第十九章 量子力学基础( I ) 作业及参考答案 2014

h h −27 −8 ， ΔE ≥ ＝5.276 × 10 J ＝3.297 × 10 eV 2 2Δt c c −7 根据光子能量与波长的关系： E = hν = h ， λ = h ＝3.67 × 10 m λ E ΔE −15 波长的最小不确定量为： Δλ = hc 2 ＝3.57 × 10 m E
解：根据不确定关系式： ΔE Δt ≥
四．.附加题 5. （自测提高 28）氢原子激发态的平均寿命约为 10 8 s，假设氢原子处于激发态时，电 子作圆轨道运动，试求出处于量子数 n =5 状态的电子在它跃迁到基态之前绕核转了多少 圈．( me = 9.11×10 31 kg，e =1.60×10 19 C，h =6.63×10 34 J·s，ε 0=8.85×10 12 C2·N 1·m 2 )
解题要点:
根据氢原子光谱的实验规律，莱曼系：ν% =
7 −1
1
λ
= R(1 −
1 ) n2
式中， R = 1.096776 × 10 m ，称为里德堡常数， n = 2, 3,L
最长波长的谱线， 相应于 n = 2 ， 至少应向基态氢原子提供的能量 hν = E2 − E1 ， 又因为 E n = −
C
正确反映黑体单色辐出度 MBλ(T)随λ 和 T 的变化关 系，已知 T2 > T1． 斯特藩-玻耳兹曼定律： 黑体的辐 射出射度 M0(T)与黑体温度 T 的四次方成正比，即 . M0 (T )随温度的增高而迅速增加
(A)
T1 T2 MBλ (T) T2
λ
λ
解题要点:
(C)
T1 λ
λ
维恩位移律： 随着黑体温度的升高， 其单色辐出度最大值所对应的波长 λ m 向短波方向移动。 [ D ]2.（基础训练 4）用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能 为 EK；若改用频率为 2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 EK． (B) 2hν - EK． (C) hν - EK． (D) hν + EK．
解题要点:
h Δx ⋅ Δpx ≥ 2
根据动量的不确定关系：
1
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第十九章
[ D ]5.（自测提高 2）已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是 1.2 eV，而钠的红限波长是 5400 Å，那么入射光的波长是 (A) 5350 Å． (B) 5000 Å． (C) 4350 Å． (D) 3550 Å．
1.（基础训练 12）光子波长为λ，则其能量= h
c
h
；动量的大小 =
λ
λ
；质量=
h cλ
．
2. （基础训练 13）康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向成夹角φ =___ π ___时， 散射光子的频率小得最多；当φ = ___0___ 时，散射光子的频率与入射光子相同．
解题要点:
Δ λ = λ − λ0 =
2
2
4
7. （自测提高 14）氢原子基态的电离能是 __13.6__eV．电离能为+0.544 eV 的激发态 氢原子，其电子处在 n =__5__ 的轨道上运动．
解题要点: 电离能是指电子从基态激发到自由状态所需的能量.
∴氢原子基态的电离能 E = E ∞ − E1 = −
13.6eV ⎛ 13.6eV ⎞ − ⎜− ⎟ ∞2 12 ⎠ ⎝
E = E∞ − En
三. 计算题
即
+0.544 eV=
13.6eV n2
1. （基础训练 21）波长为λ0 = 0.500 Å 的 X 射线被静止的自由电子所散射，若散射线 的波长变为λ = 0.522 Å，试求反冲电子的动能 EK．
ν0 解题要点: 根据能量守恒： h
+ m0 c 2 = hν + mc 2
解题要点: 由维恩位移定律： λ mT = b ，∴ λ m ∝
T λ 1 ，即 1 = m 2 T2 λm1 T
4.（基础训练 15）欲使氢原子能发射巴耳末系中波长为 4861.3 Å 的谱线，最少要给基 态氢原子提供____12.75____eV 的能量。(里德伯常量 R =1.097×107 m 1 )
2
1 h h h me u 2 = eU 12 ， λ ′ = = = =3.88 × 10 −12 m 2 p me u 2me eU 12
相对误差：
λ′ − λ ＝4.6﹪ λ
-
4. （自测提高 25）一电子处于原子某能态的时间为 10 8 s，计算该能态的能量的最小 不确定量．设电子从上述能态跃迁到基态所对应的光子能量为 3.39 eV，试确定所辐射的光 子的波长及此波长的最小不确定量．( h = 6.63×10 34 J·s )
处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出的光仅有三条谱线， 则氢原子吸收该光子后 最高将被激发到 n = 3 的能级，可以发出 λ31 、 λ 21 、 λ32 三条谱线，于是
hν = E 3 − E1 = −
13.6eV 32
⎛ 13.6eV −⎜ ⎜− 12 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ =12. 09eV ⎠
v=
-
解：电子作一次圆周运动所需时间(即周期 T)为
T=
-
2π
令激发态的平均寿命为 τ = 10 8 s，故电子在τ内从激发态跃迁到基态前绕核的圈数为
ω
①
N=
电子作圆周运动的周期Ｔ可由下面二式求出
τ
T
②
可求出 由①、②、⑤可得 当n = 5
v2 e2 = m r 4πε 0 r 2 h mωr 2 = n 2π 1 πme 4 ω= 2 3 3⋅ 3 2ε 0 n h n
6. （自测提高 12）若太阳（看成黑体）的半径由 R 增为 2 R，温度由 T 增为 2 T，则 其总辐射功率为原来的__64__倍．
解题要点: 由斯特藩-玻耳兹曼定律： M 0 (T ) = ∫ M λ0 (T )d λ = σ T 4
0
∞
太阳的总辐射功率： M = 4πR ⋅ M 0 = 4πR ⋅ σT
