安徽省合肥168中学2014届高三数学最后一卷试题 文 新人教A版
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安徽省合肥168中学2014届高三最后一卷 文科数学试题
一选择题(50分)
1. 若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数,则实数m 的值为
A .0或2
B .2
C .0
D .1或2
2.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的弹道导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取的5枚导弹的编号可能是
A .5,10,15,20,25
B .3,13,23,33,43
C .1,2,3,4,5
D .2,4,6, 16 ,32 3.“m=-1"是“直线mx+(2m -l )y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
4.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 10:S 5=1:2,则S 15:S 5为 A . 1:2 B . 1:3 C . 2:3 D . 3:4 5.命题‘‘若a ,b ,c 成等比数列,则2
b a
c =”的逆否命题是
(A)若a ,b ,c 成等比数列,则2
b a
c ≠ (B)若a ,b ,c 不成等比数列,则2
b a
c ≠ (C)若2
b a
c =,则a ,b ,c 成等比数列 (D)若2
b a
c ≠,则a ,b ,c 不成等比数列
6.已知A ,B 是单位圆上的动点,且O ,则OA uu r ·AB uu u r
=
A .
B
C .32-
D .32
7.函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π
2)的部分
图象
如图所示,则ω,φ的值分别是( ) A .2,-π3 B .2,-π
6
C .4,-π6
D .4,π
3
8.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似,则这个圆柱的侧面
积与全
面积之比为
A
B
C D 9. 若32()132x a f x x x =
-++函数在区间1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
上有极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.52,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
10.设P 是双曲线2
2
14
y x -=上除顶点外的任意一点,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点,△12PF F 的内
切圆与边12F F 相切于点M ,则12F M MF ⋅=
A .5
B .4
C .2
D .1 二.填空题(25分)
11.某一个班全体学生参加历史测试,成绩的频率分布直方图如图,则该班的平均分估计是
12.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的i 值为
13.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=,若()12f =,则()99f =
14. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ,且目标函数y x z +=3的最小值为1-,则实常数=k
/分 频率
15.给出下列四个命题: (1)
“cos α=”是“52,6
k k z π
απ=+∈”的必要不充分条件; (2)终边在y 轴上的角的集合是{a|a=
Z k k ∈π
,2
|. (3) 函数)32sin(π
-
=x y 的一个单调增区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-125,12ππ; (4)设()()sin f x x ωϕ=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是()'
00f =
(5).为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图像,只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π
12
个长度单位
其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上). 三.解答题(75分)
16. (本小题满分12分)
在∆ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c
,且4b . (1)求sinB 的值;
(2)若,,a b c 成等差数列,且公差大于0,求-cosA cosC 的值. 17.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,1,AB AC AC AA ⊥=,E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.
(Ⅰ)求证:AB ⊥平面AA 1 C 1C ;
(Ⅱ)若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ,试确定点D 的位置,并说明理由;
(Ⅲ)证明:EF ⊥A 1C.
18(本小题满分12分)已知正项数列}{n a 中,t a =1,其前n 项和为n S ,满足12+⋅=n n n a a S
(1)如果数列}{n a 为等差数列,求t 的取值,并求出数列}{n a 的通项公式 (2)如果数列}{n a 为单调递增数列,求t 的取值范围。
19.(本小题满分13分)
1
先后抛掷一枚骰子,记向上的点数为b a ,。
事件A :点),(b a 落在圆1222=+y x 内; 事件B :)(a f <0,其中函数)1()12()(2+++-=t t x t x x f ,t 为常数。
已知)(B P >0 (1)求)(A P ; (2)当2
1
=
t 时,求)(B P (3)如A 、B 同时发生的概率36
1
)(=AB P ,求t 的取值范围 20.(本小题满分13分)
设12,F F 分别为椭圆12
22=+y a
x 的左、右焦点,斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ,且与椭圆相交于,A B 两
点,且1ABF ∆的周长为24. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如果1ABF ∆的重心在y 轴上,求直线l 的斜率k .
21.(本小题满分13分) 设函数ax ax x x f -+
=2
2
1ln )(. 若函数)(x f 在2=x 处取得极值,求a 的值,并求出此时函数的单调区间 若函数)(x f >0对]2,1[∈x 恒成立,求a 的取值范围 合肥168中学高三文科数学最后一卷答案
答案
一选择题(50分)
1. 若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数,则实数m 的值为
A .0或2
B .2
C .0
D .1或2 C
2.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的弹道导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取的5枚导弹的编号可能是
A .5,10,15,20,25
B .3,13,23,33,43
C .1,2,3,4,5
D .2,4,6, 16 ,32 B
3.“m=-1"是“直线mx+(2m -l )y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 A
4.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 10:S 5=1:2,则S 15:S 5为 A . 1:2 B . 1:3 C . 2:3 D . 3:4 D
5.命题‘‘若a ,b ,c 成等比数列,则2
b a
c =”的逆否命题是 (A)若a ,b ,c 成等比数列,则2
b a
c ≠ (B)若a ,b ,c 不成等比数列,则2b ac ≠ (C)若2
b a
c =,则a ,b ,c 成等比数列 (D)若2b ac ≠,则a ,b ,c 不成等比数列 D
6.已知A ,B 是单位圆上的动点,且O ,则OA uu r ·AB uu u r
=
A .2
- B .
2
C .32-
D .32
C
7.函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π
2)的部分
图象
如图所示,则ω,φ的值分别是( A ) A .2,-π3 B .2,-π
6
C .4,-π6
D .4,π
3
8.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似,则这个圆柱的侧面
积与全
面积之比为
A
B
C
D
B
9. 若32()132x a f x x x =
-++函数在区间1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
上有极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.52,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C
10.设P 是双曲线2
2
14
y x -=上除顶点外的任意一点,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点,△12PF F 的内
切圆与边12F F 相切于点M ,则12F M MF ⋅=
A .5
B .4
C .2
D .1 B
二.填空题(25分)
11.某一个班全体学生参加历史测试,成绩的频率分布直方图如图,则该班的平均分估计是
68
12.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的i 值为 8
13.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=,若()12f =,则()99f =
/分 频率
132
14. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ,且目标函数y x z +=3的最小值为1-,则实常数=k
9
15.给出下列四个命题: (1)
“cos α=”是“52,6
k k z π
απ=+∈”的必要不充分条件; (2)终边在y 轴上的角的集合是{a|a=
Z k k ∈π
,2
|. (3) 函数)32sin(π
-
=x y 的一个单调增区间是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-125,12ππ; (4)设()()sin f x x ωϕ=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是()'
00f =
(5).为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
的图像,只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π
12
个长度单位
其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号都填上). (1). (3).(4).(5) 三.解答题(75分)
16. (本小题满分12分)
在∆ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c
,且4b . (1)求sinB 的值;
(2)若,,a b c 成等差数列,且公差大于0,求-cosA cosC 的值. 解:(1)由4bsin A =7a ,根据正弦定理得4sin Bsin A =7sin A , 所以sin B =
7
4
.
……5分
(2)由已知和正弦定理以及(Ⅰ)得 sin A +sin C =
7
2
. ① 设cos A -cos C =x ,
②
①2+②2
,得2-2cos(A +C)= 7 4
+x 2.
③ ……7分
又a <b <c ,A <B <C ,所以0︒<B <90︒,cos A >cos C , 故cos(A +C)=-cos B =- 3 4
.
……10分
代入③式得x 2
= 7 4
.
因此cos A -cos C =
7
2
. ……12分
18.(本小题满分12分)
如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥底面ABC ,1,AB AC AC AA ⊥=,E 、F 分别是棱1BC CC 、的中点.
(Ⅰ)求证:AB ⊥平面AA 1 C 1C ;
(Ⅱ)若线段AC 上的点D 满足平面DEF //平面1ABC ,试确定点D 的位置,并说明理由;
(Ⅲ)证明:EF ⊥A 1C. 18.解: (I )
1A A ⊥底面ABC ,
1A A ∴⊥AB , -------------------------2分 AB AC ⊥,1A A AC A =,
AB ∴⊥面11A ACC . --------------------------4分 (II )面DEF //面1ABC
,面ABC 面DEF DE
=,面ABC 面1ABC AB =,
AB ∴//DE ,
---------------------------7分
在ABC ∆中E 是棱BC 的中点, D ∴是线段AC 的中点---------------------------8分
(III )三棱柱111ABC A B C -中1A A AC = ∴侧面11A ACC 是菱形, 1
1AC AC ∴⊥, --------------------------------9分 由(1)可得1AB A C ⊥, 1AB AC A =,
1
AC ∴⊥面1ABC , --------------------------------10分 1
AC ∴⊥1BC . -------------------------------11分 又,E F 分别为棱1,BC CC 的中点,
EF ∴//1BC ------------------------------12分 1EF AC ∴⊥.
18、已知正项数列}{n a 中,t a =1,其前n 项和为n S ,满足12+⋅=n n n a a S (1)如果数列}{n a 为等差数列,求t 的取值,并求出数列}{n a 的通项公式 (2)如果数列}{n a 为单调递增数列,求t 的取值范围。
解:(1)由12+⋅=n n n a a S 知:211122a a a S ⋅==,则22=a 当2≥n 时,112--⋅=n n n a a S
则2≥n 时,)(211-+-=n n n n a a a a ,即211=--+n n a a ,
1
1
如果数列}{n a 为等差数列,则1=d ,则121=-==d a t a
反之,当11==t a 时,,由22=a 且211=--+n n a a 易得n a n =,为等差数列。
综上数列}{n a 为等差数列时,1=t ,此时n a n = (2)由上知t a =1,22=a ,211=--+n n a a 令t a =1<2a <3a ,得)2,0(∈t 此时t k k t a k +-=-+=-22)1(212
k k a k 2)1(222=-+=
有t t k k a a k k -=+--=--2)22(2122>0
t k t k a a k k =-+-+=-+)2(2)1(2212>0,即数列}{n a 为单调递增数列
综上:数列}{n a 为等差数列时)2,0(∈t 19.(本小题满分12分)
先后抛掷一枚骰子,记向上的点数为b a ,。
事件A :点),(b a 落在圆1222=+y x 内; 事件B :)(a f <0,其中函数)1()12()(2+++-=t t x t x x f ,t 为常数。
已知)(B P >0 (1)求)(A P ; (2)当2
1
=
t 时,求)(B P (3)如A 、B 同时发生的概率36
1
)(=
AB P ,求t 的取值范围 解:(1)满足落在圆1222=+y x 内的点),(b a 有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)
61
366)(==
∴A P (2)当2
1=t 时,)(x f <0解集为)23
,21(∈x ,则a 只能取1
6
1
)(=∴B P
(3)∵)1()12()(2
+++-=t t x t x x f <0解集为)1,(+∈t t x ,满足)(a f <0的a 只可能在1、2、3、4、
5、6中取一个,
∴如1=a ,AB={(1,1),(1,2),(1,3)};如2=a ,AB={(2,1),(2,2)};如3=a AB={(3,1)} 如a 取4、5、6, AB=φ
则只有3=a 满足36
1
)(=AB P ,则)3,2(∈t 20.(本小题满分13分)
设12,F F 分别为椭圆12
22=+y a
x 的左、右焦点,斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ,且与椭圆相交于,A B 两
点,且1ABF ∆的周长为24. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如果1ABF ∆的重心在y 轴上,求直线l 的斜率k .
解:±
==+k y x )2(;12
)
1(22
2
2
21.(本小题满分13分) 设函数ax ax x x f -+
=2
2
1ln )(. 若函数)(x f 在2=x 处取得极值,求a 的值,并求出此时函数的单调区间 若函数)(x f >0对]2,1[∈x 恒成立,求a 的取值范围 解:(1)a=2
1
-; (0, 2) ↑;(2, ∞)↓ (2)a<0。