BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA =4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4+4tan θ) 米2 D . (4+4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A ,B ,P ,Q 四点均在正方形网格的格点上,线段AB ,PQ 相交于点M ,则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ,从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°,旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米,梯坎坡长BC 是12米,梯坎坡度i =1∶3,则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图,钓鱼竿AC 长6 m ,露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ,某钓鱼者想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC 转到AC′的位置,此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ,则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图,点A(3,t)在第一象限,射线OA 与x 轴所夹的锐角为α,tan α=32,则t 的值是________.第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD =45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为______米.(结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73) 9. 如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米,那么该建筑物的高度BC约为________米.(精确到1米,参考数据:3≈1.73)三、解答题10. 如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆CD的高度,先在教学楼的底端A点处,观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD=60°,然后爬到教学楼上的B处,观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米.(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD;(结果保留根号......)(2)求旗杆CD的高度.11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm.温馨提示:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73).12. 阅读材料:关于三角函数还有如下的公式:sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)=tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,例如:tan 75°=tan (45°+30°)=tan 45°+tan 30°1-tan 45°tan 30°=1+331-1×33=2+ 3 根据以上阅读材料,请选择适当的公式计算下列问题: (1)计算sin 15°;(2)某校在开展爱国主义教育活动中,来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士.李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度,已知李三站在离纪念碑底7米的C 处,在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°,DC 为 3 米,请你帮助李三求出纪念碑的高度.答案与解析:1. B第2题解图2. C 【解析】如解图,过点P 作PC ⊥OB 于点C ,则在Rt △OPC 中,OC =OP ·cos ∠POB =1×cos α=cos α,PC =OP ·sin ∠POB =1×sin α=sin α,即点P 的坐标为(cos α,sin α).3. D 【解析】在Rt △ABC 中,∠BAC =θ,CA =4米,∴BC =CA ·tan θ=4tan θ.地毯长为(4+4tan θ)米,宽为1米,其面积为(4+4tan θ)×1=(4+4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图,将AB 平移到PE 位置,连接QE, 则PQ =210,PE =22,QE =42,∵△PEQ 中,PE 2+QE 2=PQ 2,则∠PEQ =90°,∴tan ∠QMB =tan ∠P =QEPE=2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图,设AB 与DC 的延长线交于点G ,过点E 作EF ⊥AB 于点F ,过点B 作BH ⊥ED 于点H ,则可得四边形GDEF 为矩形.在Rt △BCG 中,∵BC =12,i BC =BG CG =33,∴∠BCG =30°,∴BG =6,CG =63,∴BF =FG -BG =DE -BG =15-6=9,∵∠AEF =α=45°,∴AF =EF =DG =CG +CD =63+20,∴AB =BF +AF =9+20+63≈39.4(米).6. C 【解析】∵sin ∠CAB =BC AC =326=22,∴∠CAB ′=45°,∵sin ∠C ′AB ′=B ′C ′AC ′=336=32,∴∠C ′AB ′=60°,∴∠CAC ′=60°-45°=15°,即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图,过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3,t)在第一象限,∴OB =3,AB =t ,在11 Rt △ABO 中,tan α=AB OB =t 3=32,解得t =92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中,DM =tan ∠DAM ×AM =tan 45°×4=4米,在Rt △BMC 中,CM =tan ∠MBC ×BM =tan 30°×12=4 3 米,故CD =CM -DM =43-4≈2.9米.9. 208 【解析】在Rt △ABD 中,BD =AD·tan ∠BAD =90×tan 30°=303,在Rt △ACD 中,CD =AD·tan ∠CAD =90×tan 60°=903,BC =BD +CD =303+903=1203≈208(米).10. 解:(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°,∴∠ADB =30°,在Rt △ABD 中,∠BAD =90°,∠ADB =30°,AB =4(米),∴AD =AB tan ∠ADB =4tan 30°=43(米). 答:教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米.(也可先求∠ABD =60°,利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中,∠ADC =90°,∠CAD =60°,AD =4 3 米,∴CD =AD·tan 60°=43×3=12(米).答:旗杆CD 的高度是12米.11. 解:∵tan ∠OBC =tan 30°=OC BC =33, ∴OC =33BC , ∵sin ∠OAC =sin 75°=OC OA≈0.97, ∴33BC 40≈0.97, ∴BC ≈67.1(cm ).12. 解:(1)sin 15°=sin (45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30° =22×32-22×12 =6-24. (2)在Rt △BDE 中,∠BDE =75°,DE =CA =7,tan ∠BDE =BE DE ,即tan 75°=BE 7=2+3, ∴ BE =14+73,又∵AE =DC =3,∴AB =BE +AE =14+73+3=14+83(米),答:纪念碑的高度是(14+83)米.。
初三数学《三角函数的实际应用》题目
专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1cm.温馨提示:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,).【变式1-1】小明在楼高AB=15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°,测得塔顶D的仰角为52°,求楼顶A到塔顶D的距离(结果保留整数).(参考数据:sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.80,sin52°=0.79,cos52°=0.62,tan52°=1.28)【变式1-2】如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A地到C地需绕行B地.已知B地位于A地北偏东67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东30°方向.若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A地到C地之间高铁线路的长.(结果保留整数)(参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.73)【变式1-3】如图,两幢建筑物AB和CD,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=15m,CD=20m.AB 和CD之间有一景观池,小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°,在C点测得E点的俯角为45°,点B、E、D在同一直线上.求两幢建筑物之间的距离BD.(结果精确到0.1m)【参考数据:sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.90】【例2】如图,小明想测山高和索道的长度.他在B处仰望山顶A,测得仰角∠B=31°,再往山的方向(水平方向)前进80m至索道口C处,沿索道方向仰望山顶,测得仰角∠ACE =39°.(1)求这座山的高度(小明的身高忽略不计);(2)求索道AC的长(结果精确到0.1m).(参考数据:tan31°≈,sin31°≈,tan39°≈,sin39°≈)【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上(如图所示).该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED),在F处测得旗杆顶A 的仰角为45°,平面镜E的俯角为67°,测得FD=2.4米.求旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈)【变式2-2】如图,为了测量山顶铁塔AE的高,小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°,在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′.已知山高BE为56m,楼的底部D 与山脚在同一水平线上,求该铁塔的高AE.(参考数据:sin36°52′≈0.60,tan36°52′≈0.75)【变式2-3】某公园的人工湖边上有一座假山,假山顶上有一竖起的建筑物CD,高为10米,数学小组为了测量假山的高度DE,在公园找了一水平地面,在A处测得建筑物点D(即山顶)的仰角为35°,沿水平方向前进20米到达B点,测得建筑物顶部C点的仰角为45°,求假山的高度DE.(结果精确到1米,参考数据:sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈)题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土,为维护国家主权和海洋权利,我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图,某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A 、B ,B 船在A 船的正东方向,且两船保持20海里的距离,某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向,B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ,求此时船C 与船B 的距离是多少.(结果保留根号)【变式1-1】如图,某旅游景区为方便游客,修建了一条东西走向的木栈道AB ,栈道AB 与景区道路CD 平行.在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向,在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向.已知120CD m =,80BD m =,求木栈道AB 的长度(结果保留整数).(参考数据:17sin 3232︒≈,17cos3220︒≈,5tan 328︒≈,27sin 4240︒≈,3cos 424︒≈,9tan 42)10︒≈【变式1-2】如图,位于A 处的海上救援中心获悉:在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船,此时,遇险船在救生船的正东方向B 处,现救生船沿着航线CB 前往B 处救援,求救生船到达B 处行驶的距离?(参考数据:sin 680.90︒≈,cos680.36︒≈,tan 68 2.50︒≈,1.7)≈【例2】我国北斗导航装备的不断更新,极大方便人们的出行.某中学从A 地出发,组织学生利用导航到B 、C 两个地区进行研学考察活动,出发时,发现C 地恰好在A 地正北方向,且距离A 地15.3千米.但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B 地,再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地,求B,C两地的距离(精确到1千米).(参考数据sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.7)【变式2-1】某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,测得AC=840m,BC=500m.请求出点O到BC的距离.参考数据:sin73.7°≈,cos73.7°≈,tan73.7°≈【变式2-2】码头A、B位于东西走向的河岸线l上,一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°,游轮向东航行10分钟后到达Q处,此时测得码头B在其北偏东35°.已知游轮的速度为30千米/小时,两码头A、B相距2千米.(1)求点P到河岸线l的距离;(2)若该游轮按原速度从点Q驶向码头B,则它至少需要多长时间才能到达码头B?(参考数据:sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈,sin70°≈,cos70°≈,tan70°≈)【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒,航行12n mlie 到达C 点,又测得小岛A 在北偏东45︒方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,那么它有没有触礁的危险?请说明理由.(参考数据:12sin 6713︒≈,5cos 6713︒,12tan 67)5︒≈题型三、综合类【例1】如图,马路的两边CF ,DE 互相平行,线段CD 为人行横道,马路两侧的A ,B 两点分别表示车站和超市.CD 与AB 所在直线互相平行,且都与马路的两边垂直,马路宽20米,A ,B 相距62米,∠A =67°,∠B =37°.(1)求CD 与AB 之间的距离;(2)某人从车站A 出发,沿折线A →D →C →B 去超市B .求他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走多少米.(参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈)【变式1-1】如图,某学校教学楼AB的后面有一建筑物CD,在距离CD正后方28米的观测点P处,以22︒的仰角测得建筑物的顶端C恰好挡住教学楼的顶端A,而在建筑物CD 上距离地面2米高的E处,测的教学楼的顶端A的仰角为45︒,求教学楼AB的高度(结果保留整数,2 tan22)5︒≈.【变式1-2】如图,校园内有两幢高度相同的教学楼AB,CD,大楼的底部B,D在同一平面上,两幢楼之间的距离BD长为24米,小明在点E(B,E,D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°,然后沿EB方向前进8米到达点G处,测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F,H距离地面的高度均为1.6米,求教学楼AB的高度AB长.(精确到0.1米)参考值:≈1.41,≈1.73.【变式1-3】在一次综合实践课上,同学们为教室窗户设计一个遮阳篷,小明同学绘制的设计图如图所示,其中AB表示窗户,且AB=2米,BCD表示直角遮阳蓬,已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN=18.6°,最大夹角∠MDN=64.5°请你根据以上数据,帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米?(结果精确到0.1)(参考数据:sin18.6°≈0.32,tan18.6°≈0.34,sin64.5°≈0.90,tan64.5°≈2.1)【变式1-4】如图是某斜拉桥引申出的部分平面图,AE,CD是两条拉索,其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°,其底端与立柱AB底端的距离BD为4米,两条拉索顶端距离AC为2米,若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°,请计算拉索AE的长.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin35°≈,cos35°≈,tan35°≈,sin72°≈,cos72°≈,tan72°≈)【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分,我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行,这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程.这大大激发了同学们对航空科技的兴趣,如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸,图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE,请根据图中数据,求出线段BE和CD的长.(sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,结果保留小数点后一位)【变式1-6】如图,在一条河流的两岸分别有A,B,C,D四棵景观树,已知AB∥CD,某数学活动小组测得∠DAB=45°,∠CBE=73°,AB=10m,CD=30m,请计算这条河的宽度.(参考数据:sin73°≈,cos73°≈,tan73°≈)【课堂练习】1、如图所示,小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若斜坡FA的坡比i=1:,求大树的高度.(结果保留整数,参考数据:sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11,≈1.73)2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB,AB=80米,为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°,大厦底部B的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度.(结果保留整数)(参考数据:)3、若商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯,如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m,扶梯AB的坡度i为1:.改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.(结果精确到0.1m.参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tanl5°≈0.27)4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利.如图,一辆单车放在水平的地面上,车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上,A,B之间的距离为49cm,现测得AC,BC与AB的夹角分别为45°,68°.若点C到地面的距离CD为28cm,坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm,求点E到地面的距离.(结果保留一位小数,参考数据:sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.50)。
九年级数学 三角函数50道练习题
九年级数学三角函数50道练习题(以上为标题,不计入800字)1. 已知一个角的补角是60度,求该角的大小。
2. 求解sin45°的值。
3. 已知tanθ = 1/√3,求θ的度数。
4. 求解cos30°的值。
5. 若sinθ = cos(180° - θ),求θ的度数。
6. 求解tan60°的值。
7. 若secθ = 2,求cosθ的值。
8. 若tanθ = 2,求cotθ的值。
9. 求解sin60°的值。
10. 若sinθ = cos90° - θ,求θ的度数。
11. 已知sinθ = 1/2,求θ的度数。
12. 求解tan30°的值。
13. 若cscθ = 4/3,求sinθ的值。
14. 已知cosθ = 1/√2,求θ的度数。
15. 求解cos45°的值。
16. 若secθ = -2,求cosθ的值。
17. 如果tanθ = 4/3,求cotθ的值。
18. 求解sin30°的值。
19. 若sinθ = cos(90° - θ),求θ的度数。
20. 已知cosθ = 1/2,求θ的度数。
21. 求解tan45°的值。
22. 若secθ = -1/2,求cosθ的值。
23. 如果tanθ = 3/4,求cotθ的值。
24. 求解sin120°的值。
25. 若sinθ - cosθ = 0,求θ的度数。
26. 已知tanθ = √3,求θ的度数。
27. 求解cos60°的值。
28. 若secθ = -√2,求cosθ的值。
29. 如果tanθ = -2/3,求cotθ的值。
30. 求解sin150°的值。
31. 若sinθ + cosθ = 1,求θ的度数。
32. 已知cotθ = 4/3,求θ的度数。
33. 求解cos75°的值。
34. 若secθ = -1/√3,求cosθ的值。
初中数学三角函数计算及应用题
初中数学三角函数计算及应用题
三角函数是初中数学中一个重要的概念,它在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我将为你提供一些关于三角函数的计算和应用题。
1. 计算题
(1) 已知sin(30°) = 1/2,那么sin(150°) = _______。
(2) 若tan(45°) = 1,则cos(60°) = _______。
(3) 已知cos(60°) = 1/2,则sin(120°) = _______。
2. 应用题
(1) 一座塔的高度为 h 米,太阳光与水平面的夹角为α,则塔在太阳光下的影子长度为多少?
(2) 在直角三角形中,一个锐角为30°,其对边长为3,求这个直角三角形的斜边长。
(3) 一辆汽车以速度 v 向南行驶,遇到一个障碍物后向西行驶了45°,如果汽车行驶的距离为 d 米,那么它转向后行驶的距离是多少?。
(完整)初中数学三角函数练习题
(完整)初中数学三角函数练习题初中数学三角函数练题1. 求下列三角函数的值:a) sin 30°b) cos 45°c) tan 60°2. 在直角三角形 ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 5 cm,BC = 12 cm。
求 sin A、cos A 和 tan A 的值。
3. 如果 sin x = 0.6,求 x 的值(0° ≤ x ≤ 180°)。
4. 已知 sin y = 0.8,求 cos y 的值(0° ≤ y ≤ 180°)。
5. 在直角三角形 DEF 中,∠E = 30°,EF = 6 cm,DE = 8 cm。
求 sin F、cos F 和 tan F 的值。
6. 如果 cos z = 0.4,求 z 的值(0° ≤ z ≤ 180°)。
7. 已知 cos w = 0.7,求 sin w 的值(0° ≤ w ≤ 180°)。
8. 在直角三角形 GHI 中,∠H = 60°,GH = 9 cm,HI = 3 cm。
求 sin G、cos G 和 tan G 的值。
9. 如果 tan v = 1.5,求 v 的值(0° ≤ v ≤ 180°)。
10. 已知 tan u = 2,求 sin u 的值(0° ≤ u ≤ 180°)。
11. 在直角三角形 ___ 中,∠K = 45°,JK = 6 cm,KL = 6 cm。
求 sin L、cos L 和 tan L 的值。
12. 如果 cot t = 0.75,求 t 的值(0° ≤ t ≤ 180°)。
13. 已知 cot s = 4,求 sin s 的值(0° ≤ s ≤ 180°)。
14. 已知cos α = 0.6,求sin^2 α 和cos^2 α 的值。
中考数学 锐角三角函数的实际应用
必考加练2 锐角三角函数的应用
5.(12 分)邓州市土城墙建于明代,它是穰邓生命的记录,历史的 见证,在这绵延起伏的土城墙里,蕴涵着深厚的古邓文化,目前花洲书 院东南角的一段土城墙保护的较为完整(如图1),邓州市某中学数学兴趣 小组在护城河东岸C处和D处分别测量了城墙顶端A的仰角及CD的长度 (如图2).
必考加练2 锐角三角函数的应用
∴BC=tanx37°≈0.7x54(m). ∵BC-BD=DC, ∴0.7x54-x=3,解得 x≈9.2. 答:土城墙 AB 的高度约为 9.2 m.
必考加练2 锐角三角函数的应用
6.(12 分)(2021 盐城)某种落地灯如图1所
示,AB为立杆,其高为84 cm;BC为支杆,它
必考加练2 锐角三角函数的应用
解:如答图 1,延长 BC 交 MN 于点 H,则 AD=BE=3.5 米.
设 MH=x 米.
∵∠MEC=45°,
∴EH=MH=x 米.
在 Rt△MHB 中,∠MBH=33°,
tan∠MBH=HEM+HEB=x+x3.5≈0.65.解得
答图 x=6.5.
1
∵HN=BA=1.6 米,∴MN=MH+HN=6.5+1.6=8.1≈8(米).
必考加练2 锐角三角函数的应用
在 Rt△BOC 中,∠BCO=45°, ∴OB=OC=OD-CD=(2 000 3-460)米. ∴AB=OB-OA=2 000 3-460-2 000≈1 004(米). ∴火箭的平均速度为 1 004÷3≈335(米/秒). 答:火箭从 A 到 B 处的平均速度约为 335 米/秒.
必考加练2 锐角三角函数的应用
3.(10分)(2021 泰州)如图,游客从旅游景区山脚下的地面A处出 发,沿坡角α=30°的斜坡AB步行50 m至山坡B处,乘直立电梯上升 30 m至C处,再乘缆车沿长为180 m的索道CD至山顶D处,此时观测C处 的俯角为19°30′,索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.(精 确 到 1 m . 参 考 数 据 : sin 19°30′≈0.33 , cos 19°30′≈0.94 , tan 19°30′≈0.35)
2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练含答案
2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练1.如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度,他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶端B的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=30m,然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高.(结果用含有根号的式子表示)2.如图,某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB,测量人员使用无人机测量,在C处测得A,B两点的俯角分别为45∘和30∘,若无人机离地面的高度CD为1200米,且点A,B,D在同一条水平直线上,求这条江的宽度AB长(结果保留根号).3.如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB=BD=800米,∠α=75°,∠β=45°,求山高DE(结果精确到1米).(参考数据:sin75°=0.966,cos75°=0.259,tan75°=3.732,√2=1.414)4.如图1,是全国最大的瓷碗造型建筑,座落于江西景德镇,整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”,造型庄重典雅,象征“万瓷之母”.小敏为了计算该建筑物横断面(瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形)的高度,如图2,她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°,而后沿着一段坡度为0.44(坡面与水平线夹角的正切值)的小坡PQ步行到点Q(此过程中AD,AP,PQ始终处于同一平面)后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距离为20米,小敏身高忽略不计,试计算该瓷碗建筑物的高度.(参考数据:sin 40°≈0.64,tan 40°≈0.84)5.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩,南至七里河马滩,是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图,小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°,拉索AB的长为152米,主塔处桥面距地面7.9米(CD的长),试求出主塔BD的高.(结果精确到0.1米,参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)6.茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号,建成于2007年4月29日.是一栋由多种中国建筑元素,由雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多种形式的中国古代建筑元素汇聚而成,具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼.茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一,同时茗阳阁旁的风景也是优美至极.某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的茗阳阁CD的高度,在山脚下的广场上A处测得建筑物点D(即山顶)的仰角为20°,沿水平方向前进20米到达B点,测得建筑物顶部C点的仰角为45°,已知山丘DE高37.69米.求塔的高度CD .(结果精确到1米,参考数据:sin200≈0.34,cos200≈0.94,tan200≈0.36)7.如图,AB是长为10m,倾斜角为30°的自动扶梯,平台BD与大楼CE垂直,且与扶梯AB的长度相等,在B处测得大楼顶部C的仰角为65°,求大楼CE的高度(结果保留整数).(参考数据:sin65°=0.90,tan65°=2.14)8. 4月18日,一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行,如图,广场上有一风筝A,小江抓着风筝线的一端站在D处,他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°,同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC=30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°,已知小江与居民楼的距离CD=40米,牵引端距地面高度DE=1.5米,根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米,参考数据:sin67°≈1213,cos67°≈513,tan67°≈125,√2≈1.414).9.共享单车为大众出行提供了方便,如图为单车实物图,如图为单车示意图,AB与地面平行,点A、B、D共线,点D、F、G共线,坐垫C可沿射线BE方向调节.已知,∠ABE=70°,∠EAB=45°,车轮半径为0.3m,BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适,求此时CE的长.(结果精确到1cm)参考数据:sin70.≈0.94,cos70.≈0.34,tan70.≈2.75,√2≈1.4110.如图,MN为一电视塔,AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上,被一个人工湖隔开),某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°;沿着山坡向上行走40m到达C处,此时测得塔顶M的仰角为30°,请求出电视塔MN的高度.(参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73,结果保留整数)11.如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?(结果精确到0.1cm,参考数据: √3≈1.732)12.北盘江大桥坐落于云南宜威与贵州水城交界处,横跨云贵两省,为目前世界第一高桥图1是大桥的实物图,图2是从图1中引申出的平面图,测得桥护栏BG=1.8米,拉索AB与护栏的夹角是26°,拉索ED 与护栏的夹角是60°,两拉索底端距离BD为300m,若两拉索顶端的距离AE为90m,请求出立柱AH的长.(tan26°≈0.5,sin26°≈0.4,√3≈ 1.7)13.为了解决楼房之间的采光问题,有关部门规定两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光.如图,旧楼的一楼窗台高1m,现计划在旧楼正南方20m处建一幢新楼.已知新昌冬天中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角最小为36∘,问新楼房最高可建多少米?(结果精确到0.1m,tan36∘≈0.727).14.随着天气的逐渐炎热(如图1),遮阳伞在我们的日常生活中随处可见.如图2所示,遮阳伞立柱OA垂直于地面,当将遮阳伞撑开至OD位置时,测得∠BOD=45°,当将遮阳伞撑开至OE位置时,测得∠BOE=60°,且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为30cm,求当遮阳伞撑开至OE位置时,伞下半径EC的长. (结果精确到0.1cm,参考值√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449).15.为了增强体质,小明计划晚间骑自行车训练,他在自行车上安装了夜行灯.如图,夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°,该夜行灯照亮地面的宽度BC长为149米,求该夜行灯距离地面的高度AN的长.(参考数据:sin10°≈17100,tan10°≈950,sin14°≈625,tan14°≈14).16.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆;两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计,EF长度远大于车辆宽度),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理?请通过计算说明理由.(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)17.如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯,图2是侧面示意图,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,点C在MN 上,且位于自动扶梯顶端B点的正上方,BC⊥MN.测得AB=10米,在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°,点B的仰角为30°,求二楼的层高BC(结果保留根号)(参考数据:sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.20)18.某大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图),图乙是从图甲引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米,√3≈1.73)19.如图,利用一幢已知高度的楼房CD(楼高为20m),来测量一幢高楼AB的高在DB上选取观测点E、F,从E测得楼房CD和高楼AB的顶部C、A的仰角分别为58°、45°.从F测得C,A的仰角分别为22°,70°.求楼AB的高度(精确到1m)(参考数据:tan22°≈0.40,tan58°≈1.60,tan70°≈2.75)20.某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示,已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m,坡角∠ABD为30°;改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度,(结果精确到0.lm.温馨提示:sin15°≈0.26,cosl5°≈0.97,tan15°≈0.27)答案1. 解:过点D 作DH ⊥BC 于点H ,如图所示:则四边形DHCE 是矩形,DH=EC ,DE=HC=5, 设建筑物BC 的高度为xm ,则BH=(x ﹣5)m , 在Rt △DHB 中,∠BDH=30°, ∴DH= √3 (x ﹣5),AC=EC ﹣EA= √3 (x ﹣5)﹣30, 在Rt △ACB 中,∠BAC=50°,tan ∠BAC= BCAC , ∴ √3(x−5)−30 = √3 解得:x= 15+30√32, 答:建筑物BC 的高为 15+30√32m .2. 解:如图,∵CE//DB ,∴∠CAD =∠ACE =45∘, ∠CBD =∠BCE =30∘ 在 RtΔACD 中, ∵∠CAD =45∘,∴AD =CD =1200 米, 在 RtΔDCB 中, ∵tan ∠CBD =CDBD , ∴BD =CDtan ∠CBD =√33=1200√3 (米)∴AB =BD −AD =1200√3−1200 =1200(√3−1) 米 故这条江的宽度 AB 长为 1200(√3−1) 米. 3. 解:由题意得:∠ACB =∠BFD =90°,EF =BC , 在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,cos α= BCAB , ∴BC =AB •cos75°=80×0.259=207.2. ∴EF =BC =207.2,在Rt △BDF 中,∠BFD =90°,sin β= DF BD , ∴DF =BD •sin45°=800× √22 =400×1.414=565.6.∴DE =DF+EF =565.6+207.2=772.8≈773(米). ∴山高DE 约为773米.4. 解:分别过点D,P向水平线作垂线,与过点Q的水平线分别交于点N,M,DN与PA交于点H,如解图所示,则四边形PMNH是矩形.∴PM=HN,PH=MN.由题意可知∠DPA=45°,∠DQN=45°-5°=40°.在Rt△DHP中,∵∠DPA=45°,∴DH=PH.设该瓷碗建筑物的高度DH为x,则PH=DH=MN=x.在Rt△PQM中,∵tan ∠PQM=PMQM=0.44,QM=20,∴PM=0.44QM=0.44×20=8.8,∴DN=DH+HN=x+8.8,QN=QM+MN=x+20.在Rt△DQN中,tan ∠DQN=DNQN,∴x+8.8x+20≈0.84,解得x≈50.答:该瓷碗建筑物的高度约为50米.5. 解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sin A=BCAB .∴BC=AB×sin A=152×sin31°=152×0.52=79.04 . BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94≈86.9(米)答:主塔BD的高约为86.9米6. 解:由题意可知CE⊥AE,又∵∠CBE= 45°,∴CE=BE,设塔高CD高为x,∴CE=BE=x+37.69,又∵AB=20,∴AE=57.69+x,在直角三角形AED中tan∠A=DEAE,即37.69x+57.69=0.36,解得x=47米,答:塔高为47米.7. 解:作BF⊥AE于点F.则BF=DE.在直角△ABF中,sin∠BAF=BFAB ,则BF=AB•sin∠BAF=10×12=5(m).在直角△CDB中,tan∠CBD=CDBD,则CD=BD•tan65°=10×2.14=21.4(m). 则CE=DE+CD=BF+CD=5+21.4≈26(m).答:大楼CE的高度是26m.8. 解:如图,作AM⊥CD于M,作BF⊥AM于F,EH⊥AM于H.∵∠ABF=45°,∠AFB=90°,∴AF=BF,设AF=BF=x,则CM=BF=x,DM=HE=40-x,AH=x+30-1.5=x+28.5,在Rt△AHE中,tan67°= AHHE,∴125=x+28.540−x,解得x≈19.9 m.∴AM=19.9+30=49.9 m.∴风筝距地面的高度49.9 m.9. 解:过点C作CN⊥AB,交AB于M,交地面于N.由题意可知:MN=0.3,当CN=0.9时,CM=0.6.≈0.94,BC≈0.638,CE=BC-BE=0.638- 0.4=0.238 ≈RtΔBCM中,∠ABE=70°,sin∠ABE=sin70°= CMCB0.24(m)=24(cm).答:CE的长为24cm.10.解:过点C作CE⊥AN于点E, CF⊥MN于点F.在△ACE中,AC=40m,∠CAE=30°∴CE=FN=20m,AE=20 √3 m设MN=x m,则AN=xm.FC=√3 xm,在RT△MFC中MF=MN-FN=MN-CE=x-20FC=NE=NA+AE=x+20 √3∵∠MCF=30°∴FC=√3 MF,即x+20 √3=√3 ( x-20)解得:x=√3√3−1=60+20 √3≈95m答:电视塔MN的高度约为95m.11. 解:过点B作BF⊥CD于F,作BG⊥AD于G.=15在Rt ΔBCF中,∠CBF=30°,∴CF=BC⋅sin30°,=30×12=20√3在Rt ΔABG中,∠BAG=60°,∴BG=AB⋅sin60°,=40×√32∴CE=CF+FD+DE=15+20√3+2=17+20√3≈51.64≈51.6cm 答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少51.6cm.12. 解:设CD=x,∵∠EDC=60°,∴CE= √3 x,∴AC=AE+CE=90+ √3 x,BC=CD+BD=300+x,∵tan26°= AC,BC,∴0.5= 90+√3x300+x解得:x≈48.70,∴AH=BG+AC=1.8+90+ √3×48.70≈176.1513. 解:如图,过点B作BC⊥AD与点C,在Rt△ABC中,∠ABC=36∘,DE=BC=20m,则AC=tan36∘⋅BC≈0.727×20=14.54(m),而EB=DC=1m,∴AD=AC+CD=14.54+1≈15.5(m),答:新楼房最高可建15.5米.14. 解:由题意可得:OE=OD,在Rt△OEC中,∠BOE=60°,∠OCE=90°,OE,∴OC=12在Rt△OBD中,∠DOB=45°,∠OBD=90°,∴OB=√220D=√22OE,∵BC=OB﹣OC,即√220E−120E=30,解得:OE=60 (√2+1),∴EC=√3×30(√2+1)=30√6+30√3≈30×2.449+30×1.732≈125.4cm.15. 解:设NC=x,则BN=CN+CB=x+149在Rt△ANB中,∠ABN=10°,∴AN=BN·tan∠ABN=BN·tan10°=950(x+149)在Rt△ANC中,∠ACN=14°,∴AN=CN·tan∠ACN=CN·tan14°=14x∴950(x+149)=14x解之:x=4∴AN=14××4=1答:该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m。
解答题三角函数应用(针对河南中考18题)
像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图,
他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4 m,在A
处测得佛像头顶部B的仰角为45°,头底部C的仰角为37.5°,求佛像BD的高度(结
果精确到0.1 m.参考数据:sin 37.5°≈0.61,cos 37.5°≈0.79,tan 37.5°≈0.77).
在Rt△DHE中,∠DEH=34°,
=
.
tan34° tan34°
∴EH=
∵EF=15,∴EH-FH=15,
-x=15.
tan34°
即
解得x≈30.5.
∴DC≈30.5+1.5=32.
答:拂云阁DC的高度约为32 m.
方法总结
解锐角三角函数实际应用题的一般步骤
1.正确画出平面图或截面示意图,并通过图形找出已知量和未知量.
端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m,测量点A,B与拂云阁DC的底部C在同
一水平线上,求拂云阁DC的高度(结果精确到1 m.参考数据:sin 34°≈0.56,cos
34°≈0.83,tan 34°≈0.67).
解:延长EF交DC于点H,由题意知,EH⊥DC.
设DH=x m,在Rt△DHF中,∠DFH=45°,∴FH=DH=x.
∴BC=
≈25,
sin53°
∴x=
∴B船到达C船处约需时间:25÷25=1(小时).
在Rt△ADC中,AC= 2x≈1.41×20=28.2,
∴A船到达C船处约需时间:28.2÷30=0.94(小时),
而0.94<1,所以C船至少要等待0.9ห้องสมุดไป่ตู้小时才能得到救援.
中考数学第二轮复习专题训练--三角函数应用题
3 3精典例题:【例 1】如图,塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米,从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 450 和 600,试求塔高与楼高(精确到 0.01 米)。
(参考数据: =1.41421…, =1.73205…)分析:此题可先通过解 Rt △ABD 求出塔高 AB ,再利用 CE =BD =80 米,解 Rt △AEC 求出 AE ,最后求出 CD =BE =AB -AE 。
解:在 Rt △ABD 中,BD =80 米,∠BAD =600 A∴AB = BD tan 6080 138.56 (米)450C在 Rt △AEC 中,EC =BD =80 米,∠ACE =450 ∴AE =CE =80 米∴CD =BE =AB -AE = 80 80 58.56 (米)EBD F例 1 图答:塔 AB 的高约为 138. 56 米,楼 CD 的高约为 58. 56 米。
【例 2】如图,直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处,此时飞机离地面的高度 PO =450 米,且 A 、B 、 O 三点在一条直线上,测得大桥两端的俯角分别为300 , 450 ,求大桥 AB 的长(精确到 1 米,选用数据: =1.41, =1.73)分析:要求 AB ,只须求出 OA 即可。
可通过解 Rt △POA 达到目的。
解:在 Rt △PAO 中,∠PAO =300∴OA = PO cot PAO450 cot 300450 (米)在 Rt △PBO 中,∠PBO = ∴OB =OP =450(米)∴AB =OA -OB = 450 450450 P329 (米) 答:这座大桥的长度约为 329 米。
OBA例 2 图评注:例 1 和例 2 都是测量问题(测高、测宽等), 解这类问题要理解仰角、俯角的概念,合理选择关系式,按要求正确地取近似值。
【例 3】一艘渔船正以 30 海里/小时的速度由西向东追赶鱼群,在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 600方向,40 分钟后,渔船行至 B 处,此时看见小岛 C 在船的北偏东 300 方向,已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能?分析:此题可先求出小岛 C 与航向(直线 AB )的距离,再与 10 海里进行比较得出结论。
中考 数学专练11(三角函数大题)(30题)(老师版)
2022中考考点必杀500题专练11(三角函数大题)(30道)1.(2022·浙江绍兴·一模)如图1是一种可折叠台灯,它放置在水平桌面上,将其抽象成图2,其中点,,B E D 均为可转动点,现测得20cm AB BE ED CD ====,经多次调试发现当点,B E 都在CD 的垂直平分线上时(如图3所示)放置最平稳.(1)求放置最平稳时灯座DC 与灯杆DE 的夹角的大小;(2)当A 点到水平桌面(CD 所在直线)的距离为42cm 43cm -时,台灯光线最佳,能更好的保护视力.若台灯放置最平稳时,将ABE ∠调节到105︒,试通过计算说明此时光线是否为最佳.(参考数据:sin150.26,cos150.97,tan15 1.73︒=︒=︒==)【答案】(1)灯座DC 与灯杆DE 的夹角为60°(2)此时光线最佳【解析】(1)解:延长BE 交DC 于点F ,则由题可知EF ⊥CD 且FD =12CD =10cm ; ⊥1cos 2DF D DE ∠== ⊥⊥D =60° 即灯座DC 与灯杆DE 的夹角为60°;(2)解:作AM ⊥DC 于点M ,作BG ⊥AM 于点G ,则四边形GMFB 是矩形⊥⊥GBF=90°⊥sin=⋅,EF DE D⊥2037.3cm=+=+≈,GM BE EF⊥⊥ABE =105°,⊥⊥ABG =15°⊥sin15 5.2=⋅=cmAG AB⊥AM=37.3+5.2=42.5cm⊥此时光线最佳.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,线段垂直平分线的性质,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.2.(2022·安徽·东至县教育体育局教学研究室一模)如图1,某游乐场建造了一个大型摩天轮,工程师介绍:若你站在摩大轮下某处(A点)以30的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部(C点),可测得AC的长度为30m,以63︒的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方(D点),如图2,设摩天轮圆轮的直径CD垂地面于点B,点A,B在同一水平面上.(人的身高忽略不计, 1.73,sin630.89,cos630.45,tan63 1.96≈︒≈︒≈︒≈,结果精确到个位)(1)求AB的长;(2)求摩天轮的圆轮直径(即CD的长).【答案】(1)26m ;(2)36m【解析】(1)解:根据题意知30,30,90=∠=∠︒︒=AC CAB B ,⊥cos 30cos303026(m)=⋅∠=⨯=︒≈AB AC CAB . 答:AB 的长约为26m .(2)解:根据题意知30,30,90,63=∠=︒∠︒=︒∠=AC CAB B DAB , ⊥1sin 30sin303015(m)2=⋅∠=⨯︒=⨯=BC AC CAB . 由(1)知26AB =, ⊥tan ,∠=DB DAB AB ⊥tan 26tan 6326 1.9651(m)=⋅∠=⨯︒≈⨯≈DB AB DAB⊥511536()=-=-=CD DB BC m .答:摩天轮的圆轮直径约为36m .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练运用三角函数解直角三角形是解题的关键.3.(2021·陕西渭南·二模)西安汉城湖景区巨大的汉武帝塑像背北朝南,一手执剑安边,广布王道与蛮夷;一手樾泽众生,推行儒术与天下,展示了汉武帝一统江山、胸怀万里的豪迈气概(如图1).小明想利用所学知识测量汉武帝塑像的高度BE ,测量方法如下:如图2,在地面上的点C 处测得塑像顶端E 的仰角为37︒,从点C 走到点D ,测得24CD =米,从点D 测得塑像底端B 的仰角为26.5︒,已知A ,B ,E 在同一条垂直于地面的直线上,点C 、D 、A 在一条直线上,7AB =米,请你根据题中提供的相关信息,求塑像BE 的高度(参考数据:sin370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan370.75︒≈,sin26.50.45︒≈,cos26.50.89︒≈,tan26.50.50︒≈)【答案】塑像BE 的高度约为21.5米.【解析】解:由题意知,在Rt ABD △中,26.5ADB ∠=︒,7AB =米, ⊥714tan 26.50.5AB AD =≈=︒(米), ⊥24CD =米,⊥142438AC AD CD =+=+=(米),在Rt ACE △中,37ACE ∠=︒,⊥38tan37380.7528.5AE =⨯︒≈⨯=(米),⊥7AB =米,⊥28.5721.5BE AE AB =-=-=(米),答:塑像BE 的高度约为21.5米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,掌握“利用锐角三角函数求解直角三角形的边长”是解本题的关键. 4.(2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室二模)风筝起源于中国,最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的,中国风筝问世后,很快被用于传递信息,飞跃险阻等军事需要,唐宋以后传入民间,成为人们休闲娱乐的玩具.上周末,小伟和爸爸一起去野外放风筝,不慎,两个风筝在空中P 处缠绕在一起,如图,小伟在地面上的A 处测得点P 的仰角为30°,爸爸在距地面2米高的C 处(即2BC =米)测得点P 的仰角为60°,已知A 、B 、D 在一条直线上,PD AD ⊥,CB AD ⊥,160AB =米,求此时风筝P 处距地面的高度PD .(结果保留根号)【答案】风筝P 处距地面的高度PD 为()1米.【解析】解:过点C 作CE PD ⊥于点E ,如图,根据题意可得90CEP D ∠=∠=︒,四边形BCED 为矩形,⊥2DE BC ==米,CE BD =,设BD CE x ==米,则()160AD AB BD x =+=+米,在Rt PCE △中,tan 60PE CE =⋅︒=米,⊥)2PD PE DE =+=+米.在Rt PAD △中,tan tan30PD A AD =︒==⊥AD =,即)1602x +=+,解得80x =-⊥(8021PD +=(米).即此时风筝P 处距地面的高度PD 为()1米.【点睛】本题主要考查了三角函数解决实际问题,解题关键是根据题意构建直角三角形并利用三角函数求解. 5.(2022·陕西·一模)如图,学校一幢教学楼AB 的顶部竖有一块写有校训的宣传牌AC ,小同在M 点用测倾器测得宣传牌的底部A 点的仰角为31︒,他向教学楼前进7米到达N 点,测得宣传牌顶部C 点的仰角为45︒,已知广告牌AC 的高度为3米,测倾器 1.5DM EN ==米,点B 、M 、N 在同一水平面上,不考虑其他因素,求教学楼AB 的高度.(结果保留整数,参考数据sin310.52︒≈,cos310.86︒≈,tan310.61︒≈)【答案】17【解析】连接DE并延长交BC于F,⊥DM⊥MB,EN⊥MB,⊥DM⊥EN,⊥DM=EN,⊥四边形DMNE是矩形,⊥BM⊥DF,DE=MN=7⊥DF⊥CB, 1.5DM EN BF===设AF=x,⊥CF=3+x,在Rt△BCF中,⊥⊥CEF=45°,⊥EF=FC=x+3,⊥DF=EF+DE=x+3+7=x+10,在Rt△AED中,tan⊥ADF=AF DF,⊥tan 31x DF︒=, ⊥tan 31x DF =︒⊥0.6101x DF x ==+ 解得15.6x ≈⊥AB =AF +BF =15.6 1.517+≈,答:教学楼AB 的高度是17米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题,结合图形利用三角函数解直角三角形是解答此题的关键.6.(2022·河南·西峡县基础教育教学研究室一模)数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间测量一栋教学楼的高度.如图,在C 点测得楼顶A 点的仰角为45°,从C 点经斜面CE 到达高台上E 点测得A 点的仰角为22°,测得CD =16米,EF =3米.已知斜面CE 的坡度1:6.5i =,⊥CDF =90°,EF //CD ,点B 、C 、E 在同一平面内,且点B 、C 、D 在同一条直线上.求楼高AB .(参考数据:sin22°≈0.38,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40)【答案】楼高AB 约为12米【解析】解:如图所示,延长FE 交AB 于G ,过点E 作EH ⊥BD ,则四边形EFDH 和四边形BGEH 都是矩形, ⊥BG =EH ,DH =EF =3米,GE =BH ,⊥CH =13米⊥斜面CE 的坡度1:6.5i =, ⊥1:6.5EH CH=, ⊥BG =EH =2米,设AB =x 米,则()2AG AB BG x =-=-米,⊥⊥ACB =45°,⊥ABC =90°,⊥⊥BAC =45°=⊥ACB ,⊥BC =AC =x 米,⊥()13EG BH BC CH x ==+=+米, ⊥tan AG AEG GE ∠=, ⊥2tan 220.413x x -=︒≈+, ⊥20.4 5.2x x -=+,⊥12x =,⊥楼高AB 约为12米.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,等腰直角三角形的性质与判定,矩形的性质与判定等等,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.7.(2022·辽宁锦州·一模)某数学兴趣小组测量一栋高层住宅楼AB 的高度,在住宅楼AB 对面的多层洋房CD 的楼底C 处,测得住宅楼AB 楼顶A 的仰角为63.4︒(即63.4ACB ∠=︒),在多层洋房CD 的楼顶D 处测得住宅楼AB 楼底B 的俯角为11.3︒(即11.3BDE ∠=︒),已知10m CD =,求高层住宅楼AB 的高度.(结果保留整数,测量工具的高度忽略不计.参考数据:sin 63.40.894︒≈,cos63.40.448︒≈,tan 63.4 1.997︒≈,sin11.30.196︒≈,cos11.30.981︒≈,tan11.30.200︒≈)【答案】高层住宅楼AB 的高度为100m【解析】解:依题意,得//BC ED ,⊥11.3CBD BDE ∠=∠=.在Rt BCD 中,90BCD ∠=,10m CD =⊥tan CD CBD BC ∠=, ⊥100.200BC≈ ⊥()50.00m BC =在Rt ABC 中,90ABC ∠=,63.4ACB ∠= ⊥tan AB ACB BC ∠=, ⊥1.99750.0AB = ⊥()100m AB ≈答:高层住宅楼AB 的高度为100m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.8.(2022·重庆渝中·二模)2021年7月,央视财经频道献礼建党100周年大型纪录片《大国建造》第二集《栋梁之材》中专门报道了重庆来福士塔楼.王老师为了测量来福士塔楼的高度,他在江北嘴嘉陵江边A 处沿坡角为22°的斜坡AC 走了80米到达点C ,此时正好与江对岸的朝天门广场D 及来福士塔楼底部E 在同一水平线上.点C 处测得观景台F 的仰角为24°,测得塔楼最高点G 的仰角为32.2°(A ,B ,C ,D ,E ,F ,G 在同一平面).据央视报道可知250EF =米.(参考数据:sin 220.37︒≈,cos220.93︒≈,tan220.40︒≈;sin 240.41︒≈,cos240.91︒≈,tan 240.45︒≈;sin32.20.53︒≈,cos32.20.85︒≈,tan32.20.63︒≈.)(1)求朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离;(结果取整数)(2)求塔楼高度GE 的值.(结果取整数)【答案】(1)30米(2)350米【解析】(1)过C 作CM ⊥AB 于M⊥C 正好与江对岸的朝天门广场D 及来福士塔楼底部E 在同一水平线上⊥朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离即为CM 的长度,在Rt ⊥CAM 中,22,80CAM AC ∠=︒=,sin CM CAM AC∠= ⊥sin 80sin 22800.3729.630CM AC CAM =⋅∠=⨯︒≈⨯=≈⊥朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离为30米;(2)Rt ⊥CEF 中,24,250ECF EF ∠=︒=,tan EF ECF CE ∠=⊥2502505000tan tan 240.459EF CE ECF ==≈=∠︒ Rt ⊥CEG 中,500032.2,9ECG CE ∠=︒=,tan GE ECG CE∠= ⊥50005000tan tan 32.20.6335099GE ECG GE =∠⋅=︒⨯≈⨯=(米). 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题,掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.9.(2022·浙江台州·一模)如图所示是国际标准的篮球架,某兴趣小组想知道篮筐中心A 到地面的高度,现测得如下数据:CD 垂直于地面,255cm CD =,90cm BC =,AB 平行于地面,145ABC ∠=︒,请你利用学过的知识帮他们求出该高度.(结果精确到1cm ,参考数据:sin350.57︒=,cos350.82︒=,tan350.70︒=)【答案】306cm【解析】解⊥如图,过点B作BH⊥EF于点H,过点C作CG⊥BH于点G,过点A作AK⊥EF于点K,根据题意得:AB⊥EF,⊥⊥ABH=⊥BHF=⊥AKH=⊥CGH=⊥CGH=⊥CDH=90°,⊥四边形ABHK和CDHG是矩形,⊥AF=BH,GH=CD=255cm,⊥145ABC∠=︒,⊥⊥BCG=35°,在Rt⊥BCG中,sinBGBCGBC∠=,90cmBC=,⊥sin900.5751.3cmBG BC BCG=⋅∠≈⨯=,⊥AF=BH=BG+GH=51.3+255≈306cm,答:篮筐中心A到地面的高度为306cm.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,根据题意,准确构造直角三角形是解题的关键.10.(2022·云南·云大附中模拟预测)某工程队计划测量一信号塔OC的高度,由于特殊原因无法直接到达信号塔OC底部,因此计划借助坡面高度来测量信号塔OC的高度;如图,在信号塔OC旁山坡坡脚A处测得信号塔OC顶端C的仰角为70°,当从A处沿坡面行走13米到达P处时,测得信号塔OC顶端C的仰角刚好为45°.已知山坡的坡度i=1:2.4,且O,A,B在同一直线上.(1)求点P 到水平地面OB 的距离.(2)求信号塔OC 的高度.(侧倾器高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.7.)【答案】(1)5米(2)27.0米【解析】(1)解:如图,过点P 作PE ⊥OB 于点E ,PF ⊥OC 于点F ,⊥i =1:2.4,13AP =, ⊥15tan 2.412PE PAE AE ∠===, ⊥设PE =5x ,则AE =12x ,在Rt ⊥AEP 中,由勾股定理得:(5x )2+(12x )2=132,解得:1x =或1x =-(舍去),⊥PE =5,则AE =12,⊥点P 到水平地面OB 的距离为5米.(2)解:⊥⊥CPF =⊥PCF = 45°,⊥CF PF =,设CF =PF =m 米,则OC = (m +5) 米,OA =(m -12)米,在Rt ⊥AOC 中,5tan 7012OC m OA m +︒==-,即:()5tan7012m m +=︒⋅-,解得:22.0m ≈,⊥22.0527.0OC ≈+=(米)⊥信号塔OC 的高度约为27.0米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,仰角、坡度的定义,解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.11.(2022·新疆乌鲁木齐·一模)如图,小明在红山塔前的平地上选择一点A ,用测角仪测得塔顶G 的仰角为37°,在A 点和塔之间选择一点B ,测得塔顶G 的仰角为45°,又测得3AB =米,已知测角仪的高 1.5AF =米,请你帮小明计算出塔CG 的高度.(参考数据:3sin 375︒≈,4cos375≈︒,3tan 374︒≈)【答案】10.5米【解析】如图,延长FE ,交GC 于点H ,由題意可知HC =EB = F A =1.5,EF =AB =3,⊥GEH =45°,⊥GFH =37°,设GH =x 米,在Rt △GHE 中,⊥GHE =90°,⊥GEH =45,.⊥HE =GH =x ,在Rt △GHF 中,tan⊥GFH =GH HF , 即tan 37°=3x x +, ⊥343x x =+, 解得x =9,⊥CG =GH + HC =10.5(米).答:塔的高度为10.5米.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.12.(2022·河南平顶山·二模)2020年12月26日,“最美无背锁斜拉桥”鹰城大桥正式通车,作为全省唯一一座跨高铁的大型立交桥,通车后将极大缓解该区域的交通压力.某数学兴趣小组到现场测量塔AB 的高度AD .如图,他们选取的测量点C 与塔底部B 在同一条水平线上,测得塔AB 与BC 所在水平线的夹角为57°,在C 点处测得塔顶A 的仰角为45°,已知塔底B 到测量点C 的距离为20.76米,求塔高AD .(结果精确到0.1米.参考数据:sin570.84︒≈,cos570.54︒≈,tan57 1.54︒=)【答案】塔的高度AD 约为59.2米.【解析】解:由题意可知,⊥ABD =57°,⊥ACD =45°,BC =20.76米,在RtACD 中,由于⊥ACD =45°,⊥AD =CD ,设AD =x 米=CD ,则BD =(x -20.76)米,在RtABD 中, ⊥tan57°=AD BD, ⊥1.54(x -20.76)=x ,解得x ≈59.2(米),答:塔的高度AD 约为59.2米.【点睛】本题考查解直角三角形,掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提,理解两个直角三角形的边角之间的关系是正确解答的关键.13.(2022·河南濮阳·一模)国家“十四五规划”减少化石能源的消耗,减少碳排放作为今后的重要任务之一,各地响应国家号召都在大力发展风电.某学校数学活动小组去实地对风电塔进行测量.如图1风电机组主要由塔杆和叶片组成,图2是由图1画出的平面图.假设站在A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55°,沿F A 方向水平前进25米到达坡底E 处,在山顶B 处发现正好一叶片到达最高位置,此时测得叶片的顶端D (D 、C 、F 在同一直线上)的仰角是45°,已知叶片的长度为20米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计),坡高BE 为10米,BE EF ⊥,CF EF ⊥,求塔杆CF 的长(参考数据:tan55 1.4︒≈,tan350.7︒≈,sin550.8︒≈,sin350.6︒≈).【答案】52.5米【解析】解:过点B 作BG DF ⊥于点G ,设塔杆CF 的长为x 米,则()20DF x =+米,⊥BE EF ⊥,CF EF ⊥,⊥四边形BEFG 是矩形.⊥坡高BE 为10米,⊥10FG =米,⊥()10DG DF FG x =-=+米.在Rt BDG △中,45DBG ∠=︒,⊥()10BG DG x ==+米,⊥()10EF x =+米.⊥25AE =米,⊥()15AF EF AE x =-=-米.在Rt ACF 中,55CAF ∠=︒, ⊥tan 1.415CF x CAF AF x ∠==≈-,解得52.5x =. 答:塔杆CF 的长为52.5米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形. 14.(2022·辽宁抚顺·二模)如图,小明为了测量小河对岸大树BC 的高度,他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°,沿斜坡走13米到达斜坡上点D ,在此处测得树顶端点B 的仰角为31°,且斜坡AF 的坡度为1:2.4.(1)求小明从点A 到点D 的过程中,他上升的高度;(2)大树BC 的高度约为多少米?(参考数据:sin 31°=0.52,cos 31°=0.86,tan 31°≈0.60)【答案】(1)小明从点A 到点D 的过程中,他上升的高度为5米(2)大树的高度约为30.5米【解析】(1)解:作DH ⊥AE 于H ,如图所示:在Rt ⊥ADH 中, ⊥12.4DH AH =, ⊥5AH =12DH ,⊥AH 2+DH 2=AD 2,⊥DH=5,⊥AH=12.答:小明从点A到点D的过程中,他上升的高度为5米.(2)延长BD交AE于点G,设BC=xm,由题意得,⊥G=31°,⊥5250603DHGHtan G.=≈=∠,⊥AH=2.4,DH=12,⊥GA=GH+AH=253+12=613,在Rt⊥BGC中,tan⊥G=BC GC,⊥50603BC xCG xtan G.=≈=∠,在Rt⊥BAC中,⊥BAC=45°,⊥AC=BC=x.⊥GC-AC=AG,⊥561 33x x-=,解得:x=30.5.答:大树的高度约为30.5米.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用,根据题意作出辅助线是解题的关键.15.(2022·河南商丘·二模)2022年,中国举办了一个史无前例的冬奥会,民众对冰上运动的热情高涨.某滑雪场设计了一条滑雪道,该滑雪道由直道和停止区两部分组成.如图所示,AB为平台部分,AC为该滑道的直道部分,其与水平滑道之间均可视为平滑相连,滑道AC的坡角30ACF∠=,AC长为120米,滑雪道的停止区EC长为80米.为增加安全性,滑雪场修改方案,将滑道坡度减缓,新设计另一滑道AD,其坡角23ADF ∠=︒.问:新设计的滑道停止区ED 的长度为多少米?(结果精确到0.1米,参考数据:sin230.391≈,cos230.92l ≈,tan230,424≈ 1.732)【答案】新设计的滑道停止区ED 的长度约为42.4米.【解析】解:过点A 作AG ⊥EF ,垂足为G ,如图:在直角⊥ACG 中,120AC =,30ACF ∠=︒,⊥cos30120CG AC =⨯︒==1sin 30120602AG AC =⨯︒=⨯=,⊥80EG EC CG =+=+在直角⊥ADG 中,60AG =,⊥23ADG ∠=︒, ⊥141.51tan 23AG DG ≈︒=,⊥80141.5142.4142.4ED EG DG =-=+=≈(米)答:新设计的滑道停止区ED 的长度约为42.4米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解直角三角形,解题的关键是正确的作出辅助线,利用解直角三角形进行计算.16.(2022·四川成都·二模)第31届世界大学生运动会将于2022年6月26日在成都举行,主火炬塔位于东安湖体育公园,亮灯之夜,塔身通体透亮,10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮,璀璨绚丽,流光溢彩(如图1).小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD 的大致高度,当他步行至点A 处,测得此时塔顶C 的仰角为42°,再步行20米至点B 处,测得此时塔顶C 的仰角为65°(如图2所示,点A ,B ,D 在同一条直线上),请帮小杰计算火炬塔CD 的高.(sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,结果保留整数)【答案】火炬塔CD 的高31米【解析】解:设CD =x , 则tan 2.14CD x BD CBD ==∠ ,tan 0.90CD x AD CAD ==∠, ⊥AB =AD -BD , ⊥200.90 2.14x x -= , 解得x =31,故CD =31(米),答:火炬塔CD 的高31米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题,解题的关键是理解仰角和俯角的定义.17.(2022·山西阳泉·一模)2022年2月20日,举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕. 北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧,让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想,并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带,凝聚更团结的力量. 图⊥,图⊥分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图,已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直,大腿EF 与斜坡AB 平行,G 为头部,假设,,G E D 三点共线,若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ,该运动员大腿EF 长为0.4m ,且其上半身GF 长为0.8m ,35EMD ∠=︒.(1)求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角GFE ∠的度数;(2)求此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度. (结果精确到0.1m ,参考数据:sin350.57︒≈,cos350.82︒≈,tan350.70︒≈ 1.73≈)【答案】(1)此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角60GFE ∠=︒(2)此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度约为1.2m【解析】(1)如图,连接GE ,⊥EF AB ∥,ED AB ⊥,,,G E D 三点共线,⊥90GEF EDM ∠=∠=︒⊥04m,0.8m EF GF ==, ⊥0.41cos 0.82EF GFE GF ∠===. ⊥60GFE ∠=︒.(2)由(1)得60GFE ∠=︒⊥在Rt GFE 中,sin 0.80.69m GE GF GFE =⋅∠=≈. 在Rt EDM 中,35,0.9m EMD EM ∠=︒=,⊥sin 0.9sin350.51m ED EM EMD =⋅∠=⋅︒≈.⊥0.690.51 1.2m GD GE ED =+≈+=.答:此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度约为1.2m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,锐角三角函数定义,将实际问题转化为数学问题是解题的关键.18.(2022·河南开封·一模)北京2022年冬奥会自由式滑需和单板滑雪比赛的场地首钢滑大跳台,又称“雪飞天”,从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”.某数学活动小组准备测量大跳台主体AB 的垂直高度,如图,选取的测量点C ,D 与AB 的底部B 在同一水平线上.测得CD 的长度为15m .在C ,D 处测得跳台顶部A 的仰角分别为37.5°、45°,求跳台AB 的高度(结果精确到1m .参考数据:sin37.50.609cos37.50.793tan37.50.767︒≈︒≈︒≈,,)【答案】49 m【解析】 解:AB BC ⊥,45ADB ∠=︒设AB x =m ,则BD AB x ==,CD 的长度为15m15BC x ∴=+在Rt ABC △中,tan 0.767AB C BC == 即0.76715x x =+ 解得49x ≈答:跳台AB 的高度为49 m .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,掌握直角三角形中边角关系是解题的关键.19.(2022·河南·模拟预测)郑州二七纪念塔位于郑州市二七广场,是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士,发扬“二七”革命传统而修建的纪念性建筑.如图,某综合实践小组为测量塔顶旗杆的高度,在马路对面建筑物楼下选取了与二七塔的底部C 在同一水平线上的测量点D ,在建筑物楼上选取测量点E ,DE CD ⊥.已知,塔身BC 高63m ,18m ED =,在D 处测得旗杆顶部A 的仰角为58°,在E 处测得旗杆底部B 的仰角为45°,求旗杆的高度(参考数据sin580.85︒≈,cos580.53︒≈, tan58 1.6︒≈).【答案】9m【解析】解:过E 作EF AC ⊥交于点F ,如图:由题意可知:四边形CDEF 为矩形,⊥18m CF ED ==,⊥631845m BF =-=⊥45BEF ∠=︒⊥45m=BF EF CD ==⊥58ADC ∠=︒ ⊥tan 58= 1.6AC CD︒= ⊥=1.6 1.64572m AC CD ⨯=⨯=⊥旗杆高度:=72639m AC BC --=.【点睛】本题考查解直角三角形,解题的关键是构造Rt BEF △,求出45m=BF EF CD ==,利用tan 58= 1.6AC CD︒=求出AC .20.(2022·山东潍坊·一模)某移动公司为了提升网络信号,在坡度1:2.4i =的山坡AD 上加装了信号塔PQ (如图所示),信号塔底端Q 到坡底A 的距离为3.9米.为了提醒市民,在距离斜坡底A 点5.4米的水平地面上立了一块警示牌MN ,当太阳光线与水平线所成的夹角为53︒时,信号塔顶端P 的影子落在警示牌上的点E 处,且EN 长为3米.(1)求点Q 到水平地面的铅直高度;(2)求信号塔PQ 的高度大约为多少米?(参考数据:sin530.8,cos530.6,tan53 1.3︒≈︒≈︒≈)【答案】(1)1.5米(2)13.2米【解析】(1)解:作QH AB ⊥,垂足为H ,由1:2.4i =,可得:5:12=QH HA ,设5=QH x ,则12=HA x ,在Rt AQH △中,由勾股定理可得222+=QH AH AQ ,⊥222(5)(12) 3.9+=x x解得0.3x =,⊥5 1.5==QH x (米),所以,点Q 到水平地面的铅直高度是1.5米.(2)解:作⊥ES PQ ,垂足为S ,则120.3 5.49,53=+=⨯+=∠=︒ES HA AN PES ,⊥在Rt PES 中,tan ∠=PS PES ES ,即tan539︒=PS . ⊥9 1.311.7≈⨯=PS (米),⊥11.73 1.513.2=+-=+-=PQ PS EN QH (米)所以,信号塔PQ 的高度大约为13.2米.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题,解决本题的关键是熟练掌握坡度坡角的概念. 21.(2022·北京市燕山教研中心一模)疫情防控过程中,很多志愿者走进社区参加活动.如图所示,小冬老师从A 处出发,要到A 地北偏东60︒方向的C 处,他先沿正东方向走了200m 到达B 处,再沿北偏东30方向走,恰能到达目的地C 处,求A ,C 两地的距离. 1.414 1.732≈≈)【答案】346m【解析】解:⊥120ABC ∠=︒⊥30CAB ACB ∠=∠=︒⊥200AB CB ==过点C 作垂线交AB 延长线于点D ,⊥30BCD ∠=︒.在Rt BDC 中,200CB =⊥100BD =⊥DC =又在Rt DCA △中,30ACB ∠=︒.⊥346AC =⊥A ,C 两地的距离是346m .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,正确理解题意并作出辅助线是解题的关键.22.(2022·山东青岛·一模)一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作,在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒.无人机保持飞行方向不变,继续飞行48米到达点Q 处,此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒.已知建筑物AB 的高度为36米,求无人机飞行时距离地面的高度.(参考数据:2sin 245≈,9cos 2410︒≈,9tan 2420︒≈,9sin 6610︒≈,2cos665︒≈,9tan 664︒≈)【答案】无人机飞行时距离地面的高度为72米【解析】解:如图,延长BA 交PQ 的延长线于点C ,由题意可得,PC ⊥BC ,在Rt⊥PCA 中,tan24°=48AC AC AC PC PQ QC QC ==++≈920, 可得20489QC AC =-, 在Rt⊥BCQ 中,tan66°=3694BC AC QC QC +=≈, QC =4169AC +, ⊥20489AC -=4169AC +, 解得AC =36,⊥BC =BA +AC =36+36=72(米)即无人机飞行时距离地面的高度为72米.【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用—仰俯角问题,准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 23.(2022·浙江金华·模拟预测)如图是一种手机三脚架,它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度,其它支架长度固定不变,已知支脚DE =AB .底座CD ⊥AB ,BG ⊥AB ,且CD =BG ,F 是DE 上的固定点,且EF :DF =2:3.(1)当点B ,G ,E 三点在同一直线上(如图1所示)时,测得tan⊥BED =2.设BC =5a ,则FG =__(用含a 的代数式表示);(2)在(1)的条件下,若将点C 向下移动24cm ,则点B ,G ,F 三点在同一直线上(如图2),此时点A 离地面的高度是__cm .【答案】52a 19+【解析】解:(1)如图1中,连接DG ,EG ,过点F 作FH ⊥BE 于H ,则四边形CDGB 是矩形.⊥BC =DG =5a ,在Rt⊥DEG 中,tan⊥DEB =DG EG=2,⊥52a EG =,DE =, ⊥FH ⊥DG ,⊥23EF EH DF GH ==, ⊥⊥EFH ⊥⊥EDG ,⊥25EF EH DE EG ==,⊥2255EF DE ===,⊥DF ,EH =25EG =2552a ⨯=a ,HG =EG ﹣EH =52a ﹣a =32a ,⊥2FH a ==,⊥52FG a =; (2)如图1中,连接DG ,EG ,过点F 作FH ⊥BE 于H ,则四边形CDGB 是矩形.设BC =DG =2xcm , 在Rt⊥DEG 中,tan⊥DEB =DG EG=2, ⊥EG=x (cm ),DE ==(cm ), ⊥FH ⊥DG ,⊥23EF EH DF GH ==,⊥DF (cm ),EH =25x (cm ),HG =35x (cm ),⊥45FH x ==(cm ),⊥ FG x =(cm ),如图2中,连接DG .⊥DF 2=DG 2+FG 2,⊥()222224x x ⎪=⎫-⎪+⎝⎭,解得15x =+15x =-,⊥(15AB DE ===+cm ,作EJ ⊥BF 交BF 的延长线于J .则EJ =EF •sin⊥EFJ =(cm ,⊥点A 离地面的高度=AB +EJ =(cm .【点睛】本题考查解直角三角形的应用,涉及到相似三角形的判定及其性质、勾股定理、正切等,解题的关键是正确解读题意,学会利用参数构建方程解决问题.24.(2022·安徽·一模)某通信公司准备逐步在合肥大蜀山上建设5G 基站.如图,某处斜坡CB 的坡度(或坡比)为1:2.4i =,通讯塔AB 垂直于水平地面CF ,在C 处测得塔顶A 的仰角45ACF ∠=︒,在D 处测得塔顶A 的仰角53ADE ∠=︒,D 到水平地面的距离10DM =米,求基站AF 的高度.(参考数据:sin 5345︒≈,cos5335︒≈,tan 5343︒≈)【答案】66米【解析】解:根据题意得:EF =DM =10米,DE =MF ,⊥斜坡CB 的坡度1:2.4i =, ⊥12.4DM CM =, ⊥CM =24米,设AE =x 米,则AF =(x +10)米,⊥45ACF ∠=︒,AF ⊥CF ,⊥⊥CAF =⊥ACF =45°,⊥AF =CF =(x +10)米,⊥DE =MF =x +10-24=(x -14)米,⊥53ADE ∠=︒, ⊥tan 53AE DE=︒,即4143x x ≈-, 解得:x =56,⊥AF =66米,答:基站AF 的高度为66米.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,明确题意,准确构造直角三角形是解题的关键.25.(2022·安徽淮北·一模)某市为了加快5G 网络信号覆盖,在市区附近小山顶部架设信号发射塔,如图所示.为了知道发射塔的高度,小兵从地面上的一点A 测得发射塔顶端P 点的仰角是45︒,向山前走60米到达B 点测得P 点的仰角是60︒,测得发射塔底部Q 点的仰角是30.请你帮小兵计算出信号发射塔PQ 的高度. 1.7)【答案】94米【解析】⊥⊥P AC =45°,⊥PCA =90°,⊥AC =PC ,⊥⊥PBC =60°,⊥QBC =30°,⊥PCA =90°,⊥⊥BPQ =⊥PBQ =30°,⊥BQ =PQ ,CQ =12BQ ,设BQ =PQ =x ,则CQ =12BQ =12x ,根据勾股定理可得BC , ⊥AB +BC =PQ +QC ,即=x +12x解得:606020 1.794x =+≈+⨯=,⊥PQ 的高度为94米.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,找出等量关系是解题关键. 26.(2022·四川·岳池县教研室二模)2022年春节期间,成都的夜景出圈了!一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福,也让外地游客流连忘返.在成都交子金融城双子塔,一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈(如图1).如图2,小玲想利用所学的数学知识,测金融城双子塔AB 的高度.她先在C 处用高度为1.3米的测角仪CD 测得AB 上一点E 的仰角22EDF ∠=︒,接着她沿CB 方向前进50米到达G 处,测得塔顶A 的仰角45AHF ∠=︒.若110AE =米,求双子塔AB 的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 220.37︒≈,cos220.93︒≈,tan220.40︒≈)【答案】双子塔AB 的高度约为218米【解析】解:由题意可得四边形DCGH 和四边形DCBF 都是矩形,则 1.3BF CD ==米,50DH CG ==米.设EF x =米,则(110)AF AE EF x =+=+米.在Rt AFH △中,45AHF ∠=︒,45FAH ︒∴∠=,FAH AHF ∴∠=∠,(110)HF AF x ∴==+米,(160)DF DH HF x ∴=+=+米.在Rt DFE △中,22EDF ∠=︒,tan tan 22EF EDF DF ∴∠=︒=,即0.40160x x ≈+, 解得320106.73x =≈,经检验符合题意, 110106.7 1.3218AB AE EF BF ∴=++≈++=(米).答:双子塔AB 的高度约为218米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.27.(2022·四川成都·二模)2022年,武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动,某中学数学组以此为契机,在望江楼公园开展“感受武侯文化,领略古建风韵”的综合实践活动,测量望江楼AB 的高度.如图,已知测倾器的高度为1.2米,在测点C 处安置侧倾器,测得点A 的仰角45ADE ∠=︒,在与点C 相距10米的测点F 处安置侧倾器,测得点A 的仰角58AGE ∠=︒(点C ,F 与B 在一条直线上),求望江楼AB 的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin580.85︒≈,cos580.53︒≈,tan58 1.60︒≈)【答案】望江楼AB 的高度为27.9米【解析】解:延长DG 与AB 交于H ,由题意可知:四边形DCFG ,四边形GFBH ,四边形DCBH 为矩形,则10DG CF == , 1.2BH CD == ,设AH =x ,在Rt ADH 中,45ADH ∠=︒ ,tan 1AH ADH DH ∴∠== , DH AH x ∴== ,10GH DH DG x ∴=-=- ,在Rt AGH △ 中,tan AH AGH GH ∠=, 58AGH ∠=︒, 1.6010x x ∴≈- , 解得:26.67x ≈ ,经检验:符合题意,27.8727.9AB AH BH ∴=+≈≈ ,⊥望江楼AB 的高度为27.9米.【点睛】本题考查的是锐角三角函数,仰角的定义,解直角三角形的应用,能正确构造直角三角形是解题的关键.28.(2022·山西晋中·一模)受新冠疫情影响,部分县市课堂教学从“线下”转到了“线上”,我市教育局承担组织全区“空中课堂”优秀课例的录制工作,手机成为学生线上学习的主要工具.如图1是一台手机支架,图2是其侧面示意图,AB,BC可分别绕点A,B转动,测量知BC=8cm,AB=16cm.当AB,BC转动到⊥BAE=60°,⊥ABC=50°时,观看比较适宜,试求此时点C到AE的距离.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin50°≈0.766,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)【答案】点C到AE的距离约为6.3cm.【解析】解:如图,过点B、C分别作AE的垂线,垂足分别为M、N,过点C作CD⊥BM于D,。