12.09eV = 2.92 ×1015 Hz h
3.（自测提高 20）质量为 me 的电子被电势差 U12 = 100 kV 的电场加速，如果考虑相对
3
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论效应，试计算其德布罗意波的波长．若不用相对论计算，则相对误差是多少？(电子静止 质量 me=9.11×10 31 kg，普朗克常量 h =6.63×10 34 J·s，基本电荷 e =1.60×10 19 C)
③ ④ ⑤
1 6.54 × 10 7 τme 4 N= = 2 3 3⋅ 3 = T 4ε 0 n h n n3
N = 5.23×105
4
τ
[ B ]6.（自测提高 3）具有下列哪一能量的光子，能被处在 n = 2 的能级的氢原子吸 收？ (A) 1.51 eV． (B) 1.89 eV． (C) 2.16 eV． (D) 2.40 eV．
解题要点:
二. 填空题
En = −
13.6eV ， n2
hν = E h − El = −
13.6eV ⎛ 13.6eV ⎞ − ⎜− ⎟ n2 22 ⎠ ⎝
h c (1 − cos ϕ ) ， λ = m0 c ν
频率小得最多即波长改变量最大 3. （基础训练 14）测量星球表面温度的方法之一，是把星球看作绝对黑体而测定其最 大单色辐出度的波长λm，现测得太阳的λm1 = 0.55 μm，北极星的λm2 = 0.35 μm，则太阳表面 温度 T1 与北极星表面温度 T2 之比 T1:T2 =___7:11___．
解题要点: 根据氢原子光谱的实验规律，巴耳末系：
ν% =
当
1
λ
= R(
1 1 − 2)， 式中，R = 1.096776 × 107 m−1 ， 称为里德堡常数，n = 3, 4, L 2 2 n
λ = 4861.3 Å ， 代 入 上 式 ， 解 得 n = 4 。 至 少 应 向 基 态 氢 原 子 提 供 的 能 量
[
13.6eV ⎛ 13.6eV 13.6eV ，所以 hν = E h − El = − 2 − ⎜ ⎜− 2 2 12 ⎝ n ⎞ ⎟ ⎟ =10.2 ⎠
eV
A
]4.（基础训练 8）设粒子运动的波函数图线
(A) (B) (C) (D)
x x x x
图 19-4
分别如图 19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒 子动量的精确度最高的波函数是哪个图？
解题要点:
根据爱因斯坦光电效应方程： hν =
1 2 mvm + A0 2
1 2 式中 hν 为入射光光子能量， A0 为金属逸出功， mvm 为逸出光电子的最大初动能。 2 A 以及红限频率：ν 0 = 0 ，可得： h λ h
c
=
1 2 c 1 2 mvm + hv0 = mvm + h λ0 2 2
13.6eV 4
2
hν = E n − E1 ，又因为 E = − 13.6eV ，所以 hν = E4 − E1 = − n n2
⎛ 13.6eV −⎜ ⎜− 12 ⎝
⎞ ⎟ ⎟ =12. 75eV ⎠
5. （基础训练 18） 令 λ c = h /( me c) (称为电子的康普顿波长，其中 me 为电子静止质
2 2 解题要点: 考虑相对论效应，则动能 E K = mc − me c = eU 12 ， m =
me 1− u2 c2
h h h hc ⎛u⎞ λ= = = 1− ⎜ ⎟ ＝ ＝3.71 × 10 −12 m 2 p mu me u ⎝c⎠ eU 12 (eU 12 + 2me c )
若不用相对论计算， 则
当 ε K = mc 2 − me c 2 ＝ mHale Waihona Puke Baidu c 2 ，即： m =
me 1− u 2 c 2
2
= 2m e ， ∴ 1 − u 2 c 2 = 1 ， 2
u 3 1 h 1 h c 1 2 h h h ⎛u⎞ 1− ⎜ ⎟ = ⋅ = = = ⋅ ⋅ = ⋅ λc = ，λ = 2 me u 2 me c u 2 3 p mu m e u c 2 ⎝c⎠
2
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第十九章
量，c 为真空中光速，h 为普朗克常量)．当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意 波长是λ =___ 3 3 ___λc．
解题要点: 电子的动能： ε K = mc 2 − me c 2 ，电子的静止能量： me c 2
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第十九章
第十九章
量子力学简介Ⅰ
(黑体辐射、光电效应、康普顿效应、玻尔理论、波粒二象性、波函数、不确定关系) 一. 选择题 [
MBλ (T)
]1.（基础训练 2）下面四个图中，哪一个
MBλ (T) (B) T2 T1 MBλ (T) (D) T1 T2
解题要点:
根据爱因斯坦光电效应方程： hν =
1 2 mvm + A0 ， 2
1 2 式中 hν 为入射光光子能量， A0 为金属逸出功， mvm 为逸出光电子的最大初动能，即 2
' EK。所以有： hν = Ek + A0 及 2 hν = E K + A0 ，两式相减即可得出答案。
[ C ]3.（基础训练 5）要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁 到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV． (B) 3.4 eV． (C) 10.2 eV． (D) 13.6 eV．
c
2 2 ∴反冲电子获得动能： E K = mc − m0c = hν 0 − hν = h
λ0
−h
c
λ
= 1.68 × 10 −16 J
2. （基础训练 22）处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出的光仅有三条谱线，问 此外来光的频率为多少？(里德伯常量 R =1.097×107 m 1)
解题要点: