一阶谓词逻辑

例1：没有不犯错误的人 令H（x）： x是人, M（x）： x犯错误
则有 : (x(H (x) M (x))) x(H (x) M (x)).
例2：闪光的未必都是金子
令L（x）： x是闪光的, G（x）： x是金子
则有 : x(L(x) G(x)) x(L(x) G(x)).
对于任意一元谓词G(X)，都有
xG(x) G(a1) G(a2) ... G(an)
xG(x) G(a1) G(a2) ... G(an)
即消去了量词，化成了命题逻辑中等值的命题公式。
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论域的讨论：
将命题符号化时，必须明确所涉及到的个体集合， 即论域。
（5）只有有限次地使用（1）—（4）所生成的符号串 才是合式公式。
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各命题符号化的结果都是合式公式。
对于一个谓词，如果其中每一个变量都在一个量词的 作用之下，则它就不再是命题函数而是一个命题了。 但是，这种命题和命题逻辑中的命题还是有区别的。 因为这种命题中毕竟还有变量，尽管这种变量和命题 函数中的变量有所不同。因此，有必要区分这些变量。
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约束变量与自由变量：
1 在一个谓词公式中变量的出现说是约束的，当且仅当它出现 在使用这个变量的量词作用域之内。
例子：公式x(P(x, y) Q(x, z)) R(x)中,
谓词P(x, y)和Q(x, z)中x的出现是约束的.
2 变量的出现说是自由的，当且仅当它的出现不是约束的。
代替规则：对公式中某变量的所有自由出现，用另一个 与原公式中其它变量符号均不同的变量符号来代替。
例子： 对上例，可将自由出现的x用u代替, 得xP(x, y) Q(u, z)
因此，通过使用改名规则和代替规则，可使一阶逻辑中的 公式不出现某变量既是约束变量又是自由变量的情况。
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解释：
在一阶逻辑中,公式G的一个解释I,是由非空论域D和对G 中常量符号、函数符号、谓词符号按下列规则进行的一组指 定所组成。
当论域D给出时，n元函数符号f(x1，…xn)可以是D n到D的 任意一个映射。
第四，谓词符号：
P,Q,R ,Pi,Qi,Ri …i ≥ 1
当论域D给出时，n元谓词符号P(x1，…xn) 可以是Dn到{0,1}的任意一个 谓词。
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项的定义：
(1) 常量符号是项；
(2) 变量符号是项； (3) 若f(x1,…,xn)是n元函数符号，t1,…,tn是项， 则f(t1,…,tn)是项；
注意：则H(张三,李四)就是命题“张三高于李四”。 P(x.y)与H(x,y)为命题函数.而P(2)与H(张三,李四)才是命题。
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概念的讨论
谓词是用来刻划个体的性质或个体之间的关系的。
❖个体是可以独立存在的实体,它既可以是一个具体的 事物,也可以是一个抽象的概念 ❖谓词如有n个变元则称为n元谓词. n元谓词反映了 n元关系. ❖变元在谓词中的次序直接影响了谓词的取值. 如:谓词P(x,y)为“x比y高”.
解: (a) 对所有x,若x是偶数,则对所有y,若x除尽y,则y是偶数.
(b)对所有x,若x是质数,则存在y,y是偶数且x除尽y
(即所有质数能除尽某些偶数)
(c)对所有x,若x是奇数,则对所有y,y是质数,则x不能除尽y.
(即任何奇数不能除尽任何质数).
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2 合式公式及解释
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令P(x)为“x是质数”,E(x)为“x是偶数”,O(x)为“x是奇 数”,D(x,y)为“x除尽y”.把下列各式译成汉语.
a......(x)(E(x) (y)(D(x, y) E(x)y)); b......(x)(P(x) (y)(E( y) D(x, y))); c......(x)(O(x) (y)(P( y) D(x, y)).
例子： 令：
M (x) : x 是人。
D (x) : x 要死。
对命题“人是要死的”
如果论域是全人类，可符号化为 xD(x)
如果论域是世界上一切生物，可符号化为
x(M (x) D(x))
而我们约定，除非特别说明，所有论域均为 由一切对象组成的个体集合。
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命题符号化的例子：
(4) 只有有限次地使用(1),(2),(3)所生成的符号串 才是项。
例如：a,b,x,y是项，f(x,y)=x+y,g(x,y)=x·y是项， f(a,g(x,y))=a+x·y也是项。
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原子与公式：
2.2. 设P(x1,…xn)是n元谓词，t1,…,tn是项， 则称P(t1,…tn) 为原子公式，或简称原子。
例3：存在着偶质数
令E(x)：x是偶数, P(x)：x是质数 则有：x(E(x)∧P(x))
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命题符号化的例子：
例4：每个自然数都有后继数 令N（x）：x 是自然数, H（x,y）：y是x的后继数
则有 : x(N(x) y(N( y) H(x, y))).
R：B(1/3).
仅引进谓词还不足以确切地刻画命题，例如: 日常生活中，上述命题P为: “凡有理数都是实数”。 而命题P的否定﹁P,应理解成，“有些有理数不是实数” 但是 ﹁P﹁(A(x)B(x))
﹁(﹁A(x) ∨B(x))
A(x) ∧ ﹁B(x)
这样， ﹁P译为“所有有理数都不是实数”矛 盾 原 因
解(1): 令J(x):x是金属;
E(x):x是液体;
S(x,y):x可以溶解在y中,
则可以表示为 : x(J (x) y(E( y) S(x, y)));
(2): 令P(x):x是人;
G(x,y)x是y的祖母;
M(x,y):y是x的母亲;
F(x,y):y是x的父亲;
则可以表示为:
xy((P(x) P( y) G( y, x)) z(P(z) F(x, z) M (z, y))).
2.3. 一阶逻辑中的合式公式，也称为谓词公式，简称为公式，其递归 定义为：
（1）原子是合式公式； （2）若A是合式公式，则(﹁A)也是合式公式；
（3）若A,B是合式公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (AB)也是合式公式；
（4）若A是合式公式，x是A中的变量符号，
则xA, xA也是合式公式.
故其不能正确反映三段论的推理过程
这就是命题逻辑的局限性
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原因
在命题逻辑中无法将所有命题之间的内在联系反映 出来。命题逻辑中描述的三段论，即P∧Q→R，使 R是与命题P、Q无关的独立命题。但实际上R是与 命题P、Q有关的，只是这种关系在命题逻辑中得不 到反映。
要反映这种内在联系,就要对简单命题作进一 步分析,分析出其中的个体词,谓词,量词,研究它 们的形式结构及逻辑关系,总结出正确的推理形 式和规则,这就是一阶逻辑所研究的内容.一阶逻 辑也称谓词逻辑.
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定义
x 语句“对任意x”称为全称量词，记为: x 语句“存在一个x”称为存在量词，记为 :
设G（x）是一个一元谓词，D是论域。
则xG(x)表示命题"对任意x D,G(x)均为真.
其真值规定为:
1.xG( x)为真, 当且仅当对任意x∈D，G(x)均为真。 2.xG( x)为假，当且仅当存在一个 x0∈D,使G(x0)为假。
2,如果王英坐在李洪的后面,则王英比李红高. 令a:王英;b:李红;P(x,y):x坐在y的后面;G(x,y):x比y高.
则命题表示为P(a,b)G(a,b).
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三段论基于谓词的符号化：
A(x):x是有理数，B(x):x是实数，则三段论可表示为：
P：A(x) B(x) Q：A(1/3)
则，三段论法中的命题P 及﹁P可符号化如下：
P : x( A(x) B(x))
P (x( A(x) B(x))
x((A(x) →B(x))
x( A(x) B(x))
此时，﹁P确实是命题“凡有理数都是实数”的否定。 注意： 当论域D为有限集时，如D=｛a1,a2 ,…,an｝，
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原因：
命题P的确切意思为：“对任意x，如果x是有理数， 则x是实数”。但是，A(x)B(x)中并没有确切表 达出“对任意x”这个意思。这说明， A(x)B(x)还 不是一个命题。因此，在一阶逻辑中，除了引进谓 词外，还需要引进语句“对任意x”，以及与之对偶 的语句“存在一个x”。
例子：上例中的R(x)中x的出现是自由的，y和z出现也是 自由的。
3 至少有一次约束出现的变量，称为约束变量。 至少有一次自由出现的变量，称为自由变量。
例子：上例中的x既是自由变量，又是约束变量，而y 和z则是自由变量。
显然有xG(x) yG( y), xG(x) yG( y) 20
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逻辑学中的三段论
1 凡有理数都是实数 2 1/3是有理数 3 1/3是实数 在命题逻辑中无法表示其推理过程
因为如果我们用P,Q,R分别表示命题1，2，3
则, 按照三段论法，P∧Q R 可表示上述推理
三段论的论断显然正确，但在命题逻辑中P∧QR并不 是重言式。取P=0，Q=0，R=1，就可弄假P∧QR
而张三为170cm,李四为180cm. 则:P(李四,张三)为真命题.
P(张三,李四)为假命题.
用个体,谓词表示命题的例子:
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例子:
1,武汉位于重庆与上海之间.
解:个体a,b,c分别表示武汉,重庆和上海, 谓词P(x,y,z)表示x位于y与z之间, 则命题表示为P(a,b,c).
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有关公式中变量的两条规则：
改名规则： 将谓词公式中出现的约束变量改为另一个约束变量。 此改名必须在量词作用域内各处以及该量词符号中进行，且改 成的新约束变量要与改名区域中的其它变量有别。
例子： 公式xP(x, y) Q(x, z), 将x改成u,得uP(u, y) Q(x, z)
例5：对平面上的任意两点，有且仅有一条直线通过这两点
令P（x）： x是一个点,
L（x）：x是一条直线,
T（x,y,z）：z通过x,y,
E（x,y）：x等于y
则有: xy(P(x) P( y) z(L(z) T (x, y, z) u(L(u)
T (x, y,u) E(u, z)))).
xG(x)表示命题"存在一个x D,使G(x)为真".
其真值规定如下：
1.xG(x)为真, 当且仅当存在一个x0 ∈ D ，使G(x0) 为真；
2.xG( x)为假，当且仅当对任意x ∈ D ， G(x)均为假。
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两个重要的式子：
(xG(x)) x(G(x)) (xG(x)) x(G(x))
引进合式公式的概念，在形式化中使用的四种符号：
第一，常量符号：
a,b,c,ai,bi,ci …i≥1
当论域D给出时，它可以是D中的某个元素。
第二，变量符号：
x,y,z ,xi,yi,zi …i ≥ 1
当论域D给出时，它可以是D中的任何一个元素。
第三，函数符号：
f,g,h ,fi,gi,hi …i ≥ 1
例6：所有的人指纹都不一样 令M(x)：x是人, D(x,y)：x与y相同, S(x,y)：x与y指纹相同
则有 : xy(M (x) M ( y) D(x, y) S(x, y)).
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习题
(1)任何金属都可以溶解在某种液体中. (2)每一个人的祖母都是他父亲的母亲.
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谓词与量词
1.论域： 研究对象的全体所构成的集合.又称个体域。
2.个体： 一阶逻辑中论域中的元素.又称个体词。 3.量词: 在命题中表示数量的词.分两类.即存在与全称量词.
例： 令P(x)表示x为质数，则P(x)为一元谓词。 令H(x，y)表示“x高于y”。则H(x，y)为二元谓词。 将x代以个体“张三”，y代以个体“李四”，